Upload
troy-curtis
View
88
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Фактор-критические графы. Лекция 9. Необходимость. Необходимое условие для графа иметь совершенное паросочетание – это четное число вершин в каждой компоненте связности. Однако это условие не является достаточным. Нечетные связные компоненты. # нечетных связных компонент. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Необходимость
• Необходимое условие для графа иметь совершенное паросочетание – это четное число вершин в каждой компоненте связности.
• Однако это условие не является достаточным.
# нечетных связных компонент
Пусть X V(G),
и qG(X) ― число нечетных связных компонент в G – X.
Если qG(X) > |X| для некоторого X V(G), то G не имеет совершенного паросочетания.
Условие Татта
Определение 9.1
• Граф G удовлетворяет условию Татта, если qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).
• Непустое множество вершин X V(G) называется барьером, если qG(X) = | X |.
Фактор-критический граф
Утверждение 9.2
Для любого графа G и любого X V(G) имеем qG(X) – | X | ≡ |V(G)| (mod 2).
Определение 9.3• Граф G называется фактор-критическим, если
G – v имеет совершенное паросочетание для каждого v V(G).
• Паросочетание называется почти совершенным, если оно покрывает все вершины кроме одной.
Теорема Татта
Теорема 9.4 (Tutte [1947] )
Граф G имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Татта:
qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).
qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)
• Докажем достаточность индукцией по |V(G)|.
• Утверждение очевидно для |V(G)| ≤ 2.
• Пусть G удовлетворяет условию Татта. в нем четное число вершин (иначе qG() ≥ 1).
• Утверждение 9.2 |X| – qG(X) четно для всех X V(G).
• Четность и условие Татта одновершинное множество является барьером.
• Выберем максимальный по мощности барьер X.
qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)
• Выберем максимальный по мощности барьер X.– G – X имеет |X| нечетных связных компонент.
– В G – X нет четных связных компонент.
• Докажем, что каждая нечетная связная компонента в G – X является фактор-критической (для любой v ∈ G – X, G – X – v имеет совершенное паросочетание).
qG(X) ≤ | X | для всех X V(G)
• Пусть C нечетная связная компонента G – X и v ∈ V(C), такие что в C – v нет совершенного паросочетания.
• По индукции Y V(C)\{v} такой что qC–v(Y) > |Y |.
• Утверждение 9.2 qC–v(Y) – |Y | четно qC–v(Y) ≥ |Y |+2.
• Так как X, Y, {v} попарно не пересекаются, то
qG(X UY U{v}) = qG(X) – 1 + qC(Y U{v}) =
= |X | – 1 + qC–v(Y) ≥
≥ |X | – 1 + |Y | + 2 =
= |X UY U{v}|.
• X UY U{v} – барьер, что противоречит максимальности X.
Доказательство
• Осталось найти паросочетание между вершинами X и представителями связных нечетных компонент.
• Двудольный граф G' : V (G' ) = XUZ, где Z множество вершин, соответствующих связным нечетным компонентам Cz в G – X.
• Вершины x X и z Z связаны ребром {x,z} E(G' ), если ребро из x в одну из вершин Cz .
• Если в G' нет совершенного паросочетания, то Теорема Фробениуса A Z такое, что |G' (A)| < |A|.
• qG(G' (A)) ≥ |A| > |G' (A)| противоречие.
Теорема Татта
Теорема 9.4 (Tutte [1947] )
Граф G имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Татта:
qG(X) ≤ | X | для всех X V(G).
Доказательство ≤
• Для любого X V(G), любое паросочетание должно оставлять по крайней мере qG(X) – | X | вершин не покрытыми.
• 2ν(G) + qG(X) – | X | ≤ | V(G) |.
Доказательство ≥
.max: XXqk
GGVX
kG
H
Если в H есть совершенное паросочетание, то2ν(G) + k ≥ 2ν(H) – k = |V(H)| – k = |V(G)|.
• Пусть в H нет совершенного паросочетания.• Теорема Татта Y V(H), такое что q(Y) > |Y|.• Утверждение 9.2 k имеет ту же четность как
и V(G) V(H) – четно. Y ≠ и qH(Y) > 1.
Y содержит все новые вершины.
• qG(Y∩V(G)) = qH(Y) > |Y| = |Y∩V(G)| + k.
• Противоречие с определением k.
XXqk
GGVX
max:
Ушки
Определение 9.6 • Декомпозицией графа G на множество ушек
называется последовательность r, P1,...,Pk с G=({r},) + P1 + ... + Pk, такая что каждый Pi есть либо путь с граничными точками из {r}UV(P1) U... UV(Pi–1), либо цикл, в котором ровно одна из его вершин принадлежит {r}UV(P1)U...UV(Pi–1) (i{1,...,k}).
• P1,...,Pk называются ушками. Если k ≥ 1, P1
― цикл длины не меньше 3, и P2,...,Pk ― пути, то декомпозиция называется совершенной.
Нечетная декомпозиция
Определение 9.7 • Декомпозиция называется нечетной, если
каждое ушко имеет нечетную длину.
Теорема 9.8 (Lovász [1972] )
Граф является фактор-критическим тогда и только тогда, когда он имеет нечетную декомпозицию. Более того, начальная вершина в декомпозиции может быть выбрана произвольна.
Доказательство
• Пусть G граф с фиксированной нечетной декомпозицией.
• Докажем что G фактор критический индукцией на число ушек.
• Пусть P последнее ушко в нечетной декомпозиции.
Доказательство
• Выберем произвольную вершину z, как начальную вершину декомпозиции.
• Пусть M почти совершенное паросочетание в G покрывающее V(G)/{z}.
• Предположим, что мы построили нечетную декомпозицию для Ĝ G такую, что z V(Ĝ), и M ∩ E(Ĝ) является почти совершенным паросочетанием в Ĝ.
Доказательство
• Пусть G ≠ Ĝ.• G – связный, то {x,y} E(G) \ E(Ĝ), и xV(Ĝ).• Если yV(Ĝ) ,то {x,y} следующее ушко.• Иначе, пусть N почти совершенное паросочетание
в G покрывающее V(G)/{y}.• Тогда M∆N содержит путь P из y в z.• Пусть w будет ближайшая к y вершина в P ,
которая принадлежит Ĝ.