Преобразования

графиков функций

Муниципальное Общеобразовательное Учреждение «Средняя Общеобразовательная

Школа №236 г.Знаменск»

Учитель математики Потапова Е.А.

Преобразованиясимметрии

относительноосей х и у.

Урок № 1 f(x) f(-x)

f(x) -f(x)

Преобразование симметрии относительно оси хf(x) -f(x)

График функции у = -f(x) получается преобразованием симметрии графика функции у = f(x) относительно оси х. Замечание. Точки пересечения графика с осью х остаются неизменными.

xy sin

xy sin

2xy

2xy

xy 2

xy 2

xy

xy

Преобразование симметрии относительно оси yf(x) f(-x)

График функции у = f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции у = f(x) относительно оси y. Замечание. Точкa пересечения графика с осью y остается неизменной.

xy 2log)(log2 xy

xy 2

xy 2

xy xy

2xy 2xy

Замечание 1.График четной функции не изменяется при отражении относительно оси у, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)2 = x2.

xy sin

xy sin

Замечание 2.График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси х , так и при отражении относительно оси у, поскольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x) =-sinx.

Урок № 2

Параллельный

перенос вдоль

осей х и у.

f(x) f(x) + bf(x) f(x-а)

Параллельный перенос вдоль оси хf(x) f(x-а)

График функции у = f(x-а) получается параллельным переносом вдоль оси х на |a| вправо при а>0 и влево при а <o.

xy sin

3sin

xy 3

Замечание: График периодической функции с периодом Т не изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nT, nϵN.

23 xy

2xy

22 xy

xy

2 xy3 xy

Параллельный перенос вдоль оси yf(x) f(x)+b

График функции у = f(x)+b получается параллельным переносом вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b <o.

xy sin 1sin xy

2sin xy

xy cos2cos xy

22 xy

2xy

12 xy xy

2 xy

1 xy

Урок №3

Сжатие и

растяжение

вдоль осей x

и у

f(x) f(αx)

f(x) kf(x)

Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)f(αx), где α >0

xy 2sin

График функции y=f(αx) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз.

График функции y=f(αx) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз.

α >1

0< α <1

xy sin

xy xy 2

2

xy

Замечание. Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными.

Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)kf(x), где k>0

xy cosxy cos2

xy cos2

1

График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.

График функции y=kf(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.

k>1

0<k<1

xy 2

xy

xy 5,0

2xy

23xy

25,0 xy

2

10

1xy Замечание. Точки пересечения графика

с осью x остаются неизменными.

xy 5,0

xy

xy 3

Построение

графиков

функций y=f(|

x|) и

y=|f(x)|

Урок №4

Построение графика функции у=|f(x)|

Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).

xy sin

xy sin

Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график расположен в верхней полуплоскости).

342 xxy

342 xxy

xy 2log

xy 2log

Построение графика функции у=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у, удаляется ,а часть, лежащая правее оси у – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.

xy sin

xy sin

Замечание: Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси у).

342 xxy

342 xxy

xy 2log

xy 2log

Построение

графика

обратной

функции

Урок №5

Построение графика обратной функции График функции у = g(x) , обратной для данной функции у = f(x) , можно получить преобразованием симметрии графика у = f(x) относительно прямой y=х. Замечание. Описанное построение можно производить только для функции, имеющей обратную.

xy 2logПримеры графиков взаимно обратных функций:

xy 2

0,2 xxy

xy

xy arcsin

2/2/

,sin

x

xy

1

1

x

xy

0

,cos

xy arccos

1

1

1

1

Построение графиков сложных функцийс помощью последовательных преобразований

графиков элементарных функций(на примерах).862 xxy

1386)1 22 xxxy 1386)222 xxxy

Пример 1. 862 xx 13

2 x

86)3 2 xxy

1386)222 xxxy

Пример 2. 1log2 xy

xy 2log)1 xy 2log)2

1log)3 2 xy

xy 2log)2

1log)4 2 xy

1log)3 2 xy

Пример 3. 12sin3 xy

xy sin)1 xy 2sin)2

xy 2sin)2 xy 2sin3)3

xy 2sin3)3 xy 2sin3)4

xy 2sin3)4 12sin3)5 xy

xy cos

12

cos

xyПример 4. Построить график функции :

• Сместим график функции y=cosx на вектор

1;2