第二章 命题逻辑的等值和推理演算

例1：在举重比赛中，有俩名副裁判，一名主裁判。当两名以上裁判（必须包括主裁判在内）认为运动员举杠铃合格，按电钮，才裁决合格。试用与非门设计该电路。

解：设主裁判为变元 A，副裁判分别为变元B 和变元 C；按电钮为1，不按为 0。表示合格与否的灯为 Y，合格为1，否则为 0。

（ 1）根据逻辑要求列出真值表。

关于命题逻辑的两个有趣例子

A B C Y A B C Y

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

0

0

0

0

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

1

1

1

真 值 表

（ 2 ）由真值表写出表达式：

)()()( CBACBACBAY

（ 3 ）化简：

)()( CABAY

))()(( CABA

这个小例子涉及到简单命题、复合命题、逻辑联结词的定义、运算优先权、联结词的完备集 ( 例如“与非联结词”构成一个完备集 ) 等等。我们都将介绍到。

（ 4 ）画出逻辑电路图：

A

B

A

C

Y

&

&

&

例2：设计一个楼上、楼下开关的控制逻辑电路来控制楼梯上的路灯。使之在上楼前，用楼下开关打开电灯，上楼后，用楼上开关关灭电灯；或者在下楼前，用楼上开关打开电灯，下楼后，用楼下开关关灭电灯。

解：

设楼上开关为变元 A，楼下开关为变元 B，灯泡为变元 Y。并设 A、 B 向上时为 1，向下时为 0；灯亮时 Y 为 1，灯灭时 Y 为 0。

本题的解题关键在于：不管开关和灯处于什么状态，灯的状态改变当且仅当只有一个开关的状态发生改变。因此，本题有多解。

（ 1 ）若 A=0, B=0 时 Y=0，则相应真值表设计如下

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

0

相应逻辑表达式为

)()( BABAY

A

B

Y=1

用异或门实现

第二章 命题逻辑的等值和推理演算

推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容

推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程

重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式。

本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。

严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。

2.1 等值定理 若把初等数学里的＋、－、 × 、 ÷ 等运算符看作

是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数式之间，可建立许多等值式如下：

x2 － y2 = (x ＋ y)(x － y)(x ＋ y)2 = x2 ＋ 2xy ＋ y2 sin2x ＋ cos2x = 1……

在命题逻辑里也同样可建立一些重要的等值式。

2.1.1 等值的定义 给定两个命题公式 A 和 B, 而 P1…Pn 是出

现于 A 和 B 中的所有命题变项 , 那么公式A 和 B 共有 2n 个解释 , 若对其中的任一解释 , 公式 A 和 B 的真值都相等 , 就称 A 和B 是等值的 ( 或等价的 ) 。记作 A = B 或A B 。

显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的。

例 1: 证明 (P∧P)∨Q = Q

证明 : 画出 (P∧P)∨Q 与 Q 的真值表可看出等式是成立的。

例 2: 证明 P∨P = Q∨Q 证明 : 画出 P∨P, Q∨Q 的真值表 , 可看

出它们是等值的 , 而且它们都是重言式。

从例 1 、 2 还可说明 , 两个公式等值并不要求它们一定含有相同的命题变项。若仅在等式一端的公式里有变项 P 出现 , 那么等式两端的公式其真值均与 P 无关。例 1中公式 (P∨P) ∨Q 与 Q 的真值都同 P 无关 , 例 2 中 P∨P, Q∨Q 都是重言式 , 它们的真值也都与 P 、 Q 无关。

2.1.2 等值定理 定理 对公式 A 和 B, A = B 的充分必要条

件是 A B 是重言式。 若 A B 为重言式 (A 、 B 不一定都是简

单命题 , 可能是由简单命题 P1, …, Pn 构成的对 A, B 的一个解释 , 指的是对 P1, …, Pn 的一组具体的真值设定 ), 则在任一解释下 A 和 B 都只能有相同的真值 , 这就是定理的意思。

证明 若 A B 是重言式 , 即在任一解释下 , A

B 的真值都为 T 。依 A B 的定义只有在 A 、 B 有相同的值时 , 才有 A B = T 。于是在任一解释下 , A 和 B 都有相同的真值 , 从而有 A=B 。反过来，若有 A = B, 即在任一解释下 A 和 B 都有相同的真值 , 依 A B 的定义 , A B 只有为真 , 从而 A B 是重言式。

有了这个等值定理，证明两个公式等值，只要证明由这两个公式构成的双条件式是重言式即可。

不要将“＝”视作联结词，在合式公式定义里没有“＝”出现。 A = B 是表示公式 A 与B 的一种关系。这种关系具有三个性质 : 1. 自反性 A = A 。2. 对称性 若 A = B 则 B = A 。3. 传递性 若 A = B, B = C 则 A = C 。

这三条性质体现了“＝”的实质含义。

2.2 等值公式2.2.1 基本的等值公式 ( 命题定律 )

1. 双重否定律P = P

2. 结合律(P∨Q) ∨R = P∨(Q∨R)(P∧Q) ∧R = P∧(Q∧R)(P Q) R = P (Q R)

3. 交换律P∨Q = Q∨PP∧Q = Q∧PP Q = Q P

4. 分配律P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R)P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R)P(QR) = (PQ)(PR)

5. 等幂律 ( 恒等律 )P∨P = PP∧P = PPP = TPP = T

6. 吸收律P∨(P∧Q) = PP∧(P∨Q) = P

7. 摩根律(P∨Q) = P∧Q(P∧Q) = P∨Q

对蕴涵词、双条件词作否定有(PQ) = P∧Q(PQ) = PQ = PQ

= (P∧Q)∨(P∧Q)

8. 同一律 P∨F = P P∧T = P TP = P TP = P 还有 PF = P FP = P

9. 零律P∨T = TP∧F = F

还有PT = TFP = T

10. 补余律P∨P = TP∧P = F

还有PP = PPP = PPP = F

2.2.2 若干常用的等值公式 由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含

有和的公式化成仅含有、∨、∧的公式。这也是证明和理解含有，的公式的一般方法。

公式 11-18 是等值演算中经常使用的 , 也该掌握它们 , 特别是能直观地解释它们的成立。

11. PQ = P ∨Q

通常对 PQ 进行运算时 , 不如用 P∨Q来得方便。而且以 P∨Q 表示 PQ帮助我们理解如果 P 则 Q 的逻辑含义。问题是这种表示也有缺点，丢失了 P 、 Q 间的因果关系。

12. PQ = QP

如将 PQ 视为正定理 , 那么 QP 就是相应的逆否定理 , 它们必然同时为真 , 同时为假 , 所以是等值的。

13. P(QR) = (P∧Q)R

P 是 (QR) 的前提 , Q 是 R 的前提 , 于是可将两个前提的合取 P∧Q 作为总的前提。 即如果 P 则如果 Q 则 R, 等价于如果 P 与Q 则 R 。

14. PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)

这可解释为 PQ 为真 , 有两种可能的情形 , 即 (P∧Q) 为真或 (P∧Q) 为真。而 P∧Q 为真 , 必是在 P = Q = T 的情况下出现 , P∧Q 为真 , 必是在 P = Q = F的情况下出现。从而可说 , PQ 为真 , 是在 P 、 Q 同时为真或同时为假时成立。这就是从取真来描述这等式。

15. PQ = (P∨Q)∧(P∨Q)

这可解释为 PQ 为假 , 有两种可能的情形 , 即 (P∨Q) 为假或 (P∨Q) 为假 , 而 P∨Q 为假 , 必是在 P = F, Q = T 的情况下出现 , P∨Q 为假 , 必是在 P = T, Q = F 的情况下出现。从而可说 PQ 为假 , 是在 P 真 Q假或 P 假 Q 真 时成立。这就是从取假来描述这等式

16. PQ = (PQ)∧(QP) 这表明 PQ 成立 , 等价于正定理 PQ 和逆定理 QP 都成立。

17. P(QR) = Q(PR)

前提条件 P 、 Q 可交换次序。

18. (PR) ∧(QR)=(P∨Q)R

左端说明的是由 P 而且由 Q 都有 R成立。从而可以说由 P 或 Q 就有 R 成立 , 这就是等式右端。

2.2.3 置换规则 定理 : 对公式 A 的子公式 , 用与之等值的公式来代

换便称置换。置换规则 公式 A 的子公式置换后 A 化为公式 B, 必有 A = B 。当 A 是重言式时 , 置换后的公式 B 必也是重言式。

置换与代入是有区别的。置换只要求 A 的某一子公式作代换 , 不必对所有同一的子公式都作代换。

2.2.4 等值演算举例 例 1: 证明 (P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R

证明 : 左端 = (P∧(Q∧R)) ∨((Q∨P)∧R) ( 分配律 )

=((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ( 结合律 )=((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ( 摩根律 )=((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ( 分配律 )=((P∨Q)∨(P∨Q))∧R ( 交换律 )=T∧R (置 换 )=R ( 同一律 )

例 2: 试证 ((P∨Q)∧(P∧(Q∨R))) ∨(P∧Q)∨(P∧R) = T

证明 :左端 =((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R)) ( 摩根律 )

=((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) ( 分配律 )

=((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))( 等幂律 )=T

2.6 范式 n 个命题变项所能组成的具有不同真值的命题公

式仅有 22n 个 , 然而与任何一个命题公式等值而形

式不同的命题公式可以有无穷多个。这样，首先就要问凡与命题公式 A 等值的公式，能否都可以化为某一个统一的标准形式。希望这种标准形能为我们的讨论带来些方便，如借助于标准形对任意两个形式上不同的公式，可判断它们的是否等值。借助于标准形容易判断任一公式是否为重言式或矛盾式。

求解公式的成真指派和成假指派 一个公式，其中含有命题变元 P1, ,Pn,

表示为 [P1, ,Pn] ，（ P1, ,Pn ）称为变元组，公式的变元组（ P1, ,Pn ）的任意一组确定的值，称为对该公式的关于该变元组（ P1, ,Pn ）的一个完全指派。如果仅对变元组中的部分变元确定值，其余变元没有赋以确定的值，则称这样的一组值为该公式的关于变元组的一个部分指派。

完全指派与部分指派例如公式 ： p(qr) 。 变元组为（ p ， q ， r ），一个完全指派为（ T ， F ， F ），在此指派下，公式取真值。即 =

T 。可这样来表示：（ p ， q ， r ） = （ T ， F ， F ）├ = T或者有时记为： （ p ， q ， r ） = （ T ， F ， F ） = T 一个部分指派为（ T ， T ，╳）这时候 的值不能确定，当 r = T 时，

= T ，当 r = F 时， = F 。这一点通常都能理解，因为一个公式的值取决于公式中所含变元的值，当其中某些变元未确定时，公 式最终的 值 也 不 能 定 。但是 这 一 点 也未必绝对 ， 例 如 ，赋（ p ， q ， r ）以（ F ， X ， X ）时，公式肯定是取假值，即= F 。这时候可看出对 q ， r 的指派已经无关紧要了。

成真指派与成假指派 定义：对于任一公式，凡是使得 取真

值 = T 的指派，不管是完全指派还是部分指派，都称为 的成真指派。凡是使 取假值 = F 的指派，不管是完全指派还是部分指派，都称为 的成假指派。

例子 ： P 的成真指派 P=F, 成假指派 P=T 。 ： PQ 的成真指派（ P ， Q ） = （ T ， T ） 成假指派（ P ， Q ） = （ F ， F ），（ F ， T ），

（ T ， F ） ： PQ 的 成 真 指派（ P ， Q ） = （ T ， T ） ，

（ T ， F ），（ F ， T ） 成假指派（ P ， Q ） = （ F ， F ）

永真式、永假式、可满足式有的公式没有成真指派，如： PP, 称为永假式

（反驳式）；有的公式没有成假指派，如： PP, 称为永真式

（重言式）。永假式，又称为矛盾式，不可满足。如果一个公式，有成真指派，则称为公式 可满足。

与它相对的，如果没有成真指派，就是不可满足的。

如果一个公式，有成假指派，则称该公式为非永真公式。

部分指派公式 的变元组（ P1, ,Pn ），一个部分指派 ：

（ V1, Vi-1, X, Vi+1, Vn ），其中 Vi 为具体真假值。它为公式 的成真指派，当且仅当：

（ V1, Vi-1, T, Vi+1, Vn ）及（ V1, Vi-1, F, Vi+1, Vn ）均为成真指派。

成假指派情况是相似的。

求解成真指派和成假指派的方法 一个直截了当的办法是将公式 的所有完全指派全都列举出来，逐个验算该指派下 取的真假值，从而确定每个完全指派是成真指派还是成假指派。但是，含 n 个变元的公式，共有 2n 个完全指派，当 n 为 5、 6 、……时，指数的总数就会相当可观，按指数级数增长，难以全部枚举。因此应当选择更为简单、可行的办法——部分指派。求部分指派的前提是将原来的公式 化简，使得原来含有 n 个变元的公式化为可能含变元数更少的公式，于是便大大地削减了运算的数量。

部分指派的步骤 第一步，否定深入。将外层的否定深入到内层，一直深入到变元为止。

第二步，部分指派。选定一个变元对其作真和假两种指派，得到两个不含该变元但较原式简单的公式。如果这两个公式直接得到真假值，则得部分指派，否则

第三步，化简。得到的两公式虽然较原公式简单，但仍含有变元，于是重复第二步，逐个减少变元，直到确定真假值为止。

第二步中如何选定一个变元，希望化简效果最好，因此选择在公式中出现次数最多的变元作指派。还有一种情况就是对该变元赋以一个指派后，立即使整个公式有确定的真假值。

试求给定公式的成真成假指派 ： (p r) ( (p q) ( p (q r) ) ) 第一步 否定深入： (p r) ( (p q) (p (q r) ) ) 第二步 部分指派：选择出现最多的命题，指派以 T,

F 。（分别情况）。 上式中， P 出现最多，故 分为 p = T p = F 两种情况。

p = T ： (T r ) （（ T q ）（ T (q r) ）） 化简　 (q (q r)) 也可最终化简为 r ，  p = F ： (F r ) （（ F q ）（ F (q r) ）） 化简得　　 r （ T F ）最终化简得　 r组合起来，的成真指派（ p, q, r ） = ( T, X, F ), (F, X, T ), 成假指派（ p, q, r ） = ( T, X, T ), (F, X, F ) 。

不完全成真指派 (p, q, r): (T, X, F) 可以生成相应的完全成真指派 (T, T, F ) 和 (T, F, F ) 。

(p, q, r): (F, X, T) (F, T, T ) 和 (F, F, T ) 。因此，写完整的话，的完全成真指派：　　 (T, T, F ) ， (T, F, F ) ， (F, T, T ) ， (F, F, T ) 。相仿地，的完全成假指派：　　 (T, X, T ) (T, T, T) ， (T, F, T ) ， (F, X, F ) (F, T, F ) ， (F, F, F ) 完全成假指派： (T, T, T) ， (T, F, T ) ， (F, T, F ) ，

(F, F, F ) 。

析取范式如果一个完全指派能使一个合取式取真值，那么这个完全指派和

合取式之间是１－１对应的。例如： (T, T, F ) ， (T, F, F ) ， (F, T, T ) ， (F, F, T )p q r p q r p q r p q r  将上述四个合取式再析取，即得析取范式：（ p q r ）（ p q r ）（ p q r ）（ p q

r ）

合取范式相仿地：对应于成假指派对应的析取式为：(T, T, T) ， (T, F, T ) ， (F, T, F ) ， (F, F, F )pqr pqr pqr p q r

将四个析取式再合取，即得合取范式：（ pqr ）（ pqr ）（ pqr ）（ pqr ）

求范式等值变换法消去和 否定深入到变元 等值变换

主范式主析取范式主合取范式

2.4 联结词的完备集 除了所详述过的五个联结词外 , 还可定义更多的联结

词。像计算机的硬件电路设计分析就常使用异或 (半加 )

∨: P∨Q = (P∧Q)∨(P∧Q)与非 : P Q = (P∧Q)或非 : P Q = (P∨Q)

等联结词。问题是对 n 个命题变项 P1…Pn 来说 , 共可定义出多少个联结词 ? 还可以问 , 在那么多联结词中有多少是独立的 ?

2.4.1 命题联结词的个数按照合式公式的定义，由命题变项和命题

联结词可以构造出无限多个合式公式。可把所有的合式公式加以分类 ，将等值的公式视为同一类，从中选一个作代表称之为真值函项。对一个真值函项就有一个联结词与之对应。

一元联结词是联结一个命题变项的，如 P 。它取值只有真假两种情形，于是联结词作用于 P , 可建立四种不同的真值函项 , 相应的可定义出四个不同的一元联结词 f0f1f2f3 。图6.2.4.1 给出这些联结词 fi或说真值函数 fi(P)的定义。

写出真值函项：f0(P) = F

f1(P) = P

f2(P) = P

f3(P) = T

其中 f0(P) 是永假式 , f3(P) 是永真式 , 均与 P 无关 , 而 f1(P) 就是变项 P 本身 , 从而新的公式只有f2(P), 这就是由否定词所建立的真值函项。

二元联结词联结两个命题变项，两个变项PQ 共有四种取值情形 , 于是联结词作用于PQ 可建立起 16 种不同的真值函项 , 相应的可定义出 16 个不同的二元联结词 g0, g1, …, g15 。图 2.4.2 给出了这些联结词gI或说真值函项 gi(P, Q) 的定义。

写出各真值函项 :g0 (P,Q) = F

g1(P,Q) = P∧Q

g2(P,Q) = P∧Q

g3(P,Q) = (P∧Q)∨(P∧Q) = P∧(Q∨Q) = P

g4(P,Q) = P∧Q

g5(P,Q) = (P∧Q)∨(P∧Q) = (P∨P)∧Q = Q

g6(P,Q) = P∨Q

g7(P,Q) = P∨Q

g8(P,Q) = P∧Q = P Qg9(P,Q) = P Q

g10(P,Q) = (P∧Q)∨(P∧Q) = (P∨P)∧Q = Q

g11(P,Q) = P∨Q = QP

g12(P,Q) = (P∧ Q)∨(P∧Q) = P∧(Q∨Q) = P

g13(P,Q) = P∨Q = P Q

g14(P,Q) = P∨Q = P Qg15(P,Q) = T

一般地说，对 n 个命题变元 P1…Pn,, 每个 Pi有两种取值 , 从而对 P1…Pn 来说共有2n 种取值情形。于是相应的直值函项就有22n 个 , 或说可定义 22n 个 n元联结词。

2.4.2 联结词的完备集 由于可定义的联结词的数量是极大的 , 需

要考虑它们是否都是独立的 ? 也就是说这些联结词是否能相互表示呢 ?

定义 : 设 C是联结词的集合，如果对任一命题公式都有由 C中的联结词表示出来的公式与之等值，就说 C是完备的联结词集合，或说 C是联结词的完备集。

显然全体联结词的无限集合是完备的 , 而 {∨}, {∨, ∧}就不是完备的。

定理 { , ∨, ∧}是完备的联结词集合 从节 2.3 介绍的由真值表列写逻辑公式的

过程可知 , 任一公式都可由 , ∨, ∧表示出来 , 从而 {, ∨, ∧}是完备的 , 一般情形下 , 这定理的证明可使用数学归纳法 , 施归纳于联结词的个数来论证。

又由于P∧Q = (P∨Q)P∨Q = (P∧Q)

这说明 , ∧可由 {, ∨}表示 , ∨可由 {, ∧}表示 , 故{, ∨}, {, ∧}都是联结词的完备集。还可证明 {, }, {}, {}也都是联结词的完备集。但 {∨, ∧}, {, }不是完备的。尽管 {,∨}, {, ∧}是完备的 , 但使用起来并不够方便 , 我们愿意采取折衷方案 , 不是仅用两个也不是使用过多的联结词 , 还是选用详细讨论过的五个联结词集 {, ∧, ∨, , }, 当然是完备的 , 只是相互并不独立。

最小的联结词的完备集——基底 基底：完备的联结词集合的联结词是独立

的， 也就是说这些联结词不能相互表示

基底 只含一个联结词的 : NK;NA 含两个联结词的 :N,C; N,K; N,A; N,NC;

F,C; T,NC; C,NE; E,NC; C,NC; 含三个联结词的 :F,K,E; F,A,E; T,K,NE;

T,A,NE; K,E,NE; A,E,NE;

A-- ∨ K-- ∧ E-- C-- N--

基底 任取四个一元或二元联结词，它们必组不

成基底。

加法器 Ai 0 0 0 0 1 1 1 1

Bi 0 0 1 1 0 0 1 1

Ei 0 1 0 1 0 1 0 1

_______________________

Ci 0 1 1 0 1 0 0 1

Ei+1 0 0 0 1 0 1 1 1Ci=(Ai∧ Bi∧ Ei)∨ (Ai∧Bi∧Ei)∨ (Ai∧ Bi∧Ei)∨ (Ai∧Bi∧ Ei)

Ei+1=(Ai∧ Bi∧ Ei)∨ (Ai∧ Bi∧Ei)∨ (Ai ∧ Bi∧ Ei)∨ (Ai∧ Bi∧ Ei)

E1=0

Cn+1=En+1

2.5 对偶式 假定公式 A 仅出现 、∨、∧这三个联结词 定义 将 A 中出现的∨、∧分别以∧、∨代换 , 得到公式 A*, 则称 A* 是 A 的对偶式 , 或说 A 和A*互为对偶式。

(P∨Q)∧R 的对偶式为 (P∧Q)∨R不难知道 , 若 (P∨Q)∧R = (P∧R)∨(Q∧R)成立 , 相应的对偶式 (P∧Q)∨R = (P∨R)∧(Q∨R)也成立。

为方便 , 若 A=A(P1, …, Pn)

令 A － = A(P1, …, Pn)

定理 2.5.1 (A*) = (A*), (A － ) = (A) － 定理 2.5.2 (A*)* = A, (A － ) － =A定理 2.5.3 A = A* －

可用数学归纳法 , 施归纳于 A 中出现的联结词个数 n 来证明。基始 : 设 n=0, A 中无联结词 , 便有

A=P, 从而 A = P但 A* － = P∴ n=0 时定理成立。

归纳： 设 n ≤k时定理成立，来证 n = k+1时定理也成立∵ n = k + 1 ≥1, A 中至少有一个联结词，可分为三种情形。

A = A1, A = A1∧A2, A = A1∨A2

其中 A1, A2 中联结词个数≤ k 。

依归纳法假设， A1 = A1*－ , A2 = A2*

－

当 A = A1 时。 A = (A1)

= (A1*－ ) 归纳法假设

= (A1)*－ 定理 2.5.1, 2.5.2

= A* －

当 A = A1∧A2 时。A = (A1∧A2)

= A1∨A2 摩根律 = A1*

－∨ A2*－ 归纳法假设

= (A1*∨A2*) － A －定义 = (A1∧A2)*

－ A* 定义 = A* －

另一种情况同理，从而定理得证。这定理实为摩根律的另一种形式。它把、 *、－联系起来了。

定理 2.5.4 若 A = B 必有 A*=B*证明 : 因为 A = B 等价于 AB 永真。

从而 AB 永真。依定理 2.5.3, A = A* － , B = B* － 于是 A* － B* － 永真必有 A* B* 永真故 A* = B*

定理 2.5.5 若 AB永真 , 必有 B*A*永真定理 2.5.6 A 与 A －同永真 , 同可满足

A 与 A* 同永真 , 同可满足对偶性是逻辑规律 , 给证明公式的等值和求否定都带来了方便。

作业

(p37)1(1,3),2,3,5(8)

补充作业给出一组满足下列要求的能用以设计四分邮票自动出售机的电路的布尔函数：

（ 1 ）每次输入一个一分、二分、五分的硬币，电路中分别用 c1,c2,c5 三个量表示一分、二分、五分的硬币；

（ 2 ）当输入值总和小于 4 分时，等待输入，当大于等于 4 分时，输出一张四分邮票并找零。电路中邮票用变量 s表示，找零之数用 r1,r2,r2’ 三个量分别表示一分、二分、二分的硬币。