第六章 梁弯曲时的位移第六章 梁弯曲时的位移第一节 概述

第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

第三节 叠加法求梁的位移

第四节 梁的刚度校核 提高梁的刚度措施

第五节 梁内的弯曲应变能

第一节 概述一 .研究弯曲变形的目的1.限制构件的变形，使其满足刚度要求。 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。

桥式起重机的横梁变形过大 ,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

工程实例

车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆上的钢板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。车辆受到的冲击和振动作用。

P

2P

2

P

工程实例

3. 求解超静定问题。求解超静定问题。

2.利用弯曲变形 在一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

1. 梁的挠曲线 deflection curve ：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

BA

B1

F

y

x

二 .基本概念

注 :(1) 平面弯曲中，挠曲线是一个平面曲线，且连续光滑； (2) 梁的挠曲线是弹性曲线； (3) 以挠曲线的曲率度量弯曲变形的程度。平面弯曲时，其弯矩与曲率的物理关系 :

曲率公式的特征：(1) 公式推导中应用了胡克定律，故适用于线弹性范围内。并不计剪力对弯曲变形的影响。(2) 等直梁在纯弯曲时，弯矩为常量，挠曲线的曲率也是常量，其挠曲线是一段圆弧线。(3) 等直梁在横力弯曲时，其曲率与该处的弯矩成正比，曲率是位置坐标的函数。

EI

xM

xk

)(

)(

1

2. 梁位移的度量：

② 挠度 deflection ：梁横截面形心的竖向位移 v 。单位： mm 。向下的挠度为正。

① 转角 rotation ：梁横截面绕中性轴转动的角度。单位： rad ，顺时针转动为正。

③ 挠曲线方程：挠度是位置坐标的函数— v=f(x)

BA

B1

Fx

v

y

x

④ 转角方程 ( 小变形下 ) ：转角是位置坐标的函数。

转角与挠度的关系— )x('fdx

dvtg

)(x

一、挠曲线近似微分方程 deflection equationdeflection equation

EI

xM

x

)(

)(

1

1. 力学关系：

2. 数学依据： ''1)(

1232

vv

v

x

3. 挠曲线近似微分方程：

)('' xMEIv

第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

y

x

MM

00 vM ， 00 vM ，y

x

MM

曲线 v= f (x) 的曲率为

梁平面弯曲时曲率：

EI

xMv

v

v

x

)(

)1()(

12/32

二、积分法求梁的挠曲线

挠曲线方程。—

转角方程；—

再积分一次

积分一次

21

1

))((

)('

CxCdxdxxMEIv

EICdxxMEIv

2. 支承条件与连续条件 :

)('' xMEIv 1.

式中 C1 、 C2 为积分常数，由梁边界、连续条件确定。

1) 支承条件：

2) 连续条件：挠曲线是光滑、连续、唯一的

CxCxCxCxvv |||| ，

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

y

0v

y

0v

y

0;0 vv

F

A BC

①建立坐标系，确定支反力。②写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 , 则要分段写出。③写出挠曲线近似微分方程，并积分得到转角、挠度函数。 ④ 利用边界条件、连续条件确定积分常数。 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数⑤代入积分常数，得到转角方程和挠度方程，从而得到各截面上的挠度和转角沿跨长的变化情况。⑥ 确定最大挠度和最大转角。

3. 积分法确定梁弯曲变形的步骤：

max

fmax

21

32

1

2

62

2'

)()("

CxCFxFLx

EIv

CFx

FlxEIv

xlFxMEIv

次：列挠曲线方程并积分两

00|

00|'

20

10

Cv

Cv

x

x

，得：；，得：数：由边界条件决定积分常

)3(6

)2(2

'2

xlEI

Fxvxl

EI

Fxv

为：转角和挠曲线方程分别

EI

FLvf

EI

FL

B

B

3

23

max

2

max

解：建立坐标系如图

x 处弯矩方程为：

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例一 图示 B 端作用集中力 P 的悬臂梁，求其挠曲线方程。

y

x

F

BA

l

x

)()( xlFxM

例二 求图示梁受集中力 F 作用时的挠曲线方程。 F

a bC

l

A Bx

FAFB

解： 1 、求支反力

l

FaF

l

FbF BA ；

xl

FbEIv "

1

2

2' C

l

FbxEIv

)0( axAC 段 )( lxaCB 段

xl

FbaxFEIv )("

2

22

2)(

2' C

l

Fbxax

FEIv

11

3

6DxC

l

FbxEIv 22

33

6)(

6DxC

l

Fbxax

FEIv

)(6

0;000

;''

222121

2121

bll

FbCCvlxDDvx

DDvvCCvvax

，得处，，得处，

，则，则时，

)3(6

' 222 xblEIl

Fbv )](

3

1)([

2' 2222 blxax

b

l

EIl

Fv

)(6

222 xblEIl

Fbxv ])()([

62233 xblxax

b

l

EIl

Fv

)0( axAC 段 )( lxaCB 段

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

梁挠曲线大致形状的绘制梁挠曲线大致形状的绘制

步 骤：

(1) 绘制梁的弯矩图。

(2) 由梁弯矩的变化规律，确定挠曲线曲率的变化规律。由M 的方向确定轴线的凹凸性。

(3) 根据梁的支座情况，考虑变形连续光滑性、连续光滑性、协调性，确确定挠曲线的大致形状及位置。定挠曲线的大致形状及位置。

注：挠曲线的曲率与该处的弯矩成正比，弯矩越大，则曲率也最大。

第三节 叠加法求梁的位移 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

说明：1. 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下 ,载荷与它所引起的变形成线性关系。

3.若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。

2.当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。

如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C 截面挠度，则可直接查表求出各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。 如果不能直接查表，则要采用分段刚化法将其化成可查表形式。

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

例三 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度 EI为常数，求 B 点转角和挠度。

F

BA

2/l 2/l

q

C

vBq

vCq

BF

vBP

F

BA

BA

q

C

1. 在 F 作 用 下： EI

Flf

EI

FlBFBF 3

,2

32

查表：

2. 在 q 作用下：

EI

ql

EI

lqf

EI

ql

EI

lq

Cq

Cq

1288

)2/(

486

)2/(

44

33

查表：

EI

qllvv

EI

ql

CqCqBq

CqBq

384

7

2

484

3

BqBFB

BqBFB

vvv

3. 在 F 和 q 共

同作用下：

例 例 若图示梁若图示梁 BB端的转角端的转角 θθBB=0=0 ，求力偶矩，求力偶矩 mm 和和 PP 的关的关系？系？

解：

EI

PaB 2

2

02

EI

am mPa

4

例 7. 求外伸梁 C 处的位移。

L a

CAB

P解：

AB C

P

刚化 EI=

P

Cvc1

BC 引起的位移

θc1

EI

pavc 3

3

1

EI

pac 2

2

1

刚化 AB

刚化 BC ， AB部分引起的位移

CAB

P

刚化 EI=

vc2

θB2

P

Pa

θB2

aEI

PaLav Bc 322

22 3 cB EI

paL

21 ccc vvv

21 ccc

一、梁的刚度校核 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。

在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如： 1000

1~

250

1

l

v

梁的刚度条件为：

max

max

l

v

l

v

通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。

第四节梁的刚度校核 提高梁的刚度措施

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

例四 一简支梁受载如图示，已知许用应力 [σ] ＝ 160 MPa ，许用挠度 [δ]=l /500 ，弹性模量 E=200GPa ，试选择工字钢型号。

解： 1 、作出梁的弯矩图

2 、根据弯曲正应力强度条件，要求

3 、梁的刚度条件为：

由此得

由型钢表中查得， NO.22a 工字钢的抗弯截面系数 Wz ＝ 3.09xl0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40x10-5m4 ，可见．选择 NO.22a 工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。

mN10354

41035

4：得 3

3

max

Fl

M

34

6

3max m1019.2

10160

1035

MWz

50048

3 l

EI

Fl

z

459

232

m1092.21020048

41035500

48

500

E

FlI z

梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形

F=35kN

2m

A B

2m

l=4m

M 4/Fl

二、提高梁的刚度措施

2. 调整跨长和改变结构；缩短跨长：如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。

1. 增大梁的抗弯刚度 EI ；主要增大 I 值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。

梁弯曲时的变形梁弯曲时的变形

EI

lv

n

q

l

A B

q

l

A B

q

A B

纯弯曲时梁的弯曲应变能为：EI

lMV

2

2

横力弯曲时梁的弯曲应变能为： l

xEI

xMV d

2

2

梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移第五节 梁内的弯曲应变能

F

BA

l

例五 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算 B 点的挠度 vB ，已知梁的弯曲刚度为 EI 。

解： 1 、梁任一截面的弯矩为：

2 、弯曲应变能为：

3 、计算 B 点的挠度

xlFxM

EI

lFFvVW B 62

1 32

l

l EI

lFx

EI

xlFx

EI

xMV

0

32222

6d

2d

2

EI

FlvB 3

3

vB

基本静定系基本静定系 11

ll

qqAA BB

qq

AA BB

FFBB

qq

BBAA

MMAA

基本静定系基本静定系 22

超静定问题超静定问题

用“用“多余未知多余未知力力””

代替“代替“多余多余”约”约束，就得到一束，就得到一个形式上的静定个形式上的静定梁，该梁称为原梁，该梁称为原静不定梁的相当静不定梁的相当系统系统 ,, 亦称亦称基本基本静定系静定系。。

第六节 简单超静定梁第六节 简单超静定梁

qq

AA BB

ll

例例 4.4. 已知已知 ::qq,,l,l, 求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。

解：解：将支座将支座 BB 看成看成多余约束，变形协调多余约束，变形协调条件为：条件为： AA BB

qq

ll

AA BB

qq

FFBB

0Bv

083

43

EI

ql

EI

lFB

8

3qlFB

11 、、钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最钢筋缠绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力大正应力 ( )( ) 。。①① 与与圆滚筒的半径无关圆滚筒的半径无关②② 与与圆滚筒的半径成正比圆滚筒的半径成正比③③ 与与圆滚筒的半径近似成反比圆滚筒的半径近似成反比

④④ 与与圆滚筒的半径严格成反比圆滚筒的半径严格成反比

③③

分析： y

E

R

rE

rR

rE

yE

max

max

22 、、等抗弯刚度梁等抗弯刚度梁发生平面弯曲时，挠曲线的发生平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在最大曲率在 ( )( ) 处处。。

①① 转角最大转角最大

②② 挠度最大挠度最大

③③ 剪力最大剪力最大

④④ 弯矩最大弯矩最大

④④

分析：zEI

xM

x

)(

)(

1

3 、与小挠度微分方程 相对应的坐标系为 （ ） ？

)(xMvEI z

x

y(a)

x

y(b)

x

y

(c)

①① 、、 (a)(a) 和和(c)(c)

(d) x

y

②② 、、 ((aa)) 和和 (b)(b)

③③ 、、 (a)(a) 和和(d)(d)

④④ 、 ((cc)) 和和 (d)(d)

②②

分析： y 坐标向下为右边负号

CA B

a

qa

a a

D

44、、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为确的为 ( )( )。。

①① 弯矩方程和挠曲线方程可只分二段弯矩方程和挠曲线方程可只分二段

② ② CC 处连续条件为：挠度和转角连续处连续条件为：挠度和转角连续

③ ③ AA 处边界条件为：挠度为零，转角不为零处边界条件为：挠度为零，转角不为零

④④ 弯矩方程和挠曲线方程必须分三段弯矩方程和挠曲线方程必须分三段

④④

55 、、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线 等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线 ( )( ) 。。②②

①① 按二次积分法为圆弧按二次积分法为圆弧

②② 实际为圆弧实际为圆弧

③③ 按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似

④④ 以上均不对以上均不对

分析：

按积分法为抛物线，因微分方程近似而得。按积分法为抛物线，因微分方程近似而得。

6.6. 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（ ）。则自由端的挠度为原来的（ ）。

F

A B

①① 22倍倍

②② 44 倍倍

③③ 88 倍倍

④④ 1616 倍倍

③③

分析：EI

FlvB 3

3

7.7. 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（ ）。挠度为原来的（ ）。

F

A B

①① 22 倍倍

②② 44 倍倍③③ 88 倍倍

④④ 1616 倍倍

②②

分析：EI

FlvB 3

3

l l

F

A BC

8.8. 弯曲刚度为弯曲刚度为 EIEI 梁，正确说法为（ ）。梁，正确说法为（ ）。

①①AA 、、 BB 、、 CC 处转角相等处转角相等

②②BB 、、 CC 处转角不相等处转角不相等

③③BB 处挠度为处挠度为 CC 处的二倍处的二倍

④④BB 处和处和 CC 处转角相同处转角相同

④④

9.9. 弯曲刚度为弯曲刚度为 EIEI 的梁， 的梁， BB 处转角等于（ 处转角等于（ ）。 ）。①①

②②

③③

④ ④

l l

F

A BC

FEI

FlB

2

EI

FlB 2

5 2

0B

EI

FlB 3

5 3

②②

10.10. 图示力偶矩 图示力偶矩 ,, 则梁则梁 BB 端的转端的转角为（ ）。角为（ ）。

4

Pam

0B EI

PlB 3

2 2

EI

PlB 2

3 2

EI

PlB

2

A

①① 、、 ②② 、、 ③③ 、、 ④ ④ 、、

11.11. 一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下， 自一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下， 自由端的挠度与（ ）。由端的挠度与（ ）。

①① 梁的长度成正比梁的长度成正比

②② 梁的长度的平方成正比梁的长度的平方成正比

③③ 梁的长度的立方成正比梁的长度的立方成正比

④④ 梁的长度的四次方成正比梁的长度的四次方成正比

④④

分析：EI

qlv

8

4

11.11. 简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下， 跨中在相同的外力刚度都相同，不计自重下， 跨中在相同的外力作用下，二者的（ ）不同。作用下，二者的（ ）不同。①① 最大挠度最大挠度

②② 最大转角最大转角

③③ 约束反力约束反力

④④ 最大正应力最大正应力

分析： ③③ 显然不选显然不选 ; ; ①① 、 、 ②②性质上并列性质上并列

④ ④

分析：

11

3

max1 48 IE

Flw

22

3

max2 48 IE

Flw

11

2

max1 16 IE

Fl

22

2

max2 16 IE

Fl

2211 IEIE

12.12. 一水平梁的挠曲线方程为 一水平梁的挠曲线方程为 则（ ）。 则（ ）。

cbxaxy 2

①① 梁的弯矩图为圆弧部分梁的弯矩图为圆弧部分

② ② 梁的弯矩图为抛物线部分梁的弯矩图为抛物线部分

③③ 梁的弯矩图为斜直线梁的弯矩图为斜直线

④ ④ 以上均不对以上均不对

④ ④