کاربردی آمار

محمد : مدرس و آورنده گردگر ریخته

مقدمات : اول فصلگیری : اندازه مقیاسهای دوم فصل

و : فراوانی توزیعهای هدف سوم فصلنمودارها

گرایش : های اندازه چهارم فصلمرکزی

پراکندگی : شاخصهای پنجم فصلاستاندارد : های نمره ششم فصل

طبیعی : منحنی هفتم فصلهمبستگی : هشتم فصل

بینی : پیش و رگرسیون نهم فصل

اول فصل

مقدما

ت

چیست؟ آمار

را علمی روشهای چارچوب آمار

های داده تحلیل و تجزیه در که

شوند می برده کار به مقداری

. کند می بنیانگذاری

وظیفه دو دارای آماری روشهای: هستند مهم

1 -، بندی طبقه در پژوهشگر به

و تفسیر و توصیف کردن، خالصه

اطالعات طریق از ارتباط برقراری

. کند می کمک شده آوری جمع

که- 2 دهد می امکان پژوهشگران به

آوری جمع اطالعات از استفاده با

آزمودنیها از کوچکی نمونه از شده

آن از نمونه که را ای جامعه ویژگیهای

استنباط یا برآورد است شده انتخاب

کنند.

برای که آماری روشهای انواعمی برده کار به دوم و اول وظایف

شوند: 1 - : توصیفی روشهایی آمار مجموعه

طبقه کردن، خالصه به که است

می ها داده تفسیر و ،توصیف بندی

پردازد.

روشهایی آماراستنباطی: - 2 مجموعه

دو بین رابطه بیان برای معموال که است

نمونه ویژگیهای تعمیم و متغیر چند یا

می برده کار به آماری جامعه به آماری

شوند.

در نکته: قدم مفیدترین و اولین

کردن مرتب ، دادها به دادن سازمان

منطقی مالک یک اساس بر آنها

است.

آمار نکته: روشهای از استفاده با

ویژگیهای دقیقاً توان می توصیفی

. کرد بیان را اطالعات از دسته یک

برای نکته : همیشه توصیفی آمار روشهای

کار به اطالعاتی ویژگیهای بیان و تعیین

پژوهشگران وسیله به که شود می برده

. اند شده آوری جمع

برآورد نکته: استنباطی آمار نهایی هدف

است جامعه .ویژگیهای

: آمار مطالعه دالیل

روزانه- 1 کاربرد

مسائل- 2 حل

ایی- 3 نظریه پژوهش

فهم- 4 و درک و پژوهش کاربرد

ان

روزانه :( 1 کاربرد

و آزمون تهیه ها، برنامه تسریع در

: ( . تفسیر مثال کند می کمک تفسیر

مشاهدات تفسیر معلم، توسط ها نمره

ارزشیابی روانشناسان، توسط

جامعه توسط آنها تعمیم و اطالعات

و ...(شناسان

و محدود مقیاس یک در غالباً پژوهش

ضروری اطالعات کشف منظور به

می انجام عملی مسائل حل برای

مسائل. و موضوعات زندگی در شود

آمار طریق از که دارد وجود مختلفی

. شود می داده پاسخ آنها به

مسائل (2 : حل

3): ای نظریه پژوهش

نظریه توان می آمار طریق از

روانشناسی،( : ها مثال

مورد ...) را و شناسی جامعه و تربیتی

. داد قرار آزمون

و (4 درک و پژوهش کاربرد: آن فهم

تشخیص و پژوهشی نتایج درک برای

و انتخاب درست آماری روشهای اینکه

با باید خواننده اند شده تفسیر

. باشد داشته آشنایی آماری روشهای

توصیف و کوچک گروههای درباره اطالع

اصلی هدف غالباً آنها ویژگیهای

و اصول تعمیم بلکه نیست پژوهشگر

حوادث باشد قادر که نحوی به ها یافته

. باشد می کند بینی پیش و تبیین را

در ای عمده سهم استنباطی آمار کل در

علم عنوان به آن از که دارد پژوهش

از استفاده با عاقالنه گیری تصمیم

می برده نام نیستند کامل که اطالعاتی

آمار. بین اختالف به بردن پی برای شود

جامعه درمورد بحث استنباطی و توصیفی

. است ضروری نمونه و

جامعه

برآورد استنباطی آمار نهایی هدف

. به فقط جامعه است جامعه ویژگیهای

. شود نمی محدود افراد از گروهی

روشهای تمام شامل است ممکن

انواع سیگار، انواع آزمایشگاهی،

. باشد غیره و صنعتی محصوالت

جامعه تعریف

... و حوادث اشیاء، افراد، از گروهی به

مشترک صفت یک دارای حداقل که

. در شود می گفته آماری جامعه باشند

مورد واحدهای یا افراد کلیه تحقیق یک

. در مثالً باشند می آماری جامعه بررسی

( افزایش عوامل بررسی تحقیق

جلسه در نور پیام دانشجویان اضطراب

پیام( دانشگاه دانشجویان کلیه امتحانات

. باشند می آماری جامعه نور

نمونه

که ایی جامعه زیر از عبارتست نمونه

معرف و شود می انتخاب جامعه کل از

. که اینست نمونه انتخاب دلیل آنست

پژوهش مورد ویژگی گیری اندازه

غیر جامعه عناصر یا افراد تک تک برای

است ممکن

. باشد جامعه واقعی نماینده باید نمونه

که اینست بودن واقعی نماینده از مراد

شباهت جامعه و نمونه ویژگیهای بین

. معرف باشد داشته وجود کاملی تقریباً

از غالباً نمونه بودن واقعی نماینده یا

امکانپذیر نمونه تصادفی انتخاب طریق

است.

می دست به نمونه از که هایی اندازه

یا آمار و آمارهآیند شوند می نامیده

را جامعه ویژگیهای که هایی اندازه

کند می . پارامترتعیین شوند می نامیده

و انگلیسی حروف با آماره معموال

می نوشته یونانی حروف با پارامتر

شود.

آمار و پارامتر به مربوط عالئم

تعداد مشاهدا

ت

همبستگی

نسبت انحراف استاندا

رد

واریانس

میانگین ویژگیشاخص

n r P s آمار

N - پارامتر

M یا X

μ σ 2

2S

ها متغییر

اندازه و مشاهده پژوهشگران که ویژگیهایی

کنند می . متغیرگیری متغیر واژه شود می نامیده

ارزش یک از بیش که شود می اطالق ویژگی به

از را تغییرات و شود می داده اختصاص آن به

نشان دیگر شیئ به شیئی از یا فردی به فردی

... : . و هوشی بهره وزن، سن، قد، مانند دهد می

عنوان به پژوهش یک در که ویژگیهایی

شود می مشاهده یا گیری اندازه متغیر

نگاه ثابت دیگر پژوهش در است ممکن

. که ویژگیهایی به ثابت واژه شوند داشته

مختلف افراد نزد در آنها ارزش یا مقدار

. شود می اطالق است یکسان

دانش مورد در که پژوهشی در مثالً

تحصیلی درجه ، است چهارم کالس آموزان

. است ثابت

: متغیر انواع

دو الف: به ماهیت نظر از متغیرها

: شوند می تقسیم کیفی و کمی دسته

1- : کمی اطالق متغیر متغیرهایی به

ارزش یا مقدار نظر از که شوند می

عدد صورت به و هستند متفاوت

نمرات سن، مانند شوند می نوشته

و ... درسی

2- : کیفی نتوان متغیر که متغیری هر

داد نمایش عددی بصورت را آن

.مانند مذهب: مو، رنگ جنس،

در ب: که نقشی نظر از متغیر انواعدارد پژوهش

1- : مستقل بر متغیر که است متغیری

متغیر گذارد، می اثر دیگر متغیرهای

متغیر آن طریق از و است فرض پیش

. شود می تعیین و گیری اندازه وابسته

مستقل متغیر آزمایشی تحقیق در

محقق توسط که است متغیری

متغیر بر تأثیرش تا شود می دستکاری

. شود مشخص وابسته

2- : وابسته که متغیر است متغیری

مستقل متغیر به آن مقدار یا ارزش

. اختیار در وابسته متغیر دارد بستگی

در تواند نمی محقق و نیست محقق

عمل به دستکاری و تصرف و دخل آن

آورد.

بین ج: فاصله اینکه نظر از متغیرها انواع

. خیر یا شود می گرفته نظر در اعداد

جمعیت افراد تک تک مورد در را متغیر اگر

اندازه مناسب مقیاسی با آن از ای نمونه یا

دست به اعداد از مجموعه یک کنیم گیری

دو . ها داده نامند می داده را آن که اید می

: هستنند نوع

گسسته : -1 های فاصله داده که متغیری

و گیرد نمی درنظر را اعداد بین

دارای مقدار دو بین موجود ارزشهای

: . دانشجویان، تعداد مانند نیست معنی

... معلمان تعداد

2- : پیوسته های هر داده که متغیری

) اعشاری ) کسری، مقداری یا ارزش

داد اختصاص آن به توان می را

... و: وزن قد، مانند

و پیوسته متغیر بین تشخیص عمل در

نظری صورت به پذیر گسسته امکان

. وسایل امرفقدان این دلیل نیست

. در است مناسب و دقیق گیری اندازه

ذاتاً که متغیرهایی غالباً پژوهش

مورد گسسته صورت به هستند پیوسته

سن yمثال گیرند می قرار بحث

) افراد) کردن بندی طبقه دلیل به پیوسته

. شود می تبدیل گسسته متغیر به

: اعداد محدودیتهای

اندازه • در مسائل برخی وجود دلیل بهبیشتر به ، پیوسته متغیرهای گیریداده گسسته عددی ارزش متغیرها

. ارزشهایی چنین تفسیر برای شود میمورد را آنها ریاضی واقعی حدود باید

واقعی . حدود داد قرار واحد/. 5توجه . باشد می عددی هر باالتر و پایینتر

مخصوصاً زمانی واقعی حدود مفهومیا گروهبندی اعداد که است مفید

. شوند بندی طبقه

ریاضی: آزمون یک اجرای از پس مثال

که شود می نمره 10مشاهده 12نفر

. که نیست معنی بدان این اند گرفته

دقیق بلکه دارند یکسان توانایی همه

است ممکن گیری اندازه وسیله نبودن

خاطر این به باشد شده امر این موجب

یعنی باشد می واقعی حدود به نیاز

12/5 -11/5

دوم فصل

مقیاسهای گیری اندازه

: گیری اندازه مقیاسهای

اندازه پژوهشی هر در فعالیت اساس

. گیری اندازه کلی طور به است گیری

یک به دادن عددی نسبت از عبارتست

قانون یک اساس بر حادثه یا صفت

معین .

وجود گیری اندازه مقیاس نوع چهار

مراتب سلسله صورت به که دارد

هستند.

ایی- 3ترتیبی- 2اسمی- 1 - 4فاصله

نسبی

اسمی مقیاس

و گیری اندازه مقیاس ترین ساده

نامگذاری به فقط که باشد می سنجش

پردازد می ها داده بندی طبقه و

زن: مانند و مرد طبقه دو به که جنس

. شود می تقسیم

به نکته: باشد کامل باید اسمی مقیاس

کلیه طبقه هر در باید که معنی این

. شود جایگزین نوع هم افراد

ترتیبی مقیاس

را ها داده اینکه بر عالوه مقیاس این

هر به کند می بندی طبقه و نامگذاری

افراد یعنی دهد می هم ای رتبه طبقه

مورد ویژگیهای اساس بر اشیاء یا

پایینترین به باالترین از گیری اندازه

. فاصله مقیاس این در شوند می مرتب

. نیست یکسان ها

: ای فاصله مقیاس

و بندی طبقه بر عالوه مقیاس این

, یا تفاضل دو نسبت ها داده نامگذاری

. درجه مانند میکند حفظ را فاصله دو

...حرارت و

ندارد وجود مطلق صفر مقیاس این در

آزمون. یک در که آموزی دانش yمثال

معنی این به گیرد می صفر هوش

. ندارد هوشی اصالً که نیست

نسبی مقیاس

مقیاس نوع کاملترین مقیاس این

خصوصیات تمام و باشد می سنجش

می و است دارا را قبلی مقیاسهای

آن با کاری و عملیات گونه هر توان

. مطلق صفر مقیاس این در داد انجام

معنی به صفر که معنی این به است

درآمد اگر مثالً باشد می نداشتن وجود

هیچگونه یعنی باشد صفر فردی

. ندارد درآمدی

سوم فصل

توزیعهای هدفو فراوانینمودارها

از ای توده با غالباً پژوهشگراندارند، تفسیر به نیاز که اطالعاتبخشیدن معنی برای که هستند روبروو خالصه را آنها باید اطالعات به . کارامدترین از یکی کنند سازمانبندیسازمانبندی و خالصه برای روشهامی فراوانی توزیع اطالعات کردن

باشد.

فراوانی توزیع

یا ها اندازه دادن سازمان از عبارتستبا همراه طبقات صورت به مشاهدات . فراوانی توزیع طبقه هر فراوانیبه ، مرتب و خالصه بصورت را ها داده ، شود آسان آنها تفسیر که نحوی

. دهد می نمایش

توزیع جدول ساخت مراحلفراوانی

به- 1 کوچک از اعداد کردن مرتب. برعکس یا بزرگ

که- 2 دفعاتی تعداد کردن مشخص ( تعداد است شده تکرار هرعدد

فراوانی(

جدول در تک تک اعداد همه که زمانیفراوانی توزیع جدول ، شوند آوردهمی گفته نشده بندی طبقه یا منفرداعداد. یا ها نمره که زمانی اما شودو هستند ایی گسترده دامنه دارایفراوانی توزیع بصورت اعداد تنظیمفرسا طاقت و وقتگیر نشده بندی طبقهاز و کنیم می بندی طبقه را اعداد است،شده بندی طبقه فراوانی توزیع جدول

. کنیم می استفاده

ها نکته: داده ستون ، فراوانی جدول در ) با) را .xطبقات دهند می نشان

مطلق )نکته: با( fفراوانی است برابرهر در داده هر تکرار دفعات مقدار

طبقه.

مثال :

کالس، یک آمار درس فراوانی توزیع درجدول باشد می ذیل شرح به نمراتفراهم را توزیع به مربوط فراوانی

- 15- 13- 10- 12- 11- 10- 11- 12-10کنید؟ 10

: جواب

X f

1513121110

11224

عدد نکته : ، فوق جدول به توجه 4باستون عدد fدر که اینست 10بیانگر

. است شده تکرار بار چهار

فراوانی )نکته: ستون های داده ( fاگرها داده کل تعداد کنیم جمع هم با را

آید . می بدست

فوق مثال در = 10Nیعنی

FN

شده بندی طبقه فراوانی توزیع

و توزیع یک اعداد تعداد که زمانیزیاد خیلی آنها بین فاصله همچنینبندی طبقه فراوانی توزیع از ، باشد

. شود می استفاده شده

و نکته: بزرگترین بین تفاضل که زمانییا مساوی عدد یا نمره کوچکترین

از فراوانی 20بزرگتر توزیع از باشدشود می استفاده شده بندی طبقه

. نکته : باشند ناسازگار بایستی طبقاتعدد یک یعنی

داده قرار طبقه یک در فقط معینشود.

فراوانی توزیع ساختن نحوهشده بندی طبقه

تغییرات- 1 دامنه تعییناز- 2 استفاده با طبقات تعداد تعیین

استرژ قانون

3 ( فاصله- طبقه هر حجم یا اندازه تعیینطبقات(

طبقات- 4 نوشتنطبقات- 5 فراوانی نوشتن

K

Ri

NLogK 3/31

1 LH XXR

از نکته: بزرگتر طبقات تعداد 20اگروقت به نیاز جدول تنظیم و تهیه باشد

است . بیشتر کار و

از نکته: کوچکتر طبقات تعداد 10اگرو شود می بزرگ طبقات اندازه باشد

. رود می دست از بیشتری اطالعات

( وسط نقاط طبقات نمایندهطبقات(

با را میانی نقاط یا طبقات نمایندهx' می نمایش

دست به زیر فرمول طریق از و دهند: آید می

X طبقه + پایین حد طبقه حدباالی

2

تراکمی فراوانی توزیع

دانستن به عالقمند پژوهشگری اگردر که باشد هایی نمره یا افراد تعداددارند، وجود خاصی عدد یا نمره پایین . دارد تراکمی فراوانی توزیع به نیاز

( با تراکمی می( cfفراوانی داده نشانهای فراوانی کردن جمع از که شوددست به بزرگتر طبقه با طبقه هر ساده

. آید می

کوچکترین نکته: تراکمی فراوانییا ساده فراوانی با برابر همیشه طبقه

. است طبقه آن مطلق

طبقه نکته: بزرگترین تراکمی فراوانییا ) ( ها داده مجموع با برابر همیشه

N. باشد میF

تراکمی و مطلق فراوانی درصد

P = x100

Cf %=

P = x100

Cf %= تعداد كل فراواني ها

P =فراواني مطلق تعداد كل هر طبقهفراواني ها

x100

Cf %=فراواني تراكمي هر طبقه

x100

100N

FP

10000

N

CFCF

فراوانی نمودارهای

درک قابل سرعت به جدول اطالعاتبطور جدول باید کار این برای و نیستمطالعه مورد جزء به وجزء تفکیکنمودار از خاطر همین به گیرد قرارانتقال سرعت که شود می استفاده

است باال آن در اطالعات

برای که تصویری است ابزاری نمودارآوری جمع های داده نمایش و توصیف

. شود می برده کار به شده

: فراوانی نمودارهای انواعهیستوگرام( الف

ستونی( بچندضلعی( ج

تراکمی( چندضلعی دای( دایره و

هیستوگرام نمودار

هم به که ستونهایی از نمودار اینو است شده تشکیل اند شده چسبیدههای داده نمایش برای مناسبی وسیلهمقیاس سطح در متغیرهایی و پیوسته . این در باشد می نسبی و ای فاصله

( طولی محور در ( Yنمودار فراوانی محور در و شود می نوشته مطلق

نوشته ( Xعرضی ) طبقات واقعی حدود. شود می

هیستوگرام نمودار شکل

0

2

4

6

8

10

12

14

16

ستونی نمودار

هیستوگرام نمودار همانند نمودار اینیکدیگر از مجزا ستونها اما استکه شود می استفاده زمانی و هستندمقیاس سطح در و گسسته ها دادهروی نمودار این در ، باشند اسمی

( طولی در( Yمحور و فراوانی تعدادعرضی ) محور نمایش ( Xروی طبقات

. شود می داده

ستونی نمودار شکل

0

5

10

15

20

25

30

35

زن مرد

ضلعی چند نمودار

روی ضلعی چند نمودار رسم برای( طولی و( Yمحور فراوانی تعداد

( عرضی محور میانی( Xروی نقاط . شود می نوشته طبقات نماینده یا

ضلعی چند نمودار شکل

0

1

2

3

4

5

6

7

8

محور نکته: پایان و ابتدا در غالباً می گرفته نظر در طبقه دو افقیاست . صفر آنها فراوانی که شود

خاطر به طبقه دو این کردن اضافهچند محور خاتمه و شروع که اینست

. شود ختم افقی محور به ضلعی

فراوانی نکته: دسته دو که صورتی درهنگام باشد داشته وجود مختلفاحتمال ضلعی چند نمودار ترسیمگیرد قرار هم برروی خطوط اینکهنمودارها مقایسه نتیجه در است زیادنیست پذیر امکان مستقیم صورت بهتبدیل راه بهترین شرایطی چنین درمی نسبت یا درصد به ها فراوانی

100باشد.N

FP

تراکمی ضلعی چند نمودار

که است مفید وقتی نمودار اینیک وضعیت باشد عالقمند پژوهشگرنمره بقیه به نسبت را فرد یک یا نمره . ترسیم برای کند مشخص افراد یا ها

( طولی محور روی در نمودار ( Yاینروی در و تراکمی فراوانی درصد

( عرضی طبقات( Xمحور واقعی حدود. گیرد می قرار

نمودار شکل

0

5

10

15

20

25

4.5 7.5 10.5 13.5 16.5

حدودواقعيطبقات

چند نمودار مختلف شکلهایضلعی

كجي منفي

متقارن

كجي مثبت

چهارم فصل

گرایش های اندازهمرکزی

کردن خالصه و بندی طبقه برایجدول از تری دقیق روشهای اطالعاتاز . یکی باشد می نیاز فراوانی توزیع

موقعیت و جایگاه تعیین روشها ایناست . ها نمره کلی

، نما نام به مرکزی گرایش شاخص سه. دارد وجود میانگین و میانه

نما

مرکزی • گرایش شاخص ترین ساده نماای نمره یا عدد از عبارتست که است

بیشترین دارای فراوانی توزیع در کهاست . فراوانی

توزیع نکته: مرکز در همیشه نمانمی دلیل همین به ندارد قرار فراوانی

به مرکزی شاخص یک عنوان به توان . داشت اطمینان آن

نمایی، نکته: تک است ممکن توزیع یک. باشد نمایی چند نمایی، دو

نما ویژگیهای

می- 1 قرار استفاده مورد زمانیشاخص تعیین به نیاز که گیرد

سریع و تقریبی صورتی به مرکزیباشد.

2. شود- می محاسبه سهولت به

طبقه ای داده در نما محاسبهشده بندی

بیشترین • دارای که ای طبقه پایین واقعی حداست =Lفراوانی

طبقات • فاصله یا = iطول

دارای • که ایی طبقه ساده فراوانی تفاضلساده فراوانی با است فراوانی بیشترین

کوچکتر = d1طبقه

بزرگتر • طبقه با نما طبقه ساده فراوانی تفاضل =d2

)(21

1

dd

diLMO

++=

مثال:

)(21

1

dd

diLMO

2681 d

6282 d

25/63)62

2(35/62

MO

X F

56 -5459 -5762 -6065 -6368 -66

13682

طبقه ←نما

میانه

نمره توزیع در وسط نقطه ها میانهای. نقطه میانه دیگر عبارت به استآن باالی در ها نمره از نیمی که است . دارند قرار آن پایین در دیگر نیم و

با را .mمیانه دهند می نشان

میانه محاسبه مراحل

1. اعداد- کردن مرتبها- 2 داده از نیمی که ای نقطه تعیین

آن از تر پایین دیگر نیمی و باالترهستند.

فرد نکته: ها داده تعداد که صورتی دروسط در که است عددی میانه باشدتعداد که صورتی در اما و دارد قراراز عبارتست میانه باشد، زوج ها دادهواقع وسط در که ای نمره دو معدل

. شوند می

مثال:

13-10-8-5-19- 7 - 6 - 4

6/5

طبقه های داده در میانه محاسبه) فراوانی ) جدول در میانه شده بندی

ها- )1 فراوانی کل تعداد ( Nتقسیمدو بر

یعنی- 2 ، میانه طبقه کردن مشخصآن تراکمی فراوانی که ای طبقه

. باشد از بزگتر یا مساوی 3. فرمول- در مقادیر جایگزینی

2

N

های داده در میانه محاسبه فرمولشده بندی طبقه

if

CFN

Lm

)2(L= میانه که ای طبقه واقعی پایین حد

قراردارد آن درN= ها فراوانی کل تعدادCF= از کوچکتر طبقه تراکمی فراوانیمیانهf= میانه طبقه ساده فراوانیi = طبقات فاصله

را: زیر فراوانی توزیع میانه مثال. کنید محاسبه

x f cF

44-4039 -35

34-3029 -25

24-2019 -15

14-10

8756

1086

5042353024146

50f

طبقه ← میانه

if

CFN

Lm

)2(

3/255)6

2425(5/24

m

برای نکته: که عددی باید همیشهمیانه طبقه در آید می بدست میانهمحاسبه در صورت این غیر در باشد. است گرفته صورت اشتباهی میانه

میانه ویژگیهای

کوچک- 1 یا بزرگ اعداد به نسبت . بهترین بنابراین نیست حساسدر را اعداد تمرکز که است شاخص

. دهد می نشان توزیع وسط

ها- 2 نمره انحرافهای مطلق قدر مجموعقدر مجموع مساوی یا کوچکتر میانه ازعدد هر از ها نمره انحرافهای مطلق.) ( عالمت گرفتن نظر در بدون است دیگری

CXmX

ها نمره انحرافات مطلق قدر(6میانه) 4 5 7 9

45679

21013

01235

10124

32102

54320

7 11 8 8 14

میانگین

شاخص معتربرترین و مشهورترین . میانگین است میانگین مرکزی گرایش

از گروهی حسابی معدلهاست . نمره

= ميانگي

ن

حاصل جمع كل تعداد كل نمره هانمره ها N

XX

توزیع جدول در میانگین محاسبهفراوانی

X f fx

1817151211

12235

1834303655

13 1733/13

13

173X

N

fXX

طبقه اعداد میانگین محاسبهشده بندی

طبقه اعداد میانگین محاسبه برایمیانی نقاط باید ابتدا شده بندی

( تعداد'( Xطبقات بعد و محاسبه رامیانی نقطه در را طبقه هر فراوانیضربها حاصل مجموع و ضرب طبقات

. کرد تقسیم فراوانیها کل تعداد بر را

شده بندی طبقه اعداد میانگین محاسبه

X f

9 -514 -1019 -15

24-20

3755

7121722

218485110

X Xf

30020

N

XfX

1520

300X

( میانگین میانگین مرکب میانگینها(

مرکب میانگین محاسبه برای روش دو. دارد وجود

: از یک هر حجم که صورتی در الفاز یک هر اعضای تعداد یا ها نمونه . مرکب میانگین باشد مساوی گروههاتقسیم ها میانگین مجموع از عبارتست

) ها ) میانگین ها گروه تعداد برN

XX T

TX میانگین =مرکب

N= تعدادها میانگین

مثال:

X N

101520

101010

45

153

45TX

حجم: دارای ها گروه که صورتی در بباشند نامساوی

N

nXX T

n = فراوانی تعداگروه هر

N = کل تعدادفراوانی

مثال:

X n nX10

12

16

5

8

10

50

96

16023 306

3/1323

306TX

هندسی میانگین

ریشه با است برابر هندسی Nمیانگینها داده یا اعداد ضرب حاصل ام

: جمعیت یا اقتصادی کارهای در مثالشناسی

NNXXXG ))...()(( 21

416)8)(2( G

) هارمونیک ) همساز میانگین

برق: های شبکه ومطالعه سنجی درعینک مثال

)1

...11

(1

1

21 XNXXN

HM

2/3)

61

41

31

21

(41

1

HM

2-3-4-6

ها میانگین بین رابطه

) ( ، حسابی های میانگین بین همیشه)Gهندسی) هارمونیک( رابطه( HMو

. است برقرار زیر

X

HMGX

میانگین ویژگیهای

فراوانی- 1 توزیع اعداد تک تک به. است حساس

به- 2 نسبت بیشتری ثبات دارای. است نما و میانه

یک- 3 مختلف های نمونه در میانگینبه میانه و نما از بیشتر جامعه

. باشند می نزدیک همدیگر

ثابتی- 4 عدد با ها داده یا اعداد تمام اگرشوند تقسیم یا ضرب یا تفریق یا جمع

ضرب ، تفریق ، جمع عدد آن در میانگین. شود می تقسیم و

میانگین- 5 از ها نمره انحراف مجموع. است صفر برابر

0)( XX

نمره- 7 انحراف مجذورهای مجموعیا کوچکتر همیشه میانگین از هاانحراف مجذور مجموع با مساوی

. است دیگری عدد هر از ها نمره

22 )()( XX

میانگین ، میانه نما، مقایسه

XmMo

X m Mo Mo m X

XmMO

XmMO

XmMO

منحنی اگرباشد نرمال

کجی اگرباشد مثبت

کجی اگرباشد منفی

پنجم فصل

شاخصهای پراکندگی

میزان پراکندگی، شاخصهایداده بین در که تغییراتی یا پراکندگیمی نشان را دارد وجود توزیع یک های

وجود. دهند توزیعهایی است ممکنآنها میانگینهای که باشند داشتهدر آنها پراکندگی ولی باشد مساوی

. باشد داشته اختالف میانگین اطراف

میانگینهای با هوش آزمون دو توزیعهایمساوی

پراکندگی شاخصهای انواع

: تغییرات دامنه الف : چارکی انحراف ب

: واریانس ج. : استاندارد انحراف د

: تغییرات دامنه

1 LH XXR

ضرورتاً نکته: پراکندگی فقدان یا وجودهدف به بستگی بلکه بد نه است خوب نه

. دارد پژوهشمیزان : تعیین که صورتی در مثالً

باشد نظر مد گروه یک معلومات . در ولی است مطلوب زیاد پراکندگی

مطالب یادگیری میزان که صورتیکم پراکندگی باشد نظر مد شده تدریس

. است مطلوب

تغییرات نکته: دامنه اینکه دلیل بهو بزرگترین بین پراکندگی فقط

کند می تعیین را ها نمره کوچکترینبه ها نمره توزیع توصیف به قادر

. نیست حقیقی صورت

پایدار نکته: شاخص یک تغییرات دامنهتغییر با آن مقدار زیرا نیست پراکندگی

) تغییر ) بزگترین یا کوچکترین نمره یک. کند می

چارکی انحراف

در را پراکندگی میزان شاخص ایننشان ها نمره توزیع مرکز اطراف

. دهد می

213 QQ

Q

Q = انحراف چارکی

3 Q سوم = چارک

1 Q چارک = اول

75/0نقطه

نقطه 25/0

د اعدا در چارکی انحراف محاسبهشده بندی طبقه

if

CFN

LQ

41 i

f

CFN

LQ

43

3

L = آن در سوم یا اول چارک که ایی طبقه پایین حداستN = ها داده تعدادCF = که ای طبقه از قبل طبقه تراکی فراوانی

دارد وجود آن در سوم یا اول چارکf = سوم یا اول چارک که ایی طبقه مطلق فراوانی

است آن درi = طبقات فاصله

اعداد در چارکی انحراف محاسبه مراحلشده بندی طبقه

یا- 1 آوردن دست به

تراکمی- 2 فراوانی که ای طبقه کردن پیدابزرگتریا آن

. باشد یا با مساوی

چارک- 3 فرمول در اعداد کردن جایگزین. سوم و اول

چارکی - 4 انحراف محاسبه

4

N4

3N

4

3N

4

N

213 QQ

Q

را: چارکی انحراف زیر توزیع در مثال. کنید محاسبه

X f CF

14-1312-1110-98-76-54-3

343321

16139631

16

44

16

4

N12

4

3

N

16/72)3

34(5/61

Q

122)4

912(5/103

Q

42/22

16/712

Q

تحت نکته: میانه همانند چارکی انحرافکوچک یا بزرگ خیلی های نمره تأثیر

. گیرد نمی قرار

زمانی نکته: آن استفاده مورد بهترینخیلی یا بزرگ خیلی های نمره که است

ازبین را ها نمره توزیع شکل کوچک. برد می

قدر میانگین یا متوسط انحرافانحرافات مطلق

از یکی از عدد هر بین فاصله آمار درمی نامیده انحراف مرکزی های شاخصاز انحرافات مطلق قدر میانگین و شودمی متوسط انحراف نیز را میانگین

گویند.

عالئم نکته: متوسط انحراف محاسبه در. شود نمی گرفته نظر در

NMD

N = داده تعداد

Xها

انحراف نکته: محاسبه طریقهبندی طبقه های داده برای متوسطشده بندی طبقه اعداد همانند نشدهانحراف ابتدا که تفاوت این با استشود، می محاسبه طبقات نمایندهمی ضرب طبقات فراوانی در سپستعداد بر تقسیم نهایت در و شود

. شود می ها داده

N

FMD

به نکته: توزیعی از آن مقداربه دیگر توزیعی

تغییر دستخوش چشمگیری صورت. شود می

واریانس

انحراف محاسبه در اینکه دلیل بهمحاسبه در و اعداد عالئم متوسطارزشهای کلیه چارکی انحرافبررسی مورد اعداد تمام مقداریشاخص یک گیرند نمی قراراست الزم معتبر و ثبات با پراکندگیمورد نمره کلیه عددی ارزشهای که . شاخص این گیرد قرار استفاده

. باشد می واریانس

انحراف میانگین از عبارتست واریانسمجذورات مجموع یا میانگین از ها نمرهبر تقسیم میانگین از ها نمره انحراف

ها . نمره تعداد . واقع در دهند می نشان با را واریانس

و نمونه واریانس دادن نشان برایکار به جامعه واریانس دادن نشان برای

. شوند می برده

: محاسبه نکته را بخواهیم که زمانیمخرج می Nکنیم

محاسبه را بخواهیم که زمانی و باشدمخرج کنیم

1-N. باشد می

2S

2S

2

2

طبقه اعداد واریانس محاسبهنشده بندی

NNX

Xs

22

2

)(

مثال: کنید محاسبه را زیر اعداد واریانس

8-6-4-2

2X2468

4163664

20 120

NNX

Xs

22

2

)(

54

4)20(

1202

2

s

X

طبقه اعداد واریانس محاسبهشده بندی

NNFX

FXs

22

2

)(

مثال

22X FXX F X FX

4 -27 -5

10 -813 -11

1223

369

12

3121836

93681

144

972

162432

69 270 675

NNFX

FXs

22

2

)(

98/98

8)69(

6752

2

s

میانی Xنکته: نقطهاست طبقات

استاندارد انحراف

،انحراف واریانس جذرباشد می استاندارد

: برای نکته که روشهایی تماممی برده بکار واریانس محاسبهانحراف آوردن بدست برای شوند

. دارند کاربرد هم استاندارد

2 2SS

: به نکته ثابتی عدد که صورتی دراز یا شود اضافه توزیع یک اعداد همهانحراف و واریانس شود کم آنهااگر اما کرد نخواهد تغییری استانداردشود ضرب خام اعداد در ثابتی عددانحراف و واریانس در عدد همان

. شود می ضرب استاندارد

مرکب استاندارد انحراف محاسبه

22222

...

...)()(T

BA

BBBAAAT X

NN

SXNSXNS

TT N

nXX

مثال

X

A B C

N 70 20 10

10 9 8

250 250 160

6/9100

)7010()209()108(

TX

53/1516/926/333)6/9(702010

)25010(70)2509(20)1608(10 2222

TS

2S

: استاندارد انحراف ویژگیهای

شاخص- 1 معتبرترین استاندارد انحراف. است پراکندگی

باشند- 2 باال نمرات پراکندگی اگر. شد خواهد بزرگ استاندارد انحراف

) ( پراکندگی تغییرات ضریب

نسبت با است برابر ضریب اینکه میانگین به استاندارد انحرافمی بیان درصد صورت به اغلببرای. عمل در ضریب این شود

. رود می بکار مقایسه

100X

SV

ای: کارخانه تولید 2مثال الستیک نوعترتیب. به اول نوع و اگر و 10000میکند

اگر 2000 و به کیلومترباشد دوم نوع وکدام 1000و 11000ترتیب کیلومترباشد،

است؟ بهتر الستیک نوع

X

XSS

20%)100)(10000

2000(

9%)100)(11000

1000(

v1 =

v2=

هم نتیجه : زیرا است بهتر دوم نوعبیشتر ان عمر هم. میانگین و است

است کمتر ان تغییرات ضریب

از ای دسته به استاندارد انحرافکه توصیفی آمار شاخصهایتعلق ، شوند می نامیده گشتاورها

دارند.

N

XXm

4

4

)(

اصلی فرمول ←

رتبه: گشتاوری مثال ← چهارم

N

XXMr

r

)(

با منحنی کجی دادن نشانچارکها از استفاده

1223 QQQQ

1223 QQQQ

مثبت =کجی

=متقارن

1223 QQQQ منفی =کجی

کشیدگی

پراکندگی نحوه بیانگر کشیدگیاست توزیع

كشيدگي منفي (پراكندگي زياد (

كشيدگي مثبت(پراكندگي متوسط(

(پراكندگي 0كشيدگي خيلي كم(

ششم فصل

های نمرهاستاندارد

. است دشواری کار خام نمرات تفسیرتعیین نمرات تفسیر برای راه بهترینکه معنی بدین است توزیع در نمره جایو است میانگین پایین یا باال در نمره آیاباالتر یا و تر پایین نمرات درصد چند یا. دارند قرار نظر مورد نمره از

از یک هر نسبی موقعیت تعیین برای. دارد وجود مختلفی شاخصهای اعداد

های نمره و نسبی رتبه درصدی، رتبهاستاندارد

براساس را ها نمره محل و موقعیتو میانگین

ها نمره توزیع استاندارد انحراف. کنند می مشخص

رتبه درصدی: رتبه درصدی، رتبهنمره توزیع در داده یا نمره یک نسبی

مقیاس اساس بر را ها داده یا 100ها . واقع در درصدی رتبه کند می تعیینکه است ها داده یا ها نمره از درصدینظر مورد داده از تر پایین توزیع در

. درصدی رتبه معنی دارند این 80قرارکه این 80است زیر در ها نمره درصد

. اند شده واقع نمره

معنی نکته: دارای صورتی در درصدی رتبهتمام که باشد می محاسبه قابل و است. باشد دست در توزیع یک نمرات

نمره- نکته: صفر به نزدیک درصدی رتبه. است پایین

به- نزدیک درصدی به 50رتبه نزدیک. است میانگین

به- نزدیک درصدی خیلی 100رتبه نمره. است خوب

اساس نکته: بر نمره یک درصدی رتبهنمره تعداد

است بزرگتر آنها از نمره این که هاییمی محاسبه

شود.

درصدی نقاط

توزیع که هستند اعدادی درصدی نقاطمی تقسیم مختلف درصدهای به راهای. رتبه عکس درصدی نقاط کنندرتبه محاسبه در باشند، می درصدیرتبه عدد یا نقطه یک داشتن با درصدینقاط در ولی شد، می محاسبه آنمشخص نمره درصد یا رتبه ، درصدیکه نظر مورد داده یا نمره باید و استتقسیم جداگانه درصدهای به را ها داده

. کرد پیدا است، کرده

می نکته: نشان با را درصدی نقاطصورت . به درصد نودمین مثالً دهند

. شود می نوشته

برده نکته: کار به زمانی درصدی نقاطیک از بخواهد پژوهشگر که شوند میرا تعدادی یا قسمتی جامعه

. کند انتخاب

نکته:

XP90P

251 PQ 753 PQ 50PmMd

درصدی نقاط محاسبه

( Pضرب- 1 نظر ) مورد درصدی نقطهNدر

تراکمی- 2 فراوانی ستون تشکیلفراوانی- 3 که ای طبقه کردن پیدا

از بزگتر یا مساوی آن PNتراکمیباشد.

4. فرمول- در مقادیر جایگزینی

نقطه: را 60مثال درصدیکنید محاسبه

X f CF

13-1411-129-10

7-85-63-41-2

1245431

20191713

841

iF

CFPNLPX )(

12. NP

1/82)5

812(5/660

P

دهکها

ده به را توزیع که هستند نقاطی دهکهاکنند . می تقسیم مساوی قسمت

توزیع هر در .9بنابراین دارد وجود دهک

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

101 PD ...و: نکته202 PD

استاندارد های نمره

توان نمی درصدی رتبه طریق ازچه تا فرد یک نمره که کرد مشخص . است بهتر دیگر افراد نمره از اندازههای نمره در جزئی تغییر بعالوهموجب پایین یا باال خیلی درصدیلذا شود می خام های نمره در اختالفبرای خوبی مالک استاندارد های نمرهها نمره یا افراد وضعیت دادن نشان

. هستند میانگین به نسبت

می نکته: نشان استاندارد های نمرهباال در محلی چه در نمره یک که دهند

. اند شده واقع میانگین پایین یا

کنند نکته: می تعیین استاندارد نمراتباالتر استاندارد انحراف چند نمره یک

. دارد قرار میانگین از تر پایین یا

استاندارد نمرات ویژگیهای

می بدست خام های نمره از مستقیمااندازه. دهنده نشان دلیل همین به آیند

. هستند خام اعداد از یک هر

Z نمره

است Zنمره بنیادی استاندارد نمره یکاز خام نمره انحراف از عبارتست وانحراف بر تقسیم میانگین

استاندارد.

)( XX

xX

Z

S

XXZ

یا

و: که آزمون یک در مثالعدد استاندارد نمره محاسبه 95است را

کنید.

به نکته: تبدیل ها داده تمام شوند Zاگرکه آید می دست به جدیدی توزیعانحراف و صفر برابر آن میانگین. بود خواهد برابریک آن استاندارد

75X10S

210

7595

Z

10S

75X

95X

های نمره Zویژگیهای

میانگین از بزرگتر خام نمره اگرنمره مساوی Zباشد اگر مثبت،

باشد کوچکتر Zمیانگین اگر و صفرباشد میانگین .Zاز شد خواهد منفی

نمره استفاده Zمواردمختلف ویژگیهای در فرد عملکرد مقایسه

علوم Zعلوم

ریاضی

Z ریاضی

میانگینانحراف

استاندارداحمد نمره

721560 -0.8

502035 -0.75

فیزیک و ریاضی آزمون دو اجرای از حاصل نتایج

مقیاسهای با ازمون دو این چوناعداد , مقایسه امده عمل به و 60مختلف

35 . دو ی ها نمره اگر ندارد مفهومیفراوانی منحنی دارای تقریبا ازمون

, کردن استاندارد از بعد تنها باشند نرمال. کرد مقایسه هم با را انها توان می

. است بهتر ریاضی در علی این بر بنا

.0.8<-0.75زیرا- است

نمره Zمعایب

جامعه- 1 افراد کلیه برای سادگی بهتفسیر .قابل نیستند

و- 2 منفی موارد از برخی در نمره اینمی موجب امر وهمین است اعشاریدرک افراد تمام را آن معنی که شود

نکنند.

Tنمره

نمره از استفاده در Zدر پژوهشگرو منفی های نمره با موارد از برخی . و درک مسأله این روبرواست اعشاری . از برای کند می دشوار را آن تفسیر

نمره اعشار بردن عدد Zبین در را ( ( Sثابتی بردن بین از برای و ضرب

نمره منفی ثابتی ) Zعالمت عدد با راکه ( است عددی حاصل کنند می جمع

آن . Tبه گویند می

X

XZST

تبدیل نکته: نتیجه و Tبه Zدر میانگینیک و صفر جدید توزیع استاندارد انحراف

. شد نخواهد

نمره نکته: همیشه Tنمره Zبرعکس. است مثبت

عین نکته: در و ترین معمول از یکینمره تبدیل روش ترین ساده Zحال

میانگین با توزیعی انحراف 50به و.10استاندارد است

5010 ZT

هفتم فصل

منحنی طبیعی

اعداد یا نمرات از زیادی تعداد اگربه متغیر یک گیری اندازه به مربوطنشان نمودار یک روی را قد مثال طورزنگوله مانند نمودار شکل دهیممنحنی ، شکل این به که شد خواهد

. گویند می استاندارد یا طبیعی

XMm

- +

ریاضی منحنی گاووس وسیله به طبیعیگاووس . است شده کشف آلمانی دانهای مشاهده در که را خطاهایی توزیع

مطالعه بود شده انجام شناسی ستارهنشان نمودار صورت به را آنها و کردرا . طبیعی منحنی خاطر همین به داد

. گویند می نیز گاووس منحنی

فیزیکی نکته: حوادث از خیلی منحنی . است طبیعی وزن قد، مانند

زیر شرح به ای معادله دارای طبیعی منحنیاز نقطه هر در را منحنی ارتفاع که Xاست

. دهد می نشان

2

2

2

)(

2

1

X

ey

14/3

Y = X از ای نقطه هر در منحنی ارتفاع

μ = میانگین

σ = انحراف استاندارد

X = شده گیری اندازه متغیر

و نکته: میانگین به طبیعی توزیع شکلبه دارد بستگی استاندارد انحراف

انحراف و میانگین که دفعه هر عبارتیتوزیع منحنی کند تغییر استاندارد

. کرد خواهد تغییر طبیعی

متغیری نکته: بگوییم بخواهیم هرگاهرا Xمانند آن است طبیعی توزیع دارای

دهیم می نشان بصورت

X~N)μ¸σ)2

طبیعی منحنی ویژگیهای

و- 1 است متقارن طبیعی منحنیقرار میانگین در آن ارتفاع حداکثر

دارد.و- 2 میانه میانگین، طبیعی منحنی در

. دارند قرار هم روی بر نما

محور- 3 با منحنی های Xدنبالهاز . منحنی بنابراین هستند موازی

این عمل در ولی دارد ادامه تااز .3تا- 3منحنی باشد+ می

زنگوله- 4 شکل به طبیعی منحنیاست.

های نکته: منحنی شکل در اختالفپراکندگی در اختالف دلیل به طبیعی

. است آنها

+∞-∞

استاندارد طبیعی منحنی

منحنیهای کردن یکسان برایتوان می طبیعی مختلف توزیعهایاستاندارد های نمره توزیع به را آنها

.Zنمره) کرد ( تبدیلتوزیع های نمره که هنگامی بنابراینمی تبدیل استاندارد های نمره بهو صفر میانگین با توزیعی شودآید می بدست یک استاندارد انحرافاستاندارد طبیعی منحنی آن به که

. گویند میS

XXZ

استاندارد( Xمحور)نکته: طبیعی منحنینه Zبراساس شود می بندی تقسیم

خام . نمره

استاندارد: نکته منحنی در مرز بهترینکه باشد می صفر Zمیانگین با برابر آن

هم نما و میانه همان واقع در که است. باشد می

طبیعی منحنی زیر سطحاستاندارد

0

5

10

15

20

25

30

35

40

%68/26

%95/44

%99/72

0 1-1 2 3-2-3

هشتم فصل

همبستگی

می اتفاق طبیعت در متعددی حوادثرابطه یا همبستگی آنها بین که افتد

. بین رابطه از منظور دارد وجودمعلولی علت رابطه وجود متغیرها

نیست.

متغیر همبستگی نکته: دو بین رابطهکه کند می توصیف را جامعه در

را یکی را را Xمتغیرها دیگری Yو. نامند می

با )ضریب نکته: نشان( rxyهمبستگی . هم همبستگی ضریب شود می داده

بیان را رابطه شدت هم و رابطه جهت. کند می

نشان -/+ نکته: عالمت با همبستگی جهتقدر با همبستگی شدت و شود می داده

مطلق .

می نکته: همبستگی ضریب باالترینباشد.

1

پراکندگی نمودارهای

که روشهایی از به یکی توان میرا متغیر دو بین همبستگی آن وسیله

. است پراکندگی نمودار داد نشان

: پراکندگی نمودار مختلف اشکال : متغیر افزایش با که زمانی Xالف

.Yمتغیر کند می پیدا افزایش هم

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

5 10 15 20

1rxy

متغیر: ) یک افزایش با اگر دیگر( Xب متغیر(Y )کند کاهش پیدا

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

5 10 15 20

1rxy

متغیر: متغیر، یک افزایش با که زمانی جافزایش مقادیر ولی کند پیدا افزایش دیگر

مستقیم رابطه نباشد بود یکسان خواهد. نیست کامل ولی

y مثال

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

65.0rxy

مقدار: متغیر یک افزایش با که زمانی دمقادیر اما کند می پیدا کاهش دیگر متغیر

. نیست یکسان

مثالً

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

65.0rxy

وجود: متغیرها بین ای رابطه که زمانی هباشد نداشته

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25

0rxy

به متغیرها بین رابطه مواقع از برخی درمنحنی شبیه بلکه نیست خطی صورت

است.

همبستگی ضریب محاسبه

همبستگی ضریب محاسبه برای . است شده تدوین متعددی شاخصهایپر حال عین در و معروفترینمی برده کار به زمانی آنها مصرفترینبا مطالعه مورد متغیرهای که شودیا ای فاصله مقیاس از استفاده . این باشند شده گیری اندازه نسبیو تهیه پیرسون کارل توسط روشضریب و است گردیده تنظیمنامیده پیرسون گشتاوری همبستگی

. شود می

همبستگی ضریب محاسبه برای: دارد وجود روش سه پیرسون

خام- 1 اعداد از استفاده

2222 )()(

))(()(

YYNXXN

YXXYNrxy

2X YX Y XY

101558

12

1514111312

1002252564

144

225196121169144

15021055

104144

50 65 558 855 663

54/0)65()855(5)50()558(5

)65)(50()663(522

rxy

2

راه- 2 از همبستگی ضریب محاسبهمیانگین : از انحراف

22 yx

xyrXY

مثال:

2

2χ yX Y χ y χy

101558

12

1514111312

055-2-2

212-01-

0252544

41401

05

1002

50 65 58 10 13

2

54/01058

13

rxy

راه از همبستگی ضریب محاسبهاستاندارد نمرات

N

ZxZyrxy

مثال:

X Y Zx Zy ZxZy101558

12

1514111312

01/47

-1/47-0/59+0/59

1/410/71

-1/410

-0/71

01/042/10

-0/4250 65 2/72

54/05

72/2rxy

اسپیرمن همبستگی ضریب

از صورتی اسپیرمن همبستگی ضریببه زمانی و است پیرسون همبستگی ضریببندی رتبه ها نمره که شود می برده کارآنها های رتبه اعداد جای به یا باشند شده

. باشد دردست)1(

61

2

2

NN

DP

P = رتبه همبستگی ضریباسپیرمن ای

N = یا ها داده تعدادها نمره

تفاوت مجذورها رتبه

2D

همبستگی ضریب محاسبه مراحلاسپیرمن ای رتبه

متغیر- 1 به Xاعداد بزرگ از ترتیب بهمرتب کوچک( کنیم اعداد( Rxمی آن از بعد Yو

هرعدد به ستون Xمربوط در ها Yرامی رتبه آنها به و دهیم می قرار

( Ryدهیم )

2 -Ry از اختالف Rxرا و کنیم می کمرا Dآنها

نامیم . می

3 - D مجموع و رسانیم می دو توان به را ها. کنیم می محاسبه را آنها

فرمول- 4 در را آمده دست به مقادیر. کنیم می جایگزین

تکرار نکته: بار چند عدد یک مواقع بعضیاین در است شده

کرده جمع هم با را اعداد های رتبه مواقع . به نتیجه کنیم می تقسیم آنها تعداد بر و

. باشد می شده تکرار اعداد رتبه آمده دست

زیر های داده اسپیرمن همبستگی ضریب. کنید محاسبه را

2X Y Rx Ry D D47464545454341

38513239415048

1244467

6175423

-51-3-1

044

251910

161668

21/0)17(7

)68(61

2

P

تأثیر همبستگی ضریب بر که عواملی: گذارند می

جامعه- 1 به ای جامعه از رابطه اساس. کند می فرق دیگر

سنین در بشر افراد در 10-16مثالً توانایی و تقویمی سن بین سالگیوجود باالیی همبستگی فیزیولوژکیسنین. در متغیر دو این بین ولی دارد

26-20. ندارد وجود همبستگی سالگی

مختلف- 2 جوامع در متغیرها پراکندگیچه هر که معنی بدین است متفاوتکمتر همبستگی باشد بیشتر تجانسدانشکده. یک در مثال، عنوان به است ) بازی) در موفقیت و قد بین جامعهوجود باالی و مثبت همبستگی بسکتبالچنین. کشور یک بسکتبال تیم در اما دارد

. ندارد وجود ای رابطه

تأثیر- 3 تحت متغیر دو بین همبستگیبا آنها به همبستگی دارد قرار ثالثی متغیر

و فیزیک بین همبستگی ، مثال عنواناین همبستگی دلیل به است ممکن ریاضی

. باشد هوش با متغیرها

بر نکته: نباید همبستگی ضریب تفسیر . مثالً باشد نسبت و درصد rxy= 70/0حسب

تبیین را متغیرها بین رابطه درصد هفتادکندو برابر rxy= 90/0نمی دو = 45/0دقیقاً

rxy. نیست

تعیین ضریب

ن میزا دهنده نشان تعیین ضریبمتغیر که است ( Xتأثیری ( در مستقل

( Yمتغیر ( به یا کند می ایجاد وابستهتوان می ضریب این محاسبه با عبارتی

واریانس کل از درصد چند کرد Xتعیینواریانس از .Yناشی است

منفی نکته: وقت هیچ تعیین ضریبآن محاسبه برای زیرا شد نخواهد

. شود می مجذور همبستگی ضریب

)100()( 2rxyV

نهم فصل

و رگرسیونبینی پیش

بین که وجود زمانی همبستگی متغیر دوطریق از توان می باشد داشته

( متغیر یک مقدار روی( Yرگرسیون از رادیگر ) متغیر برآورد( Xیک یا بینی پیش

متغیرها بین همبستگی چه هر و ، کردبینی پیش اندازه همان به ، باشد باالتر

. است دقیقتر

بینی نکته: پیش متغیر بین رابطهبینی( Yشونده ) پیش متغیر و

شدت( Xکننده ) و عالمت تابع. است همبستگی ضریب

استاندارد های نمره بینی پیش(Z)

استفاده در که روشی ترین مقدماتیبرای پیرسون همبستگی ازضریب

نمره شود می برده کار به بینی پیش. است استاندارد های

))(( XYrZxZy

رگرسیون

متغیر دو بین همبستگی که زمانیشده بینی پیش نمرات باشد پایینبینی پیش نمره میانگین به نزدیک . این به واقعی نمره تا هستند شونده

. گویند می رگرسيون پدیده

: متغیر نکته دو بین همبستگی میزانرا رگرسیون اتفاق مقدار یا حدود

کند . می تعیین

بار نکته: اولین رگرسیون پدیدهقرار استفاده مورد گالتن بوسیله .، گالتن مطالعات اساس بر گرفتقد بلند قد، بلند والدین فرزندان . به. خود والدین اندازه به نه اما هستندقد کوتاه والدین فرزندان ترتیب همینکوتاهی به نه اما هستند قد کوتاه ،

. خود والدین

رگرسیون خط

پیش های نمره با رابطه در که خطینامیده رگرسیون خط است شده بینی . که است خطی عبارتی به شود میمی حداقل به را بینی پیش خطاهای .) یعنی) مجذورها حداقل خط رساند

فاصله مجذور مجموع از Yاینکه هاهر فاصله از کوچکتر رگرسیون خط

محور تا دیگری .Yخط باشد می ها

برازنده نکته : خط را رگرسیون خط. نامند می نیز

بین نکته: واقعی )اختالف و( Yنمرهخطای ) ( را شده بینی پیش نمره

بینی .eپیش گویند میy'

yye

X

نمره واقعي

نمره پيش بيني شده

رگرسیون خط معادله

متغیر روی از متغیر یک بین پیش برایاستفاده رگرسیون خط معادله از دیگر

. شود میخط : معادله فرمول

y' =a +bx

a = با رگرسیون خط تالقی محل یامبدأ از عرض محورایگرگ

b = خط شیب

X = داریم اختیار در را آن مقدار که متغیری

y‘ کنیم بینی پیش خواهیم می که = متغیری

مقدار نکته: مواقع اختیار bو aبعضی درمقادیر جایگزینی با صورت این در است. باشد می ساده خیلی محاسبه

X

Y

خط رگرسيون

b

a

مقدار نکته : مواقع اختیار bو aبعضی درمقادیر جایگزینی با صورت این در است. باشد می ساده خیلی محاسبه

: مثال

X = 0X = 1X = 4X = 8

Y = 4 + 2 )0) = 4Y = 4 + 2 )1) = 6Y = 4 + 2 )4) = 12Y = 4 + 2 )8) = 16

ضرایب محاسبه b و aروش

a وb محاسبه توان می روش دو به راکرد:

: در خام ی ها داده که زمانی الفسری ویک باشیم نداشته اختیار

. باشند داده ما به اطالعات : خام های داده و اطالعات که زمانی ب

باشیم . داشته اختیار در

اطالعات bو aمحاسبه روی ازثانوی

X

Y

S

Srxybyx

Y

X

S

Srxybxy

byx و bxy = رگرسیون خط شیب

rxy = همبستگی ضریب

Sy = y استاندارد انحراف

Sx = x استاندارد انحراف

)(xbyxyayx

axyayx,

yx,

byxbxy,

)(ybxyxaxy

از عرضمبدأ

میانگین

شیب خط

های bو aمحاسبه داده روی ازخام

22 )(

))((

XXN

YXXYNbyx

N

XbYa YX

yx

رگرسیون: خط معادله زیر های داده برای مثالآورید؟ دست به را

2

2X YX Y XY

695

897

368125

648149

488135

20 24 142 194 164

46/0)20()142(3

)24)(20()164(32

byx

93.43

)20)(46/0(24

ayx

)(46/093.4 Xy

2

برآورد استاندار خطای

و شده بینی پیش نمرات بین مواقع اکثراین به دارد وجود تفاوت مشاهده نمراتمی برآورد استاندارد خطای اختالف

گویند.

: متغیرها نکته بین همبستگی چه هرکمتر بینی پیش خطای باشد بیشتر . محاسبه روش دو به خطا این بود خواهد

. شود می

xyrSS yyx21

N

eS yx

2

Syx = بینی پیش استاندارد خطای

Sx = x استاندارد انحراف

Sy = y استاندارد انحراف

rxy = همبستگی ضریب

e = بینی پیش خطای