НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Рыскин Н.М.

Саратовский госуниверситетФакультет нелинейных процессов

Модуляционная неустойчивость

2 20

20

2A A A

i V A At x x

wb

æ ö ¢¢¶ ¶ ¶÷ç ÷+ + + =ç ÷ç ÷ç¶ ¶ ¶è ø

( ) ( )( , )i K x ti Kx t

a x t a e a e* *- - W- W

+ -= +

( )2

22 2 20

0 02g

Kv K A K

wbw

æ ö¢¢ ÷ç ÷ ¢¢çÞ W- = -÷ç ÷÷çè ø

( ) ( )[ ]0, expA x t A i kx tw= -( )0( , ) ( , ) exp ( )A x t A a x t i kx twé ù= + -ê úë û

( ) ( )0 0 0, ,gv A V k Aw w w¢¢= +

220 0 0

4K Ab w¢¢=2 2

02

mK K=

2

0mAl b=

22002

kV k Aw

w b¢¢

= + - нелинейное дисперсионное соотношение

Переход к хаосу при МН магнитостатических волн в пленках ЖИГ

• Дудко Г.М., Казаков Г.Т., Кожевников А.В., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖТФ 13, 736 (1987).• Дудко Г.М., Филимонов Ю.А. // Письма в ЖТФ 15(2), 55 (1989).• Дудко Г.М., Славин А.В. // ЖТФ 31 (6), 114 (1989).• Демидов В.Е., Ковшиков Н.Г. // Письма в ЖЭТФ 66, 243 (1997).

Переход к хаосу при МН магнитостатических волн в пленках ЖИГ

удвоения периода разрушение квазипериодичности

Два типа неустойчивости

( )lim ,t

u x t®¥

= ¥

Абсолютная неустойчивость

( )lim , 0t

u x t®¥

=

Конвективная неустойчивость

Л.Д. Ландау (1954), P. Sturrock (1958)

МН — абсолютная или конвективная?

( ) ( )( ), expka x t a i Kx K t dK+¥

- ¥

é ù= - Wë ûò

( ) ( ) ( ) ( )2, sf K t

s

s

a x t a K ei K t

p¢¢W

;Вычислим интеграл методом перевала:

( ) ( )( ),f K i Kx t K= - Ws

K - точка перевала,

( ) 0s

d K dKW =

,m m

w z K Kl= W =Нормированные переменные:

Характеристическое уравнение: ( )2 22 ,w az i z z= + -0 0

2gva

A wb=

¢¢2 2 16

0 18s

dw a a az

dz-

= Þ = ± + -m

точки перевала

( ) 2

0Re 0 16

sx t

f K a=

é ù > Þ >ê úë ûКритерий абсолютной неустойчивости:

22

008

gvAb

w>

¢¢или

22

00

13 2

VAb w

w

æ ö÷ç ÷> +ç ÷ç ÷ç ¢¢è ø

МН — абсолютная или конвективная?

Дисперсионная характеристика для нелинейного уравнения Шредингера в случае конвективной (1) и абсолютной (2) МН. Заштрихован диапазон волновых чисел, в котором имеет место неустойчивость

Нелинейный эффект перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной

Конвективная МН Абсолютная МН

Переход к хаосу

С ростом амплитуды входного сигнала происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения

Нелинейное уравнение Клейна–Гордона

( )22 2 2 2cc k Aw w= +

2 2 22 22 2

0c

A Ac A A

t xw

¶ ¶ æ ö÷ç- + =÷ç ÷è ø¶ ¶

( )22 20 1c Aw w m= -

22 0

21c Aw

wm

=+

Без ограничения общности можно положить

01cw m= = =

Нелинейное уравнение Клейна–Гордона

03.0A =

02.0A =

00.3A =

С ростом амплитуды вначале происходит переход от конвективной неустойчивости к абсолютной.

Затем из-за уменьшения дисперсии происходит обратный переход к конвективной неустойчивости.

Нелинейное уравнение Клейна–Гордона

1 — область непропускания; 2 — область автомодуляции (абсолютная МН); 3 — область стационарного распространения

сигнала (конвективная МН)

2 22

00 2

K k Aw w

mw

-> Þ >

2 22 2

02c

A Aw w

w w mw

-æ ö÷ç> Þ >÷ç ÷è ø

Нелинейное туннелирование

Newell A.C. // J. Math. Phys. 19, 1126 (1978).

• Квазилинейное туннелирование

• Солитонное туннелирование

• Туннелирование с потерями

Нелинейное туннелирование а

0 0.75A

0 1.1A

0 1.15A

0 1.2A

Зависимости амплитуды сигнала от времени в точке L=20 при

и различных значениях амплитуды входного сигнала

Нелинейное туннелирование

Картины пространственно-временной динамики

0 0.75A 0 1.2A

Нелинейная динамика МН в

периодической брэгговской структуре

1,2 01,02 1,2nln n n I= +

( )

( )

2 20

220

2 0,

2 0.

k nl

k nl

A Ai n A n A A A

t x

A Ai n A n A A A

t x

+ +- + - +

- -+ - + -

æ ö¶ ¶ ÷ç + + + + =÷ç ÷çè ø¶ ¶æ ö¶ ¶ ÷ç - + + + =÷ç ÷çè ø¶ ¶

1 2

01 020

,2

.

nl nl

nl

k

n nn

n nn

p

+=

-=

2 2 20k

n kw = +

Численное моделирование методом FDTD

Параметры структуры: толщина одного слоя 0.5 мкм, число слоев 100, период структуры  1 мкм, поперечный размер слоев  1 мкм, линейная часть показателей преломления слоев n1=1.45, n2=2.0. ПВ – подводящий волновод

Дисперсионные характеристики структуры для различных значений амплитуды входного сигнала: 1 – A=1.0, 2 – A=3.0, 3 – A=3.5

Численное моделирование методом FDTD

6.0in

A = 6.0in

A = 6.7in

A = 7.0in

A =

Численное моделирование методом FDTD

10.0in

A = 15.0in

A =

Численное моделирование методом FDTD

6.0in

A =7.0

inA =

10.0in

A =Мгновенные распределения z-компоненты поля вдоль оси системы