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线 性 代 数 综 合 练 习 题 （一）. 1 、四阶方阵 A 的特征值 为 1 、 2 、 3 、 4 ，则. ，. ；. 2 、设. 则. ；. 一、 填空 题：. 3 、设二次型. 则其秩为 ；. 4 、向量组. 线性相关，则. ；. 5 、已知 A 是满秩矩阵，且. 则 B 的秩为. 。. 1 、设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是它的伴随矩阵，则. ；. - PowerPoint PPT Presentation
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线 性 代 数 综 合
练 习 题
（一）
一、填空题：
2 、设 7 3 0 0
3 1 0 0
0 0 1 2
0 0 1 1
A
则 1A ；
，
1 、四阶方阵 A 的特征值 为 1 、 2 、3 、 4 ，则A ；
22 33 44a a a a 11
3、设二次型2 2 22 3 2 2 2 ,f x y z xy xz yz
则其秩为 ；4 、向量组 1 2 32 6 1 , 3 1 , 0 0 1
T T T 线性相关，则 ；5、已知 A 是满秩矩阵，且 1 2 3
2 4 6 ,
3 6 9
AB
则 B 的秩为
。
二、选择题：1、设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是它的伴随矩阵，则
*A*A ；
1 1( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )n n
a A b A c A d A
2、设 A 、 B 均为 n 阶方阵，且满足 AB=0 ，则必有 ；( ) 0 0; ( ) 0;
( ) 0 0 ; ( ) 0.
a A B b A B
c A B d A B
或
或
1 8 1( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) 8 .
8 2a b c d A
A A A
3、设 A 是三阶可逆矩阵，则 等于 ；1(2 )A
1 2 、 4、已知 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解， 与 是对应的齐次线性方程组 AX=b 的基础解系， 与 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解为 ；
12
1 2k k
11 1 2 1 2 1 22
11 1 2 1 2 1 22
11 1 2 1 2 1 22
11 1 2 1 2 1 22
( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( );
a k k
b k k
c k k
d k k
5、已知三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 、 2 、 3 ，且对应于 1 、 2 的特征向量分别为 和(2, 2,1)T
(1,1,0)T
，则对应于 3 的特征向量为 .
三、解答下列各题
1、已知 AX=B-2X ，其中 0 2 3 4 7 5
1 3 0 , 0 1 1 ,
1 2 1 1 1 0
A B
求 X .
( ) ( 1,1,0) ;( ) (0,1, 2) ;( ) (1,1,4) ;( ) ( 1,1,4)T T T Ta b c d
2 、求矩阵3 1 0 2
1 3 2 1
1 3 4 4
A
的秩及一个最大无关列向量组 .
3 、设矩阵 A 与 B 相似，其中 1 0 0
0 2 0 ,
0 0
B
y
求 x , y 的值 .
2 0 0
2 2 ,
3 1 1
A x
问当 取何值时，下面的方程组1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 3
2 2 11
3 6 2 3
x x x x
x x x x
x x x x
有解？有解时求其通解 .
四、
4 、设 PB=AP ，其中
求 .5A
2 0 0 1 0 0
0 1 2 , 0 2 0 ,
0 0 1 0 0 2
P B
五、设二次型2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 5 5 4 4 8f x x x x x x x x x
1 、试用矩阵形式表示；
2 、用正交变换将其化为标准型，并指出所用的正交变换 .
六、设3 3( ) , ( , 1, 2,3),ij ij ijA a a A i j 且
33 1,a 1, (0,0,1) ,TA b
求 AX=b 的解 .
七、设向量组 1 2, , , m 线性无关，试讨论向量组
1 1 2 2 2 3, , , 1 1 1,m m m m m
的线性相关性 .
一、 1、解：
1 2 3 4 22 33 44a a a a 11
=1+2+3+4=101 2 3 4 1 2 3 4 24A
2、将 A 分块 0 7 3 1 2
, ,0 3 1 1 1
BA B C
C
11
1
0
0
BA
C
而
3 1 213 32 21 * 1
3 7 1 13 32 2
1,B B C
B
312 2
3 72 21
1 23 3
1 13 3
0 0
0 0
0 0
0 0
A
3、解：二次型矩阵为1 1 1
1 2 1
1 1 3
A
2 1
3 1
1 1 1
0 1 0
0 0 2~r r
r r
( ) 3R A 所以二次型的秩为 3 ；4、解：因为三个 3 维向量线性相关
1 2 3
2 3 0
6 0 0, 9.
1 1 1
解得
5、解：因为 A 为满秩方阵，所以 A 可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵 B ，相当于对B 进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，
2 1
3 1
2
3
1 2 3 1 2 3
2 4 6 0 0 0
3 6 9 0 0 0~r r
r r
AB
1R B R AB （ ） （ ）所以
二、 1、解：* *AA A A A E ，
* nA A A E A
1*0n
A A A A 可逆， ，
故选 (a).2、解： 0 0 0 0AB A B A B 或故选 (c).
3、解：11 11
2
1 1(2 )
8 8A A A
A
故选 (a).
4、解：非齐次线性方程组的通解为其对应的齐次线性方程组的通解和它的一个特解的和。已知
1 2, 为非齐次线性方程组的解，
1 2 为非齐次方程1（ ）2
,组的解
1 2而 为齐次方程组的基, 础解系，1 2 1 1 2, , 线性无关，可证 线性无关且为齐次线性方程组的解
1 1 2可做为齐次线性方程组, + 的基础解系，
为非齐次方程组的通解 , 故选 (b).
1 2 1 1 2 1 2
1k +k( + )+（ ）
2
5、解：因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是线性无关的，而且是正交的，所以对应于 3 的特征向量应满足
0X
为方程组1 1 0
2 -2 1,的解向量
11 0 0 2 2 1 0 （，，） ，（ ， ，） 即
T=(-1, 1, 取4)解得基础解系为所以得对应于特征值 3 的特征向量为
T(-1, 1, 4) 故选 (d).
三、 1 、解：由 AX=B-2X 得（ A+2E ） X=B对矩阵（ A+2E B ）施行初等
行变换2 2 3 4 7 5
( 2 ) 1 1 0 0 1 1
1 2 1 1 1 0
A E B
1 2
3 2
20 4 3 4 5 3
1 1 0 0 1 1
0 1 1 1 2 1~r r
r r
1 3
2 3
40 0 1 0 3 1
1 0 1 1 3 2
0 1 1 1 2 1~r r
r r
2 1
3 1
0 0 1 0 3 1
1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0~r r
r r
1 0 0 1 0 1
~ 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 3 1
1 0 1
1 1 0
0 3 1
X
2 、解：对矩阵 A 施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵
3 1 0 2
1 3 2 1
1 3 4 4
A
1 2
3 2
30 10 6 5
1 3 2 1
0 6 6 5~r r
r r
1 3
0 4 0 0
1 3 2 1
0 6 6 5~r r
1 2
1 3 2 1
0 4 0 0
0 6 6 5~r r
12 4
1 3 2 1
0 1 0 0
0 6 6 5~r
3 261 3 2 1
0 1 0 0
0 0 6 5~r r
则 R （ A ） =3 ，第 1 、 2 、 3 列是列向量组的一个最大无关组。
3 、解：因为相似矩阵具有相同的迹， trA=trB , 所以得 x-1=y+1, 即 x-2=y 又因为相似矩阵有相同的特征值 , -1 为矩阵 B 的一个特征值 , 所以 -1 亦为矩阵 A 的一个特征值 , 所以有
0,A E A E 即1 0 0
2 1 2 0
3 1 2
x
解得 x=0 , y= -2,
4 、解：因为 PB=AP 而 P 可逆 1551
, APBPAPBP
12
5 5 1
5
1 0 0 0 0
0 2 0 , 0 1 2
0 0 2 0 0 1
B P
12
5 5
5
2 0 0 1 0 0 0 0
0 1 2 0 2 0 0 1 2
0 0 1 0 0 2 0 0 1
A
12
5 6
5
2 0 0 0 0 1 0 0
0 2 2 0 1 2 0 32 0
0 0 2 0 0 1 0 0 32
四、解：对增广矩阵 B 施行初等行变换
1 1 2 4 3
1 2 2 11
3 1 6 2 3
B
2 1
3 13
1 1 2 4 3
0 3 0 15 3
0 2 0 10 6~r r
r r
11 32
32 32
1 0 2 1 0
0 0 0 0 6
0 2 0 10 6~r r
r r
12 32( )
1 0 2 1 0
0 1 0 5 3
0 0 0 0 6~
r r
6 , ( ) ( ) 2R A R B 当 时此时方程组有解，同解方程组为
1 3 4
2 4
2 0
5 3
x x x
x x
取 为自由未知量，3 4,x x
并令 ，得它的一个特解为3 4 0x x (0,3,0,0)T
对应的齐次方程组的基础解系为 1 ( 2,0,1,0) ,T 2 (1, 5,0,1)T 于是，原非齐次线性方程组当
的通解为 1 1 2 2 1 2, ( , ).X k k k k R 6 时
五、解：1
1 2 3 2
3
2 2 2
(1) ( , , ) 2 5 4
2 4 5
T
x
f x x x x X AX
x
2 2 2
(2) 2 5 4
2 4 5
A E
(1 )( 1)( 10)
1 2 ,1 ( ) 0,A E X 当 时由方程组 即1
2
3
1 2 2 0
2 4 4 0
2 4 4 0
x
x
x
解得1
2 1 2
3
2 2
1 0
0 1
x
x k k
x
1 2
0 4
1 , 1
1 1
c c
取对应的两个正交特征向量
单位化得 1 2
1 1(0,1,1) , (4, 1,1)
2 3 2T Tp P
3 ,10 当 时( 10 ) 0,A E X 由方程组 解得
1 2 3( , , ) (1,2,2)T Tx x x k
取对应的特征向量 3 (1, 2,2) ,Tc
3
1(1,2,2)
3TP 单位化得 令
222123 10 fyyy
1 2 3( ),P P P P 则 P 为正交矩阵，在正交变换
X=PY 之下，原二次型化为标准形
六、解：由 * Tij ija A A A 知 而
31 31 32 32 33 33A a A a A a A 2 2 2 2 231 32 33 31 32 1 1a a a a a
31 32 0, 1 0a a A 又 ，A AX b 可逆，于是 的解为
1 *1 TX A b A b A bA
11 21 31 31
12 22 32 32
13 23 33 33
0 0
0 0
1 1
a a a a
a a a a
a a a a
七、解：设一组数1 2 3, , , , mx x x x 使
1 1 2 2 3 3 0m mx x x x
即1 1 2 2 2 3 1( ) ( ) ( ) 0m mx x x
亦即1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) 0m m m mx x x x x x
因 1 2, , , m 线性无关，故只有
（ 1）
而其系数行列式
1
1 1 0 0
0 1 1 0 01 ( 1)
2
1 0 0 1
m m
m
为偶数时为奇数时
（ 2）
1 2
2 3
1
1
0
0
0
0
0m m
m
x x
x x
x x
x x
所以当 m 为偶数时，方程组（ 2 ）有非零解，即有不全为零的数1 2 3 mx x x x， ， ， ，
使（ 1 ）式成立，据线性相关性的定义知1 2, , , m
1 2 3 mx x x x， ， ， ，线性相关；当 m 为奇数时，方程组（ 2 ）只有零解，即只有
全为零时（ 1 ）式才能成立，故此时向量组
1 2, , , m 线性无关。
