1. Ένας δρομέας διανύει την περιφέρεια ενός κυκλικού στίβου, που το μήκος του είναι 200m, σε χρόνο 40sec. Να βρείτε : Α) την ακτίνα του κυκλικού στίβου Β) την περίοδο και τη συχνότητα της κυκλικής κίνησης του δρομέα Γ) τη γραμμική και τη γωνιακή ταχύτητα του δρομέα. 2. Κινητό κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με περίοδο Τ = 2sec και ακτίνα R = 10m. Να βρείτε για το κινητό αυτό : Α) τη συχνότητα, τη γωνιακή και τη γραμμική του ταχύτητα Γ) την κεντρομόλο επιτάχυνσή του. 3. Για ένα δίσκο που περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του τα σημεία της περιφέρειάς του, έχουν γραμμική ταχύτητα υ1 = 0,5m/sec. Αν τα σημεία του δίσκου που απέχουν 4cm από την περιφέρειά του, έχουν γραμμική ταχύτητα υ2 =0,3m/sec, να βρείτε : Α) την ακτίνα R του δίσκου Β)τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου 4. Μικρό σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα υ = 10π m/sec και περίοδο Τ = 10sec. Να βρείτε για το σώμα : Α) τη συχνότητα περιφοράς Β) τη γωνιακή ταχύτητα Γ) την κεντρομόλο επιτάχυνση 5. Μια στροφή ενός δρόμου θεωρείται τόξο ακτίνας R = 80m. Να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου, όταν αυτό παίρνει τη στροφή με

ταχύτητα : Α) υ1 = 36km/h B) υ1 = 72km/h 6. Ράβδος ΑΒ, μήκους l = 0,5m, περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από σημείο της Κ. Τα άκρα Α και Β της ράβδου έχουν γραμμικές ταχύτητες μέτρου υ1 = 1m/sec και υ2 = 1,5m/sec, αντίστοιχα. Α) Να βρείτε την απόσταση του Κ από το Α. Β) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου και ποια η διεύθυνσή της; 7. Στο άτομο του υδρογόνου , σύμφωνα με το πρότυπο του Bohr, το ηλεκτρόνιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γύρω από τον πυρήνα με ακτίνα περιφοράς R = 10-10 m και με περίοδο Τ = 10-16sec. Να βρείτε : Α) πόσες περιφορές κάνει το ηλεκτρόνιο σε χρόνο 1sec Β) τη γωνιακή και τη γραμμική ταχύτητα του ηλεκτρονίου Γ)την κεντρομόλο επιτάχυνση του ηλεκτρονίου

8. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της και σε 24h εκτελεί μια περιστροφή. Αν στον Ισημερινό, η ακτίνας της Γης είναι R = 6400km, να βρείτε για ένα σημείο του Ισημερινού : Α) την περίοδο και τη συχνότητα Β) τη γωνιακή ταχύτητα Γ) τη γραμμική ταχύτητα 9. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R = 1m και σε χρόνο Δt = 1sec, διαγράφει τόξο που αντιστοιχεί σε γωνία φ = 18ο . Να βρείτε : Α) τη γωνία φ = 18ο σε rad Β) την περίοδο και τη γωνιακή ταχύτητα του αντικειμένου Γ) τη γραμμική ταχύτητα του αντικειμένου Δ) τον αριθμό των περιφορών του αντικειμένου σε χρόνο t = 100sec. 10. Δύο μικρές σφαίρες Α και Β έχουν ταχύτητες με μέτρα υΑ = 1m/sec και υΒ = 2m/sec, αντίστοιχα. Οι ταχύτητες και

, έχουν κάθε στιγμή την ίδια

φορά και οι διευθύνσεις τους είναι παράλληλες. Πώς πρέπει να κινούνται οι σφαίρες, ώστε η απόσταση (ΑΒ) να μένει σταθερή; 29. Σε περιφέρεια ακτίνας R = 100/π m κινούνται δύο κινητά με γραμμικές ταχύτητες μέτρου υ1 = 6m/sec και υ2 = 4m/sec, αντίστοιχα. Να βρείτε : Α) την περίοδο , τη συχνότητα και τη γωνιακή ταχύτητα κάθε κινητού Β) το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων των κινητών, όταν κινούνται : α) με την ίδια φορά και β) με αντίθετη. 11. Για ένα ρολόι τοίχου, να βρείτε : Α) την περίοδο του ωροδείκτη και την περίοδο του λεπτοδείκτη. Β) το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών συμπτώσεων του ωροδείκτη και του λεπτοδείκτη. 12. Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού δείχνουν τη 12η ώρα ακριβώς. Μετά από πόσο χρόνο οι δύο δείκτες θα σχηματίσουν μεταξύ τους για πρώτη φορά γωνία : α) π/2 rad και β) π rad 13. Δύο δρομείς Α και Β τρέχουν σε κυκλικό στίβο μήκους s = 420m με ταχύτητες υΑ = 16m/sec και υΒ = 9m/sec, αντίστοιχα, με την ίδια φορά. Τη χρονική στιγμή t = 0, διέρχονται από το ίδιο σημείο Γ. Α) Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για πρώτη φορά και πόσο διάστημα θα έχει διατρέξει ο καθένας; Β)Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν ξανά στο σημείο Γ και πόσες περιφορές θα έχει κάνει τότε ο καθένας; 14. Σε έναν κυκλικό στίβο ακτίνας R = 200/π m από το ίδιο σημείο περνούν ταυτόχρονα δύο δρομείς Α και Β με ταχύτητες μέτρου υΑ = 3m/sec και υΒ = 2m/sec, αντίστοιχα. Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για τρίτη φορά, όταν κινούνται : α) με την ίδια φορά και β) με αντίθετες φορές. 15. Δύο κινητά κινούνται ομαλά σε κυκλικές τροχιές που έχουν ακτίνες R1 = 7m και R2 = 30m, με αντίστοιχες γραμμικές ταχύτητες μέτρου υ1 = 20m/sec και

υ2 = 15m/sec, αντίστοιχα. Αν οι δύο περιφέρειες εφάπτονται, να υπολογίσετε το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων των κινητών. 16. Σε ένα ποδήλατο, η αλυσίδα γυρίζει γύρω από δύο δίσκους που είναι κάθετοι στον άξονα περιστροφής των πεντάλ. Ο μπροστά δίσκος έχει ακτίνα R1 = 9cm και ο πίσω δίσκος, που είναι ομόκεντρος με τον πίσω τροχό, έχει ακτίνα R2 = 3cm. Αν η συχνότητα περιστροφής των πεντάλ είναι f = 3Hz και η ακτίνα των τροχών είναι R = 20cm, να βρείτε : Α) την περίοδο περιστροφής των τροχών Β) την ταχύτητα του ποδηλάτου 17. Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε λασπωμένο δρόμο, χωρίς να ολισθαίνουν οι τροχοί του. Κάθε τροχός σε χρόνο t = 5sec, αφήνει ίχνη μήκους s = 200m. Αν η ακτίνα του κάθε τροχού είναι R = 0,5m, να βρείτε : Α) την ταχύτητα του αυτοκινήτου Β)τις περιστροφές που κάνει κάθε τροχός σε χρόνο t = 5sec Γ) την περίοδο περιστροφής των τροχών Δ) το μήκος του ίχνους που αφήνει ένας τροχός σε χρόνο Τ. 18. Τρακτέρ κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = 20m/sec σε ευθύγραμμο δρόμο. Η ακτίνα των μπροστινών του τροχών είναι R1 = 0,5m και των πίσω R2 = 1m. Α) Ποια είναι η συχνότητα περιστροφής των μπροστινών και ποια των πίσω τροχών; Β) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του κάθε τροχού; Γ) Πόσες περιστροφές θα κάνουν οι μικροί τροχοί και πόσες οι μεγάλοι, όταν το τρακτέρ διανύσει απόσταση s = 10km; 19. Δύο τροχαλίες συνδέονται με έναν ιμάντα. Η μία τροχαλία έχει ακτίνα R1 = 1m και περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f1 = 50/π Hz, ενώ η ακτίνα της άλλης τροχαλίας είναι R2 = 0,5m. Ο ιμάντας δε γλιστρά στις τροχαλίες. Α) Για τα σημεία Κ, Λ, Μ και Ν του ιμάντα, τη χρονική στιγμή που δείχνει το σχήμα, να βρείτε τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις. Β) Να υπολογίσετε τη συχνότητα f2 της τροχαλίας ακτίνας R2. 20. Μοτέρ περιστρέφει με σταθερή συχνότητα f1 = 20Hz, έναν τροχό ακτίνας R1 =1m. Ποια ακτίνα πρέπει να έχει ένας δεύτερος τροχός, που θα συνδεθεί με ιμάντα με τον πρώτο, έτσι ώστε να περιστρέφεται με συχνότητα f2 = 60Hz;

21. Δύο δίσκοι είναι στερεωμένοι στον ίδιο άξονα και περιστρέφονται με συχνότητα f = 50Hz. Μια σφαίρα που κινείται παράλληλα προς τον άξονα τρυπά τους δύο δίσκους. Τη χρονική στιγμή που η σφαίρα τρυπά το δεύτερο δίσκο, η πρώτη έχει μετατοπιστεί κατά γωνία φ = 10ο . Αν οι δίσκοι είναι παράλληλοι και απέχουν απόσταση μεταξύ τους d = 1m, να βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας. 22. Μια σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας r = 0,8m και η επιβατική της ακτίνα διαγράφει σε χρόνο 1/3sec, γωνία 30ο. Α) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής και της γραμμικής ταχύτητας της σφαίρας. Β) Αν τη χρονική στιγμή t = 0, η σφαίρα διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς της, να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t2 που η σφαίρα διέρχεται για δεύτερη φορά, μετά τη χρονική στιγμή t = 0, από το σημείο Β της τροχιάς, το οποίο είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου Α. 23. Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γραμμική ταχύτητα και διαγράφει το μήκος s = 0,4π m του μισού κύκλου της τροχιάς σε χρονική διάρκεια Δt = 0,25sec. Να υπολογίσετε : Α) την απόσταση μεταξύ των αντιδιαμετρικών σημείων της τροχιάς του σώματος Β) την περίοδο και τη συχνότητα της ομαλής κυκλικής κίνησης Γ) το μέτρο της γραμμικής και της γωνιακής ταχύτητας του σώματος. 24. Μικρό σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας r και τη χρονική στιγμή t = 0, διέρχεται από σημείο Α του κύκλου, ενώ τη χρονική στιγμή t1 = 0,5sec, διέρχεται από σημείο Β του κύκλου που απέχει από το σημείο Α, απόσταση

d 2 2m . Η επιβατική ακτίνα του σώματος στη χρονική διάρκεια 0→t1, έχει διαγράψει γωνία 90ο. Α) Να υπολογίσετε την ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς. Β) Να βρείτε το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης. Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 25. Ένα σώμα μάζας m = 50gr, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω = 10π rad/sec. Δύο σημεία Α και Β της κυκλικής τροχιάς απέχουν μεταξύ τους d = 0,4m και η κεντρομόλος δύναμη που δέχεται το σώμα όταν διέρχεται από το σημείο Α, είναι αντίθετη της κεντρομόλου δύναμης που δέχεται, όταν αυτό διέρχεται από το σημείο Β. Α) Να σχεδιάσετε την κεντρομόλο δύναμη που δέχεται το σώμα, όταν διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που δέχεται το σώμα.

Γ) Αν το σώμα κατά τη διάρκεια της ομαλής κυκλικής κίνησης δέχεται συνολικά

τρεις σταθερού μέτρου δυνάμεις 1 2F ,F και 3F , από τις οποίες οι 1F και 2F έχουν

μέτρο 8Ν και 6Ν, αντίστοιχα, βρίσκονται στη διεύθυνση της ακτίνας και έχουν φορά προς το κέντρο της τροχιάς, να βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της

δύναμης 3F .

Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 26. Ένας δίσκος ακτίνας R = 0,8m περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα , μέτρου 10 rad/sec, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Σημείο Α τη περιφέρειας του δίσκου και σημείο Β του δίσκου, απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 1m και ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από το κέντρο Κ του δίσκου. Α) Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια που απαιτείται, ώστε το σημείο Β να διαγράψει δύο πλήρεις κύκλους Β) Να υπολογίσετε το μήκος τόξου που διανύει το σημείο Α, καθώς και την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική του ακτίνα σε χρονική διάρκεια Δt = 4sec. Γ) Να σχεδιάσετε το διάγραμμα του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας των σημείων του δίσκου, σε συνάρτηση με την απόσταση x από τον άξονα περιστροφής. Δ) Να βρείτε το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του σημείου Β. 27. Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας R = 0,8m περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, έτσι ώστε τα σημεία της περιφέρειάς του να κινούνται με γραμμική ταχύτητα υ = 2,4 m/sec. Ένα μικρό κέρμα μάζας m = 10gr, βρίσκεται πάνω στο δίσκο σε απόσταση d = 0,5m από τον άξονα περιστροφής του και δε μετακινείται εξαιτίας της στατικής τριβής που δέχεται από το δίσκο. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του δίσκου και του κέρματος ισούται με μστ = 0,8. Α) Να βρείτε τη στατική τριβή που δέχεται το κέρμα. Β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη συχνότητα περιστροφής του δίσκου, ώστε το κέρμα να παραμείνει στη θέση του. Δίνεται g = 10 m/sec2 28. Μια μικρή σφαίρα μάζας m = 200gr είναι δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Η σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας r = 0,5m σε οριζόντιο επίπεδο, έτσι ώστε το νήμα να διαγράφει κωνική επιφάνεια. Η σφαίρα διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς της κάθε 2sec. Να υπολογίσετε το μέτρο : Α) της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας Β)της κεντρομόλου επιτάχυνσης της σφαίρας Γ) της τάσης του νήματος που δέχεται η σφαίρα. Δίνεται g = 10 m/sec2 και για τις πράξεις π2 =10

29. Δύο σώματα (1) και (2) εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας r = 0,5m έχοντας ταχύτητες ίδιας φοράς και μέτρου υ1 = 3m/sec και υ2 = 1 m/sec, αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t = 0 τα δύο σώματα διέρχονται από το ίδιο σημείο Α της τροχιάς τους. Να υπολογίσετε : Α) τη χρονική στιγμή t1 που τα δύο σώματα συναντώνται για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0 Β) το μήκος του τόξου που έχει διανύσει κάθε σώμα στη χρονική διάρκεια 0→t1 30. Δύο κινητά (1) και (2) κινούνται στον ίδιο κυκλικό δρόμο ακτίνας r = 0,2m με γωνιακές ταχύτητες ω1 = 0,04 rad/sec και ω2 αντίστοιχα, τα διανύσματα των οποίων σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 180ο. Τα δύο κινητά συναντώνται τη χρονική στιγμή t = 0 σε σημείο Α της τροχιάς τους και ξανασυναντιούνται τη χρονική στιγμή t1 = 20sec σε άλλο σημείο Β της τροχιά τους. Να υπολογίσετε : Α) το μήκος του τόξου που διέγραψε το κινητό (2) στη χρονική διάρκεια 0→t1 Β) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας 2 του κινητού (2)

31. Μια σφαίρα κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα

1 και τη χρονική

στιγμή t = 0 απέχει από ένα δίσκο ακτίνας r, απόσταση d1 = 1m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν ο δίσκος είναι ακίνητος, τότε η σφαίρα χτυπά σε σημείο του Β που απέχει από το κέντρο Κ απόσταση d = 0,2m. Όταν ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f = 2Hz γύρω από τον άξονά που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, τότε η σφαίρα χτυπά το δίσκο τη χρονική στιγμή t1 σε σημείο Γ, το οποίο απέχει από το σημείο Β απόσταση 2d, χωρίς να έχει προλάβει ο δίσκος να εκτελέσει μια ολόκληρη περιστροφή στη χρονική διάρκεια 0→t1. Να υπολογίσετε : Α) το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του σημείου Γ, όταν ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή συχνότητα f B) το μέτρο της ταχύτητας 1 της σφαίρας.

Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 32. Δύο τροχοί (1) και (2) με ακτίνες R1 = 1m και R2 = 0,6m αντίστοιχα, συνδέονται μέσω ιμάντα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάθε σημείο του ιμάντα κινείται με ταχύτητα μέτρου υ, με αποτέλεσμα οι δύο τροχοί να περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, χωρίς ο ιμάντας να γλιστράει σε αυτούς. Σημείο Α της περιφέρειας του τροχού (1), έχει κεντρομόλο επιτάχυνση μέτρου 36m/sec2. Να υπολογίσετε : Α) το μέτρο της ταχύτητας των σημείων του ιμάντα

Β) το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός σημείου Β της περιφέρειας του τροχού (2) Γ) τη συχνότητα περιστροφής του τροχού (2) 33. Το σώμα του διπλανού σχήματος έχει μάζα m = 2kg και είναι δεμένο με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους l = 1,6m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε σημείο Κ. Εκτρέπουμε το σώμα, ώστε το νήμα να γίνει οριζόντιο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Τα χρονική στιγμή t1 που το σώμα διέρχεται από το σημείο Ζ της τροχιάς του, το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφο που διέρχεται από το σημείο Κ γωνία φ = 60ο. Α) Να εξετάσετε ποιο είναι το είδος της κίνησης που εκτελεί το σώμα, μέχρι το νήμα να γίνει κατακόρυφο. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος τη χρονική στιγμή t1, αν δίνεται ότι εκείνη τη χρονική στιγμή το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του σώματος ισούται με 2,5 rad/sec. Γ) Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος εξαιτίας της αλλαγής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας (επιτρόχιος επιτάχυνση) τη χρονική στιγμή t1 Δίνεται g = 10 m/sec2 και για τις πράξεις

34. Μικρή σφαίρα μάζας m = 0,05kg, κινείται σε κατακόρυφη λεία κυκλική σιδηροτροχιά ακτίνας r = 0,4m και διέρχεται από το ανώτερο σημείο της Δ με ταχύτητα 1 . Να

υπολογίσετε : Α) το μέτρο της δύναμης που δέχεται η σφαίρα από τη σιδηροτροχιά, όταν διέρχεται από το σημείο Δ, αν η ταχύτητα 1 έχει μέτρο 8m/sec

B) την ελάχιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας 1 , ώστε η σφαίρα να μη χάνει την επαφή της με τη σιδηροτροχιά,

όταν αυτή διέρχεται από το σημείο Δ. Δίνεται g = 10 m/sec2 35. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας r = 2m κινούμενο αριστερόστροφα και ολοκληρώνει μια πλήρη περιφορά σε χρονική διάρκεια 0,1sec.

Α) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου. Β) Να σχεδιάσετε το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας του υλικού σημείου, όταν αυτό βρίσκεται στο σημείο Α και να υπολογίσετε το μέτρο της. 36. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα μικρό σώμα, το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, ακτίνας r = 2m με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ = 2π m/sec. Α) Να σχεδιάσετε το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας και να υπολογίσετε το μέτρο της. Β) Να υπολογίσετε την περίοδο της κυκλικής κίνησης. 37. Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς του, ενώ τη χρονική στιγμή t1 = 2sec, διέρχεται από σημείο Β της τροχιάς του, έχοντας για πρώτη φορά αντίθετη γραμμική ταχύτητα από αυτή ν που είχε τη χρονική στιγμή t = 0. Αν το μήκος του τόξου που διένυσε το σώμα στη χρονική διάρκεια 0→t1 ισούται με s = 0,4π m, να υπολογίσετε : Α) τη συχνότητα της κυκλικής κίνησης Β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σώματος 38. Το μικρό σώμα του διπλανού σχήματος εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση με συχνότητα f = 5Hz και στη χρονική διάρκεια δύο περιόδων της κίνησής του, διανύει μήκος τόξου s = 0,6π m. Α) Να σχεδιάσετε στο σημείο Α, καθώς και στο αντιδιαμετρικό του την κεντρομόλο επιτάχυνση που έχει το σώμα. Τι σχέση έχουν μεταξύ τους τα διανύσματα; Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του σώματος. Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 39. Μικρός σιδερένιος κύβος μάζας m = 0,5kg, κινείται ομαλά και κυκλικά πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος, μήκους L = 0,4m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε καρφί. Η τάση του νήματος είναι Τ = 20Ν. Α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα περιφοράς του σιδερένιου κύβου. Β) Αν η μέγιστη τάση που μπορεί να ασκήσει το νήμα χωρίς να σπάσει έχει μέτρο Τmax = 80Ν, να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας με την οποία μπορεί να κινείται ο κύβος εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας L. 40. Μικρό αεροπλάνο δοκιμών εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο κύκλο ακτίνας r = 400m και για να μεταβεί από το κατώτερο σημείο Α της τροχιάς του στο ανώτερο σημείο Β της τροχιάς του, περνά χρόνος 5π sec. Στο

ανώτερο σημείο της τροχιάς του ο πιλότος δέχεται από το κάθισμά του δύναμη μέτρου 540Ν. Να υπολογίσετε : Α) τη μάζα του πιλότου Β) το μέτρο της δύναμης που δέχεται ο πιλότος από το κάθισμά του, όταν το αεροπλάνο διέρχεται από το κατώτερο σημείο Α της τροχιάς του Δίνεται g = 10 m/sec2 41. Λεπτή ράβδος ΚΛ έχει μήκος L = 2m και περιστρέφεται με σταθερή περίοδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτή. Σημείο Α της ράβδου έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου υΑ = 5m/sec και απέχει από σημείο Β της ράβδου απόσταση L/4, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε : Α) την επίκεντρη γωνία που διαγράφει η ράβδος σε χρονική στιγμή t = 1,5sec Β) το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του άκρου Λ της ράβδου Γ) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Β και στη συνέχεια να σχεδιάσετε το διάνυσμά της. Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 42. Μια μπίλια μάζας m = 0,2kg είναι δεμένη στο ένα άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L = 2m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο και περιστρέφεται χωρίς τριβές σε οριζόντιο επίπεδο εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας L. Τη χρονική στιγμή t = 0 η μπίλια διέρχεται από σημείο Α της τροχιάς της, ενώ τη χρονική στιγμή t1 = π/6 sec, διέρχεται για πρώτη φορά από σημείο Β της τροχιάς του. Στη χρονική διάρκεια 0→t1, το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας της μπίλιας έχει στραφεί κατά γωνία 30ο. Να υπολογίσετε : Α) τη χρονική στιγμή t2 κατά την οποία η μπίλια διέρχεται για πρώτη φορά μετά τη στιγμή t = 0 από το σημείο Γ της τροχιάς του που είναι αντιδιαμετρικό του σημείου Β. Β) το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης της μπίλιας Γ) κατά πόσο μπορούμε να αυξήσουμε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της μπίλιας χωρίς να μεταβάλλουμε την ακτίνα περιστροφής της, αν γνωρίζουμε ότι η μέγιστη τιμή της τάσης που μπορεί να ασκήσει το νήμα χωρίς να σπάσει ισούται με 3,6Ν; 43. Δύο μικρά σώματα (1) και (2) κινούνται στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας r και τη χρονική στιγμή t = 0 συναντώνται σε σημείο Α, ενώ ξανασυναντιούνται για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0 τη χρονική στιγμή tκ = 0,2sec, χωρίς κανένα από τα δύο σώματα να έχει εκτελέσει μια πλήρη περιφορά στη χρονική διάρκεια 0→tκ. Αν η συχνότητα της κυκλικής κίνησης του σώματος (1) ισούται με f1 = 3Hz, να υπολογίσετε τη συχνότητα f2 της κυκλικής κίνησης του σώματος (2).

44. Δύο υλικά σημεία (1) και (2) εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση ίδιας φοράς στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας r και η χρονική διάρκεια μεταξύ δύο διαδοχικών συναντήσεων των δύο υλικών σημείων ισούται με Δt = 4sec. Στη χρονική αυτή διάρκεια το υλικό σημείο (1) διένυσε μήκος τόξου s1 = 8π m, ενώ το υλικό σημείο (2) διένυσε μήκος τόξου s2 =12π m. Να υπολογίσετε το μέτρο : Α) της γραμμικής ταχύτητας των δύο υλικών σημείων Β) της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου (1) 45. Οι δύο τροχοί (1) και (2) του διπλανού σχήματος έχουν ακτίνες R1 = 0,5m και R2 = 0,8m αντίστοιχα και περιστρέφονται με τη βοήθεια ενός ιμάντα, ο οποίος δε γλιστρά σε σχέση με αυτούς. Το μέτρο της ταχύτητας των σημείων του ιμάντα ισούται με υ = 10π m/sec. Να υπολογίσετε τις συχνότητες περιστροφής f1 και f2 των τροχών (1) και (2) αντίστοιχα. 46. Δύο σώματα (1) και (2) με μάζες m1 και m2 =5kg αντίστοιχα, εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας r = 0,5m με την ίδια φορά κίνησης και τη χρονική στιγμή t = 0 διέρχονται από σημείο Α της τροχιάς τους. Τη χρονική στιγμή t1 = 2π sec τα δύο σώματα συναντώνται για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = 0 σε σημείο Β της κυκλικής τροχιάς. Αν το σώμα (1) στη χρονική διάρκεια 0→t1 διένυσε μήκος τόξου s1 = 5π m, να υπολογίσετε : Α) το μήκος τόξου s2 που διένυσε το σώμα (2) στην ίδια χρονική στιγμή 0→t1, γνωρίζοντας ότι s2 > s1 B) τη συχνότητα της κυκλικής κίνησης του σώματος (1) Γ) το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που δέχεται το σώμα (2) 47. Δοχείο που περιέχει νερό είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο νήματος μήκους l = 1,6m και κάνει κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να βρείτε την ελάχιστη ταχύτητα περιφοράς που πρέπει να έχει το δοχείο για να μη χυθεί το νερό. Δίνεται g = 10 m/sec2 48. Ένα σφαιρίδιο μάζας m = 0,2kg κινείται κυκλικά σε κατακόρυφο επίπεδο δεμένο στο ελεύθερο άκρο τεντωμένου νήματος μήκους l = 0,3m. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το νήμα στο σφαιρίδιο : Α) στην ανώτερη θέση Γ, όπου υΓ = 6m/sec

Β) στην κατώτερη θέση Α, όπου υΑ = 4 m/sec Δίνεται g = 10 m/sec2

49. Μικρή σφαίρα μάζας m = 0,2kg, κρέμεται από την οροφή με νήμα μήκους l = 0,5m. Η σφαίρα αναγκάζεται να διαγράψει οριζόντιο κύκλο ακτίνας R = 0,3m, που το κέντρο του βρίσκεται στην κατακόρυφο , η οποία περνά από το σημείο στήριξης του νήματος. Να βρείτε : Α) την τάση Τ του νήματος Β) τη γραμμική ταχύτητα της σφαίρας Δίνεται g = 10 m/sec2

50. Ένας πιλότος μάζας m = 80kg, που οδηγεί ανεμόπτερο, διαγράφει κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R = 80m. Όταν το ανεμόπτερο περνά από το ανώτερο σημείο της τροχιάς του, έχει ταχύτητα υ = 40m/sec. Για το ανώτερο σημείο της τροχιάς του, να υπολογίσετε : Α) την κεντρομόλο επιτάχυνσή του Β) τις δυνάμεις που ασκούνται στον πιλότο και τη συνισταμένη δύναμη Γ) την κεντρομόλο δύναμη στον πιλότο Δίνεται g = 10 m/sec2 51. Οι τρεις όμοιοι κύλινδροι Κ1, Κ2 και Κ3 του σχήματος βρίσκονται στο οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζουν συντελεστή στατικής τριβής. Οι κύλινδροι απέχουν από τον κατακόρυφο άξονα yy’ αποστάσεις r1, r2 και r3 αντίστοιχα με r1 < r2 < r3. Το οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα yy’ με ολοένα αυξανόμενη συχνότητα f. Αν η συχνότητα περιστροφής συνέχεια αυξάνεται, ποιος από τους τρεις κυλίνδρους θα αποσπαστεί πρώτος από το οριζόντιο δάπεδο και γιατί; 52. Ο οριζόντιος δίσκος του σχήματος περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα yy’ με συχνότητα f = 0,1 Ηz. Για να ισορροπεί ένα σώμα πάνω στο δίσκο, πρέπει να υπάρχει τριβή μεταξύ τους. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι μστ = 0,2, να βρείτε : Α) ποια δύναμη ενεργεί ως κεντρομόλος για το σώμα. Β) τη μέγιστη απόσταση d από το κέντρο του δίσκου, όπου το σώμα μπορεί να ισορροπεί πάνω στο δίσκο. Δίνεται για τις πράξεις π2 =10 Δίνεται g = 10 m/sec2

53. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο μάζας m = 1kg ενός εκκρεμούς κατά γωνία φ = 60ο από την κατακόρυφο και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου όταν αυτό περνά από τη θέση ισορροπίας του και την τάση του νήματος στη θέση αυτή. Το μήκος του νήματος είναι l = 2,5m και το g = 10 m/sec2. 54. Το σώμα μάζας m = 2 kg, είναι κρεμασμένο από το ελεύθερο άκρο αβαρούς σχοινιού μήκους l = 0,5m. Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει από τη θέση Α, όπου φ = 60ο , να βρείτε : Α) τη δυναμική του ενέργεια στη θέση Α. Β) την ταχύτητά του στη θέση Γ Γ) την κεντρομόλο δύναμη στη θέση Γ. Δ) την τάση του σχοινιού στη θέση Γ. Δίνεται g = 10 m/sec2 55. Τι ταχύτητα πρέπει να έχει το σφαιρίδιο ενός εκκρεμούς στην κατώτατη θέση, ώστε να μπορεί να κάνει ανακύκλωση; 56. Μικρή σφαίρα μάζας m = 0,1 kg είναι δεμένη στο ελεύθερο άκρο νήματος μήκους l που κρέμεται από σημείο Ο. Απομακρύνουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας, ώστε το νήμα να είναι σε οριζόντια θέση και την αφήνουμε ελεύθερη. Να βρείτε :

Α) το μέτρο της τάσης 1T , όταν η σφαίρα περνά από την κατακόρυφο που

διέρχεται από το σημείο Ο και

Β) το μέτρο της τάσης T στη θέση όπου το νήμα σχηματίζει γωνία φ = 30ο με το

οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται g = 10 m/sec2