Embed Size (px)
DESCRIPTION
模拟退火 算法 _ 简要介绍. 指导教师：钟翠萍 主讲人：崔旭辉. 爬山算法 ( Hill Climbing ). 介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。. 爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图 1 所示：假设 C 点为当前解，爬山算法搜索到 A 点这个局部最优解就会停止搜索，因为在 A 点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。. 图 1. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
模拟退火算法 _ 简要介
绍
指导教师钟翠萍主讲人崔旭辉
爬山算法 ( Hill Climbing )
bull 介绍模拟退火前先介绍爬山算法爬山算法是一种简单的贪心搜索算法该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解直到达到一个局部最优解
爬山算法实现很简单其主要缺点是会陷入局部最优解而不一定能搜索到全局最优解如图 1所示假设 C点为当前解爬山算法搜索到 A点这个局部最优解就会停止搜索因为在 A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解
图 1
bull 爬山法是完完全全的贪心法每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解因此只能搜索到局部的最优值
bull 模拟退火其实也是一种贪心算法但是它的搜索过程引入了随机因素模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解因此有可能会跳出这个局部的最优解达到全局的最优解
以图 1为例模拟退火算法在搜索到局部最优解A后会以一定的概率接受到 E的移动也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D点于是就跳出了局部最大值 A
图 1
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
爬山算法 ( Hill Climbing )
bull 介绍模拟退火前先介绍爬山算法爬山算法是一种简单的贪心搜索算法该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解直到达到一个局部最优解
爬山算法实现很简单其主要缺点是会陷入局部最优解而不一定能搜索到全局最优解如图 1所示假设 C点为当前解爬山算法搜索到 A点这个局部最优解就会停止搜索因为在 A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解
图 1
bull 爬山法是完完全全的贪心法每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解因此只能搜索到局部的最优值
bull 模拟退火其实也是一种贪心算法但是它的搜索过程引入了随机因素模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解因此有可能会跳出这个局部的最优解达到全局的最优解
以图 1为例模拟退火算法在搜索到局部最优解A后会以一定的概率接受到 E的移动也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D点于是就跳出了局部最大值 A
图 1
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
爬山算法实现很简单其主要缺点是会陷入局部最优解而不一定能搜索到全局最优解如图 1所示假设 C点为当前解爬山算法搜索到 A点这个局部最优解就会停止搜索因为在 A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解
图 1
bull 爬山法是完完全全的贪心法每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解因此只能搜索到局部的最优值
bull 模拟退火其实也是一种贪心算法但是它的搜索过程引入了随机因素模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解因此有可能会跳出这个局部的最优解达到全局的最优解
以图 1为例模拟退火算法在搜索到局部最优解A后会以一定的概率接受到 E的移动也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D点于是就跳出了局部最大值 A
图 1
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 爬山法是完完全全的贪心法每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解因此只能搜索到局部的最优值
bull 模拟退火其实也是一种贪心算法但是它的搜索过程引入了随机因素模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解因此有可能会跳出这个局部的最优解达到全局的最优解
以图 1为例模拟退火算法在搜索到局部最优解A后会以一定的概率接受到 E的移动也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D点于是就跳出了局部最大值 A
图 1
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
以图 1为例模拟退火算法在搜索到局部最优解A后会以一定的概率接受到 E的移动也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D点于是就跳出了局部最大值 A
图 1
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 关于爬山算法与模拟退火有一个有趣的比喻bull 爬山算法兔子朝着比现在高的地方跳去它找到了不远处的最高山峰但是这座山不一定是珠穆朗玛峰这就是爬山算法它不能保证局部最优值就是全局最优值
bull 模拟退火兔子喝醉了它随机地跳了很长时间这期间它可能走向高处也可能踏入平地但是它渐渐清醒了并朝最高方向跳去这就是模拟退火
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法简介
bull 模拟退火算法 (Simulated Annealing SA)最早的思想是由 N Metropolis[1]等人于 1953年提出
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull Metropolis准则提出bull 固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用MorteCarol算法方法加以模拟虽然该方法简单但必须大量采样才能得到比较精确的结果因而计算量很大
bull 鉴于物理系统倾向于能量较低的状态而热运动又妨碍它准确落到最低态采样时着重选取那些有重要贡献的状态则可较快达到较好的结果因此Metropolis等在 1953年提出了重要的采样法即以概率接受新状态
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
Metropolis准则
假设在状态 xold时系统受到某种扰动而使其状态变为 xnew与此相对应系统的能量也从 E(xold)变成 E(xnew)系统由状态 xold变为状态 xnew的接受概率 p
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法原理bull 模拟退火算法来源于固体退火原理将固体加温至充分高再让其徐徐冷却加温时固体内部粒子随温升变为无序状内能增大而徐徐冷却时粒子渐趋有序在每个温度都达到平衡态最后在常温时达到基态内能减为最小
物理退火过程
（ 1）加温过程 （ 2）等温过程 （ 3）冷却过程
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 根据Metropolis准则粒子在温度 T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE(kT))其中 E为温度 T时的内能ΔE为其改变量 k为 Boltzmann常数
bull 用固体退火模拟组合优化问题将内能 E模拟为目标函数值 f温度 T演化成控制参数 t
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 即得到解组合优化问题的模拟退火算法由初始解 i和控制参数初值 t开始对当前解重复ldquo产生新解rarr计算目标函数差rarr接受或舍弃rdquo的迭代并逐步衰减 t值算法终止时的当前解即为所得近似最优解
bull 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程退火过程由冷却进度表 (Cooling Schedule)控制包括控制参数的初值 t及其衰减因子 Δt每个 t值时的迭代次数 L和停止条件S
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 根据热力学的原理在温度为 T时出现能量差为 dE的降温的概率为 P(dE)表示为
P(dE) = exp( dE(kT) )bull 其中 k是一个常数 exp表示自然指数且 dElt0这条公式说明的就是温度越高出现一次能量差为 dE的降温的概率就越大温度越低则出现降温的概率就越小又由于 dE总是小于 0（否则就不叫退火了）因此 dEkT lt 0 所以 P(dE)的函数取值范围是 (01)
bull 随着温度 T的降低 P(dE)会逐渐降低bull 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程我们以概率 P(dE)来接受这样的移动
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法描述bull 若 J( Y(i+1) )gt= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解 )则总是接受该移动
bull 若 J( Y(i+1) )lt J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差 )则以一定的概率接受移动而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
bull 这里的ldquo一定的概率rdquo的计算参考了金属冶炼的退火过程这也是模拟退火算法名称的由来
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法模型bull 模拟退火算法可以分解为解空间目标函数和初始解三部分bull 模拟退火的基本思想 (1) 初始化初始温度 T(充分大 )初始解状态 S(是算法迭代的起点 )每个 T值的迭代次数 L(2) 对 k=1helliphellip L做第 (3)至第 6步(3) 产生新解 Sprime(4) 计算增量 Δt =C(S )-C(S)prime prime 其中 C(S)为评价函数(5) 若 Δt lt0prime 则接受 Sprime作为新的当前解否则以概率 exp(-Δt T)prime 接受 Sprime作为新的当前解 (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解结束程序终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法(7) T逐渐减少且 T-gt0然后转第 2步
自然常数 e为底的指数函数
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
算法对应演示图
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解
为便于后续的计算和接受减少算法耗时通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法
如对构成新解的全部或部分元素进行置换互换等注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构因而对冷却进度表的选取有一定的影响
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
算法对应演示图
第二步是计算与新解所对应的目标函数差
因为目标函数差仅由变换部分产生所以目标函数差的计算最好按增量计算事实表明对大多数应用而言这是计算目标函数差的最快方法
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
算法对应演示图
第三步是判断新解是否被接受
判断的依据是一个接受准则最常用的接受准则是Metropolis准则 若 Δtprimelt0则接受 Sprime作为新的当前解S否则以概率 exp(-ΔtprimeT)接受 Sprime作为新的当前解S
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
算法对应演示图
第四步是当新解被确定接受时用新解代替当前解
这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现同时修正目标函数值即可此时当前解实现了一次迭代可在此基础上开始下一轮试验而当新解被判定为舍弃时则在原当前解的基础上继续下一轮试验
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法参数的选择
冷却进度表我们称调整模拟退火法的一系列重要参数为冷却进度表它控制参数 T的初值及其衰减函数对应的MARKOV链长度和停止条件非常重要一个冷却进度表应当规定下述参数1控制参数 t的初值 2控制参数 t的衰减函数3马尔可夫链的长度（即每一次随机游走过程要迭代多少次才能趋于一个准平衡分布即一个局部收敛解位置）4结束条件的选择
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 有效的冷却进度表判据
一算法的收敛主要取决于衰减函数和马可夫链的长度及停止准则的选择
二算法的实验性能最终解的质量和 CPU的时间
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
参数的选取 1048708
一）控制参数初值的选取
一般要求初始值的值要充分大即一开始即处于高温状态且Metropolis的接收率约为 1(1) 均匀抽样一组状态以各状态目标值的方差为初温(2) 随机产生一组状态确定两两状态间的最大目标值差 |Δmax|然后依据差值利用一定的函数确定初温比如=－ Δmaxpr 其中 pr为初始接受概率
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
二）衰减函数的选取
bull 衰减函数用于控制温度的退火速度一个常用的函数为T(n + 1) = KT(n)其中 K是一个非常接近于 1的常数
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关一般来说同一温度下的ldquo充分rdquo搜索 (退火 )是相当必要的但这需要计算时间实际应用中要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
三）马可夫链长度 L的选取
在衰减参数 T的衰减函数已选定的前提下 L应选得在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
四）终止条件
有很多种终止条件的选择各种不同的条件对算法的性能和解的质量有很大影响我们只介绍一个常用的终止条件即上一个最优解与最新的一个最优解的之差小于某个容差即可停止此次马尔可夫链的迭代
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
模拟退火算法伪代码bull 代码
bull bull J(y)在状态 y时的评价函数值bull Y(i)表示当前状态bull Y(i+1)表示新的状态bull r 用于控制降温的快慢bull T 系统的温度系统初始应该要处于一个高温的状态bull T_min 温度的下限若温度 T达到 T_min则停止搜索bull bull while( T gt T_min )bull bull dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) )
bull if ( dE gt=0 ) 表达移动后得到更优解则总是接受移动bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull elsebull bull 函数 exp( dET )的取值范围是 (01) dET越大则 exp( dET )也bull if ( exp( dET ) gt random( 0 1 ) )bull Y(i+1) = Y(i) 接受从 Y(i)到 Y(i+1)的移动bull bull T = r T 降温退火 0ltrlt1 r越大降温越慢 r越小降温越快bull bull 若 r过大则搜索到全局最优解的可能会较高但搜索的过程也就较长若 r过小则搜索的过程会很快但最终可能会达到一个局
部最优值bull bull i ++ bull
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
使用模拟退火算法解决旅行商问题
bull 旅行商问题即 TSP问题（ Travelling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一假设有一个旅行商人要拜访 n个城市他必须选择所要走的路径路经的限制是每个城市只能拜访一次而且最后要回到原来出发的城市路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP的一条近似最优路径
bull 解空间解空间 S是遍访每个城市恰好一次的所有路经解可以表示为 w1w2 helliphellip wn w1 helliphellip wn是 12helliphellipn的一个排列表明 w1城市出发依次经过 w2 helliphellip wn城市再返回 w1城市初始解可选为 (1helliphellip n)
bull 目标函数目标函数为访问所有城市的路径总长度 bull 我们要求的最优路径为目标函数为最小值时对应的路径
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 新路径的产生随机产生 1和 n之间的两相异数 k和m不妨假设kltm则将原路径 (w1w2hellipwkwk+1hellipwmwm+1hellipwn)变为新路径(w1w2hellipwmwk+1hellipwkwm+1hellipwn)上述变换方法就是将 k和m对应的两个城市在路径序列中交换位置
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 模拟退火算法是一种随机算法并不一定能找到全局的最优解可以比较快的找到问题的近似最优解 如果参数设置得当模拟退火算法搜索效率比穷举法要高
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 优点计算过程简单通用鲁棒性强适用于并行处理可用于求解复杂的非线性优化问题
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
bull 缺点收敛速度慢执行时间长算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点
bull 经典模拟退火算法的缺点(1)如果降温过程足够缓慢多得到的解的性能会比较好但与此相对的是收敛速度太慢 (2)如果降温过程过快很可能得不到全局最优解
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
(1) 设计合适的状态产生函数使其根据搜索进程的需要表现出状态的全空间分散性或局部区域性(2) 设计高效的退火策略(3) 避免状态的迂回搜索(4) 采用并行搜索结构(5) 为避免陷入局部极小改进对温度的控制方式(6) 选择合适的初始状态(7) 设计合适的算法终止准则
模拟退火算法的改进
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
也可通过增加某些环节而实现对模拟退火算法的改进主要的改进方式包括(1) 增加升温或重升温过程在算法进程的适当时机将温度适当提高从而可激活各状态的接受概率以调整搜索进程中的当前状态避免算法在局部极小解处停滞不前(2) 增加记忆功能为避免搜索过程中由于执行概率接受环节而遗失当前遇到的最优解可通过增加存储环节将一些在这之前好的态记忆下来(3) 增加补充搜索过程即在退火过程结束后以搜索到的最优解为初始状态再次执行模拟退火过程或局部性搜索(4) 对每一当前状态采用多次搜索策略以概率接受区域内的最优状态而非标准 SA的单次比较方式(5) 结合其他搜索机制的算法如遗传算法混沌搜索等(6)上述各方法的综合应用
Thanks
Thanks
