Оценка параметров обыкновенных

дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами

Работу выполнил: студент группы 6057/3 Соловьёв С.Ю.Научный руководитель: Ануфриев И.Е.

1. Разработать быстрый и эффективный алгоритм для решения задачи оценки параметров ОДУ с запаздывающими аргументами

2. Реализовать алгоритм в виде библиотеки MATLAB

3. Получить решение некоторых практических задач

Цели работы

2

Постановка задачи (1)

3

1

1

1

1

1 1

2

(1

ˆ ˆ1. { , }, 1,

2. ( , ( ), ( ), , ( ), )

ˆ ˆ3. ( ), [ max( ); )

, . . :

ˆˆ1. min ( ( ,

,

))

1,

( ):R R ,

)

2 ( )

R

.

i i

d

h jj

n

i ip

s

i

i

p оцениваемый вектор

запаздывания i d

t x i ndx

ft x t x t x t pdt

x tt tt

p т ч

x x t p

x t решени

x t p

Дано :

Найти :

(1)е

Постановка задачи (2)

2( )

1

ˆmin ( , ) min ( )

(

(2)

(3: ( , ) 0,)

1 )1

,

i i

i

n

j i jpj

i

x решение дифференциального уравнения в tс определяются схемой численног

m

о интегрированияn число элементов сет

x p x x

при ог

ки численн

ранич

ого ин

ениях

тегри

c x p i n

рова

11( , ) ( , , , , , )

1.2. :

( )

1000

1 ,

di i i i i i i i i

метод Эйлераc x p x x tf t x x x p

Долго решаетсяПри больших n нехватка

ния n n

памяти n

Пример :

Проблемы :

4

Поиск решения

5

Редукция переменных Нет

Блочное разложение Нет

Ускорение шага SQP

Полный гессиан

Прямые методы

Итерационные методы

Неполный гессиан

Прямые методы

Итерационные методы

Описание алгоритма

6

max (0)0

( 1)0

2

ˆ ˆ0. , 1, ; { , }, 1, ; 0;

1. ,

2. R

3.

4. : ( (, ) ( ) ( )

1min ( , ) ( , )

2

4)

(5. . ( ) )

)( 0

j j

i

n s

Tk k k k k

T Tk k xx k kd

k k

xx

i номер итерации i n t x j n z n n

z n

xz

p

Цикл SQP по k

k ый шаг SQP z m z c z

z d d z d

т ч c z A z d

2

1

1

( )0 1

( )( , ) ( )( )( ) 0

5. :

6.

(

, 2

5

1;

.1)

, 1

kk k k

k kk

k k

ii i

d m zz A zc zA z

Остановка SQP z z

z z n n если z z остановка иначе переход к шагу

Редукция переменных

1

11 1 2 1 1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

[ , , , ] R

[ ( , , ), , ( , , )] R( ) ( )

0 0 00 0 00 0 0

T T n sn

T nn n n

z x x p

c c x x p c x x pA z c z

Li Z., Osborne M.R., PrvanT.

(Parameter estimation of ordinary differential equations, 2005) :

1 1 1

2 2 2

1 3 3 3

2 4

1 11 1

2

(6) (

0 0 00 0 0

0 00 0

0 0 0 00 0 0 0

( R ) ( R ); min (

7)

n nn n

n s s

или

метод блочной редукции для уменьшения размерности задачи

z z f z

Идея :

)7

Описание алгоритма с редукцией переменных

max (0)0

( 1)0

22

11

2

ˆ ˆ0. , 1, ; { , }, 1, ; 0;

1. ,

2. R

ˆ4. min ( ( )) , ( , , ) 0 ( )

3. : ( ) R

5.

j j

i

n s

i i i i ipi

sxРедукция переме

i номер итерации i n t x j n z n n

z n

xz

p

xx x t c x x p z SQP

p

нных f z zp

Во

( )0

1

16. ; , 1

: ( )

ii i

xзврат к исходным переменны

z z если z z остановка иначе переход к ш

f z zp

агу

м

8

Редукция переменных: случай ОДУ с запаздывающими аргументами

9

Матрицы системы на шаге SQP (5.1):1. Не положительно определённая2. Симметричная3. Разреженная

Самые быстрые:4. LDL5. BICG

Методы решения шага SQP

10

LDL разложение

11

,T TP AP LDL где D диагональнаяL нижняя треугольнаяP матрица перестановок

пороговоезначение дляалгоритмапереупорядочивания

1. Предобуславливатель P2. Пороговое значение для P

Метод бисопряжённых градиентов

12

,

incLU неполноеLU разложение

пороготбрасываемыхзначений

Неполный и полный гессиан

13

2 2

1 2

1 2

1

: ( , ) ( ) ( )

( ) ( ), ( , ) ( )

:

( , )( ) ( , )

:

( , ) ( )

(8)

(9)

T

Tzz zz

N

GN

Лагранжиан z m z c z

H z m z H z c z

Полный гессиан

H zH z H z

Неполный гессиан

H z H z

Реализация в MATLAB

14

15

Примеры (1)

(10.1(0) 1

( )

)

(10.2)( 1) t

dxp x

dtx

x t p p e

Примеры (2)

(11.1)

(11

cos( )

(0) 2

( ) sin 2( .) )

t

t

dxp x e t

dtx

x t p e t

16

Примеры (3)

17

4

4

4 1 2 3 3

1 2 3

(1

( ) cos( )

(0) 2

( )

2.1)

(12.2)sin( )

p t

p t

dxp p x p p p t e

dtx

x t p p p t e

Примеры (4)

( )

sin( )( ) sin( ) cos( )

1 co

(13.1)

(1)

3.2s(

)

dxpx t

dtp

x t pt ptp

18

Примеры (5)

19

( ) ( (14.) 1)dx

px t x tdt

Примеры: уравнение демографической динамики

3 0

21

2 3

( )

2

3 2

1

2 0

( )( ) 1

( , , )

( , , ) ( )

(15)

P t Pc

dP P trP t

dt K P

K P P P

среднее время наступления репродуктивной способностивремя диффузии

t P e

бази

Акаев А.А., Садовничий В.А., Ануфриев И.Е. (2011) :

3

1 2 3

, ,

: 25, 30, 100c

сных технологийзапаздывание реакции биосферы на антропогенную нагрузку

r параметры

Для мираP стационарная численность населения

20

Уравнение демографической динамики: Мир (1)

21

0(15) 25 30 100 , 1, 4 :

0.0191.9415.058

TcДля модели при P P

rp k

Уравнение демографической динамики: Мир (2)

22

0(15) 25 30 100 , 1, 5.2:

0.0182.2614.59

TcДля модели при P P

rp k

Уравнение демографической динамики: Мир (3)

23

0(15) 25 30 100 , 1, 6 :

0.0172.6934.692

TcДля модели при P P

rp k

Уравнение демографической динамики: Мир (4)

24

0(15) 25 30 100 , 1, 9 :

0.0154.2679.555

TcДля модели при P P

rp k

Уравнение демографической динамики: Ошибки решения

25

Разработан быстрый алгоритм решения задачи оценки параметров ОДУ с запаздывающими аргументами

Полученный алгоритм реализован в среде разработки MATLAB в виде программы с графическим интерфейсом пользователя

Получены оценки параметров для уравнения демографической динамики

Выводы

26

Спасибо за внимание!

27