Моделирование конфликтных ситуаций в экономике

Моделирование конфликтных Моделирование конфликтных ситуаций в экономикеситуаций в экономике

Игры с природойИгры с природой


Определение.Определение. Игра, в которой осознанно действует Игра, в которой осознанно действует только один из игроков, называется игрой с только один из игроков, называется игрой с природой.природой.

Природа может принимать одно из своих возможных Природа может принимать одно из своих возможных состояний и не имеет целью получение выигрыша.состояний и не имеет целью получение выигрыша.

Игра с природой представляется в виде платежной Игра с природой представляется в виде платежной матрицы, элементы которой – выигрыши игрока А, но матрицы, элементы которой – выигрыши игрока А, но не являются проигрышами природы П.не являются проигрышами природы П.

Имеем. Игрок АИмеем. Игрок А,, SSАА={p={p11,p,p22,…,p,…,pmm}, F}, FAA(P,(P,ППjj)) Природа П с состояниями Природа П с состояниями SSПП=={{пп11,п,п22,…,п,…,пnn}}


A/A/ПП ПП11 ПП22 ПП33 …….. ППnn

AA11 aa1111 aa1212 aa1313 aa1n1n

AA22 aa2121 aa2222 aa2323 aa2n2n

……..

AAmm aam1m1 aam2m2 aam3m3 aamnmn

Каждый элемент Каждый элемент платежной матрицы платежной матрицы aaijij – –

выигрыш игрока Авыигрыш игрока А при при стратегии стратегии AAii в состоянии в состоянии

природы Пприроды Пjj

С одной стороны, задача выбора оптимальной стратегии С одной стороны, задача выбора оптимальной стратегии для игрока А упрощаетсядля игрока А упрощается

С другой, задача осложняется из-за дефицита С другой, задача осложняется из-за дефицита информации о поведении природыинформации о поведении природы


Алгоритм решения задач остается прежнимАлгоритм решения задач остается прежним

1.1. Анализируется наличие доминирующей стратегии Анализируется наличие доминирующей стратегии игрока А. Если она есть, то эта стратегия выбирается игрока А. Если она есть, то эта стратегия выбирается в качестве оптимальнойв качестве оптимальной

2. Производится редуцирование матрицы. При этом 2. Производится редуцирование матрицы. При этом рассматриваются только строки, т.к. «Природа» рассматриваются только строки, т.к. «Природа» действует не осознаннодействует не осознанно

Замечание.Замечание. Матрица выигрышей не всегда однозначно Матрица выигрышей не всегда однозначно определяет выбор оптимальной стратегииопределяет выбор оптимальной стратегии

На выбор стратегии оказывают влияние еще и На выбор стратегии оказывают влияние еще и показатели «удачности» или «неудачности» выборапоказатели «удачности» или «неудачности» выбора

Это условие называется «благоприятностью» природыЭто условие называется «благоприятностью» природы


Определение.Определение. Показателем благоприятности Показателем благоприятности состояния Псостояния Пjj природы П для увеличения выигрыша природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш игрока А при этом называется наибольший выигрыш игрока А при этом состоянии природы, т.е. наибольший элемент в состоянии природы, т.е. наибольший элемент в jj-ом -ом столбце платежной матрицы: столбце платежной матрицы: ββjj=max(a=max(aijij), j=1,2,…,n.), j=1,2,…,n.

Для характеристики «удачности» применения игроком Для характеристики «удачности» применения игроком стратегии стратегии AAii в состоянии природы П в состоянии природы Пjj вводится вводится понятие риска.понятие риска.

Определение.Определение. Риском Риском rrijij игрока А при выборе стратегии игрока А при выборе стратегии ААii называется разность между показателем называется разность между показателем благоприятности благоприятности ββjj в состоянии природы П в состоянии природы Пjj и и выигрышем авыигрышем аijij: : rrijij = = ββjj-a-aijij..

РискРиск – упущенная возможность получения – упущенная возможность получения максимального выигрыша в данном состоянии максимального выигрыша в данном состоянии природы.природы.

Из определения следует: Из определения следует: rrijij ≥ ≥ 0. 0.


ОпределениеОпределение.. Верхняя граница рисков для каждого Верхняя граница рисков для каждого состояния природы: состояния природы: wwjj==min(amin(aijij), j=1,2,…,n.), j=1,2,…,n.

Или Или WWii –минимальный выигрыш при данном состоянии –минимальный выигрыш при данном состоянии природыприроды

Колебание выигрышаКолебание выигрыша в заданном состоянии природы: в заданном состоянии природы: ΔΔrrjj==ββjj--wwjj..

Если Если aaijij= = WWii – то риск является максимальным. – то риск является максимальным. Следовательно по критерию риска эта стратегия Следовательно по критерию риска эта стратегия наихудшаянаихудшая

Если Если aaijij= = ββjj ((rrjjjj==0), то стратегия 0), то стратегия AAii - - безрисковаябезрисковая

Каждой платежной матрице игры можно поставить в Каждой платежной матрице игры можно поставить в соответствие матрицу рисков.соответствие матрицу рисков.

Обратное не верноОбратное не верно..


AAii\\ППjj ПП11 ПП22 ПП33 ПП44 ПП55

AA1199 44 55 11 33

AA2244 88 33 00 11

AA3344 77 44 88 22

ββjj99 88 55 88 33

Пример. Пример.

Матрица игрыМатрица игры Матрица рисковМатрица рисков

Если игрок выбирает стратегию АЕсли игрок выбирает стратегию А33, то игрок получает , то игрок получает одинаковый выигрыш при состояниях природы Подинаковый выигрыш при состояниях природы П11 и П и П33: : aa3131=a=a3333=4=4

Однако, эти выигрыши не равноценны в смысле рисков, т.к. Однако, эти выигрыши не равноценны в смысле рисков, т.к. удачность стратегии Аудачность стратегии А33 к этим состояниям природы различно. к этим состояниям природы различно. Благоприятность Благоприятность ββ11=9, а =9, а ββ33=5 соответственно риски =5 соответственно риски rr3131=5, =5, а а rr3333=1=1


AA11 00 44 00 77 00

AA22 55 00 22 88 22

AA33 55 11 11 00 11


Пример. (Продолжение)Пример. (Продолжение)


AA1199 44 55 11 33

AA2244 88 33 00 11

AA3344 77 44 88 22

ββjj99 88 55 88 33

Матрица игрыМатрица игры Матрица рисковМатрица рисков


AA11 00 44 00 77 00

AA22 55 00 22 88 22

AA33 55 11 11 00 11

Может быть и другая ситуация. Выигрыши Может быть и другая ситуация. Выигрыши aa2121=a=a3131=4 =4 при этом при этом риски у стратегий при состоянии природы Приски у стратегий при состоянии природы П11 одинаковы одинаковы rr2121=r=r3131=5=5

Стратегии, у которых при одинаковых состояниях природы Стратегии, у которых при одинаковых состояниях природы равны риски, называются равноценными относительно этих равны риски, называются равноценными относительно этих состояний природы состояний природы


Различают два вида задач в играх с природой:Различают два вида задач в играх с природой:

1.1. Задача о принятии решений в условиях рискаЗадача о принятии решений в условиях риска, когда , когда известны вероятностиизвестны вероятности, с которыми природа , с которыми природа принимает каждое из возможных состоянийпринимает каждое из возможных состояний

2. 2. Задачи о принятии решений в условиях Задачи о принятии решений в условиях неопределенностинеопределенности, когда, когда нет нет возможности получить возможности получить информацию о информацию о вероятностяхвероятностях появления состояний появления состояний природыприроды

Принятие решений в условиях рискаПринятие решений в условиях риска

Пусть имеем игру с природой в условиях риска относительно Пусть имеем игру с природой в условиях риска относительно выигрышейвыигрышей


AA11 aa1111 aa1212 aa1313 aa1n1n

AA22 aa2121 aa2222 aa2323 aa2n2n

……..

AAmm aam1m1 aam2m2 aam3m3 aamnmn

qqjj qq11 qq22 qq33 …….. qqnn

Игрок Игрок АА имеет имеет mm возможных возможных чистых стратегийчистых стратегий

Природа – Природа – nn возможных возможных состоянийсостояний

Каждое состояние появляется Каждое состояние появляется с вероятностью с вероятностью qqii

Задача.Задача. Выбрать оптимальную стратегию поведения игрока А в Выбрать оптимальную стратегию поведения игрока А в заданных условияхзаданных условиях

В понятие оптимальности вкладываются различные соображения, В понятие оптимальности вкладываются различные соображения, которые составляют содержание различных критериевкоторые составляют содержание различных критериев

Критерий Бейса в принятии решений в Критерий Бейса в принятии решений в условиях рискаусловиях риска

aqa ij

n

jji

1

Определение.Определение. Показателем эффективности чистой Показателем эффективности чистой стратегии игрока – среднее значение выигрыша игрока стратегии игрока – среднее значение выигрыша игрока при применении при применении i-i-ой стратегии:ой стратегии:

(8.1)(8.1)

Определение.Определение. Оптимальной по Бейсу чистой Оптимальной по Бейсу чистой стратегией игрока относительно выигрышей считается стратегией игрока относительно выигрышей считается такая стратегия, которая имеет максимальный такая стратегия, которая имеет максимальный показатель эффективности (8.1)показатель эффективности (8.1)

n

jijjii aqaa maxmax

1

0

(8.2)(8.2)


apПH ij

m

iijj

,P

1

ЗамечаниеЗамечание.. Стратегия, выбранная по критерию Бейса, Стратегия, выбранная по критерию Бейса, является оптимальной не в каждом применении, а в среднемявляется оптимальной не в каждом применении, а в среднем

Критерий Бейса можно распространить и на случай игры в Критерий Бейса можно распространить и на случай игры в смешанных стратегияхсмешанных стратегиях

Пусть Пусть P={pP={p11,p,p22,…,p,…,pmm} } смешанная стратегия игрока А, тогда смешанная стратегия игрока А, тогда выигрыш игрока естьвыигрыш игрока есть

(8.3)(8.3)

Тогда показатель эффективности смешанной стратегии Тогда показатель эффективности смешанной стратегии P P есть:есть:

apaqpapqHq i

m

iiij

m

i

n

jjiij

n

j

m

iij

n

jjjPPH

11 11 11

(8.4)(8.4)

Показатель эффективности по Бейсу относительно Показатель эффективности по Бейсу относительно выигрышей – среднее взвешенное значение показателей выигрышей – среднее взвешенное значение показателей эффективности чистых стратегий по тому же критериюэффективности чистых стратегий по тому же критерию


Определение.Определение. Пусть Пусть SSAA – – множество всех стратегий множество всех стратегий игрока А. Оптимальной среди всех стратегий из игрока А. Оптимальной среди всех стратегий из множества множества SSAA – – называется стратегия Рназывается стратегия Р00, показатель , показатель эффективности которой максимален:эффективности которой максимален:

PHPHmax 0

ТеоремаТеорема. Стратегия . Стратегия AAii00 оптимальная среди всех чистых оптимальная среди всех чистых

стратегий игрока А по критерию Бейса относительно стратегий игрока А по критерию Бейса относительно выигрышей, является оптимальной по тому же критерию выигрышей, является оптимальной по тому же критерию критерию среди всех смешанных стратегий критерию среди всех смешанных стратегий SSAA

Теорема говорит о том, что Теорема говорит о том, что при принятии решенияпри принятии решения в условиях в условиях риска по критерию Бейса относительно выигрышей, риска по критерию Бейса относительно выигрышей, можно можно обойтисьобойтись только только чистыми стратегиямичистыми стратегиями


ПримерПример.. Найти оптимальную стратегию предприятия Найти оптимальную стратегию предприятия при выпуске продукции, если платежная матрица имеет при выпуске продукции, если платежная матрица имеет вид:вид:

AAii\\ППjj ПП11 ПП22 ПП33 aaii

AA11 0.250.25 0.350.35 0.400.40 0.310.31

AA22 0.700.70 0.200.20 0.300.30 0.470.47

AA33 0.350.35 0.850.85 0.200.20 0.470.47

AA44 0.800.80 0.100.10 0.350.35 0.500.50

qqjj 0.50.5 0.30.3 0.20.2

Для удобства решения Для удобства решения задач платежная задач платежная матрица дополняется матрица дополняется столбцом столбцом aaii и строкой и строкой qqii

Оптимальной стратегией Оптимальной стратегией предприятия по критерию предприятия по критерию Бейса относительно Бейса относительно выигрышей является Авыигрышей является А44

аа11= = 0.50.5*0.25+*0.25+0.30.3*0.*0.3535++0.20.2*0.*0.44=0.31=0.31

Критерий Бейса относительно рисковКритерий Бейса относительно рисков


AA11 rr1111 rr1212 rr1313 …….. rr1n1n

AA22 rr2121 rr2222 rr2323 …….. rr2n2n

…….. …….. …….. …….. …….. ……..

AAmm rrm1m1 rrm2m2 rrm3m3 …….. rrmnmn

qqjj qq11 qq22 qq33 …….. qqnn

m,...,,iприrqr ij

n

jji

211

Пусть имеем игру относительно рисков в условиях рискаПусть имеем игру относительно рисков в условиях риска

ОпределениеОпределение. Показателем . Показателем неэффективности стратегии неэффективности стратегии AAii по критерию Бейса по критерию Бейса относительно рисков относительно рисков называется средне называется средне взвешенное значение риска в взвешенное значение риска в i-i-ойой строке:строке:

ОпределениеОпределение. Оптимальной по критерию Бейса в игре . Оптимальной по критерию Бейса в игре относительно рисков является стратегия относительно рисков является стратегия AAii, показатель , показатель неэффективности которой минимальныйнеэффективности которой минимальный

rr iimin0


Риск смешанной стратегии Риск смешанной стратегии P={pP={p11,p,p22,…,p,…,pmm}, }, принадлежащей принадлежащей

множеству множеству SSAA, при состоянии природы П, при состоянии природы ПJJ, определяется как:, определяется как:

n,...,,jпри,П,PHП jUHs

)П,P(r j

U

jj ,maxA

21

Показатель неэффективности смешанной стратегии Показатель неэффективности смешанной стратегии P{pP{p11,p,p22,…,…ppmm},}, принадлежащей множеству принадлежащей множеству SSAA, относительно рисков , относительно рисков определяется как средне взвешенное рисков по строкеопределяется как средне взвешенное рисков по строке

Оптимальной среди всех смешанных стратегий по критерию Оптимальной среди всех смешанных стратегий по критерию Бейса относительно рисков считается та стратегия, для Бейса относительно рисков считается та стратегия, для которой показатель неэффективности имеет минимальное которой показатель неэффективности имеет минимальное значениезначение

ТеоремаТеорема.. Если стратегия Если стратегия AAii00 – оптимальная по критерию Бейса – оптимальная по критерию Бейса

относительно рисков среди всех чистых стратегий, то она относительно рисков среди всех чистых стратегий, то она является оптимальной по тому же критерию среди всех является оптимальной по тому же критерию среди всех смешанных стратегийсмешанных стратегий


AAii\\ППjj ПП11 ПП22 ПП33 aaii

AA11 0.250.25 0.350.35 0.400.40 0.310.31

AA22 0.700.70 0.200.20 0.300.30 0.470.47

AA33 0.350.35 0.850.85 0.200.20 0.470.47

AA44 0.800.80 0.100.10 0.350.35 0.500.50

ββjj 0.80.8 0.850.85 0.40.4

qqjj 0.50.5 0.30.3 0.20.2

AAii\\ППjj ПП11 ПП22 ПП33 rrii

AA11 0.550.55 0.500.50 00 0.4250.425

AA22 0.100.10 0.650.65 0.100.10 0.2650.265

AA33 0.450.45 00 0.200.20 0.2650.265

AA44 00 0.750.75 0.050.05 0.2350.235

qqjj 0.50.5 0.30.3 0.20.2

Исходная матрицаИсходная матрица Матрица рисковМатрица рисков

Часто принимают, что Часто принимают, что qqii=Const=Const, т.к. у игрока нет информации о , т.к. у игрока нет информации о

законе распределения состояний природызаконе распределения состояний природы

Принятие гипотезы о равновероятном распределении вероятностей Принятие гипотезы о равновероятном распределении вероятностей состояний природы называется принципом недостаточного состояний природы называется принципом недостаточного основания Лапласса (основания Лапласса (qqii=1/n)=1/n)

Пример.Пример.

Принятие решения в условиях Принятие решения в условиях неопределенностинеопределенности

Особенность задачи – отсутствие информации о вероятностях Особенность задачи – отсутствие информации о вероятностях появления состояний природыпоявления состояний природы

Для решения задачи Гурвиц предложил следующий подходДля решения задачи Гурвиц предложил следующий подход

От платежной матрицы перейти к вспомогательной, которая От платежной матрицы перейти к вспомогательной, которая формируется из платежной матрицы путем сортировки формируется из платежной матрицы путем сортировки элементов каждой строки по возрастаниюэлементов каждой строки по возрастанию

Вспомогательную матрицу будем обозначать как ВВспомогательную матрицу будем обозначать как В

В этой матрице в 1-ом столбце сгруппированы элементы с В этой матрице в 1-ом столбце сгруппированы элементы с минимальными выигрышами при всех стратегиях игрока и минимальными выигрышами при всех стратегиях игрока и всех состояниях природывсех состояниях природы

В последнем столбце наоборот содержатся максимальные В последнем столбце наоборот содержатся максимальные выигрыши при всех стратегиях и состояниях природывыигрыши при всех стратегиях и состояниях природы


Для учета возможности появления выигрышей вводится Для учета возможности появления выигрышей вводится набор коэффициентов набор коэффициентов λλ11, , λλ22, …,, …,λλnn, которые обладают , которые обладают

свойством свойством λλ11++ λλ22++ … …++λλnn=1=1

Величина:Величина: b,...,,G ij

n

jjni

1

21 λλλλ

называется показателем эффективности стратегии называется показателем эффективности стратегии AAii по по

ГурвицуГурвицу

Величина (Величина (8.8.5) учитывает все выигрыши возможные при 5) учитывает все выигрыши возможные при i – i – ой стратегии и зависит от значений коэффициентов ой стратегии и зависит от значений коэффициентов λλ11, , λλ22, …,, …,λλnn, которые выступают в качестве весов вклада , которые выступают в качестве весов вклада

каждой стратегии в показатель эффективностикаждой стратегии в показатель эффективности

(8.5)(8.5)


n

nj

jo

n

jjp

12

2

1λλλλ

ОпределениеОпределение.. Обобщенным критерием пессимизма- Обобщенным критерием пессимизма-оптимизма Гурвица с коэффициентами оптимизма Гурвица с коэффициентами λλ11, , λλ22, …,, …,λλnn

относительно выигрышей называется критерий, по относительно выигрышей называется критерий, по которому оптимальной среди чистых стратегий является которому оптимальной среди чистых стратегий является стратегия стратегия AAii с максимальным показателем с максимальным показателем

эффективности (8.5)эффективности (8.5)

ЧислаЧисла

называются показателями пессимизма и оптимизма называются показателями пессимизма и оптимизма соответственносоответственно

Коэффициенты Коэффициенты λλ11, , λλ22, …,, …,λλnn выбираются субъективно выбираются субъективно

Критерий Вальда Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма)(критерий крайнего пессимизма)

Критерий Вальда является частным случаем Критерий Вальда является частным случаем обобщенного критерия Гурвица относительно обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными значениями выигрышей со специальными значениями коэффициентов: коэффициентов: λλ11=1, =1, λλ22==λλ33=…==…=λλnn=0=0

Подставляя значения коэффициентов в показатель Подставляя значения коэффициентов в показатель эффективности (8.5) получим:эффективности (8.5) получим:

m,...,,iприaijminb,...,,,GWnj

iii 2100011

1

(8.6)(8.6)

WWii представляет собой минимальный выигрыш при представляет собой минимальный выигрыш при

каждой стратегии, а оптимальной считается стратегия с каждой стратегии, а оптимальной считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности максимальным значением показателя эффективности WWii

Критерий Вальда Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма(критерий крайнего пессимизма

Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при которой минимальный выигрыш является которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий.чистых стратегий.

По критерию Вальда показатель пессимизма По критерию Вальда показатель пессимизма λλрр=1, а =1, а

показатель оптимизма показатель оптимизма λλоо=0=0

Критерий Вальда ориентирует игрока на Критерий Вальда ориентирует игрока на неблагоприятные для него состояния природынеблагоприятные для него состояния природы

Отсюда название «Критерий крайнего пессимизма»Отсюда название «Критерий крайнего пессимизма»

Критерий крайнего оптимизмаКритерий крайнего оптимизма

m,...,,iприij,,...,, amaxbGMnj

inii211000

1

Данный критерий является противоположностью Данный критерий является противоположностью критерия Вальдакритерия Вальда

Предполагается, что Предполагается, что λλ11==λλ22=…==…=λλn-1n-1=0, =0, λλnn=1=1, тогда, тогда

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Оптимальной среди чистых стратегий по критерию максимального оптимизма будет стратегия максимального оптимизма будет стратегия AA00,, для для которой справедливо условие:которой справедливо условие:

amaxmaxmax ijMiMnjmimi

111

В этом случае В этом случае λλрр=0, =0, λλоо=1=1

Критерий пессимизма-оптимизма Критерий пессимизма-оптимизма ГурвицаГурвица

Данный критерий является некоторым обобщением Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:следующем допущении:

λλ11=1-=1-λλ, , λλ22==λλ33=…==…=λλn-1n-1=0, =0, λλnn==λλ, где 0≤, где 0≤λ≤λ≤11

Тогда показатель эффективности стратегии Тогда показатель эффективности стратегии AAii по по

Гурвицу есть:Гурвицу есть: amaxaminbbGG ijij,...,,,

njnjiniii

11

1λλ1λλ1λ00λ1

Оптимальной стратегией Оптимальной стратегией AAii00 считается стратегия с считается стратегия с

максимальным значением показателя эффективности максимальным значением показателя эффективности (8.7)(8.7)

(8.7)(8.7)

Критерий пессимизма-оптимизма Критерий пессимизма-оптимизма ГурвицаГурвица

Показатели пессимизма и оптимизма при этом равны Показатели пессимизма и оптимизма при этом равны соответственно соответственно λλpp=1-=1-λλ, , λλoo==λλ

Показатель эффективности (8.7) соответствует Показатель эффективности (8.7) соответствует показателю эффективности крайнего пессимизма при показателю эффективности крайнего пессимизма при λλ=0 и крайнего оптимизма при =0 и крайнего оптимизма при λλ=1=1

При При λλ=0.5 (реалистичная ситуация) =0.5 (реалистичная ситуация) λλpp==0.50.5, , λλoo==0.50.5

Замечание.Замечание. Рассмотренные критерии не учитывают Рассмотренные критерии не учитывают всех возможных состояний природы. Принятие решения всех возможных состояний природы. Принятие решения производится на основании только крайних значений производится на основании только крайних значений выигрышавыигрыша

Только обобщенный критерий Гурвица позволяет Только обобщенный критерий Гурвица позволяет учесть весь спектр возможных выигрышей!учесть весь спектр возможных выигрышей!

Обобщенный критерий Гурвица Обобщенный критерий Гурвица относительно выигрышейотносительно выигрышей

Т.к. в матрице В все элементы по строкам упорядочены Т.к. в матрице В все элементы по строкам упорядочены в порядке возрастания, это свойство положено в основу в порядке возрастания, это свойство положено в основу определения значений неизвестных коэффициентов определения значений неизвестных коэффициентов λλjj

Введем следующие обозначения:Введем следующие обозначения:

n

j

m

iij

n

jj

m

ijj

m

iijj

ab

bb

bb

b

m

1 11

1

1

1

Сумма выигрышей поСумма выигрышей по j- j-ому столбцу ому столбцу матрицы Вматрицы В

Среднее значение выигрыша по Среднее значение выигрыша по J-J-ому ому столбцу матрицы Встолбцу матрицы В

Общая сумма выигрышей по всей Общая сумма выигрышей по всей матрицематрице

bb11≤b≤b22≤…≤b≤…≤bnn ии bb11≤b≤b22≤…≤b≤…≤bnn


Игроку предлагаются два подхода к выбору оптимальной Игроку предлагаются два подхода к выбору оптимальной стратегии:стратегии:

- более осторожный, при котором коэффициенты - более осторожный, при котором коэффициенты λλ убывают с ростом средних значений выигрышей по убывают с ростом средних значений выигрышей по столбцамстолбцам

- более оптимистичный, при котором значения - более оптимистичный, при котором значения коэффициентов коэффициентов λλ возрастают с ростом средних значений возрастают с ростом средних значений выигрышей по столбцамвыигрышей по столбцам

Выбор подхода (оценка реальной ситуации Выбор подхода (оценка реальной ситуации опаснаяопасная//безопасная) возлагается на игрокабезопасная) возлагается на игрока


bb j

jλ

Безопасная ситуация (оптимистичный подход)Безопасная ситуация (оптимистичный подход)

λλ11::λλ22::λλ33:…::…:λλnn = b = b11:b:b22:b:b33:…:b:…:bnn

Опасная ситуация (пессимистический подход)Опасная ситуация (пессимистический подход)

λλ11::λλ22::λλ33:…::…:λλnn = b = bnn:b:bn-1n-1:b:bn-2n-2:…:b:…:b11

bb jn

j

1λ

(8.8)(8.8)

(8.9)(8.9)

Пример игры с природойПример игры с природой

Задача. «Покупка акций»Задача. «Покупка акций»

Пусть инвестор может купить акции трех компаний КПусть инвестор может купить акции трех компаний К11, К, К22

и Ки К33, руководствуясь показателем доходности акций., руководствуясь показателем доходности акций.

Ситуация на фондовом рынке меняется со временем, Ситуация на фондовом рынке меняется со временем, что сказывается на показателях доходностичто сказывается на показателях доходности

Тогда в качестве игрока можно принять инвестора, а в Тогда в качестве игрока можно принять инвестора, а в качестве природы – ситуацию на рынке в различные качестве природы – ситуацию на рынке в различные моменты временимоменты времени

Пусть известны показатели доходности акций за 4-ре Пусть известны показатели доходности акций за 4-ре последовательных месяца «январь» - «апрель»последовательных месяца «январь» - «апрель»

Вопрос. Какие акции целесообразно купить акционеруВопрос. Какие акции целесообразно купить акционеру??


П Январь Февраль Март Апрель

А П1 П2 П3 П4

А1 8 4 6 20

А2 7 7 7 7

А3 6 12 8 10

Таким образом, в Таким образом, в распоряжении игрока распоряжении игрока имеется матрица игры, в имеется матрица игры, в которой представлены которой представлены показатели доходностей показатели доходностей акций при каждом акций при каждом состоянии природы и состоянии природы и вспомогательная матрица, вспомогательная матрица, полученная путем полученная путем упорядочивания упорядочивания показателей доходностей в показателей доходностей в каждой строкекаждой строке

Матрица игрыМатрица игры

J 1 2 3 4

А

А1 4 6 8 20

А2 7 7 7 7

А3 6 8 10 12

Вспомогательная матрица ВВспомогательная матрица В


J 1 2 3 4 Wi Mi Gi(опт) Gi(пес)

А

А1 4 6 8 20 4 20 8.86 15.4

А2 7 7 7 7 7 7 7.00 7.00

А3 6 8 10 12 6 12 7.82 10.18

Стратегии оптимальные с Стратегии оптимальные с позиций критериев Вальда и позиций критериев Вальда и крайнего оптимизма крайнего оптимизма находятся очень просто находятся очень просто Найдем оптимальные Найдем оптимальные стратегии по критерию стратегии по критерию пессимизма – оптимизма пессимизма – оптимизма ГурвицаГурвица

Подход пессимистаПодход пессимиста. . λλ выбирается из условия невозрастания выбирается из условия невозрастания среднего:среднего:

696030401304056

17

3917

17λλλ

141

14

...bbb

GG11((λλ)=)=λλ11*W*W11++λλ44*M*M11=0.696*4+0.304*20=8.86=0.696*4+0.304*20=8.86

GG22((λλ)=0.696*7+0.304*7=7; G)=0.696*7+0.304*7=7; G33((λλ)=0.696*6+0.304*0.696=7.82)=0.696*6+0.304*0.696=7.82

Подход оптимиста. Подход оптимиста. λλ выбирается из условия неубывания среднего выбирается из условия неубывания среднего

Bj 17 21 25 39

λλ==λλ11=b=b44/(b/(b11+b+b44)=0.696 )=0.696 λλ44=(1-=(1-λλ)=0.304)=0.304


102

39

102

25

102

21

102

17102

17

102

21

102

25

102

39

39252117

699318121086

0070077777

51198720864

4321

λ

λ

3

2

1

опт

пес

j

оптпес

bAAA

GG

..

..

..

JA Найдем оптимальные стратегии по Найдем оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвицаобобщенному критерию Гурвица

Опасная ситуация. Коэффициенты Опасная ситуация. Коэффициенты λλ вычисляются по (8.9)вычисляются по (8.9)

b=b=17+21+39=10217+21+39=102

λλ11=39/109; =39/109; λλ22=25/102; =25/102; λλ33=21/102; =21/102; λλ44=17/102=17/102

Показатели эффективности по Гурвицу по (8.5)Показатели эффективности по Гурвицу по (8.5)

318102

1712

102

2110

102

258

102

396

007102

177

102

217

102

257

102

397

987102

1720

102

218

102

256

102

394

3

2

1

.

.

.

G

G

G

пес

пес

пес

Documents

Моделирование конфликтных ситуаций в экономике