Метод координат в Метод координат в пространстве.пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями, называются осями координат, а их общая точка началом координат.

Х - ось абсцисс

У - ось ординат

Z – ось аппликатх

у

z

0

Координаты точек в пространстве.

Расположение Расположение точки в пр-веточки в пр-ве

Абсцисса Абсцисса ОрдинатаОрдината АппликатаАппликата

Ось ООсь Охх XX 00 00

Ось ООсь Оуу 00 yy 00

Ось ООсь Оzz 0 0 00 ZZ

Пп Пп ххООуу xx yy 00

Пп Пп ххООzz xx 00 ZZ

Пп Пп yyOOzz 00 yy ZZ

Координатные векторыКоординатные векторы

к

ji 0

z

x

y

i , j , k-координатные векторы, они не компланарны

Координаты вектораКоординаты вектораЛюбой вектор а можно разложить по векторам, т.е Любой вектор а можно разложить по векторам, т.е представить в виде представить в виде

а = xi + yj + zk

Причем коэффициенты разложения х, у ,z определяются единственным образом и называются координатами вектора

Координатные векторы.

i {1;0;0} , j {0;1;0} , k {0;0;1}

B

C

O

E

F

D

z

y

x

A

ОтВеТыОтВеТы

А(5А(5;4;10);4;10)B(4;-3;6)B(4;-3;6)C(5;0;0)C(5;0;0)D(4;0;4)D(4;0;4)E(0;5;0)E(0;5;0)F(0;0;-2)F(0;0;-2)

Нулевой вектор.Нулевой вектор.

Нулевой вектор можно представить в Нулевой вектор можно представить в виде 0=0виде 0=0i+0j+0ki+0j+0k,то все координаты ,то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов координаты равных векторов соответственно равны,т.е если векторысоответственно равны,т.е если векторы a {x ; y ;z } a {x ; y ;z } и и b {x ; y ; z } b {x ; y ; z } равны, то равны, то x =x , x =x , y =y y =y и и z =z .z =z .2

22

11

1

1 21

2

1 2

Координаты равных векторов соответственно равны,т.е если векторы а {x ; y ; z } и b {x ; y ; z }, то x = x , y = y и z = z

1 1 1

2 2 2 2 1 2

1 2 1 2

Правила,которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности,а так же координаты произведения данного вектора на данное число

1.Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами,если а { x ; y ; z }b { x ; y ; z } – данные векторы,то вектор а + b имеет координаты {x + x ; y + y ; z + z }1

1 1

22 2

1

21 2 1 2

2.Каждая координата разности двух векторов Равна разности соответствующих координатЭтих векторов. Другими словами,если a { x ; y ; z }и b {x ; y ; z } - данные векторы,то вектор a – b имееткоординаты {x – x ; y – y ; z – z }

1 1 1

2 2

21 21 21

2

3.Каждая координата произведения вектораНа число равна произведению соответствующейКоординаты вектора на это число.Другими словами,Если a {x ; y ; z } – данные векторы , @ - данное число,То вектор @a имеет координаты {@x ; @y ; @z}

Связь между координатами векторов и Связь между координатами векторов и координатами точек.координатами точек.

Вектор конец которого совпадает с данной Вектор конец которого совпадает с данной точкой,а начало - с началом координат,точкой,а начало - с началом координат, называетсяназывается радиус-векторомрадиус-вектором данной точкиданной точки..

Координаты любой точки равны Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-соответствующим координатам ее радиус-векторавектора..

Каждая координата вектора равна разности Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и соответствующих координат его конца и начала.начала.

Каждая координата середины отрезка Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих равна полусумме соответствующих координат его концов.координат его концов.

Длина вектора Длина вектора a { x ; y ; z } a { x ; y ; z } вычисляется вычисляется

по формуле по формуле |a||a| == x² + y² + z²x² + y² + z²

Расстояние между двумя Расстояние между двумя точками.точками.

Расстояние между двумя точками Расстояние между двумя точками М ( М ( x x ;; y y ; ; zz ) ) ии

M ( x M ( x ; y ; y ; z; z ) ) вычисляется по формулевычисляется по формуле

d =d = (x – x )² + (y – y )² + (z – z )²(x – x )² + (y – y )² + (z – z )²

1 1 11

2 1 2 1 2 1

Спасибо за внимание!Спасибо за внимание!