ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ _2013_ΔΙΑΜΑΝΤΗ ΤΣΕΚΟΥΡΑ

Διαμαντής Α. Τσεκούρας

1

Συλλογή Επαναληπτικών Θεμάτων Εκδόσεις Τσεκούρα

Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & Β΄ΟΜΑΔΑΣ ΕΠΑ.Λ. Τρίτη 2 Απριλίου 2013

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΘΕΜΑ Α

Α1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση

f (x) = x ν

, νΝ – {0,1}.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει

f ΄(x) = ν x ν – 1

. ΜΟΝΑΔΕΣ 10

Α2 . Να διατυπώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της

γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + ∞. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Α3 . Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

1. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και

παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, θα λέμε ότι η συνάρτηση f

στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, εάν η f είναι

γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ 2

2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα Δ. Eάν η f

δεν είναι «1 -1» στο Δ υπάρχει x 0Δ ώστε f ΄(x0) = 0.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2


2


3. Εάν η f συνεχής στο [α,β], ισχύει

f (x t) dt

= f (x – α) – f (x – β).

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

4. Εάν Α (x1 ,y1) και Β (x 2 ,y2) ,Ο (0,0) είναι οι εικόνες των

μιγαδικών z1 = x1 + y1 i , z2 = x2 + y2 i , τότε ΟΑ ΟΒ, τότε ισχύει

Re(z1 2z ) ≠ 0.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

5. Εάν η f έχει πεδίο ορισμού το , τότε δεν έχει κατακόρυφη

ασύμπτωτη.

ΜΟΝΑΔΕΣ 2

ΘΕΜΑ Β

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w και u για τους οποίους

ισχύει

(2z + 3 + i) (2 z + 3 – i ) + |(1 + i)w + 1 + 2i | i = 36 + i 2

και

u = λ + μ i + 4

i με λ, μ[– 2 , 2 ] και

μ2 = ( 2 – λ)( 2 + λ) .

Β1 . Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, w

και u.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

Β2 . (i) Nα αποδείξετε ότι

|u |2 + |u

2 – 16 | = 20 .

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

(i i) Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου | z – w|.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4


3


Β3 . Επίσης θεωρούμε τους μιγαδικούς u 1 , u2 για τους οποίους ισχύει

ότι

η εικόνα του u1 κινείται πάνω στην ευθεία

(ε1): 10x – 2y + 5 = 0 και

ισχύει η ισότητα

u2 = (1 + i)u1 + 1u .

(i) Να βρείτε την ευθεία (ε 2) πάνω στην οποία κινείται η εικόνα

του μιγαδικού u 2 .

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

(i i) Να βρείτε τη σχετική θέση των γεωμετρικών τόπων των

μιγαδικών z, w με τον γεωμετρικό τόπο του μιγαδικού u 2 .

ΜΟΝΑΔΕΣ 3

(i i i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των

|z – u2 | και |w – u2 | .

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

ΘΕΜΑ Γ

Θεωρούμε τις συναρτήσεις

f (x) = 4x2lnx –

4

3x

3 – 2x

2 + 4x + 5, x(0,+ ∞).

g (x) = x3 + λx – 6x lnx, x(0 ,+ ∞) με λ .

Γ1 . Να μελετηθεί η f ως προς τη κυρτότητα στο (0,+ ∞) , επίσης

να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο

της.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Γ2 . Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της g για τις διάφορες

τιμές της παραμέτρου λ.

ΜΟΝΑΔΕΣ 7

Γ3 . Να υπολογίσετε τα όρια

x 0lim

[f (x) f ΄(x) f ΄΄(x)] και

xlim

(g (x) f (x) ημ1

f ( x )) .

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

Γ4 . Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης

12x2 lnx = 4x

3 + 6x

2 – 12x – 15.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5


4


Γ5 . Για λ = 4, να υπολογίσετε το εμβαδόν E (Ω) του επίπεδου

χωρίου που περικλείεται από την g τον άξονα των x και τις ευθείες

x = 1 και x = e.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

ΘΕΜΑ Δ Βελτιωμένο

Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει

2

2

1

(f (t) 2e )dt = 2e

και

e – x

x f ΄(x) + (x + 1)2 ≥ 1, για κάθε x .

καθώς επίσης και τη δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση

Η (x) =

x 2

1

2

(x 1) x 1g(t)dt 2015 , x 1

2 3

2015μ , x = 1

,

για την οποία ισχύουν

3Η ΄(1) = Η ΄΄(1 ) = 2 , όπου μ(0,+ ∞)

και g παραγωγίσιμη στο .

Δ1 . Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση x

x

1

f (t)dt

xe = e – x

f (x) + x,

έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (1,2).

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

Δ2 . Εάν x0 είναι η μοναδική ρίζα του ερωτήματος Δ1 , να αποδείξετε

ότι υπάρχει ξ(1,x0) τέτοιο ώστε f (ξ) > 0 0

0

x f (x )

x 1.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

Δ3 . Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου μ, όταν μ(0,+ ∞).

ΜΟΝΑΔΕΣ 2


5


Δ4 . Να βρείτε την εξίσωση (ε) της εφαπτομένης της γραφικής

παράστασης της g στο σημείο της Α(1 ,g (1)).

ΜΟΝΑΔΕΣ 3

Δ5 . Eάν επίσης δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο (0,+ ∞)

με h (1) = 2017, για την οποία ισχύει

2g ΄(x) + h ΄(x) = 2019 + 2

1 ln x

x

, για κάθε x(0,+ ∞)

και η ευθεία (ε) που υπολογίσατε στο ερώτημα Δ4 , εκτός από

εφαπτομένη της g στο σημείο της Α(1,g (1)) είναι ταυτόχρονα και

ασύμπτωτη της g στο + ∞.

(i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της h στο + ∞.

ΜΟΝΑΔΕΣ 4

(i i) Εάν επίσης η g είναι γνησίως φθίνουσα στο , να

αποδείξετε ότι η εξίσωση h (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,1).

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Όλα τα Θέματα Προσομοίωσης του Συγγραφέα

Διαμαντή Α. Τσεκούρα θα τα βρείτε στο blog

tsekuras-frontistiria.blogspot.com

Για παραγγελίες των βιβλίων 2103801529


6





7


Νέα έκδοση Μάρτης 2012

Επανέκδοση Σεπτέμβρης 2012



8



Documents

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ _2013_ΔΙΑΜΑΝΤΗ ΤΣΕΚΟΥΡΑ