Геометрические характеристики плоских сечений

Прочность при растяжении-сжатии зависит от площади поперечного сечения А. Т.о. А – геометрическая характеристика, определяющая напряжения при растяжении-сжатии. При изгибе, кручении ситуация иная. Там напряжения зависят от других характеристик поперечных сечений стержней.

Пример

1

2

2 > 1

z

y

dА

Введем понятие статического момента:

y

zA

y zdAS

A

SY zc

A

z ydAS [см3]

Из теоретической механики известно:

A

SZ yc

Т.о. статические моменты относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными

Введем понятие осевого момента инерции сечения:

dAyIA

z2 dAzI

A

y2

A

zy yzdAI

[см4]

Центробежный момент инерции:

Полярный момент инерции:

A

dAI 2

Из рис. следует:

zy

A AAA

IIdAydAzdAyzdAI 22222 )(

zy III

Моменты инерции простейших фигур

1. Прямоугольник

Рассуждая аналогично:

h

b

z

y

0

dy

y

dybdA

2

2

22

h

hA

z bdyydayI

12

3hbI y

2

2

3

3

h

h

by

883

33 hhb12

3bh

2. Треугольник

b

hz

y

01/3h

2/3hdy

y

Оси z, y – центральные.

Из подобия треугольников:

;32

b

h

b

yh

y

;32

h

byhby

;3

2dyyh

h

bdybdA y

by

2. Треугольник

dyyhh

bydAyI

h

hA

z 3

23

2

3

22

36

3bhI z

dyyh

bhdyy

h

b 32

3

2

h

h

h

h

y

h

byh

h

b 3

2

3

1

43

2

3

1

3

433

2

4433

81

1

81

16

427

1

27

8

9

2hh

h

bhhb

36.....

3bh

3. Круг

z

y

R

dzy III

2III zy

ddA 2

Ранее было:

A

dAI 2

64

4dII zy

322

4ddR

R

d0

32 24

24

0

4 RR

4. Кольцо

R

r

y

z

44

2rRI

44

42rR

III zy

Моменты инерции относительно // осей

y

z0

С

yС

zС

dA

y

z

y0z0

b

a

Дано: baIIcycz ,,,

zyyz III ,,

;20dAyI

Acz

Определить:

;20dAzI

Acy

;00 dAzyIA

yz cc

AAA A

z dAadAyadAydAayI 20

20

20 2

Статический момент = 0 относительно центральной оси

AaII czz2 Аналогично: AbII

cyy2

bzzayy

A

zy yzdAI 0

0

abAIIcc yzzy Последнее слагаемое м.б. > 0, 0.

dAaybzA

00

;0000 AAAA

dAzadAybdAabdAyz

Пример

h

b

z

y

0

z1

Ранее было получено:

12

3bhI z

bhh

II czz

2

2

3

3

1

bhI z

3412

333 bhbhbh

Теоремаy

z-z z

dAdA

yy

Центробежный момент инерции Izy = 0, если одна из осей является осью симметрии сечения (фигуры).

A

zy yzdAI

0 правлев zz

левA

лев

прA

пр ydAzydAz

22