26
Фактор-критические графы Лекция 9

Фактор-критические графы

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Фактор-критические графы. Лекция 9. Необходимость. Необходимое условие для графа иметь совершенное паросочетание – это четное число вершин в каждой компоненте связности. Однако это условие не является достаточным. Нечетные связные компоненты. # нечетных связных компонент. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Фактор-критические графы

Лекция 9

Необходимость

• Необходимое условие для графа иметь совершенное паросочетание – это четное число вершин в каждой компоненте связности.

• Однако это условие не является достаточным.

Нечетные связные компоненты

# нечетных связных компонент

Пусть X V(G),

и qG(X) ― число нечетных связных компонент в G – X.

Если qG(X) > |X| для некоторого X V(G), то G не имеет совершенного паросочетания.

Условие Татта

Определение 9.1

• Граф G удовлетворяет условию Татта, если qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).

• Непустое множество вершин X V(G) называется барьером, если qG(X) = | X |.

Фактор-критический граф

Утверждение 9.2

Для любого графа G и любого X V(G) имеем qG(X) – | X | ≡ |V(G)| (mod 2).

Определение 9.3• Граф G называется фактор-критическим, если

G – v имеет совершенное паросочетание для каждого v V(G).

• Паросочетание называется почти совершенным, если оно покрывает все вершины кроме одной.

Упражнение 9.1

• Доказать, что фактор-критический граф всегда является связным.

Теорема Татта

Теорема 9.4 (Tutte [1947] )

Граф G имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Татта:

qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).

qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)

• Докажем достаточность индукцией по |V(G)|.

• Утверждение очевидно для |V(G)| ≤ 2.

• Пусть G удовлетворяет условию Татта. в нем четное число вершин (иначе qG() ≥ 1).

• Утверждение 9.2 |X| – qG(X) четно для всех X V(G).

• Четность и условие Татта одновершинное множество является барьером.

• Выберем максимальный по мощности барьер X.

qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)

• Выберем максимальный по мощности барьер X.– G – X имеет |X| нечетных связных компонент.

– В G – X нет четных связных компонент.

• Докажем, что каждая нечетная связная компонента в G – X является фактор-критической (для любой v ∈ G – X, G – X – v имеет совершенное паросочетание).

qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)

• Пусть C нечетная связная компонента G – X и v ∈ V(C), такие что в C – v нет совершенного паросочетания.

• По индукции Y V(C)\{v} такой что qC–v(Y) > |Y |.

• Утверждение 9.2 qC–v(Y) – |Y | четно qC–v(Y) ≥ |Y |+2.

• Так как X, Y, {v} попарно не пересекаются, то

qG(X UY U{v}) = qG(X) – 1 + qC(Y U{v}) =

= |X | – 1 + qC–v(Y) ≥

≥ |X | – 1 + |Y | + 2 =

= |X UY U{v}|.

• X UY U{v} – барьер, что противоречит максимальности X.

Доказательство

• Осталось найти паросочетание между вершинами X и представителями связных нечетных компонент.

• Двудольный граф G' : V (G' ) = XUZ, где Z множество вершин, соответствующих связным нечетным компонентам Cz в G – X.

• Вершины x X и z Z связаны ребром {x,z} E(G' ), если ребро из x в одну из вершин Cz .

• Если в G' нет совершенного паросочетания, то Теорема Фробениуса A Z такое, что |G' (A)| < |A|.

• qG(G' (A)) ≥ |A| > |G' (A)| противоречие.

Теорема Татта

Теорема 9.4 (Tutte [1947] )

Граф G имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Татта:

qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).

Формула Бержа-Татта

Теорема 9.5 (Berge [1948] )

.max2 GVXXqG GGVX

Доказательство ≤

• Для любого X V(G), любое паросочетание должно оставлять по крайней мере qG(X) – | X | вершин не покрытыми.

• 2ν(G) + qG(X) – | X | ≤ | V(G) |.

Доказательство ≥

.max: XXqk

GGVX

kG

H

Если в H есть совершенное паросочетание, то2ν(G) + k ≥ 2ν(H) – k = |V(H)| – k = |V(G)|.

• Пусть в H нет совершенного паросочетания.• Теорема Татта Y V(H), такое что q(Y) > |Y|.• Утверждение 9.2 k имеет ту же четность как

и V(G) V(H) – четно. Y ≠ и qH(Y) > 1.

Y содержит все новые вершины.

• qG(Y∩V(G)) = qH(Y) > |Y| = |Y∩V(G)| + k.

• Противоречие с определением k.

XXqk

GGVX

max:

Формула Бержа-Татта

Теорема 9.5 (Berge [1948] )

.max2 GVXXqG GGVX

Ушки

Определение 9.6 • Декомпозицией графа G на множество ушек

называется последовательность r, P1,...,Pk с G=({r},) + P1 + ... + Pk, такая что каждый Pi есть либо путь с граничными точками из {r}UV(P1) U... UV(Pi–1), либо цикл, в котором ровно одна из его вершин принадлежит {r}UV(P1)U...UV(Pi–1) (i{1,...,k}).

• P1,...,Pk называются ушками. Если k ≥ 1, P1

― цикл длины не меньше 3, и P2,...,Pk ― пути, то декомпозиция называется совершенной.

Декомпозиция

P1

P2

P3

P4

P5

Нечетная декомпозиция

Определение 9.7 • Декомпозиция называется нечетной, если

каждое ушко имеет нечетную длину.

Теорема 9.8 (Lovász [1972] )

Граф является фактор-критическим тогда и только тогда, когда он имеет нечетную декомпозицию. Более того, начальная вершина в декомпозиции может быть выбрана произвольна.

Доказательство

• Пусть G граф с фиксированной нечетной декомпозицией.

• Докажем что G фактор критический индукцией на число ушек.

• Пусть P последнее ушко в нечетной декомпозиции.

Индукция

P P

GG

Доказательство

• Выберем произвольную вершину z, как начальную вершину декомпозиции.

• Пусть M почти совершенное паросочетание в G покрывающее V(G)/{z}.

• Предположим, что мы построили нечетную декомпозицию для Ĝ G такую, что z V(Ĝ), и M ∩ E(Ĝ) является почти совершенным паросочетанием в Ĝ.

Доказательство

• Пусть G ≠ Ĝ.• G – связный, то {x,y} E(G) \ E(Ĝ), и xV(Ĝ).• Если yV(Ĝ) ,то {x,y} следующее ушко.• Иначе, пусть N почти совершенное паросочетание

в G покрывающее V(G)/{y}.• Тогда M∆N содержит путь P из y в z.• Пусть w будет ближайшая к y вершина в P ,

которая принадлежит Ĝ.

M∆N и P[y,w]

P

z

x

G

w

M

N