Математические основы школьной информатики

Математические основы школьной информатики

Босова Людмила Леонидовна[email protected]

Информатика – это научная дисциплина о закономерностях протекания информационных процессов в различных средах, а также о методах и средствах их автоматизации.

Особого внимания заслуживают междисциплинарные связи математики и информатики. Это ни в коей мере не конкурирующие дисциплины.

При этом информатика – это не часть математики, хотя ряд понятий может быть одновременно отнесён к компетенции обеих дисциплин. Более продуктивно рассматривать математику и информатику как дисциплины, в определённой мере дополняющие друг друга.

Фундаментальное ядро содержания общего образования

Преобразование информации по формальным правилам. Алгоритмы. Способы записи алгоритмов; блок-схемы.

Логические значения, операции, выражения. Алгоритмические конструкции (имена, ветвления, циклы).

Разбиение задачи на подзадачи. Вспомогательные алгоритмы. Обрабатываемые объекты: цепочки символов, числа, списки,

деревья, графы. Алгоритмы: Евклида, перевода из десятичной системы счисления и

обратно, примеры алгоритмов сортировки, перебора (построения выигрышной стратегии в дереве игры).

Вычислимые функции, формализация понятия вычислимой функции, полнота формализации. Сложность вычисления и сложность информационного объекта. Несуществование алгоритмов, проблема перебора.

Фундаментальное ядро. Математические понятия

Математика и информатика. 5-6 классы

Линия алгоритмизации• Кодирование информации. Метод координат• Преобразование информации по заданным

правилам• Преобразование информации путём рассуждений• Разработка плана действий и его запись• Планируем работу в графическом редакторе• Создаём анимацию• Выполняем вычисления с помощью программы

Калькулятор

Математические основы информатики. 5 класс

Преобразование информации путём рассуждений

Руслан

Саша

Никита

У Ани флешка синяя, у Маши - не синяя,у Вари – не белая.

Рассуждаем

Аня Маша Варя

Предположим, что верно сказано о цвете флешки Ани: «У Ани флешка синяя». Тогда верно сказано и о цвете флешки Маши – «не синяя». Это противоречит условию.




Предположим, что верно сказано о цвете флешки Маши – «не синяя»; следовательно, у неё может быть красная или белая флешка. Так как высказывание о цвете флешки Вари («не белая») ошибочно, то у неё должна быть именно белая флешка. Тогда у Маши должна быть красная флешка. В этом случае Ане достаётся синяя флешка, что противоречит условию.




Предположим, что верно высказывание о цвете флешки Вари – «не белая». Тогда должно быть верно и то, что у Маши синяя флешка, а у Ани не синяя. Следовательно, у Маши синяя флешка, у Вари – красная, а у Ани – белая.

Планируем работу в графическом редакторе

Калькулятор

Информационное моделирование• Круги Эйлера. Схемы состава• Математические модели• Табличные модели• Графики и диаграммы

Линия алгоритмизации• Что такое алгоритм• Исполнители вокруг нас• Формы записи алгоритмов• Тиры алгоритмов• Управление исполнителем Чертёжник


В детском саду 52 ребёнка. Каждый из них любит конфеты или мороженое. Половина детей любит конфеты, а 20 человек – конфеты и мороженое.

Сколько детей любит мороженое? Сколько детей любит только мороженое?

20, любят К и М26, любят К

?, любят М

?, любят только М?, любят только К

52

На одном из сеансов в кинотеатре присутствовали только ученики (мальчики и девочки) из 5-х и 6-х классов. Некоторые из них взяли с собой попкорн, другие - лимонад. Среди зрителей не было ни девочек из 6-го класса, ни девочек с лимонадом из 5-го класса. Пятиклассников было 25, а шестиклассников - 17. Мальчиков было 32. Зрителей с попкорном было 28. Пятиклассников с лимонадом было на 2 больше, чем шестиклассников с лимонадом. Сколько мальчиков из 6 классазапаслись попкорном?

Схема состава

Зрители

Пятиклассники

Девочки

С лимонадом

С попкорном

Мальчики



Шестиклассники

Девочки



Мальчики



Согласно условию задачи не было ни девочек из 6-го класса, ни девочек с лимонадом из 5-го класса:

19

Зрители


Девочки


Мальчики



Шестиклассники

Мальчики

С лимонадом С попкорном

Так как девочек из 6 класса не было, то все шестиклассники были мальчиками и их было 17:

Зрители


Девочки


Мальчики



Шестиклассники, 17

Мальчики, 17


Так как мальчиков было 32, то среди них было 15 пятиклассников (32-17). Всего пятиклассников было 25, значит, девочек-пятиклассниц было 10, причём все они были с попкорном.

Зрители

Пятиклассники, 25

Девочки, 10

С попкорном, 10







Если зрителей с попкорном 28, то с лимонадом – 14. А так пятиклассников с лимонадом было на 2 больше, чем шестиклассников с лимонадом то из уравнения х+х+2=14 получаем, что пятиклассников с лимонадом - 8, а шестиклассников с лимонадом - 6.

Ответ: Мальчиков-шестиклассников с попкорном было 11.

Зрители, 42

Пятиклассники, 25

Девочки, 10



С лимонадом, 8




С лимонадом, 6


В классе 4 одноместные парты. Сколькими способами можно рассадить на них двух вновь прибывших школьников? Изобразите соответствующий граф.

Графы

Миша запланировал купить: карандаш, линейку, блокнот и тетрадь. Сегодня он купил только два разных предмета. Что мог купить Миша, если считать, что в магазине были все нужные ему учебные принад лежности. Изобразите соответствующий граф.

Графы

Исполнители

http://www.niisi.ru/kumir/











• Двоичное кодирование• Измерение информации• Оценка количественных параметров

информационных объектов и процессов:– объём памяти, необходимый для хранения

информации; – время передачи информации;– информационный объём графических файлов;– информационный объём текстовых файлов;– информационный объём звуковых файлов.


• Ученики 7–9 классов не достаточно уверенно работают со степенями двойки, а соответствующий навык крайне важен для решения задач, связанных с оценкой количественных параметров информационных объектов и процессов.

• Если на уровне школы согласовать действия учителей математики и информатики, то теоретически изученная в курсе математики тема «Степень с натуральным показателем и её свойства» может быть успешно закреплена при решении практических задач уже на уроках информатики.

Работа со степенями двойки

!

?

Решения типовых задачПодробно рассмотрены примеры решений

типовых задач по каждой изучаемой теме.Аналогичные задачи предлагаются в рубрике

«Вопросы и задания» для самостоятельного решения

Работа со степенями двойки – слабое место.!


§1.1. Системы счисленияОбщие сведения о системах счисления

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Двоичная арифметика

«Компьютерные» системы счисления


§1.2. Представление информации в компьютереПредставление целых чиселПредставление вещественных чисел

§1.3. Элементы алгебры логикиВысказываниеЛогические операции Построение таблиц истинности для логических выраженийСвойства логических операций Решение логических задачЛогические элементы



В какой системе счисления десятичное число 37110 выглядит как 173? ?

Пусть основание искомой системы х.

Тогда: 173х=1·х2+7·х+3х2+7·х+3=371х2+7·х-368=0

Х=16


Сколько единиц в двоичной записи числа4324+32234-1? ?Преобразуем исходное выражение:

4324+32234-1=22·324+25·234-1== 2648+21170-1=

=10…0+10…0-1=

=10…010..0-1==10..001…1

648 нулей 1170 нулей

648 нулей

648 единиц

Ответ: Всего

649 единиц


Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения: Афродита: «Я самая прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная». Гера: «Я самая прекрасная». Афродита: «Гера не самая прекрасная». Афина: «Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

?


Так как дизъюнкция истинного и ложного высказывания истинна, а каждый из друзей один раз сказал правду, то можно записать:

ДМ + БХ = 1; АМ + ВБ = 1; ВТ + БМ = 1; ВБ + ГЧ = 1; ГЧ + АТ. = 1.

Произведение истинных слагаемых истинно:

(ДМ + БХ )(АМ + ВБ)(ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)= 1.Будем последовательно раскрывать скобки:

(ДМАМ + БХ АМ + ДМ ВБ+ БХ ВБ) (ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)=1.Сомножитель ДМАМ=0, так как не могут быть одновременно истинными высказывания «Дима Мишин» и «Антон Мишин».

(БХ АМ + ДМ ВБ+ БХ ВБ) (ВТ + БМ)(ВБ + ГЧ)(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ(ВБ + +ГЧ)(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ ГЧ(ГЧ + АТ)= БХ АМВТ ГЧ.

Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.

§2.1 Моделирование как метод познанияМодели и моделированиеЭтапы построения информационной моделиКлассификация информационных моделей

§2.2 Знаковые моделиСловесные моделиМатематические моделиКомпьютерные математические модели

§2.3 Графические модели Многообразие графических информационных моделейГрафыДеревьяИспользование графов при решении задач

Математические основы информатики. 9 класс. Моделирование и формализация

§3.1. Алгоритмы и исполнителиПонятие алгоритмаИсполнитель алгоритмаСвойства алгоритмаВозможность автоматизации деятельности человека

§3.2. Способы записи алгоритмовСловесные способы записи алгоритмаБлок-схемыАлгоритмические языки

Математические основы информатики. 9 класс. Основы алгоритмизации

§3.3. Объекты алгоритмовВеличиныВыраженияКоманда присваиванияТабличные величины (массивы)

§3.4. Основные алгоритмические конструкцииСледованиеВетвлениеПовторение


§3.5. Конструирование алгоритмовПоследовательное построение алгоритмаРазработка алгоритма методом последовательного уточнения для исполнителя Робот Вспомогательные алгоритмы

§3.6. Алгоритмы управленияУправлениеОбратная связь



• Трудности при подборе задач по темам, связанным с алгоритмизацией и программированием.

• Как правило, ученикам 8–9 классов предлагаются задачи с математическим содержанием, которое ими успешно забыто, так как пройдено в 6 классе (деление с остатком, делители и кратные, признаки делимости) или ещё только будет изучаться в курсе геометрии 9 класса.

Алгоритмизация и программирование

!

?

Необходимо учитывать, что подход к определению тех или иных свойств одних и тех же объектов на уроках математики и информатики различен (например, при рассмотрении признаков делимости). Обратить на это внимание обучающихся – задача учителя информатики.

Алгоритмизация и программирование

!

(2*R+2*d)+2*R+2*R+…

Зона ответственности информатики

Московская городская олимпиада, 9-11 кл.

Интеграционные процессы

Математичес

кие основы информатики

Компьютер

ная математика

Результаты образования будут использоваться в мире, насыщенном ИКТ; благодаря ИКТ потребность в тех или иных результатах образования радикально изменилась за последние полвека…

А.Л. Семенов

Одна из основных задач информатики состоит в том, чтобы:• проанализировать условие задачи, выделить

существенные признаки рассматриваемого объекта (здесь основную роль играет познавательный блок УУД);

• построить информационную модель (здесь важно наличие предметных знаний из той области, к которой относится данная задача);

• решить с её помощью поставленную задачу (собственно, именно здесь требуются предметные знания и умения по информатике, например, по программированию).

Важно

Методы информатики «проникают во все области знания – естественные и гуманитарные. Изучение информатики в школе на высоком уровне важно будет не только специалистам, которые будут создавать новые информационные технологии, но и медикам и биологам, физикам и филологам, историкам и философам, будущим руководителям предприятий и политикам, представителям всех областей знаний».

В.А. Садовничий

Documents

Математические основы школьной информатики