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经 济 数 学 线 性 代 数. 第7讲 矩阵的初等变换 教师：边文莉. 定义： 对矩阵 施以下述三个内容之一的一次变换，称为初等变换。. （1）交换矩阵的任意两行（列）. （2）用非零的数 乘矩阵的某一行（列）. （3）把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列）. 定义： 若矩阵 经过若干次初等变换变为矩阵 ，则称 与 等价。记做 。. （1）反身性. （2）对称性 则. （3）传递性 则. 一、矩阵的初等变换的概念. - PowerPoint PPT Presentation
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经 济 数 学 线 性 代 数经 济 数 学 线 性 代 数
第 7 讲
矩阵的初等变换
教师：边文莉
一、矩阵的初等变换的概念A定义：对矩阵 施以下述三个内容之一的一次变换，
称为初等变换。（ 1 ）交换矩阵的任意两行（列）（ 2 ）用非零的数 乘矩阵的某一行（列）（ 3 ）把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列）
k
k
定义：若矩阵 经过若干次初等变换变为矩阵 ，则称 与 等价。记做 。
A BA B A B
A B（ 1 ）反身性
A A （ 2 ）对称性 则 B A
（ 3 ）传递性 则,A B B C
A B
A C
定理：任意 矩阵必与如下形式的矩阵 等价m nm nD
( )
( ) ( ) ( )
1
0
1, min( , )
0
0 0
0
r r r n r
m nm r r m r n r
E OD r m n
O O
11 12 1
21 22 2 22 2
1
1 2 2
1 0 0 1 0 0
0 0
0 0
n
n n
m m mn m mn
a a a
a a a a a
A
a a a a a
行、列变换 简记
例 1 ：将下列矩阵化为等价标准型
2 1 2 3
4 1 3 5
2 0 1 2
A
解：
2 1 2 1 2 3
4 1 3 5
2 0 1 2
A
2 1 2 3
0 1 1 1
0 1 1 1
第一行乘以 ，第二行乘以 加到第三行12( ) ( 1)
312 21 1
0 1 1 1
0 0 0 0
( 1)
312 21 1
0 1 1 1
0 0 0 0
第一列乘以 加到第二列，乘以 加到第三列，乘以 加到第四列。
12( )
32( )
( 1)
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
( 1)
二、初等矩阵定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 . 三种初等行（列）变换对应着三种不同的初等矩阵．1 ．交换两行（或列）的位置
行第
行第
j
i
jiE
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
ji rr ji cc
2．以非零数乘某一行（或列）
行第ikkiE
1
1
1
1
))((
ikr ikc
3．把某一行（或列）的 k倍加到另一行（或列）上
行第
行第
j
ik
kjiE
1
1
1
1
))(,(
)( ji krr ( )j ic kc
注：初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵。
jiEjiE ,, 1
kiEkiE
11
kjiEkjiE ,, 1
定理： 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵 .
nmm
nA
A
AA
A
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
定理： 阶矩阵 可逆的充要条件是n A EA
A
证明：1 ，必要性
设 的等价标准型为 ，则存在初等方阵使得D
2 1sP P P 1 2 tQ Q Q A D
两端取行列式，由于左端为可逆阵相成所以左端不等于 0 ，所以 故 。证毕0D D E
2 ，充分性
A E 则有
2 1sP P P 1 2 tQ Q Q A E
2 1sP P P 1 2 0tQ Q Q E A
0A
故 可逆A
定理： 设 A 为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 .,,,, 2121 ll PPPAPPP 使
证 , A E
使即存在有限个初等方阵 ,,,, 21 lPPP
APEPPPP lrr 121
.PPPA l21即
利用初等变换求逆阵的方法：，有时，由当 lPPPAA 21 0
,11
11
1 EAPPP ll
, 111
11
1
AEPPP ll 及
EPPPAPPP llll1
111
111
11
1
1 AE
EAPPP ll1
111
1
.
)(2 1
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把
施行初等行变换，矩阵即对
. ,
343
122
321
1
AA 求设
解
例１
103620
012520
001321
100343
010122
001321
EA
12 2rr
13 3rr
21 rr
23 rr
111100
012520
01120121 rr
23 rr
111100
563020
23100131 2rr
32 5rr
31 2rr
32 5rr
）（ 22 r
）（ 13 r
.
11125
323
2311
A
11110025
323
010
231001）（ 22 r
）（ 13 r
.
1BA矩阵
的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1
即
初等行变换
例２
.
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX ，其中使求矩阵
解 .1BAXA 可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
23001
12 2rr
13 3rr
21 rr
23 rr
31 2rr
32 5rr
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
23001
12 2rr
13 3rr
21 rr
23 rr
31 2rr
32 5rr
小结
1. 初等行 ( 列 ) 变换
;1 jiji ccrr
;2 kckr ii
.3 jiji kcckrr
初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且变换类型相同．
3. 矩阵等价具有的性质
;1反身性 ;2 对称性 .3 传递性
2. A 初等变换 B .~ BA
4. 利用矩阵的初等变换求矩阵的逆。
E
)( BA
BA 1
初等行变换
