Учитель математики Громова Т.М.

Общие понятия

1. Скалярные и векторные величины Величины, которыми характеризуются различные явления и процессы, происходящие в окружающем нас мире - природе, технике, обществе, - делятся на 2 группы.

Одни из них - время, температура, объём тела, потенциал точки электрического поля, масса тела и другие характеризуются только числом каких-либо эталонных единиц. Такие величины в математике называются скалярными.

Другие величины - скорость, ускорение, сила, давление, импульс, напряжённость электрического поля и другие кроме числа эталонных единиц характеризуются и направлением. Такие величины называются векторами.2. Векторная величина в математике Любую векторную величину в математике будем называть просто вектором. Вектор изображается направленным отрезком

aA

B

Рис. 1.и обозначается : AB, a, F, т.е. или двумя заглавными буквами латинского алфавита, или одной строчной буквой этого алфавита, или одной заглавной буквой латинского алфавита со стрелкой в верху.

Замечание. Обозначение векторной величины одной буквой - заглавной - латинского алфавита широко используется в прикладных дисциплинах : физике, механике, электро -радиотехнике, гидравлике и т.д.

Например :

E - напряжённость электрического поля; F - внешняя сила, действующая на тело; K - импульс (k=m*v).

3. Длина вектора, нулевой вектор. Длиной вектора называется длина соответствующего ему отрезка; записывается длина вектора так : илиaBA

., FP

Можно длину вектора обознать и следующим образом : F, P, E, a, V и т.д.; например, если в условии той или иной задачи на тело действует, скажем, сила в 100 н, то в данных этой задачи надо записать: ; допускается и другая запись: F=100 н.НF 100

Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом ; AA, O - нулевые векторы.4. Коллинеарные, равные векторы. Два или несколько векторов называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или нескольких параллельных

m

n

a

e

d

c

b

Рис. 2.

Совокупность векторов - совокупность

коллинеарных векторов, расположенных на параллельных прямых m и n.

edcba

,,,,

Коллинеарные векторы одного направления называются сонаправленными; коллинеарные векторы противоположных направлений называются конаправленными. На рис. 2 изображены коллинеарные векторы, из них -

,,,, dbeceaca

векторы одного направления, сонаправленные,

cdbadcebda

;;;; векторы противоположных направлений, конаправленные. Два сонаправленных вектора называются равными, если они имеют равные длины, т.е.

.nmиnmnm

Знак указывает на справедливость обратного утверждения, а именно : если два вектора сонаправленные и длины их одинаковы, то они равны.

5. Свободные и связанные векторы Определение 1. Вектор, началом которого может служить любая точка пространства, называется свободным. Замечания. 1). Выбирая за начало данного вектора произвольную точку пространства, мы проводим из этой точки вектор, равный данному, т.е. сонаправленный и такой же длины (рис. 3).

A

B

Рис. 3.

2). В математике рассматриваются преимущественно свободные векторы.

Рис. 4.

Определение 2. Вектор, начало которого строго фиксированная точка, называется связанным. Замечания. 1). Начало связанного вектора можно переносить в любую точку прямой, на которой он располагается (рис. 4). 2). Связанные векторы - сила, скорость тела (точки), напряжённость поля и др. - это объекты физики, механики, электрорадиотехники, аэро-гидро-динамики.

A1 B1 A2 B2BA

Действия над векторами

1. Сложение Над векторами можно производить следующие действия.

Требуется найти их сумму.

а) Сложение двух векторов можно осуществить по правилам параллелограмма или треугольника.

Пусть даны два вектора a и b, изображённых на рис. 5.

a

b

Рис. 5.

По правилу параллелограмма (рис. 6).

Рис. 6.

a

b

a c=a+b

Суммарный вектор изображается диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах.

По правилу треугольника (рис. 7).

с

Суммарный вектор есть третья сторона треугольника, у которого две другие - векторы слагаемые и .

с

a b

a

b

a

c=a+b

Рис. 7.

Величина суммарного вектора находится по формуле.с

Из рис. 6 независимо от правила, т.к. рассматриваем один и тот же треугольник, имеем :

)1(cos**2

cos**2

)180cos(**2

cos**2

222

222

222

222

babac

babac

babac

илиbabac

O

Здесь a - угол мужду слагаемыми векторами.

Если известны a и , то можно найти и по теореме синусов (Рис. 7):

)2(.sinsinsin

cba

c

б) Сложение трёх и более векторов. Три и более векторов складываются по правилу многоугольника.

Пусть требуется сложить векторы , и изображённых на рис. 8.

Рис. 8. Процесс сложения этих векторов показан ниже на рис. 9.

a b с

a

b

с

a

b

сa+

b

d=a+b+c

Рис. 9.

Векторы слагаемые располагают так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, начало третьего - с концом второго и т.д. Суммарный вектор есть вектор, соединяющий начало первого с концом последнего.

2. Вычитание.

Требуется найти .

Разность двух векторов находится также по правилу параллелограмма или треугольника.

Пусть даны два вектора m и n, расположенных как показано на рис. 10.

m

n

Рис. 10.

m-n=p

По правилу параллелограмма (рис. 11, а).

По правилу треугольника (рис. 11, б).

-n

m n

m n

p=m-np=m-n

а) б)

Рис. 11.

1. Умножение векторов. а) Умножение вектора на скаляр.При умножении вектора на скаляр получается новый вектор, сонаправленный данному, если скаляр - число положительное, и конаправленный, если скаляр - число отрицательное, т.е.

(рис. 12).

a

Рис. 12.

00;* kabиkabbka

Так, если и k=2, то

a*2=b

b=2aa*(-2)=c

c=-2a

б) Умножение вектора на вектор. 10. При умножении вектора на вектор в одних случаях получается скаляр (число), и такое произведение векторов называется скалярным; записывается такое произведение так :

a*b= , где - некоторое действительное число, по определению скалярного произведения оно равно произведению длин векторов сомножителей на косинус угла между ними, т.е.

)3(cos*** baba

где - угол между векторами, который показан на рис. 13

a

b

Рис. 13. 20. В других случаях при умножении вектора на вектор может получиться новый вектор, такое произведение двух векторов называется векторным. Обозначается оно так :

a*b=c, при этомвектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы - сомножители и (рис. 14) и его длина ba

с

)4(sin** bac

c=a*b

-c=b*a

a

b

Рис. 14.

В качестве примера скалярного произведения двух векторов может служить работа (скаляр), равная произведению силы, действующей на тело, на его перемещение, т.е.

.* ASF

Пример векторного произведения - момент силы - произведение силы на плечо её действия :

.* MrF

Разложение вектора на составляющие Разложить вектор на составляющие - значит представить его в виде суммы двух, если он находится на плоскости, и в виде суммы трёх, если он расположен в пространстве.

Рис. 15.

a b с

a

b

d

p

c

Рис. 16.

Вектор на плоскости Вектор в пространстве

,bac

векторы и называются векторами составляющими.

a b

,, bapноcpd

отсюда

.cbad

и - составляющие.a, b с

В прикладных дисциплинах - физике, механике и др. науках - довольно часто приходится решать задачи, связанные с разложением вектора (силы, скорости) на составляющие; по существу это обратная задача сложению векторов, когда данный вектор заменяется двумя, тремя векторами.

Замечание. 1. Если на плоскости даны три произвольных неколлинеарных вектора то всегда можно подобрать такие два числа m и n, что будет выполняться равенство:

a, b, с,

bnamc

**

условия компланарности векторов иa, b с 2. Если в пространстве задаются четыре произвольных неколлинеарных вектора то существуют такие числа m, n и k, для которых выполняется равенство:

a, b, с,d,

ckbnamd

***

формула разложения вектора по трём некомпланарным векторам.

3. Практические задачи связаны в основном с разложением данного вектора или по двум взаимно перпендикулярным направлениям - горизонтальному (по оси OX) и вертикальному (по оси OY), или по трём взаимно перпендикулярным направлениям - двум в горизонтальной плоскости (осям OX и OY) и одному в вертикальной плоскости (оси OZ).

Компланарные векторы Два или несколько векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Ясно, что любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны (объясните почему), а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. Для примера, возмём параллелепипед (рис. 17) и на его рёбрах построим векторы

C

B

DA

C1B1

D1

A1

Рис. 17. Здесь векторы DB, DB1, DD1 - комплинарны, так как они лежат в одной плоскости DBB1, комплинарны и векторы DC и DA. Векторы AA, DC и DB некомплинарны, так как (видно из рис.) они лежат в одной плоскости.

Рассмотрим признак комплинарности трёх векторов.

Если вектор с можно разложить по векторам a и b, т.е. представить в виде

гдеbnamc ,**

m и n - некоторые числа, то векторы a, b и с комплинарны.

Докажем этот признак.

Рис. 18.

a

bOC=m*OA+n*OB=c

CB

O A

B1

A1

Будем считать, что векторы a и b не колинеарны (если они колинеарны, то компланарность векторов a и b и с очевидна). Отложим от произвольной точки векторы и (рис. 18).OA=a OB=c

Векторы и лежат в одной плоскости OAB. Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы и

а следовательно, и их сумма - вектор

равный вектору с. Итак, векторы

и лежат в одной плоскости, т.е. векторы a, b и с компланарны.

OA OBAOmAO

*1

,*1 BOnBO

,** BOnAOmCO

,aAO

bBO

cCO

Проекция вектора на ось. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка этой оси, взятая с соответствующим знаком (+ или -), заключённого между проекциями начала и конца вектора на заданную ось. На рис. 19 l - ось проекций; - проектируемый на ось вектор; - угол, который вектор составляет с осью l; A1B1 - проекция вектора на ось l, что сокращённо можно записывать так : A1B1=пр1

AB

ABABAB

AB

Рис. 19.

a

l

A B

A1

B1

B2

Из рис. 19 имеем:

Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины данного вектора на косинус угла между осью и вектором.

)5(cos*

cos*

111

2111

BABAпрBA

BAABBAпрBA

Скалярное произведение 2-х векторов, его свойства.

1. Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними, т.е. если даны 2 вектора и , изображённых a и b на рис. 25, то их скалярное произведение

a

b

Рис. 25.

cos*** baba

2. Свойства скалярного произведения

илиaaaaaaa 2202 0cos***.1

)21(222 aaa

скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора.

)22(0*.2 baba

- скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

)23(**.3 abba

- если поменять местами векторы сомножители, то их скалярное произведение не изменится (переместительный закон скалярного произведения).

)24(**)(*.4 cabacba

- при умножении вектора на сумму векторов скалярно, необходимо умножить скалярно данный вектор на векторы слагаемые и результаты сложить (распределительный закон).

)25()*(*)*(**)*.(5 bambmabam

- сочетательный закон по отношению к скалярному множителю m. 6. Скалярные произведения ортов (базовых векторов):

1*2 iii

(см. свойство 1).

Аналогично 1** kkjj

)26(0*** kjkiji

7. Скалярное произведение 2-х векторов, заданных своими координатами.

Пусть и

kzjyixa

*** 111 .*** 222 kzjyixb

Найдём их скалярное произведение:

)27(,**** 212121 zzyyxxba

,***)6.(

)*(**)*(**)*(**

)*(**)*(**)*(**

)*(**)*(**)*(**

)***(*)***(*

212121

212121

212121

212121

222111

zzyyxxсвойствосм

kkzzjkyzikxz

kjzyjjyyijxy

kizxjiyxiixx

kzjyixkzjyixba

т.е. получили

- скалярное произведение векторов, координаты которых известны, равно сумме произведений их одноимённых координат.

Угол между векторами.

.222111 kzjyixbиkzjyixa

При решении прикладных задач - в физике, электронике и т.д. - с помощью векторо часто приходится находить угол между векторами. Пусть 2 вектора a и b заданы координатами, т.е.

Требуется найти угол между ними.

Решение. Обозначим угол между векторами буквой , который требуется найти. Воспользуемся определением скалярного произведения - формулой

ноba

bababa ,

*

*coscos***

)18(**** 212121 формулаzzyyxxba

22

22

22

21

21

21 , zyxbzyxa

формулы (130)

22

22

22

21

21

21

212121

*

***cos

zyxzyx

zzyyxx

)28(*

***arccos

22

22

22

21

21

21

212121

zyxzyx

zzyyxx

Пример Найти угол между векторами a (4; -10; 1) и b (11; -8; -7)

Решение. Для вычисления угла (обозначим его через ) между данными векторами воспользуемся формулой (28).

гдеzyxzyx

zzyyxx,

*

***cos

22

22

22

21

21

21

212121

x1; y1; z1- координаты вектора a;;

x2; y2; z2- координаты вектора b.;

Подставляя их значения в формулу получим

;2

2

2

1

2*117

117

6964121*110016

)7(*1)8(*)10(11*4cos

2

2cos

04542

2arccos

Векторное произведение 2-х векторов, его свойства.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется третий вектор с, определяемый следующим образом.

sin** bac

1. Длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними, т.е.

2. Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы сомножители а и b, направление его определяется по правилу буравчика.

Свойства векторного произведения

)29(..,**.1 етabba

от перемены местами векторов сомножителей векторное произведение изменяется на противоположное.

)30(0*

0*.2

baba

baba

векторное произведение двех коллинеарных векторов равно нулю.

)31()*(*)(**).(3 bambmabam

сочетательный закон по отношению к скалярному множителю m.

)32(**)(*.4 cabacba

распределительный закон для векторного произведения вектора на сумму векторов. 5. Векторные произведения ортов:

,0*** kkjjii

т.к. это векторные произведения двух коллинеарных векторов (угол между ними 00)

)33(.*;*;*

;*;*;*

ijkjkikij

ikjjikkji

Доказать эти равенства самостоятельно, используя определение векторного произведения и принятое в математике их расположение

1

;;;

kji

kjjiki

i

j

k

6. Векторное произведение двух векторов, заданных координатами. Пусть известны два вектора а и b, которые расположены в ДПрСК, т.е.

.****** 222111 kzjyixbkzjyixa

.*ba

Требуется найти их векторное произведение, т.е. найтиРешение.

)

:(

)(*)(* 222111

многочленыкакумножаютсявекторовсуммы

тельностираспределисвойствоммсявоспользуе

kzjyixkzjyixba

kyxyxjzxzxizyzy

iyzjxzizykxyjzxkyx

ijkjikikj

kijjkikji

kkjjiiсвойствумупо

kkzzjkyzikxz

kjzyjjyyijxy

kizxjiyxiixx

)**()**()**(

******

)*,*,*

,*,*,*

0***:5(

)*(*)*(*)*(*

)*(*)*(*)*(*

)*(*)*(*)*(*

122112211221

212121212121

212121

212121

212121

Итак, отбрасывая промежуточные операции, получаем :

)34()**()**()**(* 122112211221 kyxyxjzxzxizyzyba

или

гдеkZjYiXcba

***)(*

)**(),**(),**( 122112211221 yxyxZzxzxYzyzyX Формулу (34) можно записать также в символической, легко заполняемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.

Для практических вычислений можно рекомендовать такой порядок : 1) Составляем таблицу из двух строк и трёх столбцов, подписывая координаты 2-го вектора (множителя) под координатами 1 - го вектора (множимого) :

)35(.*

222

111

zyx

zyx

kji

cba

)35( 0

222

111

zyx

zyx

2) Для получения первой координаты произведения X закрываем в этой таблице первый столбец и вычисляем остававшийся определитель 2-го порядка

)36(** 1221

22

11 zyzyzy

zyX

Чтобы получить вторую координату вектора закрываем второй столбец и оставшийся определитель берём с обратным знаком, т.е.

,*bac

)37()**( 1221

22

11 zxzxzx

zxY

Наконец, для получения третьей координаты вектора с закрываем в нашей таблице третий столбец и берём оставшийся определитель 2-го порядка со своим знаком, т.е.

)38(** 1221

22

11 yxyxyx

yxZ

Примеры. 1) Дано : kiibkiia

75842

Найти и вычислить cba

* .c

Решение.

гдеkZjYiXbac

***)* X, Y, Z - координаты вектора c. Для их нахождения составляем таблицу координат векторов - сомножителей

715

843

222

111

zyx

zyx

;2082871

84X ;19)4021(

75

83Y

.1720315

43Z

Таким образов,

;17193* kjicba

.8,25)17()19(9 22222 zyxc

Пример №2.Дан ABC, т.е. A(1; 2; 3), B(3; 4; 5), C(2; 4; 7).Найти его площадь а величину угла А.

Решение.1. Изобразим произвольно треугольник ABC

m

n

CB

DA

2. Введём векторы AB=m и AC=n.3. Найдём координаты этих векторов :

),2;2;2();;( ABABAB zzyyxxBAm

по аналогии ).4;2;1( CAn

4. Найдём векторное произведение векторов m*n : по формуле (35)

).2;6;4(,264

21

22

41

22*

42

22*

421

222*

pвекторакоординатыkji

kji

kji

pnm

имеем

5. Вычислим длину вектора p

.5643616222 zyxp

Длина вектора р численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах m=AB и n=AC как на сторонах, т.е. получим, что площадь параллелограмма ACDB равна но,14256 2ед

.142

2едS

S ACDBABC

Чтобы определить величину угла А, воспользуемся формулой

Anmp sin**

nm

pA

*sin

.12222;56 22221

21

21 zyxmp

.21421 22222

22

22 zyxn

окончательно получаем, что

.3

2arcsin

3

2

21*12

56

21*12

56sin AA