Embed Size (px)
DESCRIPTION
КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ. А. С. Холево Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. Немного истории Общее понятие канала Квантовая теорема кодирования Проблема аддитивности Сцепленность квантовых состояний Каналы, разрушающие сцепленность Другие темы. Теория информации. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ
А. С. Холево
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
• Немного истории
• Общее понятие канала
• Квантовая теорема кодирования
• Проблема аддитивности
• Сцепленность квантовых состояний
• Каналы, разрушающие сцепленность
• Другие темы
Теория информации
• Дата рождения: середина XX в, 1940-1950е.
Цифровое представление и обработка данных, коды сжатия данных, исправления ошибок,…
• Концепции: случайный источник, энтропия, канал, код, пропускная способность, …
• Методы: теория вероятностей, дискретная математика, комбинаторная геометрия,…
К Т И• Дата рождения: вторая половина XX в.
Математические основы – 1970е.
Новая волна (квантовая криптография,
коммуникационные протоколы,
эффективные алгоритмы) – 1990е
• Концепции: квантовое состояние, энтропия, канал, пропускные способности, сцепленность…
• Методы: некоммутативная теория вероятностей, алгебры операторов, полилинейная алгебра, случайные матрицы,…
Передача информации
w’ =1001…11… w =1101…01…
кодирование канал декодирование
Вероятность ошибки P{w’≠w}
Пропускная способность канала
состояние на входе Sw
состояние на выходе Sw’
Процедура измерения
результат y параметры x
приготовление динамика измерение
Точность измерения
Оптимальная процедура ?
состояние на входе Sx
состояние на выходе Sx’
Статистические состояния систем
(dim H<∞)
Ф-М словарь• Система (носитель информации) = С*-алгебра операторов A ⊆B(H)
• Классическая система = коммутативная алгебра C(X)
• Квантовая система = алгебра всех операторов B(H)
• Составные системы A⊗B. Гибридные системы
A11
Akk
a22
a33
…
……
…
0
0
Структура алгебры
Состояния• Состояние = линейный положительный нормированный
функционал E(X), X∈ A (математическое ожидание)
• Выпуклое множество состояний Σ(A) ⊆ A*. • Классическое состояние ← распределение
вероятностей P на X
• Квантовое состояние ← оператор плотности ρ в H
}Tr,:{)(
)(Tr)E(
10
H
HBX X, X
p1
p2
……
…
…
…
0
0..
pk
ρ =UU*
P = [p1, p2, …, pk], pj≥0, ∑ pj=1
Классические и квантовые состояния
Классический бит
0
1
Квантовый бит „q-бит“
Симплекс Пространство состояний
……
e
Пример: элементарные системы
Классические и квантовые каналы
Канал = линейное положительное нормированное отображение
ноположитель; 1,2,...n Idn
ρ ρ’
nId
12 12'
X’X *
вполне
Φ: A* → B*Φ*: B → A
⊗
Произведение каналов
)Id()Id( 212121
1
2Id
12 '12
2
1Id⊗ ⊗
Структура канала
• Теорема СтайнспрингаТеорема Стайнспринга: Отображение Φ*:B → B (H) вполне положительно ⇔ Φ* расширяется до *-гомоморфизма π:
• СледствиеСледствие:: [квантовый канал, ]
V VXVX KH :,)()( **
IVV VV
VV)(
:V
jj
*j
j
*jj
AA
CBA
BA
C
;
Tr
изометрия
)(),(
*
H
HHH
HBBHBA
Открытая квантовая система
окружение
система
⊗U
Φ(ρ)
Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*
ΦI(ρ)
ρ
ρ0
(Полу)классические каналы
• A или B коммутативна: положительность Φ ⇔ полная положительность
• A и B коммутативны: классический канал = марковский оператор
• A=C(X) : приготовление состояния (кодирование)
• B=C(Y) : измерение (декодирование) разложение единицы:
xxxP
x
pP
x
IM M
MyP
yyy
y
,
Tr)(
0
Теорема кодирования
Гипотеза аддитивностиСцепленность против аддитивности
Пропускная способность
0n
DE ww RC 'Pmin:sup)( ,
w’=1001…11
классическаяинформация
вероятностьошибки P{w’≠w}
w=1101…01
классическаяинформация: сообщений
⊗ ⋮ n⊗
кодирование E декодирование D
Классическая пропускная способность:
nR2
Теорема кодирования (Теорема кодирования (HSWHSW))
H
HppHC
jj
j
xxx
xxx
p xx
энтропияквантовая
loglogTr)(
))(())((max)(,
ансамбль условная выходная энтропия выходная энтропия
nCC nn /)(lim)(
χ
Гипотеза аддитивности
каналових классическ для явыполняетс
, для
)(C)(C)(C
)(C)(Clim)C(
ьспособност пропускная аяклассическ
);(C)(C
всех
n
n n
nn
n
21
2121
1
?
?
Что мешает доказать это для квантовых каналов?
Сцепленность квантовых состояний
Разделимые состояния в
Не-разделимые = сцепленные состояния: Пример:
j
jj P
conv cl
21
2112
21
,
:HH
Сцепленность против аддитивности
йкодировани разделимых только ниемиспользова с
ьспособност пропускная аяклассическ)(C
состояний разделимых ансамблям по только
max)(C)(C
ансамблям всем поmax)(C
12
12
21
21
V ? ⇒! (Hastings, 2008)
Разделимое кодирование
классическая
информация
классическая
информация
.
. n
.
разделимое сцепленное кодирование декодирование
Пропускная способность:
)()( CC
Разделимые кодирование/декодирование
)()( CCShannon
классическая
информация
классическая
информация
.
. n
.
разделимое разделимое кодирование декодирование
Пропускная способность:
Аддитивность: кодированиесцепленными состояниями
не увеличивает проп. способность
• Классические каналы
• q-битные бистохастические каналы (dim H=2)
• Деполяризующие каналы и др. (dim H<∞)
√ Каналы, разрушающие сцепленность, и комплементарные к ним (dim H≤∞)
√ Бозонные гауссовские каналы (dim H=∞) ???
Каналы, разрушающие сцепленность
)(dim H
Каналы, разрушающие сцепленность
nIdсцепленное 12
разделимое' -12
Для РС-каналов гипотеза аддитивности выполняется в наиболее сильной форме (Shor; Широков)
Структура РС-канала
ТТ. Канал Φ разрушает сцепленность ⇔
Φ(ρ) = ∫ρx Pρ(dx), Pρ(B)=Tr ρM(B) X разложение
единицы
ρ измерение x приготовление ρ’
M ρx
Комплементарные каналы
2121
~,
~и,пар для ноодновремен
выполнена тиаддитивнос Гипотеза
*Tr~
Tr
гаСтайнспринизометрия
~
VV)(
*VV)(
:V
B
V A
С
AA
AA
CBA
B
C
H
H
HHH
Т.Т.
{РС-каналы}~={диагональные каналы}
21
~,
~каналовых диагональн для
выполнена тиаддитивнос Гипотеза
~)()(
~
всех
B
V A
С
Адамараие произведен
Построение изометрии VТТ. Φ РС-канал ⇔
D
YHHHH
HY
D
DYHDY
HH
Y
a(y)b(y)yV
L V
1b(y) b(y)
, dya(y)
a(y) , ,
2CCBA
B
A
BA
,))((
),(,:
:,:
,)(
,':,22
Комплементарный канал Φ РС-канал ⇔
канал)(dephasing ыйдиагональн
)),(()(:~
),()(
:,:
,)(
,':,
L в ядро ,yy)b(y)b(y
dya(y)b(y)b(y)
1b(y) b(y)
, dya(y)
a(y) , ,
2
B
A
BA
Y
D
HY
D
DYHDY
HH
Y
Y
1212
2
22
Бозонные системы
Классическая система ⇐симплектическое пространство (Z,Δ)
Квантование ⇐система Вейля в H, ККС:
W(z1) W(z2) = exp (iz1TΔz2) W(z2) W(z1)
Бозонный канал: (HA,WA) → (HB,WB)
Открытая бозонная система
окружение
система
⊗
квадратичныйгамильтониан
U
Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*
ρ
ρ0
гауссовское
состояние
Критерий РС для бозонных гауссовских каналов
)(Tr*)()()(
,,
][
]exp[)())((*
BABB
Z
BBB
AT
B
AT
B
BT
BBBABB
dzMzWzW
KK2
i
2
i
KK2
i
z z2
1ilzKzWzW
B
ТТ. Бозонный гауссовский канал ΦK,l,α разрушает сцепленность ⇔
Пример: аттенюатор/усилитель
a0: <a0*a0>=N
a’ a k
)()(
*,'
,'
CC
k1,minN PC
1k a kkaa
1,k akkaa
2
02
02
1
1
Аттенюатор/усилитель a0: <a0*a0>=N
a’ a k
)()(
log)log()()(
)(
*
)()()()()(
Gauss
Gauss
CC
xxxxxg
NkN
E aa
CNgNEkg CC
11
120
002
??
Другие направления
• Весь спектр пропускных способностей квантового канала
• Квантовые коды, исправляющие ошибки
• Алгоритмы сжатия квантовой информации
• Некоммутативная теория статистических решений
• Количественные характеристики сцепленности
• Сложность квантовых вычислений
• Квантовые криптографические протоколы
А. С. ХолевоА. С. Холево
КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ,
КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯКАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ
Использование сцепленностивход↔выход
1110100100…01101000110… ⊗ ⋮ n⊗
сцепленное состояние
ψAB
ρA ρB
Пропускная способность
)(
))(~
())(()(max
)(
C
HHH
Cea
Выигрыш Cea(Φ):C(Φ) = 2 для идеального канала Φ=Id →∞ для шумного канала Φ
Квантовая взаимная информация I(A;B) Аддитивность.
Квантовая информация
01
nDE RQ 'maxmin:sup)( ,
квантоваяинформация:
ρ
⊗ ⋮ n⊗
кодирование E декодирование D
Квантовая пропускная способность:
nR2Hdim
квантоваяинформация:
ρ’
Теорема кодированияТеорема кодирования
))(~
())((max)(
HHQ
выходная энтропия обменная энтропия
nQQ nn /)(lim)(
когерентная информация
• Супераддитивность
• Коды, исправляющие ошибки
• Вычисления, устойчивые к ошибкам
Квантовая информация
⊗
Q(Φ)
Q→(Φ) = Q(Φ)Q←(Φ) ≥ Q(Φ)
0110001010…
1001000111…
Q=0
Q=0
Q>0⊗Q=0
Q=0
Q=0
Пропускные способностис дополнительными ресурсами
C ≨ C← ≨ C↔ ≨ Cea=2Qea
Q ≨ Q← ≨ Q↔ ≨ Qea
≨ ≨ ≨ ≨
• Вместо A* -- предсопряженное пространство A* ,
порожденное нормальными состояниями
• Энтропия «почти всюду» бесконечна, всюду разрывна
• Аналог теоремы кодирования имеет место при ограничениях на входе канала
• Возникают «непрерывные» ансамбли состояний
• Важный класс – «системы с непрерывными переменными»
Hdim
Глобальная эквивалентность
Сχ(Φ) аддитивна для всех каналов ⇔
Ĥ(Φ1 ⊗Φ2)= Ĥ(Φ1)+ Ĥ(Φ2),
где Ĥ(Φ)=minρ H(Φ(ρ)) (Shor)
Подход через р-нормы (AH):
║Φ║1→p=maxρ TrΦ(ρ)p; p>1
мультипликативность p-норм?
Поиски контрпримераМультипликативность p-норм нарушается:
• p≥4,783, dim H =3 (Werner-AH)
Φ(ρ)=(d-1)-1(I- ρT)
--------------------------------------------------------------------
• p>2, dim H →∞ (Winter);
• 1<p≤2, dim H →∞ (Hayden); Метод (неконструктивный): случайные унитарные каналы:
Φ(ρ)=Σj pjUj ρUj*
• Контпример к аддитивности (?), dim H →∞
(Hastings, 2008)
Gaussian channels
Canonical variables (CCR) Gaussian environment Gaussian states Gaussian states Energy constraint
PROP For arbitrary Gaussian channel with energy constraint an optimal generalized ensemble (GE) exists.CONJ Optimal GE is a Gaussian probability measure supported by pure Gaussian states with fixed correlation matrix. (GAUSSIAN CHANNELS HAVE GAUSSIAN OPTIMIZERS?)
Holds for c-c, c-q, q-c Gaussian channels
------------------------------------------------------------
RRE
RKKRRR
T
ee
'
