Признаки Признаки параллельности параллельности

прямыхпрямых

►Цели урока:Цели урока:► доказать признаки параллельности доказать признаки параллельности

прямых, прямых, ►научить учащихся решать задачи на научить учащихся решать задачи на

применение признаков применение признаков параллельности двух прямыхпараллельности двух прямых

II признак признак параллельностипараллельности

►Если при пересечении двух Если при пересечении двух прямых прямых ccсекущей накрест секущей накрест лежащие углы равны, то такие лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.прямые параллельны.

►Дано: прямые а и в, Дано: прямые а и в,

с – секущая.с – секущая.►<1 = <2 ( накрест <1 = <2 ( накрест

лежащие)лежащие)► Доказать: а || вДоказать: а || в

ДоказательствоДоказательство

► 1) Рассмотрим 1) Рассмотрим случай, когда случай, когда <1=<2=90º<1=<2=90º

► Тогда а⊥АВ и Тогда а⊥АВ и в⊥АВ. (две в⊥АВ. (две прямые, прямые, перпендикулярныперпендикулярные третьей, не е третьей, не пересекаются) пересекаются)

► Значит, а || вЗначит, а || в

2случай) <1 и <2 не прямые.2случай) <1 и <2 не прямые.

► Рассмотрим ∆ОНА и ∆ОН₁ВРассмотрим ∆ОНА и ∆ОН₁В► ОА=ОВ (по построению)ОА=ОВ (по построению)► АН=ВН₁ ( по построению)АН=ВН₁ ( по построению)► <1=<2 (по условию)<1=<2 (по условию)

► Проведем дополнительное Проведем дополнительное построение.построение.

► Возьмем точку О так, что АО=ВО. Возьмем точку О так, что АО=ВО. Проведем ОН⊥а.Проведем ОН⊥а.

► Отложим ВН₁ = АН, соединим О с Н₁Отложим ВН₁ = АН, соединим О с Н₁а

в

с

А

В

О

Н

Н₁

1

2

3

4

⇒∆ОНА = ∆ОН₁В ( по 2 сторонам м углу между ними)⇒<3=<4 и <AHO=<OH₁BТак как <3=<4 ,то точка Н₁∊ на продолжении луча ОН. Значит,

точки О,Н и Н₁ лежат на одной прямой.Так как <AHO=<OH₁B и <AHO=90º ( по построению), то <OH₁B=90º.Получили а⊥НН₁ и в⊥НН₁ ( две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются) : а || в

IIII признак параллельности признак параллельности

► . . Если при пересечении двух Если при пересечении двух прямых секущей прямых секущей соответственные углы равны, то соответственные углы равны, то прямые параллельны.прямые параллельны.

►Дано: прямые а и вДано: прямые а и в► с- секущаяс- секущая►<1=<2(соответственн<1=<2(соответственн

ые)ые)►Доказать: а || вДоказать: а || в

ДоказательствоДоказательство►<2=<3(вертикальн<2=<3(вертикальн

ые)ые)►<1=<2 (по условию)<1=<2 (по условию)

⇒<1=<3, они накрест лежащие при пересечении прямых а и в секущей с ⇒ по первому признаку параллельности а || в

IIIIII признак параллельности признак параллельности

►Если при пересечении двух прямых Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые углов равна 180º, то прямые параллельны.параллельны.

ДоказательствоДоказательство►<1+<<1+<44= 180º (по = 180º (по

условию)условию)►<3+<4=180º(смежные)<3+<4=180º(смежные)

► Дано: прямые а и Дано: прямые а и в , секущая св , секущая с

► <1+ <4=180º <1+ <4=180º ((односторонние)односторонние)

► Доказать: а || вДоказать: а || в

⇒<1=<3 , они накрест лежащие при пересечении прямых а и в и секущей с⇒ по первому признаку параллельности а || в