第四章 基本的算法策略

4.1 迭代算法• 概念 用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法• 适合的范围 数值计算• 类型（ 1 ）递推法 sn=sn-1+An

（ 2 ）倒推法

4． 1． 1 递推法 【例 1 】兔子繁殖问题问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生

一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。

问题分析：则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 …… 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……数学建模： y1=y2=1 ， yn=yn-1+yn-2 ， n=3 ， 4 ，

5 ，……。

算法 1 ： main( ){ int i,a=1,b=1; print(a,b); for(i=1;i ＜ =10;i++) { c=a+b; print (c); a=b; b=c ； } }

4.1.2 倒推法 所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从 后向前推解问题的方法。

【例】猴子吃桃问题一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个，到第 10 天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？数学模型：每天的桃子数为： a10=1, a9= （ 1+a10 ） *2, a8= （ 1+a9 ） *2,……a10=1 ， 递推公式为： ai= （ 1+ai+1 ） *2 I = 9,8,7,6……1算法如下 ： main( ) { int i,s; s=1; for (i=9 ;i>=1;i=i-1) s=(s+1 ） *2 print (s) ； }

4.2 蛮力法• 蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题时采取的一种“懒惰”的策略。这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有情况或所有过程交给计算机去一一尝试，从中找出问题的解。

• 应用

蛮力策略的应用很广，具体表现形式各异，数据结构课程中学习的：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮力策略具体应用。

4 ． 2 ． 1 枚举法 枚举（ enumerate ）法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式，也是一种使用非常普遍的思维方法。它是根据问题中的条件将可能的情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大，如果超过了我们所能忍受的范围，则需要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减少问题可能解的列举数目。

用枚举法解决问题，通常可以从两个方面进行算法设计：

1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。

2 ）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并用逻辑表达式表示。

【例】解数字迷： A B C A B × A D D D D D D算法设计 1 ：按乘法枚举1) 枚举范围为： A ： 3——9 （ A=1 ， 2 时积不会得到六位数） ,B： 0——9, C： 0——9 六位数表示为 A*10000+B*1000+C*100+A*10

+B， 共尝试 800次。2)约束条件为： 每次尝试，先求 5 位数与 A 的积，再测试积的各位是否相 同，若相同则找到了问题的解。 测试积的各位是否相同比较简单的方法是，从低位开始， 每次都取数据的个位，然后整除 10 ，使高位的数字不断变 成个位，并逐一比较。

算法 1 如下：main （ ）{ int A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i; for(A=3; A<=9; A++) for(B=0; B<=9; B++) for(C=0; C<=9; C++) { F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B; E=F*A ； E1=E; G1=E1 mod 10; for(i=1; i<=5; i++) { G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10; if(G1<>G2 ) break; } if(i=6) print( F ，” *” ， A ，” =” ， E); } }

4.3 分而治之算法

4 ． 3 ． 1 分治算法框架 1．算法设计思想

分治法求解问题的过程是，将整个问题分解成若干个小问题后分而治之。如果分解得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出方便求解的子问题，必要时逐步合并这些子问题的解，从而得到问题的解。

分治法的基本步骤在每一层递归上都有三个步骤：

1 ）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题； 2 ）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则再继续分解为更小的子问题，直到容易解决； 3 ）合并：将已求解的各个子问题的解，逐步合并为原问题的解。

说明：

有时问题分解后，不必求解所有的子问题，也就不必作第三步的操作。比如折半查找，在判别出问题的解在某一个子问题中后，其它的子问题就不必求解了，问题的解就是最后（最小）

“ ”的子问题的解。分治法的这类应用，又称为 减治法 。

多数问题需要所有子问题的解，并由子问题的解，使用恰当的方法合并成为整个问题的解，比如合并排序，就是不断将子问题中已排好序的解合并成较大规模的有序子集。

2 ．适合用分治法策略的问题当求解一个输入规模为 n且取值又相当大的问题时，用蛮力策略效率一般得不到保证。若问题能满足以下几个条件，就能用分治法来提高解决问题的效率。1）   能将这 n 个数据分解成 k 个不同子集合，且得到 k 个子集

合是可以独立求解的子问题，其中 1 ＜ k≤n ；2）   分解所得到的子问题与原问题具有相似的结构，便于利用

递归或循环机制；在求出这些子问题的解之后，就可以推解出原问题的解；

4 ． 3 ． 2 二分法

不同于现实中对问题（或工作）的分解，可能会考虑问题（或工作）的重点、难点、承担人员的能力等来进行问题的分解和分配。在算法设计中每次一个问题分解成的子问题个数一般是固定的，每个子问题的规模也是平均分配的。当每次都将问题分解为原问题规模的一半时，称为二分法。二分法是分治法较常用的分解策略，数据结构课程中的折半查找、归并排序等算法都是采用此策略实现的。

分治法的一般的算法设计模式如下：Divide-and-Conquer(int n) /n为问题规模 /{ if （ n≤n0 ） /n0 为可解子问题的规模 / { 解子问题； return(子问题的解 )； }for （ i=1 ;i<=k;i++ ） /分解为较小子问题 p1,p2,……pk/ yi=Divide-and-Conquer(|Pi|); /递归解决 Pi/ T =MERGE(y1,y2,...,yk); /合并子问题 / return(T); }

【例 1 】金块问题： 老板有一袋金块 (共 n块 ) ，最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。

• 算法设计 1 ：　比较简单的方法是逐个的进行比较查找。先拿两块比较重量，留下重的一个与下一块比较，直到全部比较完毕，就找到了最重的金子。算法类似于一趟选择排序，

算法如下：　maxmin( float a[],int n)　 { max==min=a[1];

for(i=2; i<=n ;i++ ) if(max < a[i]) max=a[i]; 　 else if(min > a[i]) min=a[i];

}

算法分析算法分析 11 ：：　　算法中需要算法中需要 n-1n-1次比较得到次比较得到 maxmax 。最好的情况是金块是由小到。最好的情况是金块是由小到大取出的，不需要进行与大取出的，不需要进行与 minmin 的比较，共进行的比较，共进行 n-1n-1次比较。最坏次比较。最坏的情况是金块是由大到小取出的，需要再经过的情况是金块是由大到小取出的，需要再经过 n-1n-1次比较得到次比较得到 miminn

算法设计算法设计 2:2:

　　在含　　在含 nn （（ nn 是是 22 的幂（的幂（ n>=2n>=2 ））个元素的集合））个元素的集合中寻找极大元和极小元。用分治法（二分法）：中寻找极大元和极小元。用分治法（二分法）：

11 ） 将数据等分为两组（两组数据可能差） 将数据等分为两组（两组数据可能差 11 ），　），　　　

22 ） 递归分解直到每组元素的个数≤） 递归分解直到每组元素的个数≤ 22 ，可简单地，可简单地找找　　到最大（小）值。　　到最大（小）值。33 ） 回溯时将分解的两组解大者取大，小者取小，） 回溯时将分解的两组解大者取大，小者取小，　　合并为当前问题的解。　　合并为当前问题的解。

算法算法 22 递归求取最大和最小元素 递归求取最大和最小元素 float a[n];maxmin （ int i, int j ,float &fmax, float &fmin ） {int mid; float lmax, lmin, rmax, rmin;if (i=j) {fmax= a[i]; fmin=a[i];}else if (i=j-1) 　 if(a[i]<a[j]) { fmax=a[j]； fmin=a[i];} 　 else {fmax=a[i]; fmin=a[j];}　　 else {mid=(i+j)/2; maxmin （ i ， mid， lmax， lmin ） ; maxmin （ mid+1 ， j， rmax， rmin ） ;if(lmax>rmax) fmax=lmax;else fmax=rmax;if(lmin>rmin) fmin=rmin;else fmin=lmin;}

【例】大整数乘法在某些情况下，我们需要处理很大的整数，它无法在计算机硬件能直接允许的范围内进行表示和处理。若用浮点数来存储它，只能近似地参与计算，计算结果的有效数字会受到限制。若要精确地表示大整数，并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。请设计一个有效的算法，可以进行两个 n位大整数的乘法运算。

算法设计：设 X和 Y 都是 n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积 X*Y 。

图 4-10 大整数 X和 Y的分段

按照乘法分配律，分解后的计算过程如下：记： X=A*2n/2+B ， Y=C*2n/2+D。这样， X和 Y的乘积为：X*Y=(A*2n/2+B)(C*2n/2+D)=A*C*2n+(AD+CB)*2n/2+B*D    (1)

T（ 1 ） =1 T（ n ） =4T(n/2) （ 2 ）

由此递归式迭代过程如下：T(n)=4T(n/2)　 =4(4T(n/4) ）＝４＊４T(n/4) =16*４T(n/8) =…… =O（ 4k） = O(nlog4) =O（ n2 ）所以可得算法的时间复杂度为 T(n)=O(n2) 。

模型改进：可以把 X*Y 写成另一种形式：X*Y=A*C*2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]*2n/2+B*D (3)

式 (3)看起来比式 (1)复杂，但它仅需做 3次 n/2位整数的乘法：AC， BD和 (A-B)(D-C) ， 6次加、减法和 2次移位。由此可得 :

(4)

用解递归方程的迭代公式法，不妨设 n=2k： T(n)=3T(n/2) =3(3T(n/4)) =9(T(n/8) =…… =3k +3k-1 *2c+3k-2 *4c+……+3c2k-1+c2k = O(nlog3)则得到 T(n)=O(nlog3)=O(n1.59) 。

4 ． 3 ． 4 其它分治方法

【例】选择问题： 对于给定的 n 个元素的数组 a[0:n-1]，要求从中找出第 k小的元素。

问题分析：选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时 k=[n/2]。

快速排序算法来解决选择问题，一趟排序分解出的左子集中元素个数 nleft, 可能是以下几种情况：

1）  nleft=k-1 ，则分界数据就是选择问题的答案。 2）  nleft>k-1 ，则选择问题的答案继续在左子集中找，问 题规模变小了。 3）  nleft<k-1 ，则选择问题的答案继续在右子集中找，问 题变为选择第 k-nleft-1 小的数，问题的规模也变小了。