第三节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

•一、隐函数的导数•二、由参数方程所确定的函数的导数•三、初等函数的导数•四、小结

一、隐函数的导数

1.定义 : .)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy

.)( 形式称为显函数xfy

0),( yxF )(xfy 隐函数的显化

问题 :隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?

隐函数求导法则 :

用复合函数求导法则直接对方程两边求导 .

例 1

.,

0

0

x

yx

dx

dy

dx

dyy

eexy

的导数

所确定的隐函数求由方程

解 ,求导方程两边对x

0x ydy dyy x e e

dx dx

解得 ,x

y

dy e y

dx x e

,0,0 yx由原方程知

0 00

x

x xyy

dy e y

dx x e

1.

例 2 例 1 求方程 y=cos(x+y) 所确定的隐函数y=y(x) 的导数．

解： 将方程两边关于 x求导，' sin( )(1 '),y x y y

sin( )' (1 sin( ) 0).

1 sin( )

x yy x y

x y

例 3 ，确定了 y是 x的函数，求 。

解： ， ，

时 ，

eexy y 0y

0yy xy e y y

yy

x e

0x 1y 10y

e

.

,)23

,23

(

,333

线通过原点

在该点的法并证明曲线的切线方程点

上求过的方程为设曲线

C

CxyyxC 例 4

解 ,求导方程两边对x 2 23 3 3 3x y y y xy

3 3( , )

2 2

2

3 3 2( , )2 2

y xy

y x

1.

所求切线方程为3 3

( )2 2

y x 3 0.x y 即

23

23

xy法线方程为 ,xy 即 显然通过原点 .

2、对数求导法

观察函数3

sin2

( 1) 1, .

( 4)x

x

x xy y x

x e

方法 :

先在方程两边取对数 , 然后利用隐函数的求导

方法求出导数 .--------对数求导法适用范围 :

.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu

例 3

解

3

2

( 1) 1 1 1 2[ 1]

( 4) 1 3( 1) 4x

x xy

x e x x x

等式两边取对数得1

ln ln( 1) ln( 1) 2 ln( 4)3

y x x x x

求导得上式两边对 x

1 1 21

1 3( 1) 4

y

y x x x

.,)4(

1)1(2

3

yexxx

yx

求设

例 4

解

.),0(sin yxxy x 求设

等式两边取对数得 ln sin lny x x

求导得上式两边对x1 1

cos ln siny x x xy x

1(cos ln sin )y y x x x

x

sin sin(cos ln )x x

x x xx

一般地( )( ) ( ) ( ( ) 0)v xf x u x u x

1ln ( ) ( )

( )

d df x f x

dx f x dx 又

( ) ( ) ln ( )d

f x f x f xdx

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ]

( )v x v x u x

f x u x v x u xu x

ln ( ) ( ) ln ( )f x v x u x

二、由参数方程所确定的函数的导数

.

,)(

)(

定的函数称此为由参数方程所确

间的函数关系与确定若参数方程 xyty

tx

例如2

2 ,

,

x t

y t

2

xt

2 2( )2

xy t

2

4

x

1

2y x

消去参数

问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?

t

),()( 1 xttx 具有单调连续的反函数设函数1[ ( )]y x

,0)(,)(),( ttytx 且都可导再设函数

由复合函数及反函数的求导法则得dy dy dt

dx dt dx 1dy

dxdtdt

( )

( )

t

t

dydy dt

dxdxdt

即

( ),

( )

x t

y t

在方程 中

例 5求由下列参数方程所确定的函数的导数 ：

（ 1） （ 2）

解（ 1） ，所以

（ 2）

dx

dy

1 sin ,cos ;

x ty t t 2

2

ln(1 ) 1,

2arctan (1 )

x t

y t t

cos , cos sindx dy

t t t tdt dt

cos sin1 sin

cos

dydy t t tdt t t

dxdx tdt

3 2

2 2 2

2 2 2( 1), 2( 1)

1 1 1

dx t dy t tt

dt t dt t t

例 6 求椭圆的参数方程

在 处切线方程。

解 当 时，椭圆上的相应点 的坐标为

椭圆在点 处的切线斜率

3 2

22

2

2( )1

( 1)2

1

t t tdytdy dt t t

dx tdxdt t

cos

sin

x a t

y b t

4

t

4

t

0M

0 0

2 2cos , sin

4 2 4 2

a bx a y b

0M

于是得椭圆在点处得切线方程为

，化简得

'

'4

4

( sin ) cos|

( cos ) sintt

dy b t b t b

dx a t a t a

2 2( )

2 2

b b ay x

a

2 0bx ay ab

例 7

解dy

dy dtdxdxdt

sin

1 cos

t

t

sin

cos

a t

a a t

2

sin2

1 cos2

t

dy

dx

1.

.方程

处的切线在求摆线2)cos1(

)sin(

ttay

ttax

.),12

(,2

ayaxt 时当

所求切线方程为( 1)

2y a x a

(2 )2

y x a

即

.)2(

;)1(

,21

sin

,cos

,

,,

0

0

2

0

0

0

的速度大小炮弹在时刻

的运动方向炮弹在时刻求

其运动方程为发射炮弹

发射角以初速度不计空气的阻力

t

t

gttvy

tvx

v

例 8

解

x

y

o

vxv

yv

0v

.

,

)1(

0

0

可由切线的斜率来反映

时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即在t

t

20

0

1( sin )

2( cos )

v t gtdy

dx v t

0

0

sin

cos

v gt

v

0

0 0

0

sin.

cost t

v gtdy

dx v

轴方向的分速度为时刻沿炮弹在 yxt ,)2( 0

0 00( cos )x t t t t

dxv v t

dt

0 cosv

0 0

20

1( sin )

2y t t t t

dyv v t gt

dt

0 0sinv gt

时刻炮弹的速度为在 0t2 2x yv v v 2 2 2

0 0 0 02 sinv v gt g t

已能求导的函数 :可分解成基本初等函数 ,或

常数与基本初等函数的和、差、积、商 .

任何初等函数的导数都可以按常数和基本初

等函数的求导公式和上述求导法则求出 .

关键 : 正确分解初等函数的复合结构 .

四、小结隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ;

对数求导法 : 对方程两边取对数 ,按隐函数的求导法则求导 ;

参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ;相关变化率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 ;

解法 : 通过建立两者之间的关系 , 用链式求导法求解 .

'

'

'

'

2

1.

2___________ .

(2) ln , __________,

(3) , __________

(4) ( ) sin( )

__________

(5)

x

yx

y x y

y x y

y y x y x y

y

x2

练习题2.3

填空题：2

(1)设y= 则1-2x

设 则

设 则 。设 是由方程 所确定的隐函数，

则

。

曲线

方程为3

y

( 1), (2,2)x 则在点 处的切线斜率k=________.

2 2

22 2 2 2

2

;

(3) arcsin(1 ) 2 ;(4) arcsin 4 ;2

1;(6) arctan ;

1

(7) ln( );2 2

(8) ln sin .

.

1

xy x x x y x x

xy

x

x ay x a x x a

y x

arctan x

2.求下列函数的导数：

(1)y=arcsin(1-2x)； (2)y=a

1+sinx(5)y=ln

1-sinx

22

2 2

sin

3.

( 1)( 1);(2) (2 ) ;

( 1)

(3) (cos ) ;(4) sin 1

4 ( ) :

(1) ;(2) arctan ;

x x

x x

x y

x xx y x x

x

y x y x x e

dyy y x

dx

xy e x y y

3

用对数求导法求下列函数的导数：

(1)y=

。求下列方程所确定的各隐含数 的导数

2 2

2 2 2

3 3 30

2

2

arctan 6;(4)arctan ln ;

(5) ( ;

2 25. ( 0) ( , )

4 4

2 2

.

y

x

x

ye y x y

x

x y a y

x y a a M a a

xy y x

dy

dx

x

y

2

(3)e

常数a>0）;(6)x

求星形线 在点 处的

切线方程。

6.设y=y(x)是由方程x 所确定的函数，

求

2

7.

1

1(2)1

21

8. 2

dy

dx

x at b xttat

yt

t2

2

2

求由下列参数方程所确定的函数的导数 ：

(1)y=

3atx=

1+t求曲线 上对应于 的点处的切线3at

y=1+t

方程和法线方程。