““Связь логарифмов с Связь логарифмов с музыкоймузыкой””

Калининград 2007

Работу выполнила:Гиндельберг Наталья ученица 11”А” классаМОУ СО школы 36Работу приняла учитель

математике:Ковальчук Л.Л

Введение

Звуки умертвив,Музыку я разъял как труп,

Поверил я алгеброй гармонию… А.С. Пушкин

Математика и музыка – два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Математическое объяснениеПифагору принадлежит математическое

объяснение основ гармонии; по его определению, наиболее естественно воспринимаются человеком частоты, которые находятся между собой в простых числовых отношениях. Вот откуда в отношении частот в октаве 1:2, и благозвучное трезвучие с отношением частот 4:5:6. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков, но почему же древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

Греческая лира ОРОРЕЙ

По свидетельству историков древнейшая греческая лира (Орорея) имела четыре струны. Первая струна – основа, у второй струны число колебаний относится к числу колебаний первой струны 4:3 (как у катетов «священного» египетского треугольника). Это кварта основного тона. Число колебаний третьей струны по отношению к основному типу равно 3:2, это – квинта основного тона. Четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы (как отношение катетов в треугольнике 1:2: 5)

Семиструнная греческая гамма

Значительно позже появилась семиструнная греческая гамма, которая является развитием четырех струнного строя. В семиструнной гамме отношение частот рядом расположенных звуков 1, 12 (например, ре/до=294/262; соль/фа=392/349). Но очень близкое отношение имеют стороны треугольника 1:2:, оно равно 5/2=1,118 =1,12.

Естественно возникает вопрос, не явились ли закономерности в геометрическом прямоугольном треугольнике со сторонами 1:2: основой для разработки музыкальной гаммы? Если же связь сторон треугольника и отношения частот звуков в семиструнной гамме не случайна, то в таком случае построение музыкальной гаммы связано с золотой пропорцией. Однако трудно допустить, что музыкальная гамма явилась итогом «научной разработки», более вероятно, что она была найдена эмпирическим путем, на основании интуиции музыкантов.

ВзаимосвязьВзаимосвязь математики и музыки математики и музыки

Взаимосвязь математики и музыки является одной из самых актуальных тем. Она до сих пор полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к себе внимание многих ученых и математиков. Поверхностно рассмотрев значение этих двух наук, нам кажется, что они совершенно несопоставимы, ведь разве может быть сходство между математикой- царицей всех наук, символом мудрости и музыки - наиболее отвлеченным видом искусства. Но если всмотреться вглубь, то нетрудно заметить, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. В своей работе я попытаюсь установить связь между математикой и музыкой и найти их общие элементы.

В музыкальной октаве семь В музыкальной октаве семь звуков почемузвуков почему??

Давно уже ученые занимались вопросом: почему в музыкальной октаве семь основных звуков – столько же, сколько цветов в спектре солнечного света. Еще, ничего не зная о природе звуков, человек интуитивно подстраивал струны так, чтобы они создавали благозвучие.

Ритм в музыке

РитмВо всем царит гармонии закон

И в мире все суть ритм, аккорд и тон.

Джон Драйден Ритм в музыке 1. Ритм – один из

важнейших элементов музыки. Ритм – чередование длительностей. Рассмотрим ритм 3/4 . В такте могут встречаться такие чередования длительностей:

Ритм в математикеОт правильно подобранного ритма зависит

звучание мелодии.Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять

хотя бы дробь 2/82. Ее можно записать в виде 2/82=0,0243902439…или кратно 2/82= 0,(02439)

Здесь мы обнаруживаем ритм. Дробь 2/82 записывается в виде бесконечной периодической дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью:02439. Нам известно, что 0,(02439)=2439/99999=271/1111

Итак, мы проследили, что ритм встречается как в музыке, так и в математике.

ОтражениеОтражение в музыке в музыкеТакже как и цифры 8 и 0 длительности / и П

при отражении совпадают с оригиналом. Симметричные ритмы не содержат

половинных нот. - половинная нота. Получили - полностью противоречит

симметрии. Совершенно симметричный ритм может состоять из нот следующих трех длительностей: четвертных /, пар восьмых П и целых .

/ П П /, П // П - ритмы не «переворачивающиеся» при отражении в зеркале.

Противоположность в музыкеПротивоположность в музыке

Очень часто встречаются противоположности в характерах людей: злой - добрый, агрессивный - спокойный и т. д.

Но мы рассмотрим противоположности в музыке и математике.

Противоположности в музыке Медленно - быстро. Характер музыки во многом определяется ее темпом.

Музыкальные произведения, будь то народная песня или полифония, нельзя исполнять в произвольном темпе. Неправильно выбранный темп до неузнаваемости исказит характер музыки.

Короткое – длинное (произведение). Высокое – низкое.Высота звука зависит от частоты колебаний: при большой

частоте колебаний звук выше, при меньшей – ниже.

Противоположности в математикеПротивоположности в математике

Отрицательное число – положительное.Сложение – вычитание.Четное – нечетное.Делитель – кратное.Простое число – составное

число.Плюс – минус.Умножение – деление.Прямая – кривая.

Упорядочение в Упорядочение в математикематематике

Рассмотрим набор вещественных чисел:

12 48 9 1 3 6 10 125

300 Входящие в него числа не

упорядочены. Их можно упорядочить, например, по возрастанию: 1 3 6 9 10 12 48 125 300;

или по убыванию: 300 125 48 12 10 9 6

Упорядочение в музыкеУпорядочение в музыкеУпорядочить означает

расположить в ряд. Иногда под упорядочениемпонимают классификацию, или

разбиение на группы, по определенным признакам. Например: классификация народных песен по месту, где они были записаны собирателями, по времени проведения этнографической экспедиции, тональности, ладу, содержанию.

Логарифмы в музыкеЛогарифмы в музыке

Музыканты редко увлекаются математикой, большинство из них уважают эту науку, однако стараются держаться от нее подальше. Но все же музыканты соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.

А.Эйхенвальд в своей статье писал так: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой».

ЭйхенвальдуЭйхенвальду

Но все же Эйхенвальду удалось доказать своему товарищу, что играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах. И действительно, так называемые «ступени» темперированной

хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам, ни по отношению к длинам волн

соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только

основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях. Оказывается, что номера клавишей рояля представляют собой

логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков. Можно даже сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве – мантиссу этого логарифма.

ХХVIIVII век ознаменовался новыми век ознаменовался новыми открытиями в области математикиоткрытиями в области математики..

ХVII век ознаменовался новыми открытиями в области математики. В 1614 году опубликованы таблицы логарифмов. Их автор – шотландец Д.Непер. Он не был математиком по профессии. Получив хорошее образование у себя на родине, Д. Непер занимался астрономией и математикой как любитель и добился некоторых важных открытий. Теперь его именем называют ряд правил и формул сферической геометрии. Впоследствии в предисловии к своему сочинению, посвященному таблицам, он писал: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности отделаться от скуки и трудности вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики».

ХХVIIVIII век открыл новые I век открыл новые страницы в истории музыки.страницы в истории музыки.

ХVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы. Сохранив октаву, он разделил ее на 12 равных частей. Пифагорова комма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от латинского - соразмерность).

История созданияИстория создания

История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной «алгеброй гармонии», на которой выросла темперация.

Органы, настроенные АОрганы, настроенные А.. ВеркмайстеромВеркмайстером

Органы, настроенные А .Веркмайстером, зазвучали в равномерно – темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорны. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы от тональности в тональность. И.С. Бах доказал жизнеспособность новой музыкальной системы, написав «Хорошо темперированный

клавир», состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших «за» или «против» нового музыкального строя.

Анализ гармонии в Анализ гармонии в музыкемузыке

Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучение природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности, эстетической ценности.

Более 30 лет отдал изучению закономерностей гармонии в музыке и природе композитор М. Марутаев. Он разработал концепцию универсальной гармонии, определяющим элементом которой является выявление единых числовых характеристик – общих как для природы, так и для музыки. М. Марутаев ввел понятие о нарушенной симметрии и получил «основные числа нарушенной симметрии (Sн)»: 0,713; 0,718; 0,729 и т.д. до 0,992. Мерой нарушения симметрии композитор считает величину 2 в степ.5/11 равную 1,37035…, которая, по его мнению, выражает сущность гармонии.

ТеориТеорияя«нарушенной «нарушенной симметриисимметрии»»

Оказалось, что во многих музыкальных произведениях, изученных М. Марутаевым, соотношения частей отвечают числам нарушенной симметрии (Sн), а после их математического преобразования получается величина 1,37 – мера гармонии природы.

Теорию «нарушенной симметрии» М. Марутаев использовал для анализа музыкального темперированного звукоряда, в котором интервал между двумя до разбит на 12 частей. Центром симметрии здесь является корень квадратный из 2. После исключения из ряда числа 2 была получена усредненная величина нарушенной симметрии, равная 1,37. Таким образом, считает М.Марутаев, установлена связь звукоряда с мировой физической константой. Путем математических преобразований композитор установил также связь золотой пропорции со значением малой секунды, равной 2 в степени 1/12 =1,059.

Природа формирует свои законы

Таким образом, можно предполагать, что природа формулирует свои законы (если не все, то некоторые), на языке музыки.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей

Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина русский музыковед Л. Мозель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть находится в точке золотого сечения. По мнению Л. Мозеля, число подобных восьми тактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико; их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Наиболее обширное Наиболее обширное исследованиеисследование

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им было изучено 2000 произведений различных произведений композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают формы целого. Такими вехами могут быть границы изменения структуры мелодии, интонационные кульминационные пункты (как положительные, так и отрицательные), изменения тональности и т.д. Все эти музыкальные события делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

наблюдениям Л. наблюдениям Л. Сабане ЕваСабане Ева

По наблюдениям Л. Сабане Ева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачек в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Л. Сабанеевым все 27 этюдов Л. Сабанеевым все 27 этюдов Шопена.Шопена.

Наиболее детально были изучены Л. Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

этюд Шопенаэтюд Шопена Интересно, что в этюдах Шопена проявляется не одно

выражение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением: 0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090; и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472. Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показателем, равным 1,618, а три других числа являются произведениями золотой пропорции (0,764:0,472=1,618). Мелодия как бы растет и развивается, подчиняясь закону золотой пропорции.

Характерно, отмечает Л. Сабане ев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторы? И тогда вместо споров о достоинствах той или иной музыки достаточно произвести математический подсчет? И уже не представляется случайным тот факт, что в произведениях композиторов ХХ века золотая пропорция встречается значительно реже, чем у их коллег прошлых веков.

гармонии композиции гармонии композиции музыкального произведениямузыкального произведения

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Тогда можно предположить, что чем точнее соответствие произведения музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции – свидетельство несовершенства музыки.

Но не будем спешить с таким заключением. В искусстве часто отклонения от правила не менее ценны, чем само правило. Не следует забывать, что золотое сечение – иррациональная величина и ее невозможно выразить отношением целых чисел. А ведь мы замеряем размер частей в целом по числу тактов и выражаем их в целых числах.

темп музыкитемп музыки Л. Сабане ев считает, что это противоречие снимается,

если учесть, что «живое музыкальное произведение никогда не идет точно метрически, его метрическая координата никогда не «пропорциональна» реальному времени. И темп музыки не является постоянной величиной, а переменной функцией метрического времени». Варьируя нюансами темпа, композитор может добиться точного соответствия структуры музыкального произведения золотой пропорции.

Не в этом ли заключен секрет исполнительского мастерства музыкантов, достижения лишь немногими из них наибольшей выразительности, наибольшей силы эмоционального воздействия при использовании одной и той же нотной записи? Деформируя темп исполнения произведения в его различных частях, исполнитель реализует особенности своего исполнительского мастерства и добивается наивысшего успеха, приближаясь при этом и, в частности, к точному соответствию золотой пропорции.

ЗаключениеЗаключение

Итак, стало очевидным, что многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть описаны языком математики. Так, музыкальные интервалы натурального звукоряда определяются отношениями частот близких натуральных чисел, а образование звука в музыкальных инструментах описывается математическими задачами. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония. А золотое сечение может быть применено к анализу построения музыкальных фрагментов. Искусствоведы создали подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С. Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Дело в том, что есть числа, которые можно записать только приближенно. К примеру, мы не можем точно записать, сколько раз диаметр окружности укладывается в самой окружности. Он укладывается больше, чем 3,14 раза, но меньше, чем 3,15 раза. Точно указать это число невозможно. Такие числа называются иррациональными».

Как это невозможно? Даже сильный шестиклассник скажет, что диаметр окружности укладывается в ее длине (так точнее) точно 2П (пи) раз. И будет прав.

Ну что, дорогой читатель, вспомнили детство? Надеюсь, вам было легче, вас не учили по «нескучному учебнику». Что же можно понять из приведенного текста, а он еще не закончился — дальше идет речь о числах простых, составных, четных и нечетных и даже совершенных? Да ничего. Этот околоматематический поток сознания навеет скуку и на взрослого человека, который уже вкусил прелестей науки о числе. А что будет с детьми? Известно что — им будет нескучно! Составитель гарантирует.

«28017 — число рациональное.

Может быть составителю лучше удаются тексты для старшеклассников? Вовсе нет! Здесь та же чехарда и путаница, как и в тексте для 5 класса. Первый текст для девятиклассников озаглавлен «Зачем мы изучаем алгебру». Здесь тоже не заскучаешь!

Перечислим все без исключения вопросы и задания, к которым приведены авторские ответы.

1. Кто ввел термин «комплексное число»? 2. Докажите с помощью алгебры прием возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся пятеркой. 3. Кто впервые открыл математическую теорию музыки? 4. Какая связь существует между логарифмами и музыкой? 5. Какие известные вам явления описываются при помощи показательной функции? 6. Приведите примеры применения квадратичной функции. 7. Какая теорема называется основной теоремой алгебры? 8. Что такое треугольник Паскаля? 9. Что такое схема Горнера? Кто ее изобрел? 10. Где применяются комплексные числа? 11. Для чего нужны в алгебре отрицательные числа? Кто дал им впервые конкретное истолкование?

☼Во-первых, составитель так и не объясняет, зачем мы изучаем алгебру. Во-вторых, вопросы демонстрируют полное незнание составителем программы для 9 класса, которая не предусматривает изучение логарифмов, показательной функции, схемы Горнера, биноминальных коэффициентов, которые упоминаются в ответе на вопрос 8, даже в классах с углубленным изучением математики. Зачем же составитель включает все это в свой и без того толстый фолиант? Словами одного из героев А.П.Чехова я бы ответил: «Они ученость свою хочут показать».

Любое положительное число, кроме единицы, может служить основанием логарифмов, но, к сожалению, оказывается, что если b и n – рациональные числа, то в редких случаях найдется такое рациональное число l, что bl = n. Однако можно определить иррациональное число l, например, такое, что 10l = 2; это иррациональное число l можно с любой требуемой точностью приблизить рациональными числами. Оказывается, что в приведенном примере l примерно равно 0,3010, и это приближенное значение логарифма по основанию 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах десятичных логарифмов. Логарифмы по основанию 10 (или десятичные логарифмы) столь часто используются при вычислениях, что их называют обычными логарифмами и записывают в виде log2 = 0,3010 или lg2 = 0,3010, опуская явное указание основания логарифма. Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу, приближенно равному 2,71828, называются натуральными логарифмами.

Они встречаются преимущественно в работах по математическому анализу и его приложениям к различным наукам. Натуральные логарифмы также записывают, не указывая явно основание, но используя специальное обозначение ln: например, ln2 = 0,6931, т.к. e0,6931 = 2

Пользование таблицами обычных логарифмов. Обычный логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить данное число. Так как 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, мы сразу получаем, что log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.д. для возрастающих целых степеней 10. Аналогично, 10–1 = 0,1, 10–2 = 0,01 и, следовательно, log0,1 = –1, log0,01 = –2 и т.д. для всех целых отрицательных степеней 10.

Обычные логарифмы остальных чисел заключены между логарифмами ближайших к ним целых степеней числа 10; log2 должен быть заключен между 0 и 1, log20 – между 1 и 2, а log0,2 – между -1 и 0. Таким образом, логарифм состоит из двух частей, целого числа и десятичной дроби, заключенной между 0 и 1. Целочисленная часть называется характеристикой логарифма и определяется по самому числу, дробная часть называется мантиссой и может быть найдена из таблиц. Кроме того, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 равен 0,3010, поэтому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогично, log0,2 = log(2¸10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Выполнив вычитание, мы получим log0,2 = – 0,6990. Однако удобнее представить log0,2 в виде 0,3010 – 1 или как 9,3010 – 10; можно сформулировать и общее правило: все числа, получающиеся из данного числа умножением на степень числа 10, имеют одинаковые мантиссы, равные мантиссе заданного числа. В большинстве таблиц приведены мантиссы чисел, лежащих в интервале от 1 до 10, поскольку мантиссы всех остальных чисел могут быть получены из приведенных в таблице.

В некоторых таблицах интерполирование облегчается пропорциональными частями, приведенными в последних девяти столбцах в правой части каждой страницы таблиц. Найдем теперь log736,4; число 736,4 лежит между 102 и 103, поэтому характеристика его логарифма равна 2. В таблице находим строку, слева от которой стоит 73 и столбец 6. На пересечении этой строки и этого столбца стоит число 8669. Среди линейных частей находим столбец 4. На пересечении строки 73 и столбца 4 стоит число 2. Прибавив 2 к 8669, получим мантиссу – она равна 8671. Таким образом, log736,4 = 2,8671.

Натуральные логарифмы.Натуральные логарифмы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов аналогичны таблицам и свойствам обычных логарифмов. Основное различие между теми и другими состоит в том, что целочисленная часть натурального логарифма не имеет существенного значения при определении положения десятичной запятой, и поэтому различие между мантиссой и характеристикой не играет особой роли. Натуральные логарифмы чисел 5,432; 54,32 и 543,2 равны, соответственно, 1,6923; 3,9949 и 6,2975. Взаимосвязь между этими логарифмами станет очевидной, если рассмотреть разности между ними: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; последнее число есть не что иное, как натуральный логарифм числа 10 (пишется так: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; последнее число равно 2ln10. Но 543,2 = 1054,32 = 1025,432. Таким образом, по натуральному логарифму данного числа a можно найти натуральные логарифмы чисел, равные произведениям числа a на любые степени n числа 10, если к lna прибавлять ln10, умноженный на n, т.е. ln(a´10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Например, ln0,005432 = ln(5,432´10–3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3´2,3026) = – 5,2155.

Поэтому таблицы натуральных логарифмов, как и таблицы обычных логарифмов, обычно содержат только логарифмы чисел от 1 до 10. В системе натуральных логарифмов можно говорить об антилогарифмах, но чаще говорят об экспоненциальной функции или об экспоненте. Если x = lny, то y = ex, и y называется экспонентой от x (для удобства типографского набора часто пишут y = exp x). Экспонента играет роль антилогарифма числа x.

С помощью таблиц десятичных и натуральных логарифмов можно составить таблицы логарифмов по любому основанию, отличному от 10 и e. Если logb a = x, то bx = a, и, следовательно, logc b

x = logc a или xlogc b = logc a, или x = logc a/logc b = logb a. Следовательно, с помощью этой формулы обращения из таблицы логарифмов по основанию c можно построить таблицы логарифмов по любому другому основанию b. Множитель 1/logc

b называется модулем перехода от основания c к основанию b. Ничто не мешает, например, пользуясь формулой обращения, или перехода от одной системы логарифмов к другой, найти натуральные логарифмы по таблице обычных логарифмов или совершить обратный переход. Например, log105,432 = loge

5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на которое нужно умножить натуральный логарифм данного числа, чтобы получить обычный логарифм, является модулем перехода к системе обычных логарифмов.

٭ Первоначально логарифмы были изобретены для того, чтобы, пользуясь их свойствами logab = loga + logb и loga/b = loga – logb, превращать произведения в суммы, а частные в разности. Иначе говоря, если loga и logb известны, то с помощью сложения и вычитания мы легко можем найти логарифм произведения и частного. В астрономии, однако, часто по заданным значениям loga и logb требуется найти log(a + b) или log(a – b). Разумеется, можно было бы сначала по таблицам логарифмов найти a и b, затем выполнить указанное сложение или вычитание и, снова обратившись к таблицам, найти требуемые логарифмы, но такая процедура потребовала бы трехкратного обращения к таблицам. З.Леонелли в 1802 опубликовал таблицы т.н. гауссовых логарифмов – логарифмов сложения сумм и разностей – позволявшие ограничиться одним обращением к таблицам.

Специальные таблицы.Специальные таблицы.

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древне вавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

История.

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа

Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1 .В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a эта область покрыта более жирными и редкими точками возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы «гиперболическими логарифмами».

Логарифмическая функция. Было время, когда логарифмы рассматривались исключительно как средство вычислений, однако в 18 в., главным образом благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической функции. График такой функции y = lnx, ординаты которого возрастают в арифметической прогрессии, тогда как абсциссы – в геометрической, представлен на рис. 2,а. График обратной, или показательной (экспоненциальной), функции y = ex, ординаты которого возрастают в геометрической прогрессии, а абсциссы – в арифметической, представлен, соответственно, на рис. 2,б. (Кривые y = logx и y = 10x по форме аналогичны кривым y = lnx и y = ex.) Были предложены также альтернативные определения логарифмической функции

Альтернативное определение Альтернативное определение логарифмической функции дает логарифмической функции дает функциональный анализ. Если функциональный анализ. Если f f ((xx) – ) – непрерывная функция непрерывная функция действительного числа действительного числа xx, , обладающая следующими тремя обладающая следующими тремя свойствами: свойствами: ff (1) = 0, (1) = 0, ff ( (bb) = 1, ) = 1, ff ( (uvuv) = ) = ff ( (uu) + ) + ff ( (vv), то ), то f f ((xx) определяется как ) определяется как логарифм числа логарифм числа xx по основанию по основанию bb. Это . Это определение обладает рядом определение обладает рядом преимуществ перед определением, преимуществ перед определением, приведенным в начале этой статьи.приведенным в начале этой статьи.

Логарифмы первоначально использовались Логарифмы первоначально использовались исключительно для упрощения вычислений, и это их исключительно для упрощения вычислений, и это их приложение до сих пор остается одним из самых приложение до сих пор остается одним из самых главных. Вычисление произведений, частных, главных. Вычисление произведений, частных, степеней и корней облегчается не только благодаря степеней и корней облегчается не только благодаря широкой доступности опубликованных таблиц широкой доступности опубликованных таблиц логарифмов, но и благодаря использованию т.н. логарифмов, но и благодаря использованию т.н. логарифмической линейки – вычислительного логарифмической линейки – вычислительного инструмента, принцип работы которого основан на инструмента, принцип работы которого основан на свойствах логарифмов. Линейка снабжена свойствах логарифмов. Линейка снабжена логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа логарифмическими шкалами, т.е. расстояние от числа 1 до любого числа 1 до любого числа xx выбрано равным log выбрано равным log xx; сдвигая ; сдвигая одну шкалу относительно другой, можно откладывать одну шкалу относительно другой, можно откладывать суммы или разности логарифмов, что дает суммы или разности логарифмов, что дает возможность считывать непосредственно со шкалы возможность считывать непосредственно со шкалы произведения или частные соответствующих чисел. произведения или частные соответствующих чисел.

Приложения.Приложения.

ЛОГАРИФМЫ   И   ИХ   ПРИМЕНЕНИЯЛОГАРИФМЫ   И   ИХ   ПРИМЕНЕНИЯ.

§ 1. Общие свойства логарифмов. Два равенства у = ах и х = loga y ( или х =

Lga y ) выражают одну и ту же зависимость чисел. Отыскание y по первому из них составляет действие возведение в степень или потенцирование, отыскание х по второму составляет вычисление показателя или логарифмирование. Когда

рассматривается последнее действие, то у называется числом, а основанием системы логарифмов и х логарифмом числа у при основании а.

Логарифмом называется показатель Логарифмом называется показатель степенистепени

Логарифмом называется показатель степени, в которую нужно возвести основание для составления числа.

1. Какое число имеет логарифм 3 при основании 2?2. Какое число имеет логарифм 2 при основания 3?3. Какое число имеет логарифм  1/2 при основании 9?4. Какое число имеет логарифм 1/3 при основании 8?5.  При каком основании число 32 имеет логарифм 5?6.  При каком основании число  81 имеет логарифм 4?7.  При каком основании число  4 имеет логарифм  1/3

8.  При каком основании число  9 имеет логарифм 5?9.  Чему равен логарифм числа 16, когда основание равно 2?

Если. некоторое число составляется по данным числам посредством действий умножения, деления , возведения в степень и извлечения корня, то логарифм этого числа составляется по логарифмам данных чисел посредством действий низшего порядка —сложения, вычитания, умножения и деления.

Составление логарифма по данному выражению числа называется логарифмированием. Действие логарифмирования производится на основании следующих  теорем:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов производителей.

Логарифм частного равен разности между логарифмами делимого и делителя.

Логарифм степени равен логарифму числа, возводимого в степень, умноженному на показатель степени.

Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов.  

Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Могущественная математика Могущественная математика , , ЛогарифмыЛогарифмы

Логарифмы изобрели независимо друг от друга Непером и Бюрги лет на десять позднее. Их цель была одна — желание дать новое удобное средство арифметических вычислений. Подход же оказался разный. Непер кинематические выразил логарифмическую функцию, что позволило ему по существу вступить в почти неизведанную область теории функций. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Надо заметить, что у обоих определение логарифма не походило на современное.

Первый изобретатель логарифмов — шотландский барон Джон Непер (1550—1617) получил образование на родине в Эдинбурге. Затем после путешествия по Германии, Франции и Испании, в возрасте двадцати одного года, он навсегда поселился в семейном поместье близ Эдинбурга. Непер занялся главным образом богословием и математикой, которую изучал по сочинениям Евклида, Архимеда, Региомонтана, Коперника.

««К открытию логарифмов, — отмечают Чириков и Юшкевич, К открытию логарифмов, — отмечают Чириков и Юшкевич, — Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь двадцать — Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь двадцать лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной лет спустя опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614), содержавшее определение таблицы логарифмов» (1614), содержавшее определение Непаровых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов Непаровых логарифмов, их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90 градусов с интервалом в 1 синусов и косинусов от 0 до 90 градусов с интервалом в 1 минуту, а также разности этих логарифмов, дающие минуту, а также разности этих логарифмов, дающие логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения логарифмы тангенсов. Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, способа вычисления таблицы он изложил в другом труде, подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно, в «Построении удивительной таблицы посмертно, в «Построении удивительной таблицы логарифмов» (1619). Упомянем, что в обоих сочинениях логарифмов» (1619). Упомянем, что в обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.ним стороне.

Теорию логарифмов Непер изложил в сочинении «Построение удивительных таблиц логарифмов», посмертно опубликованном в 1619 году и переизданном в 1620 году его сыном Робертом Непером  

Вот выдержки из нее - «Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения. Она по справедливости названа небольшой, ибо по объему превосходит таблицы синусов, весьма легкой, потому что с ее помощью избегают всех сложных умножений, делений и извлечений корня, и все вообще фигуры и движения измеряются посредством выполнения более легких сложения, вычитания и деления на два. Она составлена из чисел, следующих в непрерывной пропорции.

Если из полного синуса с добавленными семью нулями ты вычтешь его 10000000-ую часть, а из полученного таким образом числа — его 10000000-ую часть и так далее, то этот ряд можно легко продолжить до ста чисел в геометрическом отношении, существующем между полным синусом и синусом, меньшим его на единицу, а именно между 10000000 и 9999999, и этот ряд пропорциональных мы назовем: Первой таблицей.

 Вторая таблица следует от полного синуса с шестью добавленными нулями через пятьдесят других чисел, пропорционально убывающих в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению между первым и последним числами Первой таблицы.

Поскольку первое и последнее числа Первой таблицы суть 10000000.0000000 и 9999900.004950, то в этом отношении трудно образовать пятьдесят пропорциональных чисел. Близким и в то же время простым отношением является 100000 к 99999, которое можно с достаточной точностью продолжить, добавив к полному синусу шесть нулей и последовательно вычитая из предшествующего его 100000-ую часть. Эта таблица содержит, кроме полного синуса, являющегося первым числом, еще пятьдесят пропорциональных чисел, последнее из которых (если ты не ошибешься) будет 9995001.222927

Оставшийся пробел был восполнен голландским книготорговцем и любителем математики Андрианом Флакком (1600—1667). Несколько ранее семизначные десятичные таблицы логарифмов синусов и тангенсов вычислил коллега Бригса по Грешем колледжу, воспитанник Оксфордского университета Эдмунд Гунтер (1581—1626), опубликовавший их в «Своде треугольников» (1620).

 Открытие Непера в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики. Так, Кеплер в Марбурге в 1624—1625 годах применил логарифмы к построению новых таблиц движений планет. В приложении ко второму изданию «Описания» Непера (1618) было вычислено и несколько натуральных логарифмов. Здесь можно усмотреть подход к введению предела. Вероятнее всего, это дополнение принадлежит В. Отреду. Вскоре лондонский учитель математики Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000. Термин «натуральные логарифмы» ввели П. Мен голи (1659), а несколько позднее — Н  Меркатор (1668).

Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой. На уроке во II классе, посвященном

логарифмам, обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита".

Открытие Открытие логарифмовлогарифмов

Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны).

2 Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.

Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем - [Корень из двух в двенадцатой степени]. является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212 гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате],... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: [a в степени m] * [a в степени n] = [a в степени m+n]

Идея логарифма

Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".

Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцати звуковой строй).

Еще один пример того, как можно учить, не отпугивая от математики, - интеграция исторических знаний и математических задач, связанных с этими знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи, нежели о пионерах и бригадах, колхозах и рационализаторских предложениях. Особенно это относится к ученикам V-VI классов, у которых история вызывает глубокий интерес. В то же время наибольшую трудность у них вызывает математика. Может быть, в какой-то мере интеграция исторических и математических знаний на примерах задач исторического содержания поможет привить интерес и к истории, и к математике.

Прежде всего, необходимо отметить, что слуховая система Прежде всего, необходимо отметить, что слуховая система способна способна различать высоту звука только у периодических сигналов. Если различать высоту звука только у периодических сигналов. Если это простое гармоническое колебание, например, синусоидальный сигнал от это простое гармоническое колебание, например, синусоидальный сигнал от генератора, то период колебаний T определяет частоту f = 1/T, поэтому генератора, то период колебаний T определяет частоту f = 1/T, поэтому определяющим параметром для различения высоты является частота определяющим параметром для различения высоты является частота сигнала. сигнала.

Если это сложный звук, то высоту слуховая система может присвоить по его Если это сложный звук, то высоту слуховая система может присвоить по его основному тону, но только если он имеет периодическую структуру, т.е. основному тону, но только если он имеет периодическую структуру, т.е. спектр его состоит из гармоник (обертонов, частоты которых находятся в спектр его состоит из гармоник (обертонов, частоты которых находятся в целочисленных отношениях). Если это условие не выполняется, то высоту целочисленных отношениях). Если это условие не выполняется, то высоту тона определить слуховая система не может. Например, звуки таких тона определить слуховая система не может. Например, звуки таких инструментов как тарелки, гонги и др. не имеют определенной высоты. инструментов как тарелки, гонги и др. не имеют определенной высоты.

Высота простых тонов Высота простых тонов Изучение связи частоты звука и воспринимаемой высоты предпринималось Изучение связи частоты звука и воспринимаемой высоты предпринималось

еще Пифагором, а также многими известными физиками: Галилеем, еще Пифагором, а также многими известными физиками: Галилеем, Гельмгольцем, Омом и др. В настоящее время на основе тщательных Гельмгольцем, Омом и др. В настоящее время на основе тщательных экспериментов, в процессе которых слушателю предъявлялись два звука экспериментов, в процессе которых слушателю предъявлялись два звука разной частоты с просьбой расположить их по высоте, установлена разной частоты с просьбой расположить их по высоте, установлена зависимость высоты тона от частоты сигнала, показанная на рисунке 5. зависимость высоты тона от частоты сигнала, показанная на рисунке 5. Значения высоты отложено в специальных единицах - мелах. Один мел Значения высоты отложено в специальных единицах - мелах. Один мел равен ощущаемой высоте звука частотой 1000 Гц при уровне 40 дБ (иногда равен ощущаемой высоте звука частотой 1000 Гц при уровне 40 дБ (иногда для оценки высоты тона используется другая единица, барк = 100 мел). Как для оценки высоты тона используется другая единица, барк = 100 мел). Как видно из рисунка, эта связь нелинейная - при увеличении частоты, видно из рисунка, эта связь нелинейная - при увеличении частоты, например, в три раза (от 1000 до 3000 Гц), высота повышается только в два например, в три раза (от 1000 до 3000 Гц), высота повышается только в два раза (от 1000 до 2000 мел). Нелинейность связи особенно выражена на раза (от 1000 до 2000 мел). Нелинейность связи особенно выражена на низких и высоких частотах, в определенных пределах изменение высотынизких и высоких частотах, в определенных пределах изменение высоты тона в мелах пропорционально логарифму частоты.тона в мелах пропорционально логарифму частоты.

Многочисленные исследования были посвящены порогам различимости по высоте двух разных тонов, отличающихся по частоте. Результаты современных исследований на котором видно, как слуховая система может различить по высоте два звука, отличающихся по частоте всего на 0,2%. Такая тонкая разрешающая способность слуха позволила установить, что ниже частоты 500 Гц можно выделить примерно 140 градаций высоты тона, в диапазоне от 500 Гц до 16 кГц - примерно 480 градаций высоты тона (всего 620 градаций). В европейской музыке инструменты с равномерно темперированной шкалой используют порядка 100 градаций высоты тонов. Но возможности слуховой системы гораздо больше - 620 градаций высоты, и это основа для развития современной микротоновой и спектральной музыки, то особенно продвинулось в связи с появлением компьютерных технологий.  

Ощущение высоты чистого тона (одной частоты) связано не только с частотой, но и с интенсивностью звука и его длительностью. Как показали различные исследования, при повышении интенсивности звука громкие низкие звуки кажутся еще ниже, а высокие звуки с повышением громкости кажутся слегка выше (зависимость показана на рисунке 7), для средних частот 1-2 Кгц влияние интенсивности незаметно. Следует отметить, что эта зависимость незначительна, а для сложных музыкальных звуков почти незаметна. Это великое счастье для музыки, т.к. иначе при переходе от pp к ff звуковысотные отношения (мелодия и гармония) были бы нарушены.

Ощущение высоты тона зависит и от его длительности: короткие звуки воспринимаются как сухой щелчок, но при удлинении звука щелчок начинает давать ощущение высоты тона. Время, требуемое для перехода от щелчка к тону, зависит от частоты: для низких частот требуется для распознания высоты тона примерно 60 мс, для частот от 1 до 2 Кгц - 15 мс. Для сложных звуков это время увеличивается, для звуков речи оно может составлять 20-30 мс.

Однако можно установить соответствие по высоте музыкального тона, например ноты ля первой октавы и чистого синусоидального сигнала с частотой 440 Гц. Высоты этих двух звуков будут одинаковыми, но тембры - разными. Это свидетельствует о том, что для сложных периодических сигналов высота присваивается по частоте основного тона - именно он имеет частоту 440 Гц.

В музыке используются другие шкалы для оценки высоты тона - музыкальные: полутоны, тоны, октавы и другие музыкальные интервалы. Следует отметить, что связь с психофизической шкалой высоты тона, построенной для чистых тонов, неоднозначна. До частоты примерно 5000 Гц увеличение высоты тона на октаву связано с удвоением частоты. Например, переход от ноты ля первой октавы к ноте ля второй октавы соответствует увеличению частоты от 440 до 880 Гц. Но выше частоты 5000 Гц это соответствие нарушается - чтобы получить ощущение увеличения высоты на октаву, надо увеличить соотношение частот почти в 10 раз, что следует иметь в виду при создании компьютерных композиций. Это дало основание некоторым ученым предложить две размерности высоты тона: психофизическую в мелах, пропорциональную в некоторых пределах логарифму частоты, установленную для чистых тонов (pitch height) и музыкальную, соответствующую названию нот (pitch chroma), которая может быть определена примерно до 5000 Гц. Следует отметить, что даже музыканты с абсолютным музыкальным слухом затрудняются в определении нот для звуков с частотой выше 5000 Гц. Это говорит о том, что механизмы восприятия высоты тона до 5000 Гц и выше - различны.

Теория места при восприятии высоты основана на способности базилярной мембраны выполнять частотный анализ сложного звука, т.е. действовать как спектральный анализатор. Базилярная мембрана организована тонотопически, т.е. каждый тон имеет свою топографию размещения. Как уже было указано выше, звуковой сигнал вызывает появление на мембране бегущей волны , но специфика возбуждения состоит в том, что максимум смещения этой бегущей волны располагается в разных местах базилярной мембраны - низкие частоты имеют максимум смещения вблизи вершины мембраны, высокие - вблизи овального окна. Каждая частота имеет свое место максимума возбуждения на мембране. В зависимости от спектрального состава на базилярной мембране возбуждаются различные участки. Возбуждаются волосковые клетки, находящиеся на этом месте, и их электрическая активность сообщает мозгу, какие частоты присутствуют в спектре. Таким образом, частота тона представлена в коде, основанном на том, нейроны каких участков активны, а каких - молчат. Физиологические исследования показывают, что тонотопическая организация нейронов сохраняется во всех отделах мозга, вплоть до отделов слуховой коры. Логично допустить, что распознавание частоты и распознавание высоты есть результат тонотопического кодирования - в этом и заключается теория места.

Теория места

При действии синусоидального сигнала в слуховом нерве формируется "образец возбуждения" - скорость разрядов нейронов как функция места на базилярной мембране. При этом пик этого образца движется вдоль мембраны при изменении частоты. Интересно отметить, что для того, чтобы слух различил два тона по высоте, необходимо, чтобы на базилярной мембране максимум смещения, соответствующий данным частотам, сместился всего на 52 мкм (если выразить в мелах, то одна градация высоты равна 3,9 мела).

При восприятии музыкального звука в соответствии с теорией места для слуховой системы существуют три возможности определения высоты: Метод 1: локализовать место фундаментальной частоты и по нему определить высоту тона; Метод 2: найти минимальную частотную разницу между соседними гармониками, которая равна фундаментальной частоте: [(n+1)f0)-(nf0)]=(nf0)+(1f0)-(nf0)=f0, где n =1,2,3: и принять ее за основу при распознавании высоты;Метод 3: найти общий наибольший сомножитель, который получается при делении всех гармоник на последовательные целые числа, и использовать его как базу для определения частоты. Первой была предложена теория, по которой ощущаемая высота соответствует частоте только в том случае, если в звуковой волне присутствует энергия на этой частоте (второй закон Ома). Отсюда следовало, что присутствие фундаментальной частоты является обязательным для определения высоты звука. Первые сомнения в этой теории появились, когда стало возможным электрическим путем синтезировать спектры сложных звуков. В 1940 Шутен продемонстрировал, что ощущение высоты тона (сложной периодической волны) не изменится, если вырезать в музыкальном тоне фундаментальную частоту.

Этот эксперимент получил название "феномен пропущенной фундаментальной" и доказал, что метод 1 не может служить единственной базой для определения высоты сложного тона, хотя он работает для большинства музыкальных, в том числе вокальных звуков.

Метод 2 дает возможность определить высоту тона по определению позиции соседних гармоник, даже если фундаментальная частота отсутствует. Для большинства музыкальных звуков соседние гармоники обычно присутствуют. Слуховая система, оценивая положение их максимумов на базилярной мембране, вычисляет частотную разницу между ними и по ней определяет высоту. Однако с помощью современных технических средств можно создать ситуацию, которую объяснить с помощью этого метода невозможно. Например, подаем звук, в котором присутствуют только нечетные гармоники 1f0, 3f0, 5f0, 7f0, например, 100, 300, 500, 700 Гц и др. Если фундаментальная частота есть в спектре, то слух определяет высоту по ней f0 = 100 Гц. Если ее вырезать, то расстояние между гармониками останется 2 f0, но слух продолжает определять высоту тона, равную фундаментальной f0=100 Гц.

Метод 3 позволяет объяснить и пропущенную фундаментальную и наличие только нечетных гармоник, т.к. от отсутствия каких-то гармоник общий наибольший сомножитель 100 Гц не меняется .Этот метод позволяет также объяснить восприятие слабого ощущения высоты тона у колоколов и других источников квазипериодических тонов.

Механизм места разворачивает данную гармонику, если критическая полоса ее слухового фильтра, построенного на ней как на срединной частоте, достаточна узкая и соседние гармоники внутрь этого фильтра не попадают. Если гармоники находятся настолько близко по частоте друг от друга, что внутрь одного слухового фильтра попадает несколько гармоник, то они не разворачиваются. Какой бы ни была фундаментальная частота, слуховой механизм разворачивает только первые 6-7 гармоник - именно они и являются определяющими при определении высоты звука. Теория места создает базис для понимания того, как можно определить высоту путем анализа гармонического ряда, но эта теория не может объяснить ряд проблем, например, очень высокая точность определения высоты звука для тонов, чьи частотные компоненты не разворачиваются (т.е. звуки с гармониками выше седьмой).

Историческая справкаОткрытие Пифагора в области теории музыки.

Что определяет консонанс. 1. Открытие Пифагора в области теории

музыки. Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее

благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полу инструмент, полу прибор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

2. Что определяет консонанс. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет

приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Ясность в этот вопрос внес Архит (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

w = a : l ,где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.II. Некоторые понятия теории музыки1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков,

расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Интервальным коэффициентом двух тонов считают отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте колебаний нижнего:

w1 : w2.

Некоторые интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия:

октава ( w2 : w1 = 2 : 1, l2 : l1 = 1 : 2);квинта ( w2 : w1 = 3 : 2, l2 : l1 = 2 : 3);кварта ( w2 : w1 = 4 : 3, l2 : l1 = 3 : 4).

Законы пифагорейской музыкиЗаконы пифагорейской музыки.

 

Временная теория восприятия высоты базируется на анализе временной структуры звуковой волны (теория места на ее спектральном анализе). Эта теория использует синхронизацию разрядов нейронов органа Корти с фазой колебания базилярной мембраны (эффект запирания фазы). При смещениях определенной точки мембраны в сторону расположения волосковых клеток в них возникает электрический потенциал, при смещении в противоположную сторону - потенциал отсутствует. Благодаря фазовому запиранию время между импульсами в любом отдельном волокне будет равно целому числу 1, 2, 3... умноженному на период в основной звуковой волне. Нервные волокна кооперируются, чтобы кодировать частоты выше 300 Гц. Основа временной теории - анализ формы волны в различных частях базилярной мембраны.

Временная теорияВременная теория

Если рассматривать механизм частотного анализа на базилярной мембране как работу линейки фильтров различной ширины, то форма волны звукового сигнала, выходящего из этого набора фильтров, должна иметь вид, показанный на рисунке 10а. Например, если анализируется музыкальный тон с основной частотой 200 Гц, то выход из фильтра с центральной частотой 200 Гц имеет форму синусоидальной волны, т.к. эта гармоника разворачивается анализирующим фильтром. Аналогично разворачиваются этими фильтрами и все гармоники до пятой (около 1300 Гц).

На выходе они имеют синусоидальную волну. Шестая гармоника (около 1560 Гц) имеет уже вариации амплитуды, но индивидуальные циклы еще видны. Волновая форма выходного сигнала для фильтра, центральная частота которого (в данном примере) выше шестой, не синусоидальная, т.к. гармоники не разворачиваются индивидуально, демонстрируя, что частотный диапазон полосового фильтра шире, чем расстояния между ними. По меньшей мере две гармоники комбинируются на выходе этого фильтра. Известно, что если две частоты находятся достаточно близко друг от друга, между ними возникают биения, т.е. одно колебание со средней частотой, равной разности частот. В данном случае, когда взаимодействуют две гармоники, этот период определяется фундаментальной частотой T=1/f0. Таким образом, период всех волн, выходящих после фильтров с центральной частотой выше шестой гармоники и состоящих из соседних гармоник, будет

одинаковым и равным 1/f0.

Согласно современным теориям мозг принимает информацию от периферийной слуховой системы как за счет индикации места (частотный анализ), так и за счет информации о форме звуковой волны (временной анализ). Самостоятельно каждая теория, по-видимому, не может объяснить восприятие высоты полностью, т.к. та и другая информация передается по одним и тем же нервным волокнам.

Современная модель для восприятия высоты тона, объединяющая оба метода, показана на рисунке 11: сначала идет фильтрация сигнала по частоте с помощью развертки по месту, затем - анализ по меж импульсным интервалам (до шестой-седьмой гармоники они соответствуют периоду каждой гармоники), выше - по периоду огибающей. Поскольку период огибающей равен периоду основной частоты, то здесь различие высоты тона определяется только по месту возбуждения. Так определяется общий период, и по нему данному звуку присваивается определенная высота. Таким образом, обе теории дополняют друг друга.

Современная теория восприятия высоты тона

Анализ восприятия высоты музыкального тона с помощью предложенной модели позволил получить ряд интересных результатов:

а) для музыкальных тонов с основной частотой от 100 до 400 Гц (с уровнем звукового давления не менее 50 дБ) основную роль в определении высоты тона играют первые пять-шесть гармоник (если их уровень превышает 10 дБ), т.е. те гармоники, которые разворачиваются слуховыми фильтрами;

б) звуковые сигналы, содержащие только очень высокие гармоники (свыше двадцатой), не вызывают ощущения высоты тона;

в) музыкальные сигналы, содержащие очень низкие частоты (с основной частотой ниже 50 Гц, например, звуки органа) вызывают ощущение высоты тона только по гармоникам, т.к. такие низкие частоты не вызывают смещений базилярной мембраны - они на ней не размещаются, им не хватает места. При этом наиболее существенную роль играют пятые-шестые гармоники;

г) основная частота звука, если она выше 1000 Гц, является доминантной компонентой в определении высоты тона;

д) музыкальные звуки, содержащие только неразвернутые гармоники (свыше шестой) могут дать ощущение высоты тона по огибающей, при этом слух дает достаточно тонкую дифференциацию сдвига максимума огибающей, т.е. точно чувствует высоту.

е) фазовые соотношения различных гармоник в музыкальном сигнале оказывают влияние на восприятие высоты, т.к. их изменение приводит к изменению структуры огибающей для высших неразвернутых гармоник. Для музыкальных сигналов, содержащих много низких и высоких гармоник, изменение фазовых соотношений может привести к улучшению четкости восприятия высоты, не вызывая ее сдвига (т.к. они не влияют на оценку низших развернутых гармоник). Для сигналов, содержащих в основном высокие гармоники, изменение их фазы может вызвать сдвиг высоты тона и изменение его четкости, т.к. может привести к сдвигу пиков в огибающей, по которым и определяется высота тона.

Таким образом, фазовые соотношения в музыкальном сигнале оказывают существенное влияние на звуковысотные отношения, что особенно важно учитывать в звукорежиссерской практике.

6. Высота тона и центральный процессор  Восприятие высоты тона для сложных музыкальных сигналов, как

указано выше, начинается с анализа в периферической слуховой системе, где производится их частотный и временной анализ, а затем полученная информация передается в высшие отделы мозга - "центральный слуховой процессор", где полученная информация определенным образом группируется и осмысливается.

Мозг группирует несколько тонов (гармоник) с одинаковым частотным интервалом в одно ощущение высоты тона. Это принципиальное свойство слухового процессора (высших отделов коры головного мозга): из сложного внешнего звукового мира он выделяет звуки и группирует их по определенным признакам: по месту, по времени начала и конца, по периодичности повторений и т.п. Это связано с тем, что кратковременная память оперирует только шестью-семью символами и без группировки мозг не может принимать быстрых решений.

В настоящее время принята гипотеза, что центральный процессор, получив информацию от периферической слуховой системы о наличии компонент с кратными периодами в музыкальном звуке, группирует их и сравнивает с гармоническим шаблоном, в котором имеются все последовательные гармоники. Для каждого входного сигнала подбирается по фундаментальной частоте гармонический шаблон, который ему лучше подходит. В соответствии с этой моделью наиболее соответствующая фундаментальная частота подобранного шаблона и будет воспринимаемой высотой тона. Если два шаблона с разными фундаментальными частотами подходят к данному сигналу, можно ожидать услышать или неопределенную высоту или две высоты. В случае отсутствия фундаментальной частоты, сравнение производится по отдельным гармоникам. Если удается подобрать хотя бы несколько гармоник, которые подходят под эталон, то по повторяющемуся интервалу между ними присваивается высота тона (виртуальная высота тона слышится, например, в звуке колоколов). Наиболее важными для синтеза ощущения высоты тона являются первые три - шесть развернутых гармоник. Компоненты сигнала, которые ведут себя аномально (например, одна гармоника включается-выключается или резко отличается от шаблона), выделяются центральным процессором и им присваивается отдельная высота.

Имеется много доказательств в поддержку данной гипотезы: например, при подаче разных гармоник в разные уши через телефоны (600 Гц в одно ухо и 800 Гц в другое), отчетливо слышен разностный тон высотой, соответствующей частоте 200 Гц, т.е. центральная система синтезирует высоту из гармоник в разных ушах. Другое доказательство, когда гармоники предъявляются не одновременно: при последовательном включении третьей, четвертой и пятой гармоники по 40 мс с интервалом10 мс, отчетливо слышался низкий тон с фундаментальной частотой и т.п.

Теперь же многим кажется, что изучение математики по традиционным учебникам, особенно в младших классах, довольно скучное занятие. В самом деле, трудное это дело увлечь мало знающих и умеющих школьников предметом, красоту и силу методов которого они просто не в состоянии оценить, так как еще мало чему научены. Чтобы оживить процесс обучения, предпринимаются самые разнообразные попытки. Но они не всегда являются плодом серьезного анализа недостатков и резервов обучения по традиционным учебникам. Одним из направлений, в котором «совершенствуют» учебники, является своеобразное оживление их текстов за счет включения игровых моментов, элементов занимательности, иногда даже театральности.

Таким образом, в соответствии с этой моделью, гармоники собираются вместе, сравниваются центральным процессором с гармоническим эталоном (шаблоном) и по нему синтезируется высота музыкального тона. Говоря о высоте комплексного тона, можно сказать, что "высота - великий консолидатор". Начиная с большого количества гармоник, процессор высоты объединяет их вместе в одно ощущение высоты. Слуховая организация определения высоты - основная часть осмысления звуков окружающего мира. Важность определения высоты для слуховой системы не случайна и, вероятно, вовсе не результат стремления всего человечества сочинять музыку. Восприятие высоты играет центральную роль в определении индивидуальных объектов в акустическом мире и отделении их друг от друга. Окружающий мир наполнен конкурирующими звуками: интересными, угрожающими, шумовыми и др., все смешано вместе и слуховая система несет ответственность за их выделение и идентификацию. Высота есть главный идентификатор, позволяющий отделять данный звук от других объектов.  

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.

baxb xa log

8238log 32

);1()1;0( a );0( b

Пример:

СодержаниСодержаниее

1)1) Понятие логарифма.Понятие логарифма.2)2) Графики логарифмических Графики логарифмических

функций.функций.3)3) Свойства логарифмов.Свойства логарифмов.4)4) Решение логарифмических Решение логарифмических

уравнений.уравнений.5)5) Решение логарифмический Решение логарифмический

неравенств.неравенств.

В зависимости от значения основания приняты два

обозначения Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут lg x.

Для введения следующего определения стоит понимать что за число e.Число е есть предел, к которому стремится при неограниченном возрастании n. Т.еВместо loge x принято писать ln x.

...718281,21

1lim

n

n ne

n

n

11

Можно выделить три формулы

Из определения логарифма следует Из определения логарифма следует следующее тождество:следующее тождество:

1log aa caca log01log a

ba ba log

53 5log3 01lg 1ln eПримеры:

Графики логарифмических функции

1)y = lg x2)y = ln x3)y = loga x, a>1

4)y = loga x, 0<a<1

5)Свойства функции.

График функции y=lg x

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

График функции y=ln x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

График функции y=loga x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

a>1

График функции y=loga x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0<a<1

Свойства f(x)=loga x D(f)=(0;+∞);

Не является ни четной, ни нечетной; При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1

функция убывающая; Не ограничена; Не имеет ни максимального, ни минимального

значения; Непрерывна; E(f)=(- ∞;+ ∞); Асимптота х=0; Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при

0<a<1

Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

Свойства логарифмов

1.Логарифм произведения.2.Логарифм частного.3.Логарифм степени.4.Логарифм корня.5.Переход от одного

показателя к другому.6.Свойства натуральных

логарифмов.

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

baab xxx logloglog 2. Логарифм частного равен логарифмов делимого без логарифма делителя:

bab

axxx logloglog

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

ama xm

x loglog 4. Логарифм корня равен отношению логарифма подкоренного выражения и показателя корня:

m

aa xm

x

loglog

5. Переход от одного 5. Переход от одного основания к другомуоснования к другому

ax

a

xx

xa

b

ba log

1log

log

loglog

Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:

xx

e

xx lg30259.2

43429.0

lg

lg

lgln

Свойства натуральных логарифмов

Чтобы по известному натуральному логарифму числа х найти его десятичный логарифм, нужно умножить натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е: xxex ln43429.0lnlglg

Число lg e=0.43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М.

Решения логарифмических

уравнений

25log x

5:

05..,5

52

xОтвет

ктx

x

5,0log4 x

2:

2

244 5.0

xОтвет

x

x

x

x

x

xx

21

52

21

422 1

Решить уравнение:Решить уравнение:

23

4

5,32

,1

056

0524

524

12,1

21

2

2

a

Dkm

ackD

cb

ka

mm

mmm

mmm

ноm ,11 1m 52 m

Значит, 5log52 2 xx

.5log: 2xОтвет

;11;0,2 mпричемmПусть x

Решение логарифмических

неравенств

0log 5.0 x

)1;0(:

1

0log 5.0

xОтвет

x

x

32 x

.;3log:

3log

22

2

2

3log2

xОтвет

x

x

Решите неравенство:

21032102

xx

6lg0

6101

61

061

067

02344

232

2

2

2

x

t

tt

tt

ttt

tt

x

,0,10 ttПусть x

.6lg;0: xОтвет

 Музыка бросает вызов здравому смыслу. Чтобы этот вызов увидеть, надо присмотреться. Сейчас я попытаюсь начать

формулировать его.Рассмотрим две последовательности чисел:1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/21, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1Если выражать эти две последовательности в числах, как здесь, то у них как будто нет смысла - почему они такие, а не еще какие-ни будь? - уже не говоря о том, что первая, конечно, ничуть не кажется радостной, а вторая - печальной. Однако это выраженные в тонах последовательности мажорной и минорной гаммы.Точно так же, не больше смысла имела бы последовательность частот в герцах или их логарифмов (есть причина, по которой рассматривать надо именно логарифмы, но здесь не в этом дело).По сравнению с изображенными последовательностями такая, например, последовательность:1, 1, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1/2 ...- кажется намного логичнее. Однако если ее сыграть:до - ре - ми - фа - соль - ля бемоль - си бемоль- она будет казаться не имеющей никакого смысла какофонией.

МУЗЫКА СФЕРМУЗЫКА СФЕР

Я ничего не знаю о том, как объясняется это явление и были ли до сих пор такие попытки.

Пока же я вижу один колоссальный вопрос, адресованный некоторой науке (насколько мне известно, ее не существует, но я могу ошибаться), которую можно ориентировочно назвать математической феноменологией музыки.

В чем смысл, каково объяснение феномена музыкальной гармонии?

Имеется по крайней мере два полвопроса.

1) Какова причина музыкального лада?

Другими словами: почему не всякая последовательность нот допустима? Почему некоторые сочетания "правильны", а другие "фальшивы"? Почему всякая допустимая последовательность нот требует, чтобы в конце была определенная нота - тоника данного лада?

2) какова причина феномена 2) какова причина феномена мажор/минор? мажор/минор?  Разбирать эти вопросы надо по отдельности. Насколько я понимаю, они имеют разную природу: если на первый вопрос, возможно, ответ можно дать математическими средствами, то второй совершенно точно выводит за всякие пределы математики как целеобъяснительной, целеполагающей системы. Я не знаю, куда он выводит. Начну я именно с него.

 1. Феномен мажор / минор1. Феномен мажор / минорПрежде всего, феномен мажор/минор надо описать.

Для этого, прежде всего, введем понятие общего лада[1]. Будем называть общим ладом совокупность нот, которую можно выразить в виде следующей последовательности:

... 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1, ... 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2 ...1, 1/2 ...или, иными словами:

(1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2)(1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2)nn

Прежде всего, феномен мажор/минор надо описать.Для этого, прежде всего, введем понятие общего лада[1]. Будем называть общим ладом совокупность нот, которую можно выразить в виде следующей последовательности:... 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2 ...или, иными словами:(1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2)n

числа здесь обозначают интервалы между нотами: 1-тон, 1/2 - полтона.[2] Первые две единицы я буду дальше называть "двойкой", вторые три - "тройкой". ... до - ре - ми - фа - соль - ля - си - до - ре - ми ...Будучи сыграна от ноты до, она дает гамму до мажор, а от ноты ля - ля минор. Таким образом, в общем ладе всегда есть две тональности, одна мажорная, другая минорная, причем минорная отстоит от мажорной на малую терцию (полтора тона) вниз. Эти две тональности называются в общем курсе сольфеджио (или теории музыки) параллельными. 

 

Феномен мажор / минорФеномен мажор / минор

Вот самая грубая формулировка феномена мажор/минор:

Если последовательность общего лада сыграть вверх от первого из двух тонов "двойки", то есть:

1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2

- то эта последовательность будет звучать радостно, а если ее сыграть от третьего от трех тонов "тройки", то есть:

1, 1/2, 1, 1, 1/2, 1, 1

- то она звучит печально.

При этом важно добавить, что ни с какого другого места ее сыграть вообще нельзя.

Сформулируем то же с использованием феномена тоники:

Последней нотой любой последовательности нот любого общего лада может быть или первая нота первого тона "двойки", или первая нота третьего тона "тройки", и никакая другая. В первом случае последовательность нот, или мелодия, звучит радостно, во втором - печально.

 

Я отдаю себе отчет, что все, что здесь написано, нуждается в огромном количестве разъяснений и уточнений. Например, что такое "радостно" и "печально"? Мне обязательно укажут, что есть множество минорных мелодий, которые звучат совсем не печально (например, их много у Моцарта, допустим, "Турецкий марш", или народные - какая-нибудь "Летка-Енка"). Печальных мажорных мелодий намного меньше, но и они возможны. Кроме того, есть очень много вещей, написанных, что называется, "на общем ладу" - в классике это вообще почти всегда так, но и в простых мелодиях возможно, например, в песне Битлз "From me to you" 2 первые строки написаны в миноре, 2 вторые - в мажоре. Это параллельный ему мажор, поэтому общий лад сохраняется. Так что формально приходилось бы говорить об "веселых" и "печальных" отрывках мелодий, что и некорректно, да и по музыке не так. Все это верно. В то же время вообще-то привязка мажора к "радостному", а минора - к "печальному" не взывает сомнений. Если кто-либо в этом сомневается, он может проделать опыт по так называемому транспонированию. Это обычно настолько впечатляет, что я бы настойчиво рекомендовала произвести этот опыт всем, кто еще никогда этого не пробовал.

Возьмем, к примеру, какую-ни будь простую мажорную мелодию, например, песню Битлз Yellow Submarine. Транспонирование можно производить двумя способами:

1) оставаясь в том же общем ладу, перейти в параллельный минор. Все надо играть на терцию ниже, но какая будет терция, малая или большая, зависит от конкретного сочетания нот. Надо только следить, чтобы на место каждой ноты исходной мелодии подставлялась нота того же общего лада. Этот способ легче для гитары, благозвучнее; в нем легче перейти обратно.

Отступление: транспонированиеОтступление: транспонирование

Перейти в одноименный минор. Этот способ изменяет общий лад на

другой. Он легче для начинающих на пианино. Надо понизить на полтона третью, шестую и седьмую (практически не всегда, но теоретически всегда) ступень. Остальные ноты остаются теми же самыми. Приведем пример для первой строки Yellow Submarine.

  in the town where

I was born

оригинал, мажор ми фа соль ми ре ми до

трасп. в параллельный минор

до ре ми до си до ля

. трасп  в одноименный минор

миЬ фа соль миЬ ре миЬ до

(Ь означает бемоль, извините)

В словах это несколько сложно, однако после первого же опыта транспонирование - очень легкая процедура. Однако после первого же опыта сам феномен мажор/минор начинает казаться совершенно загадочным. Само по себе действие транспонирования - математическое, механическое, абсолютно алгоритмизируемте. А изменяется в результате нечто столь нематематическое, как настроение музыки!

Все же я отдаю себе отчет, что использованные мной слова "радостный" и "печальный" для мажора и минора - вероятно, непростительное упрощение. Я не нашла ничего более подходящего, потому что язык вообще с большим трудом подходит к музыке. Видимо, несколько лучше будет сказать так: мажорность/минорность мелодии несет некую информацию, причем информация, которую несет мажорная мелодия, в некотором смысле более благоприятна, чем информация минорной; может быть, это информация о каком-то наличии, а у минорной - о каком-то отсутствии, или что-то в этом роде. Однако эти очень далеко идущие догадки легко могут показаться фантастическими. В чем состоит благоприятное содержание, которое выражает мажор? Я не имею, разумеется, об этом никакого понятия. 

Следующее уточнение, которое меня заставят сделать мои оппоненты (до сих пор все возражали именно так): речь исключительно о нашей, западноевропейской культуре. Далеко не везде мажор радостен, а минор печален. Более того: далеко не всякая музыка вообще укладывается в систему, в которой понятия мажор/минор имеют смысл, которую я назвала общим ладом. Например, китайская музыка, говорят, использует лад пентатоники: 1, 3/2, 1, 1, 3/2. Индийская, кажется, использует четверти тонов. Что касается музыки, исполняемой на барабанах, она содержит в себе свой смысл способом, совершенно отличным от нотного.

КультурологиКультурологи

Все это так. О других культурах я бы сейчас предложила забыть. Мы ведь не знаем, что значит для них их музыка. Я задаю вопрос об объяснении феномена, который имеет место в нашей культуре. Другие культуры с их другой музыкой самого-то феномена ведь не отменяют. (К тому же общий лад более распространен, чем некоторые полагают: к нему приводятся многие национальные мелодики, недаром ведь удалось, хотя не без натяжек, адаптировать негритянские блюзы.) Когда будет предложена теория о связи мажора/минора с эмоциями, тогда распространим эту теорию на другие культуры, используем ее аппарат, возможно, придется ее совсем перестроить и так далее. Но сейчас ведь ее нет.Под возражением о "других культурах" лежит, насколько я вижу, другой, гораздо более серьезный аргумент: наша культура только приучила нас ассоциировать, предположим, мажор с радостью, а минор с печалью, в то время как сами по себе они нейтральны. Не печально, например, сочетание фонем слова "печальный" (п, е, ч, а...), но само слово, может быть, вызывает печаль, потому что оно служит ее знаком, оно ассоциируется с ней. Если бы это возражение было справедливо, то, конечно, никакой загадки бы не осталось.

Однако, мне кажется, выдвигать его могут только те, кто совершенно лишен музыкального слуха и понимания. Я не могу представить себе, что тот, у кого есть некоторая музыкальность, станет отрицать существование непосредственной, эйдетической связи между мажорностью/минорностью и радостью/печалью. Мне кажется, "радостность" мажора и "печальность" минора способен определить даже ребенок, не прошедший никакой музыкальной аккультурации (это ведь не языковая аккультурация, для нее нужно множество условий и долгое время: на родном языке вокруг ребенка говорят все, а поют вокруг него редко). Конечно, это надо было бы подтвердить опытами. Я не удивлюсь, если способность отличать друг от друга мажор и минор, предпочитать какой-ни будь из них и каким-то образом ассоциировать их с настроением будет обнаружена у животных.

Впрочем, разумеется, определенная культурная обусловленность возможна. Здесь важно не подменять саму потрясающую загадочность феномена и его непонятность тем фактическим отказом от объяснения, к которому приводит идея культурной релятивизации. Это напоминает, предположим, вопрос о выражениях эмоций. Говорят, что в некоторых культурах смех - это выражение гнева, слезы - это выражение радости и т.п. Это возможно, но не следует на этом основании прекращать изучение феномена плача или смеха, как он дан нам. Почему, например, от слез горе облегчается? Это серьезный вопрос, в этом направлении можно получить массу интересных результатов. Ответ: "Так оно только в нашей культуре," - не должен останавливать исследование. Ну и что, что только у нас. А у нас почему? Неужели случайно? Эта гипотеза мне кажется несостоятельной. 

При анализе длинных мелодий возникает много проблем, связанных с переходами в пределах общего лада, а то и с модуляциями посложнее.

Некоторые вопросы я позже постараюсь поставить. Сейчас я хочу сформулировать проблему мажорности/минорности, не беря в расчет такое темп оральное явление, как мелодия. Будем говорить о трезвучиях (правда,

похоже, что в этом случае произвольным окажется определение тоники).

Как и принято в теории музыки, назовем трезвучием совокупность трех нот. Будем рассматривать не любое сочетание трех нот, а, во-первых, допустимое в пределах общего лада. Во-вторых, нас будут интересовать, так сказать, правильные, классические трезвучия. Они характеризуются тем, что между соседними нотами в них интервал терция, а, соответственно, между крайними - квинта (так называемые обращения трезвучий, сами по себе, конечно, тоже правильные, мы не будем рассматривать, потому что феноменологически, по своему звучанию, они ничем не отличаются от первоначальных трезвучий).

Синхронический и диахронический аспектыСинхронический и диахронический аспекты

Классические правильные трезвучия построены по таким схемам (снизу вверх): или:1 - большая терция - 2 - малая терция - 3или:1 - малая терция - 2 - большая терция - 3(Различаются они, соответственно, средней нотой, которая во втором случае на полтона ниже, чем в первом). Тоника - это нижняя, первая нота.Вот формулировка феномена мажорности/минорности: первое из них кажется радостным, а второе - печальным. Вот вопрос о его загадочности: почему нам не кажется, например, что такое сочетание линий: /..../.../ - веселее, чем такое: /.../..../ ? Ведь в смысле общей структуры это одно и то же.Кажется, я довела вопрос до неразрешимости. 

Введение темпоральности, то есть мелодии, позволяет рассмотреть несколько интересных аспектов. Прежде всего, в мелодии по-иному определяется тоника. В трезвучии это была нижняя нота из трех (если трезвучие удовлетворяло такому определению, как было дано выше). В мелодии тоника - это последняя нота, так сказать, итог развития. Само же развитие может быть весьма комплексным. В большинстве случаев оно непременно включает в себя только такие ноты, которые входят в соответствующий общий лад, но вопрос о его мажорности/минорности может быть открытым. Это зависит не столько от темп орального сочетания нот мелодии, сколько от синхронического сочетания нот гармонии.

Сейчас я покажу это на таком примере.

Возьмем исполнение какой-нибудь минорной мелодии нижним голосом от тоники, верхним- от третьей ступени (этот способ чрезвычайно распространен в православном пении, практически он там единственный). То, что исполняет в данном случае верхний голос, формально ничем не отличается от транспонирования из минора в мажор по общему ладу.Вот для примера широко известная мелодия "Царице моя преблагая" (общий лад до мажор / ля минор): 

  Ца а ри це мо я пре

бла

га а а а я

верхний

до ре ми до до до до ми ре до си до си

нижний

ля си до ля ля ля ля до си ля соль#

ля соль#

 

Поскольку слушателям легче слышится верхний голос (тоже интересный феномен), фактически в памяти остается он как "настоящая" мелодия песни.

Во время исполнения ее двумя голосами от верхнего не остается впечатление мажорности, потому что он звучит вместе с нижним, минорным. Это как раз свидетельствует, что в восприятии мажорности/минорности главную роль играет гармония.

Что будет, если ту же мелодию будет петь один человек? Во-первых, он будет петь верхний голос. Однако он не может закончить его так, как он заканчивается. Вот для примера окончание первого куплета той же песни: 

  и стран

ных пред

ста а тель

ни це

Верхний

ре ре ре фа ми ре до си до

Нижний

си си си ре до си ля соль#

ля

 

  Чтобы не заканчивать на до, которое ощущается не как тоника мажорной мелодии, а как третья ступень минорной, человек изменяет мелодию.Другими словами, некто исполняет ряд нот, который формально соответствует мажорной мелодии, однако в уме он подразумевает минорную (потому что слышит ее в уме с ее минорной гармонией). Тонику он домысливает, несмотря на то, что знает, что надо бы спеть другую ноту (в нашем примере ми), но на этой ноте мелодия оканчиваться не может.Императивность тоники - феномен, для нашего музыкального лада несомненный. Вероятно, он эйдетически присущ общему ладу. Однако при этом следует принять во внимание, что, возможно, ранее этот феномен был не столь выражен. Например, в уже упоминавшемся православном пении он меньше. Во-первых, там очень распространен жанр пения двумя голосами в терцию, о котором только что шла речь. Когда мелодия исполняется в терцию, тоника в конце хотя и звучит (ее поет нижний голос), но воспринимается она как бы несколько затушеванно, потому что главной мелодией кажется партия верхнего голоса, а она кончается на третьей ступени. Во-вторых - это уже вопрос исторического изучения музыкальной культуры - многие мелодии во время православного богослужения едва ли кажутся мелодиями в современном смысле слова.

Таковы, например, некоторые из "гласов": первый, третий и т.п. Другие гласы как бы резко мечутся по общему ладу: сначала три-четыре ноты в мажоре, потом столько же в миноре, оканчивается мелодия опять в мажоре и так далее. Сочетания звуков и переходы в таких "гласах" на современный слух кажутся такими нелогичными, что эти мелодии трудно повторить и запомнить,[3] Несмотря на свою нелогичность в темп оральном аспекте, они составлены в соответствии со структурой общего лада. Вопрос о том, все ли гласы кончаются на тонике, я проверю в самом ближайшем будущем, но предполагаю, что, наверное, да. Итак, до сих пор речь шла о нескольких феноменах западноевропейской культурной музыкальной традиции, как в синхроническом, так и в диахроническом аспектах. Перечислю их еще раз.1 группа. Феномены, которые, вероятно, можно сформулировать и изучить математически.1) Наличие общего лада. В каждую мелодию может входить некоторое ограниченное количество нот, а именно семь из одиннадцати возможных; если их расположить подряд, их последовательность будет выражаться формулой

(1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2)n

2) Императивность тоники. Большинство мелодий требует, чтобы в конце была вполне определенная нота, или тоника. Тоника мелодии определяется как: первая нота первого тона "двойки" общего лада, если мелодия мажорная, или первая нота третьего тона "тройки" общего лада, если мелодия минорная.

3) Наличие диссонансов/консонансов (в синхроническом аспекте) или устойчивых/неустойчивых ступеней (в диахроническом аспекте). Определенные интервалы кажутся более благозвучными, другие - менее, вплоть до невыносимости сочетания близких звуков (крайняя диссонансность малой секунды).

До сих пор я еще об этом не писала. Этот феномен, конечно, заслуживает пристального изучения, однако я не думаю, что он загадочнее, чем сам феномен наличия общего лада. Ведь и общий лад, после того, как его выявили, так сказать, вопрошает: почему он именно таков? Почему в нем есть тоны и полутоны, и именно в такой последовательности, а не в какой-ни будь другой?

Феномен диссонанса/консонанса, насколько я вижу, укладывается в загадку общего лада. Скорее всего, его окажется нетрудно сформулировать математически и физически, в терминах гармоник. Например, если интервал консонансный, то частоты звуков являются гармониками друг друга, или их логарифмы кратны друг другу, или что-нибудь в этом роде. Если же интервал диссонансный (а это практически только интервалы из близких звуков: секунды и септимы), то они никак не кратны друг другу, не имеют общих множителей и т.п.И даже неприятность диссонанса - вроде бы явление психологическое - можно объяснить так, что уху, предположим, больно, когда барабанной перепонке приходится колебаться в так двум частотам, не кратным друг другу. 2 группа. Феномены, которые нельзя сформулировать и изучить математически.4) Мажорные мелодии и трезвучия кажутся "радостными", а минорные - "печальными". Это самый загадочный из всех феноменов. Тут - в отличие от феномена диссонанса - никакие переходы от математики к психологии, по-моему, немыслимы. Чтобы объяснить этот феномен, мне кажется, нужна принципиально новая теория психики (или сознания?)

Соперники Соперники логарифмовлогарифмов

Ранее изобретения логарифмов потребность в ускорении выкладок породила таблицы иного рода, с помощью которых действие умножения заменяется не сложением, а вычитанием. Устройство этих таблиц основано на тождестве:

ab= ab= (a+(a+44

b) -(ab) -(a44

-b)-b)

В верности которого легко убедиться, раскрыв скобки. «Таблица квадратов чисел от 1 до 1000 миллионов, помощью которого находят точное произведение чисел весьма простым приемом, более удобным, чем помощью логарифмов. Составил Александр Коссар.»

Логарифмы на эстрадеЛогарифмы на эстраде

Самый поразительный из номеров, выполняемых перед Самый поразительный из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками, без сомнения публикой профессиональными счетчиками, без сомнения следующий. Предуведомленные афишей, что счетчик-следующий. Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, вы заготовьте дома путем из многозначных чисел, вы заготовьте дома путем терпеливых выходок 31-ю степень какого-нибудь числа и терпеливых выходок 31-ю степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к линкором. В надлежащий момент вы обращаетесь к счетчику со словамисчетчику со словами::

_ а попробуйте извлечь корень 31-й степени из _ а попробуйте извлечь корень 31-й степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.

Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы Виртуоз-вычислитель берет мел, но прежде чем вы успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у успели открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже написан результатнего уже написан результат: 13.: 13.

Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-й степени, да еще в уме, да еще с молниеносной степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой!…быстротой!…

Вы изумлены, уничтожены, а между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13,которое в 31-й степени дает 35-значный результат числа, меньшие 13, дают меньше 35-цифр, большие-больше.

Откуда, однако, счетчик знал это? Как разыскал он число 13?ему помогли логарифмы, двузначные логарифмы, которые он помнит наизусть для первых 15-20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно,как кажется, особенно если пользователь тем, что логарифм составного числа равен сумме логарифмов его простых множителей. Зная твердо логарифмы 2, 3 и 71) , вы уже знаете логарифмы чисел первого десятка; для второго десятка требуется помнить логарифмы еще четырех чисел.

как бы то ни было, эстрадный вычислитель мысленно располагает следующей табличкой двузначных логарифмов:

числа

Лог.

числа

Лог.

23456789

0,300,480,600,700,780,850,900,95

111213141516171819

1,041,081,111,151,181,201,231,261,28

Логарифмы в музыкеЛогарифмы в музыкеМузыканты редко увлекаются

математикой; большинство их, питая к этой науке чувство уважения, предпочитает держать от нее подальше.между тем музыканты- даже те, которые не проверяют,подобно Сальери у Пушкина, «алгеброй гармонию»,-соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают.и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.Позволю себе по этому поводу привести

отрывок из статьи нашего покойного физика проф. А.Эйхенвальда)

«Товаришь мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттеком пренебрежения. Что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего.”Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз Пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказались неприменимой”.

Положим, что нота do самой низкой октавы- будем ее называть нулевой октавой – определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы 2n колебаний, а m-й октавы n*2m колебаний и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основой тон do каждый октавы за нулевой ;тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т.д.; 12-й тон будет опять do, только октавой выше.

Седьмое действие

Мы упоминали уже, что пятое действие –возвышение в степень-

имеет два обратных. ab=c то разыскание a есть одно

обратное действие – из влечение корня, нахождение же b – другое, логарифмирование. Полагаю, что читатель этой книги знаком с основами учения о логарифмах в объёме школьного курса.