一、曲面及其方程二、 柱 面三、 旋转曲面四、 二次曲面五、 空间曲线的方程

一、曲面及其方程 空间解析几何中，空间曲面看成是空间动点按某种规律变动的几何轨迹。

一般地，如果曲面 S 与三元方程0)z,y,x(F

满足如下关系：（ 1 ）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；（ 2 ）不在曲面上的点的坐标都不满足方程；那么，方程就叫曲面的方程，曲面就叫方程的图形。由于建立空间曲面与代数方程之间的联系，因此我

们就把研究曲面的几何性质，归结为研究它所对应的方程的解析性质。

例 1 设动点 M(x,y,z) 到定点 M0(x0,y0,z0) 的距离恒等于正数 R ，求此动点轨迹的方程。

解：由已知，有R|MM| 0

由空间两点的距离公式得R)zz()yy()xx( 2

02

02

0

两边平方，则得此动点的轨迹方程为22

02

02

0 R)zz()yy()xx(

这方程表示的是一个球面， 球心为 M0(x0,y0,z0) ，半径为 R ，看以下的图形：

O

X

Y

Z

例 2 讨论方程0GFzEyDxzyx 222

所代表的几何图形。

解： 将方程配方得

4

G4FED

2

Fz

2

Ey

2

Dx

222222

（ 1 ）当 ,0G4FED 222 方程表示一个球面，

球心为 ),2

F,

2

E,

2

D( 半径为 .

2

G4FED 222

（ 2 ）当 ,0G4FED 222 方程表示一个点，

点的坐标为 ).2

F,

2

E,

2

D(

（ 3 ）当 ,0G4FED 222 方程不表示任何曲面。

★ 讨论方程 03z2y4x2zyx 222 的图形。

二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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二、柱面定义：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所

形成的曲面称为柱面 .C L

曲线 C 称为柱面的准线； 而直线 L称为柱面的母线。柱面的形成过程：

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常见的柱面：

1 平面 0 yx

O

X

Y

Z

2 圆柱面 222 Ryx

X

Y

Z

OR

XO

Y

Z

3 、抛 物 柱 面 xy 22

4 双曲柱面 1b

y

a

x2

2

2

2

Ox

y

z

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。 这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。旋转曲面的轴。

旋转曲面的生成过程如图：

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生成旋转曲面过程中的特征：如图：

O

X

Y

Z

0)z,y(f

M1(0,y1,z1)

设 M(x,y,z) ，

M

则（ 1 ） z=z1 ；（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离 |y|yxd 1

22

将 2211 yxy,zz

代入到方程 0)z,y(f 11 中去，可得

0)z,yx(f 22

这就是 yoz 面上的曲线 0)z,y(f 绕 z 周旋转所成的旋转曲面的方程。

的旋转曲面的方程为同理可知，曲线 0)z,y(f 绕 y 轴旋转所生成

0)zx,y(f 22

例 3 求由椭圆2 2

2 21

y z

a c 分别绕 z 轴和 y 轴旋转

所生成的旋转曲面的方程。

解：（ 1 ）绕 z 轴旋转，则有方程

1c

z

a

)yx(2

2

2

222

即1

c

z

a

yx2

2

2

22

（ 2 ）绕 y 轴旋转，则有方程

1c

)zx(

a

y2

222

2

2

即1

a

y

c

zx2

2

2

22

a>c 时 ,(1) 的图形如下： a>c 时 ,(2) 的图形如下：

O

x

y

z

O

x

y

z

例 4 求由 yoz 面上直线 )0y(cotyz 绕 z 轴旋转所成旋转曲面的方程。

解：因为旋转轴为 z 轴，所以只要把方程中的 y 换成

,yx 22 即得旋转曲面的

cotyxz 22

方程为

)tana(0zayx 2222

或可写为

这个旋转面称为定点在原点、半顶角为 α ，且以 z 轴为旋转轴的锥面。

α

O

x

y

z

四、二次曲面

三元二次方程表示的曲面称为二次曲面。如前面讲到的球面、圆柱面、旋转椭球面等。

讨论方法：平行截面法1 椭球面方程 1

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

所表示的曲面称为椭球面，其中， a ， b ， c 为椭球面的半轴，如右图。

O

x y

z

椭球面与三个坐标面的交线分别为椭圆

0z

1b

y

a

x2

2

2

2

2 2

2 21

0

x z

a cy

和

2 2

2 21

0

y z

b cx

与平面 z=z1 的交线为

1

21

22

2

2

21

22

2

2

zz

1)zc(

cb

y

)zc(ca

x

也是一椭圆，其中 |z1|≤c 。

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

2 椭圆抛物面

由方程 同号）q,p(z2q

y

p

x 22

表示的曲面称为

椭圆抛物面，如图。

O

x

y

z

p>0 ， q>0

Ox y

z

p<0 ， q<0它与 xoy 面交于一点，即原点，与 zox 面和 yoz

面的交线分别为

0x

qz2y,

0y

pz2x 22

与平面 z=z1 的交线为椭圆

1

1

2

1

2

zz

1qz2

y

pz2

x

五、空间曲线的方程空间曲线可以看作是两个曲面的交线。设这两曲面的方程为 0)z,y,x(F,0)z,y,x(F 21

则显然曲线上的点 P(x,y,z) 同时满足这两方程。所以，空间曲线的一般方程可表示为

0)z,y,x(F

0)z,y,x(F

2

1

例 5 方程

az

Ryx 222

表示什么曲线？解： 母线平行于 z 轴，表示圆柱面，222 Ryx 显然

这个而 z=a 表示垂直于 z 轴的平面，因而它们的交线是圆，圆在平面 z=a 上，如右图。

X

Y

Z

O R

a

例 6 方程

222

2222

Ryx

R2zyx

表示什么曲线？解： 2222 R2zyx 方程 表示中心在原点、半径为

R2 的球面，而方程 表示母线平行于 z 轴，222 Ryx

半径为 R 的圆柱面。它们的交线是两个圆（在平面 ，Rz 圆心分别为 (0,0,R) 和 (0,0,-R) ，半径为 R ）

。

X

Y

Z

O

如右图所示。如果把原方程组化为下列

同解方程组（将第二个方程代入第一个方程）：

222 Ryx

Rz

会看得更清楚。例 7 设动点 M 在圆柱面

222 Ryx 上以角速度 ω

绕 z 轴旋转，

同时沿平行于 z

求 M 的轨迹方程。轴的方向以速度 v 匀速移

动，解： 如下图所示。

O

xy

z

A

动点 M 构成的曲线称为圆柱螺旋线。设经过时间 t 后

，动点运动到点 M (x ,y ,z) 处，

M

M'

M‘ 是 M 在 xoy 面上的投影。则

vtz

tsinatsin|MO|y

tcosatcos|MO|x

tMAO

ωt

所以动点的轨迹方程为

vtz

tsinay

tcosax

圆柱螺旋线的参数方程

一般地，曲线的参数方程可以表示为

)t(zz

)t(yy

)t(xx

从空间曲线 C 上的各点向 xoy 面 (yoz 面或 zox面 )做垂线， Z

X

YO

C如图。

C1

垂足所构成的曲线C1 称曲线 C 在该平面上的投影曲线（或称投影）。以投影 C1 为准线，以垂直于该平面的直线

为母线的柱面，称为曲线关于该平面的投影柱面，投影 C1 也可看作投影柱面与该平面的交线。

把曲线 C 的一般方程消去 z，

所得方程 0)y,x(F

便为曲线在 xOy 面上的投影柱面方程。将柱面方程与 xOy 面的方程 z=0 联立，即

0z

0)y,x(F

就是曲线 C 在 xOy 面上的投影方程。

解：

例 8 求曲线

2

1z

1zyx 222

在 xOy 面上的投影方程。

消去 z ，便得在 xOy 面上的投影方程为

0z4

3yx 22