ЦИКЛУС ПРЕДАВАЊА: РАЧУНАРИ И МАТЕМАТИКА

- како рачунари помажу у математичким истраживањима -

КОЛАРАЦ, 18.12.2008.

ИСТРАЖИВАЊЕ У МАТЕМАТИЦИ ПОМОЋУ РАЧУНАРА

др Бранко Ј. Малешевић

Електротехнички факултет, Београд

• ПРВИ ДЕО

РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМА КОЈИ ПОТИЧУ ИЗ АНТИЧКИХ ВРЕМЕНА ПОМОЋУ РАЧУНАРА

• ДРУГИ ДЕО

РАЧУНАР КАО НУМЕРИЧКО-СИМБОЛИЧКИ КАЛКУЛАТОР У САВРЕМЕНИМ ИСТРАЖИВАЊИМА

ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И РАЗЛОМЦИ

У СТАРОМ ЕГИПТУ И ГРЧКОЈ

1. Египатске ознаке за природне бројеве:

и за разломке:

Наводимо пример сабирања:

Множење се сводило на сабирање поступним удвостучавањем.

За рад са разломцима коришћене су таблице разлагања

на збирове јединичних разломака.

Извори:

∆ Рајндов папирус (17 век п.н.е.)

∆ Берлински папирус (18 век п.н.е.)

∆ Московски папирус (19 век п.н.е.).

Разломци у староегипатској математици су разлагани на цео део

и на суме разломака облика , при чему . При

том разломци типа сматрани су за јединичне разломке, уз до-

датно коришћења разломка 2/3.

У Рајндовом папирусу дате су таблице растављања разломака

типа 2/m на суме јединичних разломака. Наводимо део таблице

у савременом запису:

( 2/3 = 1/2 + 1/6  )  

• 2/5 = 1/3 + 1/15  

• 2/7 = 1/4 + 1/28

• 2/9 = 1/6 + 1/18

• 2/11 = 1/6 + 1/66   

• 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104

• 2/15 = 1/10 + 1/30

UC 32159 - таблица

r1

1 1k k

+ +K r1k <…< k

i1/k

M

Из таблица се могу уочити да су поштоване правилности типа

2/3 1/n = 1/(2n) + 1/(6n). Напоменимо да се у Берлинском папирусу

налазе примери квадратних једначина и упутстава за решења,

док у Московском папирусу се разматра рачунање запремине

засечене правилне четворостране пирамиде. Наводимо две

хипотезе теорије бројева које се односе на египатске разломке.

Erdős–Straus-ова хипотеза

Сваки рационални број 4/n, за n ≥ 2, може се представити као сума

три јединична разломка, тј. једначина

има решења по x, y и z. Хипотеза је постављена 1948. и још није

доказана. Тврђење је проверено за природне бројеве n до

(напоменимо да је W. Sierpiński поставио 1956. сличну хипотезу

за 5/n, која је доказана 1994. од стране R. Guy-a).

4 1 1 1= + +x y zn

×

1410

Erdős–Graham-ова хипотеза

Нека је скуп природних бројева подељен на делова, тада

постоји константа таква да у једном таквом делу постоји ко-

начан подскуп са највише елемената тако да:

Хипотезу је доказао Ernest S. Croot III (Annals of Mathematics, 157,

2003); при том је одредио и горње ограничње за број елемената:

Доказ хипотезе и процена горњег ограничења добијено је

применом аналитичке теорије бројева.

bN r

S rb

Îåk S

1 =k

1

.£r 167000 72527b e =1.508...10

2. Грчке ознаке за природне бројеве

Акропхоничке:

пример 3807 драхми 4 оболса

Алфабетске:

пример 269 (Σ је ознака за 200)

Поред слова која су и данас у употреби

користе се и додатна слова

 

Ознака за 10000 је M, а запис у апострофу се користи за веће

бројеве нпр. .ακΜ σπζ=120287

Индексирана означавања (G.D. Allen, Greek Numbers and Arithmetic):

Јота-индекс великих бројева

Прим-индекс за означавање разломака типа 1/к

Означавање именилаца са надвученом линијом

АНТИКИТЕРА МЕХАНИЗАМ

Почетком 20-тог века Грчка у околини острва

Китера врши археолошка истраживања.

Валероис Стаис открива Антикитера

механизам 1901. године.

142

'=mb

5184

'=napd

2009=i bq

Изложен је у Националном Музеју у Атини.

Процењена старост 65. +/- 15 година п.н.е.

Derek De Solla Price (Yale), 1950.,

даје: • прву реконструкцију,• прво објашњење навигацијске и

астрономске намене. Механизам даје положај Сунца, Месеца и појединих планета и звезда.

Каснијa истраживања откривају:• да механизам даје положај већег

броја видљивих небеских објеката тог периода,

• прецизност апроксимација је изузетно велика.

Однос зупчаника који одрђују положај

Сунца и Месеца је дат разломком:

Приметимо да разломак

представља веома прецизну апроксимацију

броја:

који одређује број колико пута се Месец

окрене око Сунца. Напоменимо да Месец

се у години од 365.242… дана окрене око

Земље на сваких 27.321… дана. Одатле:

64 48 127 254× × =38 24 32 19

13.368267...

254/19 = 13.368421...

365.242.../27.321...=13.368267...

Како математика даје одговор зашто је апроксимација

разломком 254/19 изузетно добра?

Одговор је у верижном развоју броја:

13.368267... = [13, 2, 1, 2, 1, 1, 17, ...]

који одређује следеће најбоље рационалне апроксимације:

(B. Casselman, The Antikythera Mechanism, AMS Column)1254/19=13+12+

11+12+

11+1

14465/334 = 13+12+

11+12+

11+11+

17

Наводимо још пар чињенице у вези Антикитера механизма

према чланцима објављеним у водећем часопису за мулти-

дисциплинарна истраживања Nature (V. 444, November 2006

& V. 454, July 2008):

Механизам је у себи имао

математички одређене и

неке астрономске циклусе

попут Саросовог циклуса,

који одређује период око

18 година (6585,32 дана)

којима се предвиђало повезано помрачење месеца и сунца.

Механизам је одређивао и време за Олимпијске игре.

НУМЕРИЧКО-СИМБОЛИЧКА ИЗРАЧУНАВАЊА

КАО ЈЕДАН ОД НАЧИНА ИСТРАЖИВАЊА У МАТЕМАТИЦИ

Савремени рачунари у математичким истраживањима користе

програмске пакете опште намене и специјалне програме.

Специјални програми се развијају по правилу у програмским

језицима за конкретне математичке проблеме.

Општи програмски пакети попут Maple-a, Mathematica-e, MuPAD-a

и MatLAB-a омогућавају развој математичких програма за опште и

специјалне математичке порoблеме. Наведене програмске пакете

називамо и рачунарским алатима у математици.

Илуструјмо савремена нумеричка израчунавања са:

The SIAM 100-Digit Challenge

L. N. Trefethen (Oxford), у сарадњи са SIAM-ом објавио је у билтену

SIAM news 35 (1):65 (2002) десет нумеричких проблема примењене

математике са позивом за решавање. Решења свих проблема су

тражена на тачних 100 децимала.

Наводимо оригиналне формулације:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

У предвиђеном року од 3 месеца стигли су одговори од 94 тима из

24 земље. Од тога, стигло је 20 тачних комплетних решења за све

постављене проблеме.

Наводимо (заокружена) тачна решења:

1. 0.3233674316…

2. 0.9952629194 …

3. 1.274224152 …

4. −3.306868647…

5. 0.2143352345…

6. 0.06191395447…

7. 0.7250783462…

8. 0.4240113870…

9. 0.7859336743…

10. 3.837587979… × 10−7

Напоменимо да 10. проблем има и тачно решење дато са:

Даље прелазимо на нумеричка и симболичка израчунавања за

конкретне проблеме из теорије бројева и симболичке алгебре.

1. Курепина факторијалне функције у класичној и аналитичкој теорији бројева

Ђуро Курепа је 1971. је дефинисао функцију левог факторијела:

тј. као суму облика

Функција алтернатирајућег левог факторијела је дефинисана

на следећи начин:

тј. као сума

n

i=0(n )!n = K(n)= i! ,0³å

K(n) 1 1 12 12 3 12 3 4 12 n.= + + ×+ ××+ ×××+ + ×× ×K K

(n ),n 1

i 1

(n 1) i( 1) 2A(n) i!-

=

- -- ³=å

(n 1) (n)A(n) 12 (n 1) ( 1) ( 1) .2! 1!-= ×× × - - + - + -K K

Хипотезa о левом факторијелу: може се

формулисати у еквивалетном облику да за просте бројеве p>2

важи:

Хипотеза је доказана од стране D. Barsky & B. Benzaghou (Journal

de Theorie des Nombres de Bordeaux, 16, 2004) употребом Bell-ових

бројева.

Хипотеза о алтернатирајућем левом факторијелу тврди да за

просте бројеве p важи:

Хипотеза је опвргнута од стране М. Живковића (Mathematics of

Computation, Vol. 68., 1999.) налазећи контрапример као прост

број p=3612703 за који важи p|A(p).

³NZD(n!,K(n)) = 2, n 2,

¹A(p) mod p 0 .

¹K(p) mod p 0 .

Функција K(n) у аналитичкој теорији бројева разматра се у ширем

смислу као комплексни интеграл:

.

Наводимо формуле које се могу у извесној мери проверити

рачунаром:

.

Функција А(n) у аналитичкој теорији бројева разматра се у ширем

смислу као комплексни интеграл:

.

Наводимо неке нове формуле које се могу рачунарски проверити:

.

Претходне једнакости ѕа K(z) и A(z) важе и у тачкама сингулар-

итета ако се дефинише на нов начин вредност функције у тачки.

Наиме, за мероморфну функцију у тачки сингуларитета

рачуна се p.p. главни део у тачки (principal part at point) на начин

који следује:

Напоменимо да важи . Oдатле, применом

симболичке алгебре може се проверити да за пол реда важи:

Преко појма главни део у тачки дефинише се Казимирова енергија

вакума. Претходно наведена формула се користи у физици вакума.

2. Симболички рачун и диференцијална алгебра

Пример симболичког и нумеричког рачуна у MuPAD-у

• DIGITS:=10;

• sqrt(2);

• type(sqrt(2));

• type(sqrt(2.0));

• (2-sqrt(2)^2);(2-sqrt(2.0)^2);

• (2-sqrt(2)^2)*exp(50);float((2-sqrt(2.0)^2)*exp(50));

Проверимо помоћу Maple-a формулу Blau-Visser-Vipf-a:

У претходној формули је мероморфна функција и

Riemann-ова зета функција која има прост пол у тачки .

restart;

PP:=(phi,z,a)->residue(map(phi,z)/(z-a),z=a);

PROD:=z->f(z)*Zeta(z);

:= PP ( ), , z a

residue ,

( )map , zz a

z a

:= PROD z ( )f z ( ) z

z=1:

series(Zeta(z),z=1);

PP(Zeta,z,1);residue(Zeta(z),z=1);

PP(PROD,z,1);

f(1)*PP(Zeta,z,1)+D(f)(1)*residue(Zeta(z),z=1);

( )z 1 -1 ( ) 1 ( )z 112

( ) 2 ( )z 1 2 16

( ) 3 ( )z 1 3 124

( ) 4 ( )z 1 4

1120

( ) 5 ( )z 1 5 ( )O ( )z 1 6

1

( )f 1 ( )( )D f 1

( )f 1 ( )( )D f 1

z<>1:

assume(a<>1);

series(Zeta(z),z=a);

PP(Zeta,z,a);residue(Zeta(z),z=a);

PP(PROD,z,a);

f(a)*PP(Zeta,z,a)+D(f)(a)*residue(Zeta(z),z=a);

( ) a~ ( ) ,1 a~ ( )z a~12

( ) ,2 a~ ( )z a~ 2 16

( ) ,3 a~ ( )z a~ 3 124

( ) ,4 a~

( )z a~ 4 1120

( ) ,5 a~ ( )z a~ 5 ( )O ( )z a~ 6

( ) a~

0

( )f a~ ( ) a~

( )f a~ ( ) a~

Симболичко диференцирање корак по корак у MuPAD-у (F. Postell)

Симболичко диференцирање корак по корак у Maple-у

(D. Meade ,

P. Yasskin)

Напоменимо да у вези све већих и већих могућности CAS-пакета

B. Buchberger је објавио чланак:

CAS not an end of mathematics ?

(ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 136 (1), 3-9. 2002.) где се износе нове

могућности и перспективе које нуди симболичка алгебра целоку-

пној математици. Наводимо једну област математике која добија

у овом времену нов значај употребом CAS-пакета.

Диференцијална алгебра је најшири математички оквир за рад

са изводима. Начин увођења је аксиоматски. Наиме, нека је ко-

мутативан прстен са јединицом; тада функција се на-

зива изводом ако за свако важе Leibniz-ове аксиоме:

Прстен са изводом се назива диференцијални прстен. Ако је

поље, ради се о диференцијалном пољу. Посебно су од интереса

диференцијално затворена поља које је 1956. увео A. Robinson са

додатним захтевом да свака егзистенцијална формула је еквива-

летна са безкванторском формулом по Seinderberg-овој процеду-

ри. Ту аксиоматику је упростила E. Blum 1968. године. Показано је

да теорија DCF0, између осталог, допушта елиминацију квантора.

Наводимо теорему А. Seidenberg–а: Нека је S систем од коначно

много диференцијално-алгебарских једначина по n непознатих

и њихових извода, тако да су те једначине са рационалним кое-

фицијентима. Тада је рекурзивно одлучиво да ли систем S има

решења у неком диференцијалном пољу карактеристике 0.

Последњих година развијају се програмски пакети за доказивање

тврђења везаних за теорију DCF0, један од њих је REDLOG који

су развили V. Weispfenning, A. Dolzmann, T. Sturm. Илуструјмо на

крају једну примену REDLOG-а на теорију електрична кола. Наво-

димо конкретан пример кола (В. Иртегов, Т. Титоренко) које је опи-

сано систтемом:

за полиноме. Услов стабилности тог кола је одређен са

што се помоћу REDLOG-а своди на безкванторску формулу облика:

где је диференцијални полином дат као збир 1441 мономома.

Може се показати да проблем решавања система полиномских је-

дначина уз помоћ Groebner-ових база, за погодно изабран систем,

се своди на NPC-проблем три - обојивости графа. Наведено је до-

вољно да закључимо да је решавања система алгебарских и ди-

ференцијално-алгебарских једначина бар NP-тежине.