מספרים ראשוניים מספרים ראשוניים • ומספרים פריקים ומספרים פריקים

חזקותחזקות•

מספרים ראשוניים ומספרים מספרים ראשוניים ומספרים חשיבות הנושאחשיבות הנושאפריקים פריקים

נושא מתמטי החשוב בפני עצמו ולאו דווקא לשם •יישום מיידי כלשהו

פשרה התפתחות ענפים נוספים • העמקה בנושא א�במתמטיקה

הנושא מאפשר חקר מתמטי אמיתי אפילו ברמת •תלמיד של בית הספר היסודי.

2

מספרים ראשוניים ומספרים מספרים ראשוניים ומספרים )עמוד פריקים בתכנית הלימודים פריקים בתכנית הלימודים

88)

מתוך תכנית הלימודים במתמטיקה

לכיתות א-ו בכל המגזרים 883עמוד

מספרים ראשוניים ומספרים מספרים ראשוניים ומספרים מוכנות ללימוד הנושאמוכנות ללימוד הנושאפריקים פריקים

שליטה בעובדות לוח הכפל )כולל תרגילי החילוק(•

יכולת לבצע תרגילי כפל וחילוק מעבר ללוח כפל •

10 וב-5, ב-2סימני התחלקות ב-•

הבנה )אינטואיטיבית( של חוק החילוף וחוק הקיבוץ •

של הכפל.

4

– 46)עמ' א. מספר ראשוני ומספר פריק א. מספר ראשוני ומספר פריק 51)

מחלקהגדרת המושג 1.

מספר המחלקים של מספר טבעי נתון2.

מיון המספרים הטבעיים לפי מספר המחלקים 3.שלהם:

יותר משני מחלקים שוניםמספרים שיש להם •- שני מחלקים שונים מספרים שיש להם בדיוק •

1המספר עצמו והמספר רק מחלק אחדמספרים שיש להם •פריק מספרומספר ראשוני הגדרת 4.1ייחודו של המספר 5. זוגי – הייתכן?וגםמספר ראשוני 6.

5

(51 – 46)עמ' א. מספר ראשוני ומספר פריק א. מספר ראשוני ומספר פריק מציאת כל המספרים הראשוניים עד למספר שלם

מסוים

6

– 52)עמ' ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים 56)

– למה הכוונה?פירוק לגורמים

4 × 8 × 8 × 8 = 2,048

4× 4× 4 × 4 × 8 = 2,048

פירוק לגורמים כלשהם:

לאותו מספר קיימים כמה פירוקים שונים זה מזה.

4 × 8 × 8 × 8

4× 4× 4 × 4 × 8

7

– 52)עמ' ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים 56)

פירוק לגורמים – למה הכוונה? הפעם נפרק לגורמים

ראשוניים:1,176 588 × 2=

294 × 2 × 2 = 1,176

147 × 2 × 2 × 2 = 1,176

49 × 3 × 2 × 2 × 2 = 1,176

7 × 7 × 3 × 2 × 2 × 2 = 1,1768

– 52)עמ' ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים ב. פירוק מספר לגורמים ראשוניים 56)

9

– 57)עמ' ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים ג. בניית מספר מגורמים ראשוניים 58)נתונים שני מספרים ראשוניים:1.

. 3 ו-2 פעמים 29 בעצמו 2כופלים את 2.

פעמים, ואת 47 בעצמו 3ואת התוצאות כופלים זו בזו. מקבלים מספר טבעי מסוים, אך כעת לא

נעסוק בחישובו. פעמים 33 בעצמו 2כופלים את 3.

פעמים, ואת 25 בעצמו 3ואת התוצאות כופלים זו בזו. מקבלים מספר טבעי אחר. גם הפעם לא

נחשב את המספר עצמו.

מדוע אנו יכולים להיות בטוחים, ששני המספרים האלה יהיו שונים

זה מזה?

225 = 5 × 5 × 3 × 3

625 = 5 × 5 × 5 × 5

125 = 5 × 5 × 5

126 = 7 × 3 × 3 × 2

84 = 7 × 3 × 2 × 2

42 =7 × 3 × 2 10

::למוריםלמוריםהרחבה הרחבה

מספרים 4נתון מספר שהוא מכפלה של ראשוניים שונים.

כמה מחלקים שונים )לאו דווקא ראשוניים( יש למספר הנתון?

נסו להרכיב מספרים מתאימים ולבדוק.

11

מספרים ראשוניים מספרים ראשוניים • ומספרים פריקים ומספרים פריקים

חזקותחזקות•

כמה מילים על פעולת כמה מילים על פעולת החזקה...החזקה... פעולת החזקה במספרים טבעיים כהרחבה של 1.

פעולות חשבון שנלמדו עד עכשיו

האם חוקי הפעולות )חילוף, קיבוץ, פילוג( 2.מתקיימים בפעולת החזקה?

- אם לא – מדוע? - אם כן – כיצד?

13

חזקות בתכנית חזקות בתכנית הלימודיםהלימודים

מתוך תוכנית לימודים, מתמטיקה לכיתות א-ו בכל המגזרים. עמוד 89

14

א. תרגילי שרשרת – כפל לעומת חיבור א. תרגילי שרשרת – כפל לעומת חיבור (61– 60)עמ'

2418

156

1 2

3 4

24

72

60

1

81

16

256

96

15

(61– 62)עמ' ב. מהו תרגיל חזקה ב. מהו תרגיל חזקה

לימוד השפה המתמטית – הקשר בין כתיב חזקה, תרגיל שרשרת של כפל ושם במילים

תשע בחזקת שלוש

עשר בחזקת ארבע

10 × 10 × 10 ×10

5 × 5 × 5

16

(66– 64)עמ' ג. בסיס ומעריך ג. בסיס ומעריך

17

(66– 64)עמ' ג. בסיס ומעריך ג. בסיס ומעריך

16

8

4

2

18

(70– 67)עמ' ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה ד. סדר המספרים בתרגיל החזקה

74 4

4 4

44

3 3

33

33

7

12 12

64 81

19

= 4 × 8 × 8 × 8 = 2,048

= 4× 4× 4 × 4 × 8 = 2,048

חזקות ופירוק לגורמיםחזקות ופירוק לגורמים

20

חזקות ופירוק לגורמים ראשונייםחזקות ופירוק לגורמים ראשוניים

= 625 = 5 × 5 × 5 × 5

= 125 = 5 × 5 × 5

=126 = 7 × 3 × 3 × 2

= 3,528= 7 × 7 × 3 × 3 × 2 ×2 × 2

21

למורים:למורים:הרחבה הרחבה חזקות - חזקות -

כתיב חזקה – גם תרגיל חשבוני )כפל חוזר( 1. וגם ייצוג של מספרים

שתי פעולות הפוכות לחזקה:2.

22

למורים:למורים:הרחבה הרחבה חזקות - חזקות -

23

0=03=0×0×0

והחזקה:0המספר

?30מהו

24

למורים:למורים:הרחבה הרחבה חזקות - חזקות -

0n=0 והחזקה:0המספר n0=1

(n0=1 )כי 1=00מצד אחד: ?00מהו

(0n=0 )כי 0=00מצד אחר:

רואים שאין עקביות בהגדרת הפעולה,.כביטוי חסר משמעות 00לכן הוגדר הביטוי

תודה רבה!תודה רבה!

צוות המתמטיקהצוות המתמטיקה

www.cet.ac.il/mathwww.cet.ac.il/math

25

מהו חוק החילוף?נסמן פעולה כלשהי בסימן #.

# a # b = b מתקיים: b ו- a שני מספרים לכלאם a.אזי עבור הפעולה # מתקיים חוק החילוף ,

לדוגמה, # מסמן חיבור )+(: 5 # 8 = 8 # 5

(13 = 8 + 5( )13 = 5 + 8)

עבור פעולה זו )חיבור( מתקיים חוק החילוף.

26

27

מהו חוק הקיבוץ? מתקיים:c ו-a, b שלושה מספרים לכלאם

(a # b # )c = a # )b # c(אזי עבור הפעולה # מתקיים חוק הקיבוץ.

ברור אפוא, כי עבור פעולת החזקה חוק הקיבוץ לא מתקיים

28