МОДЕЛИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗАЦИИ

ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ЦЕНТРОБЕЖНОЙ СИЛЫ

Доц. А. Н. Герега (ОГАСА)

1.Формирование кластерных структур в потоке

О предпосылках

3

dn /dt = – ( K n 2 + b n )

D( ) = 0.73 · (1+ 0.18)

4

Критерий подобия конструкции

потока

крив

потокакриврадкин

транскин

d

r

drmV

mV

E

E .

.2

2

..

..

)/(

Два типа модельных кластеров

Ξ < 0.425

Ξ > 0.575

Ξ = Vtrans / Vchaot

5

,1

)(

q

qqD

,ln

),(lnlim)(

0

qZqгде

)(

1

)(),(

N

i

qipqZ

Обобщённые размерности А. Реньи. Мультифрактальность

dmax ≥ d0 ≥ d1 ≥ d2 ≥... ≥ dmin

6

Спектр размерностей Реньи модельных кластеров

РазмерностьКвазисимметричные

кластерыАсимметричные

кластеры

Dmax 2,98 ± 0,05 ε = 1,7% 2,75 ± 0,06 ε = 2,2%

Dfract 2,90 ± 0,03 ε = 1,0% 2,67 ± 0,08 ε = 3,0%

Dinf 2,73 ± 0,04 ε = 1,4% 2,54 ± 0,04 ε = 1,6%

Dcorr 2,67 ± 0,02 ε = 0,7% 2,47 ± 0,09 ε = 3,6%

Dthird 2,59 ± 0,03 ε = 1,2% 2,34 ± 0,02 ε = 0,9%

Dfourth 2,50 ± 0,05 ε = 2,0% 2,29 ± 0,04 ε = 1,7%

Dmin 2,31 ± 0,02 ε= 0,9% 2,11 ± 0,05 ε = 2,4%

7

К определению промежуточной асимптотики

8

Теорема о полевом взаимодействии мультифракталов

, iiaF где a – константа взаимодействия, ρi – локальная плотность, ωi – телесный угол, под которым виден фрагмент мультифрактала из притягиваемой точки.

Объёмный мультифрактал конечных размеров притягивает по нормали материальную точку единичной массы силой

– точечные объекты– сплошные тела правильной геометрической формы– фрактальные образования и тела произвольной формы

Взаимодействие:

Поле взаимодействия фрактальных объектов

dЕ(r) = a·ρ(r)·dv /r2,

где dv – элемент объёма, r – расстояние между элементами.

9

К определению эффективного радиуса фрактального агрегата

10

2.Свойства потока и кластеров

HSR )2/(~/

),(min),(max)(11

ththRtt

t

u

fufth1

})({),(

H = 2 – D

Ξ < 0.425 Н > 0.5

Ξ > 0.575 Н < 0.5

Взаимодействие потока и канала

12

Следы взаимодействия потока с конструкцией

персистентный антиперсистентный

13

Размерности следа на стенках конструкции

Размерность Значение

Dmax 1,93 ± 0,05 ε = 2,6 %

Dfract 1,90 ± 0,03 ε = 1,6 %

Dinf 1,71 ± 0,06 ε = 3,5 %

Dcorr 1,69 ± 0,09 ε = 5,3 %

Dthird 1,51 ± 0,09 ε = 6,0 %

Dfourth 1,47 ± 0,02 ε = 1,4 %

Dmin 1,36 ± 0,06 ε = 4,4 %

14

К определению асимптотической устойчивости по Ляпунову

Ξ < 0.425персистентный

Ξ > 0.575антиперсистентный поток

предельный цикл < 0, −, − >

Странный аттрактор < +, 0, − >

15

Ξ = Vtrans / Vchaot

Ξ < 0.425 Ξ > 0.575

Vtrans / V chaot ≈ 2/5 и меньше Vtrans / V chaot ≈ 3/5 и больше

Персистентный поток Антиперсистентный поток

Квазисимметричные компактные кластеры

Асимметричные кластеры с пониженной плотностью

Траектории асимптотически неустойчивы

Асимптотическая устойчивость траекторий

Практически равномерное заполнение поверхности

Структурированность следа

Многоаспектный Ξ-критерий

16

Упорядоченность vs. структурированности

17

Упорядоченность vs. структурированности

18

19

][255

02

255

0122 ее

iiifififif

К определению относительной степени упорядоченности

SSSf

ff

if

iffifif

21

2

11 ln1

1

2

121

«I-теорема»

Мера относительной степени упорядоченности элементов двух равновеликих изображений с одинаковым значением среднего уровня серого есть функционал Ляпунова

20

∆S = 5.2598 − 49782 = 0.2816

21

Оценка упорядоченности

3.Сценарии эволюции двухфазного потока

2 21

2 2 21

2 21

1( , , )

n n xy n yx n in

n n xy n yx yz n zy n

n n yz n zy out n

x x k px k qy x

x y z y y k px k k qy k rz

z z k qy k k rz

23

Модель активатора

1 1

1

yx zyinst

xy yz out

zyinst

yz out

inst

out

k kxx

k p k k

kxy

k r k

xz

k s

24

Стационарное решение

0 2 4 6 8 10 12-40

-20

0

20

40

60

80

100Bifurcation diagram

Xentr

Co

ord

ina

te

X-coordinateY-coordinateZ-coordinate

Три бифуркации в сценарии удвоения периода

25

Аттрактор, возникающий при параметрах

kxy=0.5, kyx=0.4, kyz=0.3, kzy=0.3, kout=0.4,

p=0.065, q=0.03, r=0.03, xin=6.05.

Странный аттрактор:

kxy=0.5, kyx=0.4, kyz=0.3, kzy=0.3, kout=0.4,

p=0.008, q=0.005, r=0.0057, xin=39.65.

26

Аттракторы системы

Странный аттрактор в системе

27

2 21 _1

2 2 21

2 21

3( , , )

n n xy out n yx n in

n n xy n yx yz n zy n

n n yz n zy out n

x x k k px k qy x

x y z y y k px k k qy k rz

z z k qy k k rz

28

Модифицированная модель активатора

_1

2_1

2_1

1 1

1 1

1

yx zyinst

yz outyx zyxy out

yz out

in out st zyst

yz out

in out stst

out

k kxx

k kk kk k p

k k

x k p x ky

k q k

x k p xz

k r

29

Стационарное решение

kxy=0.5, kyx=0.2, kyz=0.2, kzy=0.4, kout=0.5, p=1, q=1, r=1, xin=0.87.

kxy=0.5, kyx=0.4, kyz=0.3, kzy=0.3, kout=0.4, kout_1=0.72, p=1, q=1, r=1, xin=1.99

30

Странные аттракторы

В виде трёх колец: kxy=0.5, kyx=0.4, kyz=0.3, kzy=0.3, kout_1=0.65, kout=0.4, p=1, q=1, r=1, xin=1.8.

После «слияния» колец: kxy= 0.5, kyx= 0.4, kyz= 0.3, kzy= 0.3, kout_1= 0.65, kout= 0.4, p=1, q=1, r=1, xin=1.8365.

31

Аттракторы квазипериодического режима

Основные результаты

• Предложен критерий подобия центробежного трибоактиватора (пылевого фильтра);

• получен Ξ-критерий – аналог именных гидродинамических критериев

для криволинейных течений; • доказана I-теорема и обоснован алгоритм количественного сравнения степени

упорядоченности изображений; • предложена теорема о полевом взаимодействии мультифракталов; • создана компьютерная модель образования фрактальных кластеров в

двухфазном потоке, показана возможность направленного получения кластеров

определённого типа; • изучена зависимость уровня хаотичности двухфазного потока от режима функционирования и конструктивных особенностей оборудования; • определены условия корректного расчёта свойств потока по результатам его

взаимодействия со стенками конструкции; • разработан алгоритм определения промежуточной асимптотики самоподобных

объектов.