32
江江江江江江江 西 2 2 2 2 2 a z y x 2 2 y x z 江江 江. dxdydz z 2 江江 江江 a z a y x 2 2 2 : :江江江江江江 江江江 ) 1 ( 2 1 2 2 0 2 2 D a a D a dxdy dz z dxdy dz z dxdydz z a a a dz z a z dz z z 2 2 2 2 2 0 2 ) 2 ( 5 15 ) 1 2 2 ( 4 a

第二十二章 曲面积分

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第二十二章 曲面积分. 一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、高斯公式与斯托克斯公式 四、习题课. 第 1 节 第一型曲面积分. 一、概念的引入. 二、第一型曲面积分的概念. 三、第一型曲面积分的计算. 一、概念的引入. 实例. 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 , 且当点在曲面上连续移动时 , 切平面也连续转动. 二、第一型曲面积分的概念. 1. 定义. 2. 对面积的曲面积分的性质. 三、第一型曲面积分的计算. 按照曲面的不同情况分为以下三种:. 则. 则. 则. 例 1. 解. 解. 依对称性知:. 例 3. 解. - PowerPoint PPT Presentation

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2222 2azyx 与 22 yxz 所围 成.

dxdydzz:

2求作业

由其中

az

ayx 222

::两曲面的交线解

:先二后一法)1(

21

2 2

0

22

D

a

aD

adxdydzzdxdydzzdxdydzz

a

a

adzzazdzzz

2 2222

0

2 )2(

5

15)122(4a

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:)2( 柱面坐标法

rdzzdrddxdydzzra

r

a

222 2

0

2

0

2

a ra

r drz

r0

23

22

32 ])2([

32

0

4

02

322 drrdrrar

aa

555

51

32

]5

2451

[3

2aaa

5

15)122(4a

Page 3: 第二十二章   曲面积分

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:)2( 球面坐标法

drrrdddxdydzza

sin)cos( 22

0

240

2

0

2

drrda

2

0

440

2 sincos2

5

15)122(4a

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第二十二章 曲面积分 一、第一型曲面积分 二、第二型曲面积分 三、高斯公式与斯托克斯公式 四、习题课

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第 1节 第一型曲面积分

一、概念的引入

二、第一型曲面积分的概念

三、第一型曲面积分的计算

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一、概念的引入

若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ),,( zyx , 求它的质量.

实例

所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 ,且当点在曲面上连续移动时 ,切平面也连续转动 .

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二、第一型曲面积分的概念 设曲面是光滑的, 函数 ),,( zyxf 在上有界, 把分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),设点 ),,( iii 为iS上任意取定的点,作乘积 ),,( iiif iS , 并作和

n

iiiif

1

),,( iS, 如果当各小块曲面

的直径的最大值0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.

1. 定义

Page 8: 第二十二章   曲面积分

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dSzyxf ),,( iii

n

ii Sf

),,(lim1

0

记为

dSzyxf ),,( .

dSzyxf ),,(

21

),,(),,( dSzyxfdSzyxf .

2. 对面积的曲面积分的性质

则及可分为分片光滑的曲面若 ,21

叫被积函数,其中 ),,( zyxf .叫积分曲面

Page 9: 第二十二章   曲面积分

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三、第一型曲面积分的计算

;1)],(,,[ 22 dxdyzzyxzyxfxyD

yx

dSzyxf ),,(

),(:.1 yxzz 若曲面

按照曲面的不同情况分为以下三种:

Page 10: 第二十二章   曲面积分

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;1]),,(,[ 22 dxdzyyzzxyxfxzD

zx

dSzyxf ),,(则

.1],),,([ 22 dydzxxzyzyxfyzD

zy

dSzyxf ),,(

),(.3 zyxx :若曲面

),(.2 zxyy :若曲面

Page 11: 第二十二章   曲面积分

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计算

dszyx )( , 其中为平面

5 zy 被柱面 2522 yx 所截得的部分.

例 1

积分曲面 : yz 5 ,

投 影 域 : }25|),{( 22 yxyxD xy

Page 12: 第二十二章   曲面积分

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dszyx )(故

xyD

dxdyyyx )5(2 xyD

dxdyx)5(2

rdrrd 5

0

2

0)cos5(2 .2125

dxdyzzdS yx221

dxdy2)1(01 ,2dxdy

Page 13: 第二十二章   曲面积分

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例 2 计算 dSxyz

|| ,

其中 为抛物面 22 yxz ( 10 z ).

解 依对称性知:

被积函数 ||xyz关于 xoz、yoz 坐标面对称

轴对称,关于抛物面

z

yxz 22

1

4 成立, (1为第一卦限部分曲面)

xy

z

Page 14: 第二十二章   曲面积分

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dxdyzzdS yx221

dxdyyx 22 )2()2(1

原式 dSxyz

|| dSxyz

1

4

dxdyyxyxxyxyD

2222 )2()2(1)(4

其中 1|),{( 22 yxyxDxy , }0,0 yx

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利用极坐标 trxcos, trysin,

rdrrrttrdt 1

0

2222

041sincos4

drrrtdt 21

0

5

0412sin2 2

令 241 ru

duu

u 25

1)

41

(41

.420

15125

Page 16: 第二十二章   曲面积分

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计算

xdS, 其中是圆柱面 122 yx ,

平面 2xz 及0z 所围成的空间立体的表面.

例 3

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321

其中1:0z , 2: 2xz ,

3: 122 yx . 投影域1D: 122 yx

显然 011

D

xdxdyxdS ,

,01112

D

dxdyxxdS

Page 18: 第二十二章   曲面积分

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讨论3时, 将投影域选在xoz上.

(注意: 21 xy 分为左、右两片)

3

xdS

31

xdS

32

xdS

(左右两片投影相同)

xzD

zx dxdzyyx 2212 xoz

Page 19: 第二十二章   曲面积分

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xzD

dxdzx

xx

2

2

112

1

1

2

0212

x

dzdxx

x

,

xdS 00 .

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计算 dSzyx )( 222

, 其中 为内接于球面

2222 azyx 的八面体 azyx |||||| 表面 .

例 4

被积函数 ),,( zyxf 222 zyx , 解关于坐标面、原点均对称 ,

积分曲面也具有对称性 ,

故原积分

1

8 ,

(其中1表示第一卦限部分曲面)

Page 21: 第二十二章   曲面积分

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1: azyx , 即 yxaz

dxdyzzdS yx

221 dxdy3

dSzyx )( 222

1

)(8 222 dSzyx

dxdyyxayxxyD 3])([8 222

.32 4a

Page 22: 第二十二章   曲面积分

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例 5: S

azyxSzds 2222, 是球面其中计算

。ahhz 所截的顶部被平面 )0(

x

y

z

oa

h

的方程为解 S: 222 yxaz

2222 hayxD 为定义域

DS

dxdyyxa

azds

222

drra

ard

ha

2

0 0 22

22

ha

a ln2

Page 23: 第二十二章   曲面积分

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S

SdSzxyzxy: 为圆锥面其中计算曲面积分例 ,)(6

。axyxyxz 所割下的部分被曲面 22222

,, 2222 yx

yz

yx

xz: yx

21 22 yx zz

.)(: 222 ayaxDxyS xy 面上的投影域为在

S

dSzxyzxy )( xyD

dxdyyxyxxy ])([2 22

2

2

cos2

0

3)cossincos(sin2

a

drrd

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da 42

2

4 cos)cossincos(sin24

da 52

2

4 cos24

da 520

4 cos28

44 21564

32

54

28 aa

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四、小结

2 .对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算 . (按照曲面的不同情况投影到三坐标面上)

1 .对面积的曲面积分的概念 ;

dSzyxf ),,( iii

n

ii Sf

),,(lim1

0

注意:一投、二代、三换.

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思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中 , 有因子 , 试说明这个因子的几何意义 .

221 yx zz

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思考题解答

是曲面元的面积 ,dS 221

1),cos(

yx zzzn

221 yx zz 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数 .

z

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练 习

dSzyx )(.1计算 被柱面为平面其中 5 zy

.2522 所截得的部分 yx

.2 ,)( 22

dSyx计算 122 zyx为立体其中

.的边界

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一 、 填 空 题 :1、 已 知 曲 面 的 面 a积为 , 则

ds10 _ _ _ _ _ _ _ ;

2、

dszyxf ),,( = yzD

zyzyxf ),),,(( _ _ _ _ _ _ _ _ dydz ;

3、 设 为 球 面 2222 azyx 在 xoy 平 面 的 上 方 部分 , 则

dszyx )( 222 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;

4、

zds3 _ _ _ _ _ , 其 中 为 抛 物 面 )(2 22 yxz

在 xoy 面 上 方 的 部 分 ;5、

dsyx )( 22 _ _ _ _ _ _ , 其 中 为 锥 面 22 yxz

及 平 面 1z 所 围 成 的 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 .

练 习 题

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二 、 计 算 下 列 对 面 积 的 曲 面 积 分 :1 、

dszxxxy )22( 2 , 其 中 为 平 面

622 zyx 在 第 一 卦 限 中 的 部 分 ;2 、

dszxyzxy )( , 其 中 为 锥 面 22 yxz 被

柱 面 axyx 222 所 截 得 的 有 限 部 分 .

三 、 求 抛 物 面 壳 )10)((2

1 22 zyxz 的 质 量 , 此 壳

的 面 密 度 的 大 小 为 z .

四 、 求 抛 物 面 壳 )10()(21 22 zyxz 的 质 量 , 此

壳 的 面 密 度 的 大 小 为 .z

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练习题答案

一 、 1、 a10 ; 2、 22 )()(1zx

yx

3、 42 a ; 4、 10

111;

5、 2

21 .

二 、 1、4

27 ; 2、 421564

a .

三 、6

.

四 、 )136(152

.