電磁気学ⅡElectromagnetics Ⅱ

山田 博仁

共振器と導波路

6/19 講義分

完全導体による電磁波の反射

完全導体 (σ = ∞) 表面における電磁波の境界条件は、

0tE

完全導体 E = 0

En = 0 とは限らない

導体表面に電荷が現れる場合がある

電場の法線成分 En は必ずしもゼロではない

完全導体

Ht = 0 とは限らない

導体表面に電流が流れる場合がある

磁場の接線成分 Ht は必ずしもゼロではない

変動磁場 静磁場

静磁場に対しては必ずしもゼロでない

完全導体σ =∞

界面での電場の接線成分 Et はゼロ

E = 0

t

B

Erot より

完全導体内ではE = 0 、従って rot E = 0

従って、電磁波は完全導体内には進入できず、全反射される

何故なら、ie = σE より、E = 0 でないと無限大の電流が流れることになる

0nB

より、

より、

電場 E

表面に高さ無限小の微小円柱を考え、 Gauss の法則を適用すると分かる

界面に高さ無限小の長方形を考え、 Ampere-Maxwell の法則を適用すると分かる

Bω = 0 B0 = 0 とは限らない

完全導体

Bn = 0

変動磁場の法線成分 Bn はゼロ

変動磁場 静磁場Bω = 0 B0 = 0 と

は限らない

完全導体による電磁波の反射

)cos()cos(1

)cos()cos(

00

00

kztEkztEZ

HHH

kztEkztEEEE

riryiyy

rirxixx

z < 0 の領域を固有インピーダンス Z の媒質が占め、 x-y (z = 0) 平面を境にして z > 0 の領域の完全導体と接しているとする。そこに、 x 方向に電場ベクトルを有する角周波数 ω の正弦電磁波が、媒質中 (z < 0) から導体界面に対して垂直入射する場合を考える。媒質内には入射波と反射波が存在し、定在波が生じている。従って、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、

z0

完全導体(σ = ∞)

媒質 : Z

Erx

入射波

反射波

x

Hiy

Eix

Hry

k は電磁波の波数

完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面 即ち z = 0 において、 Ex = 0 であるから、

000 ri EE

従って、媒質中の電磁場は、

kztEZ

kztEkztEZ

H

kztEkztEkztEE

iiiy

iiix

coscos2

)cos()cos(1

sinsin2)cos()cos(

000

000

反射波の磁界は−y 方向を向いている

となる。

( 界面での電場の接線成分は連続 )

完全導体による電磁波の反射

反射端 ( 導体表面 )

入射波

反射波定在波

λ

定在波の節の位置定在波の腹の位置出展 : http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html

電場の節

2

n

k

nz (n = 0, 1, 2 　 ‥ )

22

1 nz

電場の腹

z = 0

z

(n = 0, 1, 2 　 ‥ )

電場

電場の節は、 kz = nπ (n は整数 ) の関係から求められ、

000 ri EE より、界面では入射波と反射波の電界振幅は符号が逆で同じ値

一方、電場の腹は

(n は整数 ) の関係から求められ、

2

1nkz

完全導体による電磁波の反射

反射端 ( 導体表面 )

入射波

反射波定在波

λ

定在波の腹の位置定在波の節の位置出展 : http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html

磁場の節

22

1 nz

2

n

k

nz

磁場の腹

z = 0

(n = 0, 1, 2 　 ‥ ) (n = 0, 1, 2 　 ‥ )

磁場

z

000 ri HH より、界面では入射波と反射波の電界振幅は同符号で同じ値

磁場の節は、

(n は整数 ) の関係から求められ、

2

1nkz 一方、磁場の腹は kz = nπ

(n は整数 ) の関係から求められ、

受電端を短絡した場合に対応

参考 ) 伝送線路の場合との比較

xs x=0短絡

βx = 02

2

32

2

53

電圧

電流

全反射

0t4

t2

t4

3 t t

定在波

送電端

Vs

x

Z0

xs

Vx

IxIs

V0= 0

I0

x = 0

受電端

短絡

無損失線路 (α = 0)

txII

txIZV

x

x

sincos

cossin

0

00

波の反射と定在波

ωt = 0

2

4

4

3

λ

x

反射端+x 方向に進行する波 反射波 定在波 = 進行波 + 反射波

電磁波の共振器

平行平板共振器 (Fabry-Perot 共振器 )

完全導体による平行平面で挟まれた空間に存在する電磁波はどのように表される ?

n = 1 n = 2 n = 3

完全導体 完全導体

z = 0 z = L

簡単のため、電磁波は x 方向の電場ベクトルを有する正弦波とし、 z = 0, L に位置する完全導体面に対して、垂直に入射しているものとする。電界 Ex は、いつの瞬間においても完全導体表面でゼロとなるから、

kztEkztEkztEE iiix sinsin2)cos()cos( 000

において、 z = 0, L において Ex = 0 となるためには、

zL

ntEE nx

sinsin0 (n = 1, 2, 3 　 ‥ )

2

nLよって、 (n = 1, 2, 3 　 ‥ )L

nk

2 であるから、

?

電磁波の導波路

平行平板による導波路 (Slab 導波路 )

完全導体

完全導体

完全導体による平行平面で挟まれた空間に斜めに入射した電磁波は、図のように反射を繰り返しながら伝搬していく。従って、電磁波の導波路として機能する。

電磁波の導波路

平行平板による導波路 (Slab 導波路 )

完全導体

完全導体

d

θ θ

k0

kg

このとき、導波路を伝搬している電磁波の自由空間における波数を k0 と すると、電磁波の伝搬方向での波数 kg は、 kg = k0 cosθ となる。また、

伝搬方向と垂直方向での波数を kt とすると、 kt = k0 sinθ となる。

完全導体による平行平面で挟まれた間隙に入射角度 θ で斜めに入射した電磁波は、図のように導体表面で全反射を繰り返しながら伝搬していく。

kg = k0 cosθ

kt

kt = k0 sinθ

従って、 2220 tg kkk

d: 導体間の間隙の距離

電磁波の導波路

それぞれの波長との関係は、 k = 2π /λ より、

2220

111

tg

導波路を伝搬することが許されるのは、伝搬方向と垂直方向に対して定在波条件つまり、 kt 2d = 2qπ (q は自然数 ) の関係が成立するときのみ。

即ち、q

dt

2

q = 1q = 2

完全導体

完全導体

d

θ θ

kt = k0 sinθ

q = 1 の時が、伝搬することが許される最低次のモードで、 λt = 2d となる。

λg は導波路内での波の伝搬方向の波長で、管内波長と言う

kt 2qπ

(q = 1, 2, 3, ‥‥ であり、モード番号という )

q = 3

この最低次のモードでは、波長 λ0 が長くなるにつれて、入射角度 θ が大きくなる。

λt

λg

λ0

λ0 は自由空間での波長

より、 q = 1 の時の 入射角 θ と λ0 との関係は、d2

sin 01

電磁波の導波路

完全導体

完全導体

d kt 2πq = 1

従って、伝搬することが許される最も長い自由空間中での波長 λ0 を遮断(Cutoff) 波長 λc と言い、

dqtc 2)1(

そして、 θ = π /2 となった時、電磁波の伝搬方向への波数 kg は kg = 0 つまり λg = ∞ となり、もはや電磁波は伝搬しなくなる。

tctcgg kkk ,,0,

遮断波長においては、

の関係が成り立つ。

θ θ θ = π /2

となる。

導波管

x

y

z

電磁波 ( 特にマイクロ波、ミリ波 ) の伝送には、図のような中空の金属導波管が用いられることがある。

方形導波管

このような導波管内での電磁波の伝搬を以下で扱う。

導波管の中の電磁場が角周波数 ω で正弦波的に時間変化をする場合を考える。

022

2

2

2

zzz Ek

y

E

x

E

波動方程式　　　　　　　　　　　　　より、02

2

00

t

EE

01

2

2

22

2

2

2

2

2

t

E

cz

E

y

E

x

E zzzz

つまり、 )(0 ),(),,( ztjeyxzyx EE

E の z 成分 Ez は、

従って、

ただし、 22

22

c

k

: 伝搬定数 ( 複素数 )

( 教科書 p.223 　 12.8)

c は自由空間での光速度

また、導波管内を z 方向に伝搬定数 γ で伝搬すると仮定する。

導波管

x

y

z

方形導波管

022

2

2

2

zzz Hk

y

H

x

H

同様に、磁波の波動方程式　　　　　　　　　　　　　より H の z 成分 Hz は、02

2

00

t

HH

Ez と Hz は全く同形で別々の微分方程式に従うことから、 Ez = 0 で Hz ≠ 0 の解と、 Ez ≠ 0 で Hz = 0 の解が独立に存在し、一般解はこれらの解の重ね合わせとして表せる。

Ez = 0 で Hz ≠ 0 の波を、電場成分が進行方向に垂直なことから (Transverse Electric) TE 波、 Ez ≠ 0 で Hz = 0 の波を磁場成分が進行方向に垂直なことから (Transverse Magnetic) TM 波と呼ぶ。

ところで、 k = 0 の場合には　　　　　　となり、c

z 方向に光速で伝搬する電磁波が期待される。

この場合、 Ez = Hz = 0 であり、(Transverse Electric Magnetic) TEM 波と呼ぶ。

これは同軸ケーブルやレッヘル線の場合で、導波管では TEM 波での伝搬形態はない。

波の進行方向のベクトル成分を持たないこと

自由空間を伝搬する平面波も TEM 波である。

導波管

方形導波管

電磁場に対する境界条件は、導波管壁で E・ t = 0 および H・ n = 0 だから、

導波管の断面を x-y 面にとり、内部の辺長を a, b とする。

Hz = 0 の電磁波、 即ち TM 波について考えると、 Ez に対する微分方程式の解は、

x

y

z

0 b

a

),0(0

),0(0

byHEE

axHEE

yzx

xzy

tjzjykxkjz eeAeE yx )(

(A は定数 )

tjzjz ee

b

yn

a

xmAE sinsin

で与えられ、この場合の境界条件は、導体壁 (x = 0, a; y = 0, b) で　 Ez = 0 となるから、

(m と n は整数 )

222

2

22

b

n

a

m

ck

従って、

(mn ≠ 0)

導波管

方形導波管の例

前式で、整数 m と n がいろいろな値をとれば、それに対応する電磁波のモードが導波管の中に存在する。

一般に、 TE 波に対応するモードを TEmn 、 TM 波に対応するモードを TMmn で表す。

電磁波が導波管の中を　 z 方向に伝搬するためには、伝搬定数 は実数である必要がある。

022

22 k

c

tjzjzykxkj

tjzjykxkjz

eeeAe

eeAeEyx

yx

)(

)(

が実数でない、即ち　　　　　　　　とすると、 j

がゼロでなければ、これは z 方向に伝搬するにつれて減衰する波となる。

従って、 z 方向に伝搬する電磁波が存在するためには、

でなければならない。

導波管

従って、 = 0 のときには電磁波は伝搬できなく (Cutoff) なり、この時の ω の値 ωc は、

となる。cc ck

c よりも波長の短い電磁波しか伝搬できない。

従って、遮断 (Cutoff) 波長は、

最長の遮断波長は、条件 mn ≠ 0 のもとで k を最小にする TM11 モードの場合であり、この時の遮断波長は、

22 )/()/(

222

bnamk

c

f

c

cccc

となり、(mn ≠ 0)

22 )/1()/1(

2

bac

となる。

一方、 TE 波の場合のカットオフ波長は、 bc 2 となる。 (例題 12.6)( ただし、 a < b)

fc は、遮断 (Cutoff) 周波数と呼ばれている

電界磁界

TM11 モードの電磁界分布

ところで、右の式で与えられる vp を、位相速度 (phase velocity) と呼ぶ 2

22

2

2

1

c

p

c

kc

v

モードの分散関係

方形導波管において、 TM11 モードの分散関係 (ω と β の関係 ) を図示すると

222cc

β

ω

ωc

より、下図のようになる・ 遮断周波数 ωc においては、

群速度

d

dvg はゼロとなり、

エネルギーや情報としての電磁波は伝わらない。

位相速度

gv は∞となる。

この傾きは光速度 c

位相速度は、常に光速度 c を超えている

ところが、

・ 周波数が高くなると、群速度および位相速度共に光速度 c に漸近する。

つまり、自由空間での伝搬形態に近くなる

電磁気学ⅡElectromagnetics Ⅱ

山田 博仁

光導波路と光共振器

光共振器

q

Ln

2

完全導体による平行平板間に存在することができる電磁波の波長は離散的になり、

(q = 1, 2, 3 　 ‥ )

で与えられた。このように、完全導体の平行平板による Fabry-Perot 共振器によって電磁場は量子化され、このような電磁場の形態をモードと呼ぶ。 (q はモード番号 )光の場合は、完全導体の代わりに、 2枚の平行平面鏡により Fabry-Perot 共振器を構成し、レーザーの光共振器などに広く用いられている。

光ビーム

平行平面鏡

レーザーの光共振器の概略

q = 1 q = 2 q = 3

完全導体 完全導体

z = 0 z = L

FP 共振器型半導体レーザーの構造

Fabry-Perot 光共振器

半導体レーザー

発振波長

q

Lneffq

2

q: モード番号　 1,2 ‥‥neff: 半導体の屈折率

発振スペクトル

Fabry-Perot (FP) 共振器の共振モード

L

共振器長　 L の FP 共振器内に立つ定在波の数 ( モード番号 q ) と共振器内での光の波長 λ との間には、の関係がある

鏡 鏡

2/qL

モード番号が十分大きい (q >>1) 場合に、隣り合うモード間での共振波長の差 Δλ は、

L2

2

λ

FP 共振器の共振モード

qq+1 q-1q+2 q-2

Δλ Δλ

出展 : www.phlab.ecl.ntt.co.jp/master/04_module/002.html

光導波路

光ファイバー屈折率分布

n2

n1

n1> n2

コアクラッド

スラブ導波路

屈折率分布

n1

n2

n1> n2

コアクラッド

光導波路が光を導くメカニズム

Snell の法則

1

2

2

1

sin

sin

n

n

n2

n1

φ1 φ1

2

入射波

屈折波

反射波

n1< n2 の場合

全反射

全反射

全反射

n1

n2

n2 n1> n2

φ1 φ1

φ2

入射波

屈折波

反射波

n2

n1

n1> n2 の場合

全反射

1

21cosn

nc臨界角

c

2θmax

開口数 : NA= sin(θmax)光が伝搬可能な入射角度の範囲

放射モード

c

全反射角

従って、 n1 と n2 との差が小さい時、全反射角 θc は以下の式で与えられる

コアとクラッド界面での全反射角 θc は、前スライドの臨界角より

21cos1sin

21

22

21

2

1

22

n

nn

n

ncc

1

21cosn

nc

で与えられるが、

ここで、　　　　　　　　と置いたが、 Δ は比屈折率差と呼ばれている21

22

21

2n

nn

]rad[22sin 1 c

さらに、導波路が受け入れることのできる受光角 (2θmax) は、

1max 2sinNA n

222sin2)sin(sin22 111

11

max nnn c

また特に、 を開口数　 (Numerical Aperture) という

導波路内での光伝搬

n1

n2

n2 n1> n2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ: Goos-Haenchen Shift

k0n1

θk0n1cosθ

k0n1sinθ

自由空間中での波数 : k0=2π/λ (λ: 波長 ) 、媒質中では k0n1

コア

Nank 22sin4 10

a

-a

N: モード番号 (0, 1, 2 )‥‥

クラッドへの光の浸み出し

光の伝搬方向と垂直方向の伝搬定数成分 (k0n1sinθ) に対して、以下の式が成り立つ時、光伝搬と垂直方向に定在波ができる

光の伝搬方向の伝搬定数成分 β は、 β = k0n1cosθ

光が伝搬方向に伝わる速度は、 であり、 vg を群速度(Group Velocity) という　 (c は光速度 )

cos1n

cvg

屈折率 n の媒質中 ・光の速度 : 1/n ・光の波長 : 1/n ・波数 : n 倍

導波モードと定在波

N = 0

Δϕ = 0

N = 1

2π

N = 2

4π

E

E

E

モード番号 N は、横方向の強度分布における節の数を表す

入射角度

モード番号がある値よりも大きくなると、全反射条件が満たされなくなり、伝搬できなくなる。つまり、伝搬可能なモードは、以下の条件を満たさなければならない。

cN

]rad[),2,1,0()1(2

sin01

NNaknNN

従って、モード番号 N に対する入射角度 θN は、

Nank NN 22sin4 10

光伝搬と垂直方向での定在波条件の式より、モード番号 N に対する入射角度 θN は、

ここで、 Goos-Haenchen Shift の値 ϕN は一般的には入射角度 θN の関数になるが、 θN が全反射角 θc よりも十分に小さい場合には、　　　　　　と近似できる。

N

従って、導波路内を伝搬可能なモード番号の最大値 Nmax が存在し、以下の条件を満たす。

cN max

で与えられる。

で与えられ、大きなモード番号 N に対しては入射角度 θN は大きくなる。

モードの数

導波路内を伝搬可能なモード番号の最大値 Nmax は以下の式で与えられる。

)1()2(

1max V

N

ここで V は、 Vパラメータ或いは規格化周波数と呼ばれている

21022

210 anknnakV

Nmax よりも大きなモード番号のモードは伝搬できないので、カットオフにあると言う

gv群速度

曲線の傾きは vg /c で 、群速度に対応

モードによって群速度の値は異なる

導波モードの分散関係

β

ω/c(k0)

1/n1

1/n2

N=0

N=1

N=2

N=3カットオフ領域(放射モード )

単一モード条件 : V < π /2

ライトラインライトラインよりも上の領域では、光の速度を超えることになるので、伝搬できない

n1=1

注 ) 式 (1) は光線近似によるもので、厳密な波動方程式から導くと、 N = 0 の基本モードに対してカットオフは存在しない