ФИЗИКА НА ВЪЛНОВИТЕ ФИЗИКА НА ВЪЛНОВИТЕ ПРОЦЕСИПРОЦЕСИ

За студенти от специалност За студенти от специалност Физика и информатикаФизика и информатика

Физика на вълновите процесиФизика на вълновите процеси

Специалност Физика и информатикаСпециалност Физика и информатика

Задължителен курс, сместър Задължителен курс, сместър VV

Хорариум 60+30+0 (4+2+0), кредити 8Хорариум 60+30+0 (4+2+0), кредити 8

Форма на оценка: изпитФорма на оценка: изпит

АнотацияАнотацияКурсът е предназначен за студенти от специалността Физика и информатика, които се подготвят Курсът е предназначен за студенти от специалността Физика и информатика, които се подготвят за учителска дейност. Неговото съдържание е съобразено с този профил, като акцентите са за учителска дейност. Неговото съдържание е съобразено с този профил, като акцентите са поставени върху придобиване на максимално широка представа за физичната база на поставени върху придобиване на максимално широка представа за физичната база на класическите вълнови явления и тяхното присъствие и приложимост във физичните класическите вълнови явления и тяхното присъствие и приложимост във физичните изследвания на материалите, нашето зрително възприятие, оптичните прибори и вълновата изследвания на материалите, нашето зрително възприятие, оптичните прибори и вълновата микроелектроника. В съответствие с тези особености математичният апарат на изложението е микроелектроника. В съответствие с тези особености математичният апарат на изложението е ограничен до минималните знания, необходими за разбирането на процесите и явленията, а ограничен до минималните знания, необходими за разбирането на процесите и явленията, а сериозно внимание е отделено на обяснението на диаграми и примери от поведението на сериозно внимание е отделено на обяснението на диаграми и примери от поведението на прости системи в експеримента и заобикалящия ни свят. Наред с общите вълнови свойства е прости системи в експеримента и заобикалящия ни свят. Наред с общите вълнови свойства е отделено значително място за изясняване на свойствата на двата основни типа разглеждани отделено значително място за изясняване на свойствата на двата основни типа разглеждани вълни – акустичните и оптичните, на принципите на възбуждането и детекцията им, на вълни – акустичните и оптичните, на принципите на възбуждането и детекцията им, на приложението им в електронни прибори, както и на тяхното взаимодействие с веществото. В приложението им в електронни прибори, както и на тяхното взаимодействие с веществото. В този смисъл настоящият курс може да се разглежда и като синтез на два основни курса от този смисъл настоящият курс може да се разглежда и като синтез на два основни курса от обучението по обща физика – акустика и оптика, обединени тук по примера на подобни курсове обучението по обща физика – акустика и оптика, обединени тук по примера на подобни курсове в други университети. Посочените литературни източници са класически за физическия в други университети. Посочените литературни източници са класически за физическия факултет и са на разположение на студентите в библиотеката на факултета, а един от тях – и факултет и са на разположение на студентите в библиотеката на факултета, а един от тях – и по интернет. Увлекателната книга на по интернет. Увлекателната книга на JJ. . PiercePierce също може да бъде ползвана при желание. също може да бъде ползвана при желание.

Учебна програмаУчебна програмаПредставата за трептенията и вълните – исторически преглед. Вълнови полета. Линейни и Представата за трептенията и вълните – исторически преглед. Вълнови полета. Линейни и нелинейни вълни. Съвременни направления във вълновата физика и микроелектроника.нелинейни вълни. Съвременни направления във вълновата физика и микроелектроника.Просто хармонично трептение. Свързани трептения и нормални модове, илюстрирани с примера на Просто хармонично трептение. Свързани трептения и нормални модове, илюстрирани с примера на две свързани махала. Нормални честоти. Принудени трептения и резонанс.две свързани махала. Нормални честоти. Принудени трептения и резонанс.Вълната като дълговълново приближение на свързани трептения в дискретна среда. Общи Вълната като дълговълново приближение на свързани трептения в дискретна среда. Общи дефиниции за бягаща и стояща вълна, илюстрирани с вълновите форми на опъната струна.дефиниции за бягаща и стояща вълна, илюстрирани с вълновите форми на опъната струна.Плоски и сферични вълни в тримерно пространство. Фазов фронт и фазова скорост. Линейна и Плоски и сферични вълни в тримерно пространство. Фазов фронт и фазова скорост. Линейна и елиптична поляризация.елиптична поляризация.Вълнова енергия и скорост на разпространение на енергията. Импулси и групова скорост. Спектри Вълнова енергия и скорост на разпространение на енергията. Импулси и групова скорост. Спектри на Фурие – елементарни представи. Ударни вълни.на Фурие – елементарни представи. Ударни вълни.Акустични вълни в газове. Скорост на звука. Обемни и повърхнинни вълни в течности.Акустични вълни в газове. Скорост на звука. Обемни и повърхнинни вълни в течности.Еластични свойства на твърдите среди. Механично напрежение и деформация. Еластични модули.Еластични свойства на твърдите среди. Механично напрежение и деформация. Еластични модули.Акустични вълни в безкрайна твърдотелна среда. Нормални вълни, поляризация, фазова и групова Акустични вълни в безкрайна твърдотелна среда. Нормални вълни, поляризация, фазова и групова скорост. Акустични оси.скорост. Акустични оси.Акустични модове в изотропни пластинчати вълноводи. Дисперсия. Акустични модове в изотропни пластинчати вълноводи. Дисперсия. SHSH и лембови вълни. Вълнови и лембови вълни. Вълнови форми и критични честоти.форми и критични честоти.Пречупване и отражение на акустични вълни от равнинен интерфейс. Акустичен импеданс. Пречупване и отражение на акустични вълни от равнинен интерфейс. Акустичен импеданс. Съгласуване.Съгласуване.Принцип на акустичния резонатор. Резонансни честоти и качествен фактор. Природа на акустичните Принцип на акустичния резонатор. Резонансни честоти и качествен фактор. Природа на акустичните загуби.загуби.Пезоелектричество. Акустични вълни в пиезоелектрични среди. Електромеханични фактори – Пезоелектричество. Акустични вълни в пиезоелектрични среди. Електромеханични фактори – енергетичен смисъл. енергетичен смисъл. EEластични модули.ластични модули.Повърхнинни акустични вълни в полубезкрайни среди и такива със слоиста структура. Модова Повърхнинни акустични вълни в полубезкрайни среди и такива със слоиста структура. Модова структура и дисперсия. Електромеханична връзка.структура и дисперсия. Електромеханична връзка.Основни методи за акустична генерация и детекция. Преобразуватели на обемни и повърхнинни Основни методи за акустична генерация и детекция. Преобразуватели на обемни и повърхнинни акустични вълни. Честотна лента и диаграма на излъчване.акустични вълни. Честотна лента и диаграма на излъчване.Теории за същността на светлината. Електромагнитна природа на светлината. Скорост на Теории за същността на светлината. Електромагнитна природа на светлината. Скорост на светлината.светлината.Приближение на геометричната оптика. Принцип на Ферма. Формули на Френел за отражение и Приближение на геометричната оптика. Принцип на Ферма. Формули на Френел за отражение и пречупване на светлината от равнинен интерфейс. Ъгъл на Брюстер.пречупване на светлината от равнинен интерфейс. Ъгъл на Брюстер.Пълно вътрешно отражение. Нарушено пълно вътрешно напрежение и приложението му за Пълно вътрешно отражение. Нарушено пълно вътрешно напрежение и приложението му за възбуждане на оптични модове. Планарни и влакнести световоди.възбуждане на оптични модове. Планарни и влакнести световоди.

Центрирани оптични системи. Пречупване от сферична повърхнина, от тънка леща и от дебела Центрирани оптични системи. Пречупване от сферична повърхнина, от тънка леща и от дебела леща. Недостатъци.леща. Недостатъци.Оптични апарати. Лупа, микроскоп, телескоп, проекционен апарат. Окото като оптичен апарат.Оптични апарати. Лупа, микроскоп, телескоп, проекционен апарат. Окото като оптичен апарат.Приближение на вълновата оптика. Интерференция на два снопа. Получаване на кохерентни Приближение на вълновата оптика. Интерференция на два снопа. Получаване на кохерентни снопове.снопове.Времева и пространствена кохерентност. Интерферометри на Майкелсон и Фабри-Перо. Оптични Времева и пространствена кохерентност. Интерферометри на Майкелсон и Фабри-Перо. Оптични резонатори.резонатори.Прицип на Хюйгенс. Френелова зона. Фраунхоферова дифракция на светлината от един процеп.Прицип на Хюйгенс. Френелова зона. Фраунхоферова дифракция на светлината от един процеп.Дифракция на светлината от два процепа. Дифракционна решетка. Характеристики на спектралните Дифракция на светлината от два процепа. Дифракционна решетка. Характеристики на спектралните апарати.апарати.Дифракция на рентгенови лъчи в кристалите. Принципи на холографията.Дифракция на рентгенови лъчи в кристалите. Принципи на холографията.Поляризация на светлината. Видове. Поляризация при отражение. Двойно лъчепречупване. Оптична Поляризация на светлината. Видове. Поляризация при отражение. Двойно лъчепречупване. Оптична активност. Ефекти на Фарадей и Кер. Поляризатори.активност. Ефекти на Фарадей и Кер. Поляризатори.Източници и детектори на светлина. Спектрална чувствителност на окото. Фотометрия и Източници и детектори на светлина. Спектрална чувствителност на окото. Фотометрия и колориметрия.колориметрия.Класическо взаимодействие на светлината с веществото. Дисперсия и поглъщане. Разсейване на Класическо взаимодействие на светлината с веществото. Дисперсия и поглъщане. Разсейване на светлината – релеево, брилуеново и раманово.светлината – релеево, брилуеново и раманово.Оптика на металите. Разпространение на електромагнитни вълни в проводящи среди.Оптика на металите. Разпространение на електромагнитни вълни в проводящи среди.Топлинно излъчване на телата. Закони на Стефан-БолцманТоплинно излъчване на телата. Закони на Стефан-Болцман, , Вили-Вин и Планк. Луминесценция.Вили-Вин и Планк. Луминесценция.Акустооптични взаимодействия. Раман-натова и брегова дифракция на светлината от акустични Акустооптични взаимодействия. Раман-натова и брегова дифракция на светлината от акустични вълни. Планарна брегова клетка.вълни. Планарна брегова клетка.В програмата са предвидени средно по 2 часа на учебен въпрос. Допълнително са предвидени 2 В програмата са предвидени средно по 2 часа на учебен въпрос. Допълнително са предвидени 2 часа седмични консултации по желание. Крайната оценка се формира на базата на следните часа седмични консултации по желание. Крайната оценка се формира на базата на следните критерии: участие в дискусии по време на лекциите, по време на консултациите, усреднена оценка критерии: участие в дискусии по време на лекциите, по време на консултациите, усреднена оценка от контролни занятия върху семинарните задачи и оценка от изпита (писмено изложение и дискусия).от контролни занятия върху семинарните задачи и оценка от изпита (писмено изложение и дискусия).Литература:Литература:М. Борисов и В. Страшилов, “Физика на линейните акустични и електромагнитни вълни”, София, М. Борисов и В. Страшилов, “Физика на линейните акустични и електромагнитни вълни”, София, Издателство на БАН, 1989 г.Издателство на БАН, 1989 г.Ив. Лалов, “Електричество, магнетизъм и оптика – първото велико обединение”, София, Ив. Лалов, “Електричество, магнетизъм и оптика – първото велико обединение”, София, Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, 2005 г.Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, 2005 г.J. Pierce, “Almost all about waves”, Dover, N. Y., 2006 J. Pierce, “Almost all about waves”, Dover, N. Y., 2006 (на разположение при преподавателя(на разположение при преподавателя).).

1. 1. Представата за трептенията и вълните – исторически преглед. Вълнови Представата за трептенията и вълните – исторически преглед. Вълнови полета. Линейни и нелинейни вълни. Съвременни направления във полета. Линейни и нелинейни вълни. Съвременни направления във вълновата физика и микроелектроника.вълновата физика и микроелектроника.

Принципна разлика:Принципна разлика:

Трептение: А=А(Трептение: А=А(t) t) Дадена величина се променя във Дадена величина се променя във времето времето

Вълна: В=В(Вълна: В=В(x,t) x,t) Дадена величина се променя във Дадена величина се променя във времето времето и пространствотои пространството

А, В........... вълнови полета (среди, включително вакуум, А, В........... вълнови полета (среди, включително вакуум,

чрез които се предават сили и енергия)чрез които се предават сили и енергия)

Механични, Механични, електрични, магнитни, гравитационниелектрични, магнитни, гравитационни, ,

температурни..................полетатемпературни..................полета

Биват Биват скаларни и векторнискаларни и векторни

Видът на зависимостите се определя от вида на вълнатаВидът на зависимостите се определя от вида на вълната

15 век, Леонардо да Винчи:15 век, Леонардо да Винчи: тласъкът е по-бърз от вълната. Ние виждаме, тласъкът е по-бърз от вълната. Ние виждаме, как вълната напуска мястото на своето възникване, докато водата не. как вълната напуска мястото на своето възникване, докато водата не. Също като вълната в житно поле – вълната препуска, а житото остава Също като вълната в житно поле – вълната препуска, а житото остава на място.на място.

За хората е било по-важно да познават характеристиките на вълните, За хората е било по-важно да познават характеристиките на вълните, техните свойства и да ги описват с елементарни математични техните свойства и да ги описват с елементарни математични средства, отколкото да разбират в детайли физичната същност на средства, отколкото да разбират в детайли физичната същност на техните полета, механизмите на формирането и разпространението техните полета, механизмите на формирането и разпространението им.им.

Пример: Мнозина специалисти по оптика, които са познавали много Пример: Мнозина специалисти по оптика, които са познавали много добре свойствата на светлината, първоначално са отказали да добре свойствата на светлината, първоначално са отказали да приемат идеята за електромагнитната й вълнова природа.приемат идеята за електромагнитната й вълнова природа.

Три съществени характеристики на вълните: Три съществени характеристики на вълните: енергия, импулс и скоростенергия, импулс и скорост

Към тях можем да добавим иКъм тях можем да добавим и линейността линейността

Линейни вълни: А + ВЛинейни вълни: А + В

Нелинейни вълни А Нелинейни вълни А xx В. Реализират се при високи мощности В. Реализират се при високи мощности

Примери: - камъчета, хвърлени във воден басеин,Примери: - камъчета, хвърлени във воден басеин,

- ударни вълни, солитони- ударни вълни, солитони

Две основни направления във вълновата физика:Две основни направления във вълновата физика:

Изследвания с вълни и приложения на вълните в практикатаИзследвания с вълни и приложения на вълните в практиката

Спектроскопия на твърдото тяло, течности и газове (оптични и акустични Спектроскопия на твърдото тяло, течности и газове (оптични и акустични вълни); изследвания на повърхности (оптични вълни), дефектоскопия вълни); изследвания на повърхности (оптични вълни), дефектоскопия на материали (акустични и температурни вълни), медицински на материали (акустични и температурни вълни), медицински изследвания и операции (акустични и оптични вълни), идентификация изследвания и операции (акустични и оптични вълни), идентификация на обекти (акустични, електромагнитни вълни)...........................на обекти (акустични, електромагнитни вълни)...........................

Вълнова микроелектроникаВълнова микроелектроника

Пренасяне, обработка и съхранение на информацията с вълни –Пренасяне, обработка и съхранение на информацията с вълни –

прибори за контрол на честотата (кварцови резонатори и филтри, прибори за контрол на честотата (кварцови резонатори и филтри, електромагнитни резонатори), закъснителни линии, оптични влакна, електромагнитни резонатори), закъснителни линии, оптични влакна, модулатори и дефлектори на светлина.........модулатори и дефлектори на светлина.........

2. 2. Просто хармонично трептение. Свързани трептения и нормалниПросто хармонично трептение. Свързани трептения и нормални модове, модове, илюстрирани с примера на две свързани махала. Нормални честоти. илюстрирани с примера на две свързани махала. Нормални честоти. Принудени трептения и резонансПринудени трептения и резонанс

Просто хармонично трептениеПросто хармонично трептение

θθ – – фазов ъгъл, фазов ъгъл, αα- начална фаза, - начална фаза, ωω – кръгова честота – кръгова честота

Пример: хармоничен осцилатор Пример: хармоничен осцилатор : x - : x - отместване на точковата маса отместване на точковата маса m m отот

равновесното й положение при равновесното й положение при x x = 0; к – константна на еластичност на = 0; к – константна на еластичност на пружинатапружината

Други примери: махало, предмет на повърността на водата при вълнение, Други примери: махало, предмет на повърността на водата при вълнение, електричното напрежение в мрежата, опъната струна......електричното напрежение в мрежата, опъната струна......

m

kkx

dt

xdm 02

2

, xm k

sin)sin( 00 AtAA

ωo – собствена (резонансна) честота

Векторен модел за описание на прости хармонични трептенияВекторен модел за описание на прости хармонични трептения

Във времето векторът с дължина А се върти с ъглова скорост Във времето векторът с дължина А се върти с ъглова скорост ωω

Свързани хармонични трептенияСвързани хармонични трептения

Две свързани прости хармонични трептенияДве свързани прости хармонични трептения

θ

t

Acosθ

A

ААВ

В

Собствени честоти на системата свързани махала – Собствени честоти на системата свързани махала – нормални честотинормални честоти

Съответните форми на трептение – Съответните форми на трептение – нормални модовенормални модове

При две махала – два нормални мода, две нормални честотиПри две махала – два нормални мода, две нормални честоти

мод 1 мод 2мод 1 мод 2

01 m

k

l

gc

22 22

02

l

m

k

Как тези нормални модове участват в трептението на системата при различни условия?

Собствени трептения – системата се възбужда и се оставя сама на себе си. Трептението е линейна комбинация от нормалните модове

xa

Начално положение при t=0: Xa = A0; xb = 0

Положение на системата в произволен момент от времето

ttAx

ttAx

b

a

210

210

coscos2

1

coscos2

1

xb

ttAx

ttAx

b

a

2sin

2sin

2cos

2cos

12120

12120

Това са прости хармонични

трептения на честота ,

модулирани по амплитуда на

ниската честота

212

212

Двете трептения са отместени по фаза на π/2

Принудени трептения – Принудени трептения – осъществяват се под действие на периодична външна сила осъществяват се под действие на периодична външна сила с произволна честота с произволна честота ωω

Без загуби Със загубиБез загуби Със загуби

При свързани резонатори резултантното трептение отново е линейна При свързани резонатори резултантното трептение отново е линейна комбинация от нормалните модове:комбинация от нормалните модове:

22

222

122

222

1

221 /

)(/

)(

sin,cos

mk

m

FB

mk

m

FA

tBxtAx

oo

ba

F0 cos ωt

Резонанси при честоти ω1 и ω2 - амплитудата отива в безкрайност без загуби. Със загуби – крайна амплитуда. Амплитудно-честотни характеристики

F0 cos ωt

22220

022

0

0 //cos

mFA

mFAtAx

Резонанс при честота ω0. Загубите γ ограничават амплитудата до крайна стойност

3. 3. Вълната като дълговълново приближение на свързани трептения в Вълната като дълговълново приближение на свързани трептения в дискретна среда. Общи дефиниции за бягаща и стояща вълна, илюстрирани с дискретна среда. Общи дефиниции за бягаща и стояща вълна, илюстрирани с вълновите форми на опъната струна.вълновите форми на опъната струна.

Множество свързани осцилатори:Множество свързани осцилатори:

Твърдите тела, течностите и газовете се състоят от частици, отстоящи на Твърдите тела, течностите и газовете се състоят от частици, отстоящи на определени разстояния и свързани с определени сили на взаимодействие, т.е. определени разстояния и свързани с определени сили на взаимодействие, т.е. могат да бъдат разглеждани като съвкупности от могат да бъдат разглеждани като съвкупности от свързани осцилаторисвързани осцилатори, а , а трептенията в тях, като трептенията в тях, като свързани трептениясвързани трептения на големи системи от такива на големи системи от такива осцилатори. Силата на връзката е различна при различните видове тела.осцилатори. Силата на връзката е различна при различните видове тела.

Дължина на вълната Дължина на вълната λλ [m] [m] : разстоянието между две точки с една и съща фаза на : разстоянието между две точки с една и съща фаза на произволно място в произволен момент от време.произволно място в произволен момент от време.

λλ ≤ отстоянието на елементарните осцилатори – дискретна среда – необходимост ≤ отстоянието на елементарните осцилатори – дискретна среда – необходимост от микроскопично разглежданеот микроскопично разглеждане

...................

λ

λλ >>>> отстоянието на елементарните осцилатори отстоянието на елементарните осцилатори – – непрекъсната среда –непрекъсната среда –

макроскопическо (феноменологично) разглеждане. Не се макроскопическо (феноменологично) разглеждане. Не се интересуваме от строежа на средата. Дефинираме макроскопични интересуваме от строежа на средата. Дефинираме макроскопични величини, характеризиращи средата, и връзки между тях, величини, характеризиращи средата, и връзки между тях, произтичащи от опита.произтичащи от опита.

Бягаща вълна:Бягаща вълна:

АА == АА00 f(f(x - vtx - vt), f(y) – ), f(y) – произволна функцияпроизволна функция

Дадена фаза ((x ± vtx ± vt) се движи в посока или обратно на оста х с постоянна ) се движи в посока или обратно на оста х с постоянна скорост скорост vv (фазова скорост на вълната) (фазова скорост на вълната)Важен пример за всички по-нататъшни разглеждания: вълна по опъната струнаВажен пример за всички по-нататъшни разглеждания: вълна по опъната струна. . Скорост Скорост

При хармонична функция При хармонична функция f = cos(sin) y f = cos(sin) y вълната е бягаща монохроматична.вълната е бягаща монохроматична.

T

v Т – сила на опъване на струната

μ - маса на единица дължина

y

x

Вертикално отместване на струната

Вълновото число k = 2π/λ : въвежда се за оразмеряване на тригонометричната функция (аргумент ъгъл)

Връзки, произтичащи от периодиката на тригонометричните функции:Връзки, произтичащи от периодиката на тригонометричните функции:

Отражение от граница (гранични условия)Отражение от граница (гранични условия) Ако струната е здраво заловена в точка на единия край, при Ако струната е здраво заловена в точка на единия край, при

отражението си вълната сменя фазата си на отражението си вълната сменя фазата си на ππ ( (обръща отместването обръща отместването си по знак), за да запази нулево резултантно отместване. Сумирането си по знак), за да запази нулево резултантно отместване. Сумирането на двете вълни, разпространяващи се в двете противоположни посоки, на двете вълни, разпространяващи се в двете противоположни посоки, създава нов тип вълна, наречена създава нов тип вълна, наречена стоящастояща, в която времето и , в която времето и пространствената координата са пространствената координата са разделениразделени. .

txftxy cos)(),(

kv

fT

22

Т – период на трептенията, f - обикновена честота [Hz]

къдетокъдето

Граничните условия се налагат върху функцията Граничните условия се налагат върху функцията f(x)f(x) и и водят до ограничения водят до ограничения

върху вълновите форми и честотата, създавайки върху вълновите форми и честотата, създавайки нормалните модове на струната.нормалните модове на струната.

Пример: здраво залавяне в точки Пример: здраво залавяне в точки x=x=0, 0, LL

ωωL/v = nL/v = nππ

n-n-ти нормален мод:ти нормален мод:

Форма:Форма:

v

xAkxAxf

sin)sin()(

2/1

,cossin,

T

L

n

tL

xnAtxy

n

nnn

n - брой полувълни по дължината на струната

n=2: възли

LL/20

Нормалните модове се комбинират линейно в свободните и принудени трептения на струната.

4. 4. Плоски и сферични вълни в тримерно пространство. Фазов фронт и фазова скорост. Линейна и елиптична Плоски и сферични вълни в тримерно пространство. Фазов фронт и фазова скорост. Линейна и елиптична

поляризацияполяризация..

Фазов фронтФазов фронт – геометрично място на точките с еднаква фаза в даден момент от времето – геометрично място на точките с еднаква фаза в даден момент от времето

Фазова скоростФазова скорост - скорост на пренасяне на фазата - скорост на пренасяне на фазата [m/s][m/s]. . Вълнов векторВълнов вектор к – к – с големина к и посока на фазовата скорост; с големина к и посока на фазовата скорост; перпендикулярен на фазовия фронтперпендикулярен на фазовия фронт

Плоска вълна Сферична вълна Плоска вълна Сферична вълна

Поляризация – пространствено съотношение между вектора на полето на вълната (вектор на поляризацията) и вълновия вектор. Вълната е поляризирана, когато векторът на поляризация се разполага в пространството по определен начин.

Линейна поляризация – при разпространението на вълната векторът на поляризацията запазва направлението си постоянно спрямо вълновия вектор.

Бива надлъжна и напречна. За надлъжната вълна обикновено казват, че няма поляризация. Напречната поляризация може да бъде вертикална, хоризонтална и произволна

Елиптична(кръгова) поляризация

x

zA

Ax = Acosωt

Az = Asinωt

Разпространение по y.

Двете компоненти на вектора

на поляризация са отместени по фаза на π/2

Аx > Az

Ax < Az

Ax = Az

Елиптичната поляризация се разлага на две линейни поляризации и Елиптичната поляризация се разлага на две линейни поляризации и обратнообратно

Тримерен запис на плоска монохроматична вълна:Тримерен запис на плоска монохроматична вълна:

к

r A = A0cos(ωt – k.r) =

A0cos(ωt – кxx – kyy - kzz)

k.r = k rk = const – уравнение на равнина к (фазов фронт)

rk

В анизотропните тела вълните с различни поляризации имат по принцип различна фазова скорост в дадено направление. Поради това не е възможно запазването на кръговата поляризация – фазовата разлика между двете линейно поляризирани компоненти се променя прогресивно при разпространението на вълната. Така преминаваме периодично от кръгова в линейна поляризация и обратно. Пластинките, които осъществяват такива преходи, се наричат поляризатори.

5. 5. Вълнова енергия и скорост на разпространение на енергията. Импулси и групова Вълнова енергия и скорост на разпространение на енергията. Импулси и групова скорост. Спектри на Фурие – елементарни представи. Ударни вълни.скорост. Спектри на Фурие – елементарни представи. Ударни вълни.

Защо вълната пренася енергия? Защо вълната пренася енергия? Пример – опъната струнаПример – опъната струна

t

y

dy

x x+dx

dx

ds Кинетична енергия – сегментът dx с маса μdx се движи по y със скорост :

Плътност на кинетичната енергия (на единица дължина) =

Потенциална енергия – сегментът с дължина dx се разтяга:

2

2

1

t

ydxEk

2

2

1

t

yE dk

pE

dxx

yTE p

2

2

1

Плътност на потенциалната енергия

2

2

1

x

yTE d

p

= !!

Да въведем отместването на струната и амплитудата на неговата скорост:Да въведем отместването на струната и амплитудата на неговата скорост:

Общата плътност на енергията (кинетична + потенциална ) ще се получи във вида:Общата плътност на енергията (кинетична + потенциална ) ще се получи във вида:

Тази енергия се добива от работата, вършена от силата на Тази енергия се добива от работата, вършена от силата на опъване на струната при нейното движение. опъване на струната при нейното движение.

Работата за един цикъл (време, равно на един период, т.е. 1/Работата за един цикъл (време, равно на един период, т.е. 1/f) e:f) e:

а съответната усреднена мощност:а съответната усреднена мощност:

Тази мощност е всъщност общата енергия на единица дължина, умножена по Тази мощност е всъщност общата енергия на единица дължина, умножена по скоростта на вълната, т. е. може да се разбира като скоростта на вълната, т. е. може да се разбира като допълнителната част от допълнителната част от струната, която е въвлечена в смущението за единица времеструната, която е въвлечена в смущението за единица време. Следователно . Следователно енергията не се задържа в източника, а се транспортира по струната със скоростенергията не се задържа в източника, а се транспортира по струната със скорост

v v (в случая равна на фазовата скорост). (в случая равна на фазовата скорост).

202

1uE d

t

fAu

vxtfAtxy

2

),/(2sin),(

0

,2

1 20uWc vufWP c

202

1/1

В тримерни среди разпространението на енергията се описва сВ тримерни среди разпространението на енергията се описва с

вектор на вектор на PoyntingPoynting P P (с посока на разпространение на енергията и големина, (с посока на разпространение на енергията и големина, равна на на енергията, преминала през единица перпендикулярна площадкаравна на на енергията, преминала през единица перпендикулярна площадка за единица време)за единица време)

В случай на анизотропна среда в общия случай векторът на В случай на анизотропна среда в общия случай векторът на PoyntingPoynting се се

отклонява от посоката на фазовата скорост:отклонява от посоката на фазовата скорост:

Анализ на Анализ на Fourier:Fourier:

Предположим, че всички нормални модове на струната могат да съществуват и Предположим, че всички нормални модове на струната могат да съществуват и да направим линейната комбинация:да направим линейната комбинация:

к

P

Фазови фронтове

nnn

n tL

xnAtxy

cossin),(

1

Тя също ще бъде решение и може да съществува.

Нека сега дефинираме нещата обратно: дадена е произволна вълнова форма в Нека сега дефинираме нещата обратно: дадена е произволна вълнова форма в произволен момент от времето. За коефициентите можем произволен момент от времето. За коефициентите можем да мислим като за ред от числа:да мислим като за ред от числа:

(1) , където поради ортогоналността на формите(1) , където поради ортогоналността на формите

имамеимаме

(2) (2) Всяка произволна гладка функция от видаВсяка произволна гладка функция от вида y(x,t), y(x,t), разглеждана за определено разглеждана за определено t t , може да , може да

бъде развита в такъв ред (1) – ред на бъде развита в такъв ред (1) – ред на FourierFourier – с коефициенти, определени с – с коефициенти, определени с обратната трансформация (2).обратната трансформация (2).

Това означава, че всяка произволна вълнова форма на струната има в даден Това означава, че всяка произволна вълнова форма на струната има в даден момент момент определен набор от нормални компонентиопределен набор от нормални компоненти (честоти), които присъстват в (честоти), които присъстват в определени съотношения. Това е определени съотношения. Това е FourierFourier-спектърът на вълната.-спектърът на вълната.

По-нататък говорим общо за спектър на сигнал (акустичен, електромагнитен....)По-нататък говорим общо за спектър на сигнал (акустичен, електромагнитен....)Дисперия: зависимостта на скоростта на вълната от нейната честота: Дисперия: зависимостта на скоростта на вълната от нейната честота: v=v(v=v(ωω))

Няма дисперсия: Няма дисперсия: v = const – v = const – всички честотни компоненти се движат с една и всички честотни компоненти се движат с една и съща скоростсъща скоростИма дисперсия: Има дисперсия: v = v(v = v(ωω) – ) – различните честотни компоненти се разпространяват различните честотни компоненти се разпространяват с различна скорост.с различна скорост.

Причини за дисперсията: свойства на средата; геометрични ограничения Причини за дисперсията: свойства на средата; геометрични ограничения (вълноводи)(вълноводи)

1sin),(

nn L

xnBtxy

nnn tA cos

L

xnsin

dxL

xnxy

LB

L

n

0sin)(

2

Без дисперсия сигналите запазват формата си при разпространението сиБез дисперсия сигналите запазват формата си при разпространението си

в средата.в средата.

При наличие на дисперсия сигналите променят формата си при При наличие на дисперсия сигналите променят формата си при

разпространението си в средатаразпространението си в средата

ИмпулсИмпулс – пространствено ограничена вълна – пространствено ограничена вълна

Защо импулсът винаги носи набор от честоти, т.е. представлява вълнов пакет?Защо импулсът винаги носи набор от честоти, т.е. представлява вълнов пакет?

Групова скорост на вълнов пакет Групова скорост на вълнов пакет

= скорост на разпространение на енергията= скорост на разпространение на енергията

(общо различна от фазовата скорост)(общо различна от фазовата скорост)

Пример: суперпозиция на две вълни с близки честотиПример: суперпозиция на две вълни с близки честоти

tИмпулсенлазер

xУдарна морска вълна

kvg

Ударна вълна (Ударна вълна (solitary wave)solitary wave) – нелинейна вълна, която възниква при – нелинейна вълна, която възниква при силна промяна в свойствата на средатасилна промяна в свойствата на средата

Разлика със солитона, където ефектът от дисперсията се компенсираРазлика със солитона, където ефектът от дисперсията се компенсира

от нелинейни ефекти и формата се запазва при разпространениетоот нелинейни ефекти и формата се запазва при разпространението

6. 6. Акустични вълни в газове. Скорост на звука. Обемни и повърхнинни Акустични вълни в газове. Скорост на звука. Обемни и повърхнинни вълни в течности.вълни в течности.

Газове и течности – флуиди: Газове и течности – флуиди: текаттекат под действие на приложено механично под действие на приложено механично напрежение, колкото и малко да е то (приемат формата на съда, в напрежение, колкото и малко да е то (приемат формата на съда, в който са поставени). Отличават се от твърдите тела и по наличието на който са поставени). Отличават се от твърдите тела и по наличието на липса на съпротивление или проява само на слабо такова липса на съпротивление или проява само на слабо такова (вискозитет)(вискозитет) на напрежения на хлъзгане. Тук обаче попадат и някои пластични на напрежения на хлъзгане. Тук обаче попадат и някои пластични твърди тела и полимери (вискоеластични), които са извън обсега на твърди тела и полимери (вискоеластични), които са извън обсега на тези разглеждания.тези разглеждания.

t1 t2

xдисперсия

Газовете са междинно състояние между течностите и плазмата, при която Газовете са междинно състояние между течностите и плазмата, при която атомите са йонизирани от високата температура. При тях отстоянията между атомите са йонизирани от високата температура. При тях отстоянията между отделните атоми и молекули са големи и отделните атоми и молекули са големи и

вазимодействието при равновесни условия практически отсъства. Поради това вазимодействието при равновесни условия практически отсъства. Поради това те не проявяват свободна външна повърхност, както течностите.те не проявяват свободна външна повърхност, както течностите.

Идеални и реални газове – различават се по термодинамично поведение.Идеални и реални газове – различават се по термодинамично поведение.Разликата нараства с понижаване на температурата и повишаване на налягането.Разликата нараства с понижаване на температурата и повишаване на налягането.

Акустичните вълни в газовете са надлъжни. Напречни вълни не могат да се формират поради липса на хлъзгащи напрежения. Скоростта на тези вълни (скорост на звука) силно зависи от температурата поради влиянието на кинематичните свойства на атомите и молекулите върху силите на взаимодействието им (еластичните свойства на газа).

сви

ваем

ост

Тя зависи и от налягането по същите причини. В крайна сметка:

обемен модул на еластичностγ =cp/cv - адиабатен коефициент

М – моларна маса

m – маса на отделната молекула

М = 0.0289645 kg/mol Сух въздух:

110 .)606.03.331( smTCcair

Налягане на звука (дефинира се според слуховото възприятие)

Pref = 20 μPa (граница на чуваемост (звукът на комар на разстояние 3 m от ухото ни)).

Примери за скорост на звука в атмосферата и налягане на звука от различни източници

За За надлъжните акустични вълни внадлъжните акустични вълни в течноститечности важат същите важат същите разсъждения. Скоростта зависи силно от състава и разсъждения. Скоростта зависи силно от състава и примеситепримесите

За морска вода:За морска вода:

cc((TT, , SS, , zz) = ) = aa1 + 1 + aa22TT +  + aa33TT2 + 2 + aa44TT3 + 3 + aa5(5(SS - 35)  - 35) + + aa66zz +  + aa77zz2 + 2 + aa88TT((SS - 35) +  - 35) + aa99TzTz33,,

къдетокъдето

Т – температура, Т – температура, z z - дълбочина, - дълбочина, S S - соленост- соленост

Ниската скорост на звука във водата е важна за някои приложения (акустооптика)

Напречните напрежения (напрежения на хлъзгане) във флуидите са малки поради слабото взаимодействие между молекулите, непозволяващо развитието на големи съпротивителни сили. Мярка за степента на съпротивлението (триенето между слоевете при ламинарно течение) е вискозитетът.

y τ

t

uv

y

v

,

u

u –отместване на частиците

При стайна температура водата има вискозитет 1.0×10−3 Pa·s , а моторното масло 250×10−3 Pa·s.

Тъй като тук механичните напрежения са пропорционални не на деформацията, а на нейната производна по времето (темп на деформацията), напречните вълни във флуидите са силно диспергирани и затихват експоненциално при разпространението си.

Видове вискозитет: нютонов (постоянен)

ненютонов (променя се с напрежението).

Съответно имаме нютонови и ненютонови флуиди (течности)

При ненютоновите вискозитетът може да нараства с напрежението (скорбяла,пясъчна вода) или да намалява (кръвна плазма)

Въздухът има вискозитет 17.8 μPa.s

Вискозитетът има тенденция да намалява с повишаването на температурата

Повърхнинни акустични вълни в течности

Разпространяват се успоредно на повърхността. Затихват експоненциално в дълбочина. Имат елиптична поляризация. Поради вълноводния ефект са диспергирани.

d - дълбочина на водата

В дълбока вода c=

Вълна, приближаваща морския бряг.

Защо амлитудата нараства?

77. Еластични свойства на твърдите среди. Механично напрежение и . Еластични свойства на твърдите среди. Механично напрежение и деформация. Еластични модули.деформация. Еластични модули.

Твърди тела: малки отстояния между атомите и молекулите, големи сили на Твърди тела: малки отстояния между атомите и молекулите, големи сили на взаимодействие – големи съпротивителни сили на механични въздействия.взаимодействие – големи съпротивителни сили на механични въздействия.Аморфните могат да се разглеждат като замръзнали течностиАморфните могат да се разглеждат като замръзнали течности

Внимание към меката материя – полимери, течни кристали, биоматериали.Внимание към меката материя – полимери, течни кристали, биоматериали.

Елементи от теорията на еластичносттаЕлементи от теорията на еластичността

Механично напрежение: произхожда отМеханично напрежение: произхожда от

силите на повърхността, които се предаватсилите на повърхността, които се предават

във вътрешността чрез силите на взаимо-във вътрешността чрез силите на взаимо-

действие между атомите. Представя седействие между атомите. Представя се

в тензорен вид:в тензорен вид:

TT ik ik ((σσi ki k) - ) - i i -тата компонента на силата, -тата компонента на силата,

действаща на единица площадка с нормала кдействаща на единица площадка с нормала к

н

Защо механичните сили нямат обемен характер? Кои сили действат директно в обема?

От условието за равновесие: тензорът на механичното напрежение е симетричен - T i jT i j = T j I T j I (без ротация на елементите в обема)(без ротация на елементите в обема)

Равновесие на повърхността:Равновесие на повърхността:

FFkk = T = Tklkl n nll (n - единичен векторвектор на нормалата)*

*Правило на Newton за сумиране по двойка повтарящи се индекси:

n

kkk

kk BABA

Механична деформацияМеханична деформация

i

j

j

iij

jiij

x

u

x

uS

dxdxSdrdr

2

1

,2' 22U(r)U(r+dr)dr

dr’

Sij – тензор на деформацията; задава относителното удължаване на елементите при деформацията. Симетричен. Горното равенство е сила при малки деформации:

1

j

i

x

u

Елементите 11, 22 и 33 описват надлъжни деформации по съответните оси в средата. 12, 13 и 23 описват напречни деформации, т.е. деформации на хлъзгане в съответните равнини.

Малък градиент на отместването, не задължително малко отместване

х1х2

х3

S13

S33

S22

S11 S23

Тези деформации се пораждат от съответните компоненти на тензора на напре-Тези деформации се пораждат от съответните компоненти на тензора на напре-

жението: напрежения на свиване и разтягане и напрежения на хлъзгане.жението: напрежения на свиване и разтягане и напрежения на хлъзгане.

Връзка напрежение – деформация. Закон на Връзка напрежение – деформация. Закон на Hook:Hook:

klijklij ScT Този линеен закон е в сила за малки деформации

Плътност на енергията на еластичната деформация (на единица обем):

(сравни с израза за опъната струна)

Cijkl - тензор на еластичните модули. Симетрия: Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij

Откъде идва симетрията на индексите?

Симетрия на кристалите: основни елементи на симетрия – оси и равнини.

32 кристалографски класа (групи на симетрия).

Всеки елемент на симетрия опростява тензора на еластичните модули (въвежда

нули и намалява броя на независимите модули). Най-симетричните тела (изотропните) имат само два независими еластични модула.

klijijklijijd SScTSE

2

1

2

1

Биват: модул на Биват: модул на Young Y Young Y и коефициент на и коефициент на Poisson Poisson σσ (дават връзката надлъжно (дават връзката надлъжно напрежение – надлъжна деформация и надлъжно напрежение – напречна напрежение – надлъжна деформация и надлъжно напрежение – напречна деформация на прът).деформация на прът).

или: модул на или: модул на YoungYoung и модул на хлъзгане и модул на хлъзгане GG (дава връзката напречно (дава връзката напречно напрежение – деформация на хлъзгане)напрежение – деформация на хлъзгане)

В случай на големи деформации законът на В случай на големи деформации законът на HookHook не е в сила – нелинеен режим не е в сила – нелинеен режим

над определена критична стойност на напрежениетонад определена критична стойност на напрежението

Т

S

Пластична деформация (течение) при метали, полимери, стъкла

При кристалите обикновено настъпва крехко счупване

Тс

Еластичните свойства силно зависят от примесите в средата

Вискоеластичност – еластичен + вискозен член в механичното напрежение:

t

ScST

Характерна е за амрфните тела (стъкла), както и за полимерите

Деформацията настъпва моментално (променя се във времето)

8. 8. Акустични вълни в безкрайна твърдотелна среда. Нормални вълни, Акустични вълни в безкрайна твърдотелна среда. Нормални вълни, поляризация, фазова и групова скорост. Акустични оси.поляризация, фазова и групова скорост. Акустични оси.

Уравнение за движение в анизотропна безкрайна среда:Уравнение за движение в анизотропна безкрайна среда:

j

ij

j

iji

x

Tu

x

Tf

i

..

,

r

F

dV

fdV

плътност на обемната сила

u

Търсим решение във вид на плоска монохроматична вълна. При заместването експоненциалният фактор се съкращава отляво и отдясно и получаваме алгебрично уравнение за амплитудите – шапки.

kk

jkx

jt

,

u

(Тензор на Christoffel (симетричен))

Това са три уравнения за собствените стойности и вектори на тензора на Christoffel

В общия случай: три собствени стойности, три взаимноперпендикулярни собствени вектора.

V1 – ul (квазинадлъжна вълна)

V2 – uk1, v3 – uk2 (квазинапречни)

Въвеждаме тензора:

Тези три линейно поляризирани вълни с взаимноперпендикулярни поляризации се Тези три линейно поляризирани вълни с взаимноперпендикулярни поляризации се наричат наричат нормални (собствени)нормални (собствени) вълни за кристала. Техните скорости са различни в вълни за кристала. Техните скорости са различни в различните направления. Скоростта на квазинадлъжната вълна винаги е най-различните направления. Скоростта на квазинадлъжната вълна винаги е най-голяма.голяма.

Вълна с произволна поляризация, въведена в кристала отвън с преобразувател, се Вълна с произволна поляризация, въведена в кристала отвън с преобразувател, се разлага по нормалните вълни в това направление разлага по нормалните вълни в това направление (припомни си края на въпрос 4)(припомни си края на въпрос 4)

Какво става с енергията?Какво става с енергията?

iig k

v

)( Този градиент има посока, изобщо различна от посоката на вълновия вектор, по който се разпространява фазата на вълната

Векторът на Poynting (енергията преминаваща за единица време през единична площадка, перпендикулярна на посоката на разпространение) добива вида:

Влияние на симетрията: изчиства поляризацията (прави я надлъжна и напречна) и скоростта на енергията в определени направления (чисти направления)

- Разпространение по равнина на симетрия: едната от напречните вълни трябва да е поляризирана перпендикулярно на равнината, останалите две – квазинадлъжна и квазинапречна в равнината, така че при отражение да не се променят.

- Разпространение по ос на симетрия: едната вълна е надлъжна, поляризирана по оста, а другите две напречни, така че при завъртане на съответния ъгъл да не се променят.

При ос на симетрия от порядък, по-висок от втори (трети, четвърти и шести) има израждане на напречните вълни. Всяка поляризация в равнината, перпендикулярна на оста, е решение като линейна комбинация от две решения, съответстващи на една и съща собствена стойност. Всички напречни вълни са възможни и се разпространяват с една и съща скорост. Затова тези оси се наричат акустични оси. По тях могат да се разпространяват кръговополяризирани вълни.

9. 9. Акустични модове в изотропни пластинчати вълноводи. Дисперсия. Акустични модове в изотропни пластинчати вълноводи. Дисперсия. SHSH и и лембови вълни. Вълнови форми и критични честоти.лембови вълни. Вълнови форми и критични честоти.

Акустична пластинка: безкрайна в равнината ХАкустична пластинка: безкрайна в равнината Х11ХХ33, дебелина по Х, дебелина по Х22

Това е най-простият и най-често използван акустичен вълновод

уравнения за движение:

гранични условия:

Изотропна пластинка:

λ, μ - kоефициенти на Lame

Безкраен размер по Х3 – няма зависимост от Х3 – махаме всички членове с производни по Х3

Това са условия за свободни главни равнини, с нулеви напрежения по тях

Основен резултат: Оформят се две независими движения:Основен резултат: Оформят се две независими движения:

Едно, Едно, напречно поляризирано на равнината Хнапречно поляризирано на равнината Х11 Х Х22 (сагитална равнина, формирана (сагитална равнина, формирана

от нормалата към повърхността и вълновия вектор) - от нормалата към повърхността и вълновия вектор) - SH-SH-вълнавълна

Второ, Второ, поляризирано елитично в сагиталната равнинаполяризирано елитично в сагиталната равнина – – лембова вълналембова вълна

SHSH-вълноводен мод: -вълноводен мод:

Скорост на напречната вълна в безкрайна анизотропна среда

Това в вълна с дисперсия, тъй като зависимостта на вълновото число на разпространение γ от честотата не е линейна

След заместване в граничните условия:След заместване в граничните условия:

Антисиметрични модове симетрични модовеАнтисиметрични модове симетрични модове

с дисперсия:

На критичната честота на всеки мод вълновото число на разпространение е нула На критичната честота на всеки мод вълновото число на разпространение е нула

(безкрайна фазова скорост)(безкрайна фазова скорост)

Над критичната честота – разпространениеНад критичната честота – разпространение

Под критичната честота - експоненциално затихване (модът е в отсечка)Под критичната честота - експоненциално затихване (модът е в отсечка)

Обяснение – метод на парциалните вълниОбяснение – метод на парциалните вълни

Вълни със свойства на вълни в безкрайна среда ( в случая напречни, с хоризонтална поляризация) търпят последователни отражения от двете гранични равнини, създавайки стоящата вълна по дебелина. Ъгълът на разпространение се променя с честотата. На критичната честота той е нула.Аналогия с оптичните вълноводи

Лембови вълни: имат по-сложни свойства поради думерния си характер -

u1, u2 (елипса в сагиталната равнина)

Типичен лембов спектър: вълните пак се разделят на Типичен лембов спектър: вълните пак се разделят на симетрични (симетрични (L)L) и антисиметрични ( и антисиметрични (FF), но структурата ), но структурата на модовете не е така подредена, както при на модовете не е така подредена, както при SH.SH.

Двете найнискочестотни вълни са вълната на свиване и Двете найнискочестотни вълни са вълната на свиване и разтягане и вълната на огъване. Те са без критични разтягане и вълната на огъване. Те са без критични честоти.честоти.

При високи честоти тези две лембови вълни се израждат в повърнинни вълни виж разглежданията по-нататък

10. 10. Пречупване и отражение на акустични вълни от равнинен интерфейс. Пречупване и отражение на акустични вълни от равнинен интерфейс. Акустичен импеданс. Съгласуване.Акустичен импеданс. Съгласуване.

θ

θ

θ’λ

λ’

v v’

Явленията отражение и пречупване са известни от векове. В акустиката те се наблюдават масово във флуидите (водата) и атмосферата. Свързани са с промяна на посоката на разпространение на вълната при среща с граница на две среди, в които скоростта на вълната е различна.

Ако падащата вълна е плоска и границата е достатъчно широка спрямо дължината на вълната, отразената и пречупената вълна са също плоски – случаят, който разглеждаме тук. При сферичните вълни разглеждането на тези явления е силно усложнено. Тези въпроси трябва да се поставят в константна аналогия с оптиката

Експеримент с визуализация на отражение и пречупване на повърхнинни вълни Експеримент с визуализация на отражение и пречупване на повърхнинни вълни във вода в лабораторна вана – да се обяснят особеностите на процесите. Да във вода в лабораторна вана – да се обяснят особеностите на процесите. Да се обърне внимание на елементите на дифракциясе обърне внимание на елементите на дифракция

Пречупване на звук близо до водна повърхностПречупване на звук близо до водна повърхност (виж също мираж-ефект в (виж също мираж-ефект в оптиката по-нататък)оптиката по-нататък)

Защо ъглите на падане и отражение са точно равни? (Защо ъглите на падане и отражение са точно равни? (Принцип на Принцип на Fermat Fermat в в оптикатаоптиката))

Въздухът в близост до водната повърност е малко по-студен (звукът има по-ниска скорост), отколкото въздухът високо над водата. При падане на звукова вълна върху приблизителната граница между двата слоя посоката на звука се наклонява към водата.

Бетонна стена

x

y

θ1

θ2

)22

sin(

).22

sin(2

)cos()cos(

sin,cos

2121

2121

2211

ykk

xkk

ykk

xkk

t

ykxktykxkt

kkkk

yyxx

yyxx

yxyx

yx

ЕхоЕхо

Човешкият мозък пази информацията за излъчен звуков импулс до 0,1 Човешкият мозък пази информацията за излъчен звуков импулс до 0,1 sec. sec. Ако Ако

времето до възприемане на отразен от стена импулс е по-голямо, имаме усещаневремето до възприемане на отразен от стена импулс е по-голямо, имаме усещане

за отделни импулси (еха). За да стане това е необходимо помещението да за отделни импулси (еха). За да стане това е необходимо помещението да e e дългодълго

най-малко 17 най-малко 17 mm (2х17 (2х17mm/340/340m/s=0,1 s). m/s=0,1 s). При по-малки размери първият импулс и При по-малки размери първият импулс и

ехото се застъпват и настъпваехото се застъпват и настъпва

РеверберацияРеверберация – усещане за непрекъснат продължаващ звук. И двата ефекта са – усещане за непрекъснат продължаващ звук. И двата ефекта са

нежелани в концертните зали, чиито стени се обличат с поглъщащи звука материали.нежелани в концертните зали, чиито стени се обличат с поглъщащи звука материали.

                                 Закон на Snell в акустиката (запазва хоризонталната компонента на вълновото число):

Отново потърси аналогията с оптиката

Общ подход към отражението и пречупването: търсят се решения в двете среди, като отместванията на частиците и механичните напрежения се изравняват (съшиват се на граничната равнина).

Така се решава сложната задача за пречупване и отражение на плоски вълни в Така се решава сложната задача за пречупване и отражение на плоски вълни в твърди тела, където в общият случай става генерация на модове – една твърди тела, където в общият случай става генерация на модове – една падаща вълна от даден тип, поражда три отразени и три пречупени вълни.падаща вълна от даден тип, поражда три отразени и три пречупени вълни.

Червената падаща вълна ражда своя отразена и пречупена компонента по съответния ъглов закон. Но едновременно с това се генерират и отразени и пречупени вълни от другите видове (надлъжна, напречна), които средите понасят. Правилото за ъглите е проекциите на всички вълнови вектори върху граничната равнина да са равни (големините им са известни, тъй като са известни скоростите).

Амплитудите на отразените и пречупените вълни се получават от решението на задачата за непрекъснатост.

Чрез отношението си към амплитудата на падащата вълна те определят съответни коефициенти на отражение и пречупване.

Най-прост е случаят на напречна вълна, с поляризация, успоредна на Най-прост е случаят на напречна вълна, с поляризация, успоредна на интерфейсаинтерфейса

х2

х1

Двете среди имат акустични оси от 4 или 6 порядък, перпендикулярни на равнината на падане – тогава тази равнина е изотропна за напречната вълна с поляризация по оста (х3). Същото W и на границата между две изотропни твърди тела.

Въвеждаме акустичен импеданс на средата Z=ρV. Коефициентите на отражение и преминаване се получават като:

θiθi

θt

)(1

cos'cos

cos'cos

''',

trirt

ti

ti

r

uuuAA

ZZ

ZZA

vZvZ

Z

Z’

1'

'

t

r

AZZ

ZZA

При нормално падане коефициентите на отражение и преминаване се опростяват до:

Какво става при Z=Z’?

Тези изрази са валидни и при флуиди

11. 11. Принцип на акустичния резонатор. Резонансни честоти и качествен Принцип на акустичния резонатор. Резонансни честоти и качествен фактор. Природа на акустичните загуби.фактор. Природа на акустичните загуби.

Акустичният резонатор се формира от вълновод, ограничен по оста си (по Акустичният резонатор се формира от вълновод, ограничен по оста си (по посока на разпространение на вълната. Той е тримерно обобщение на посока на разпространение на вълната. Той е тримерно обобщение на линейния осцилатор и на едномерната крайна струна.линейния осцилатор и на едномерната крайна струна.

Пример – резонатор с Пример – резонатор с SH-SH-вълнивълниНа края Х1=l парциалната вълна се отразява веднъж от страничната стена и още веднъж

от долната основна равнина. Поради спецификата на това отражение (липса на генерация на други модове и равенство на ъгъла на падане и ъгъла на отражение) след второто отражение тази вълна се трансформира сама в себе си (да се докаже). Така трептенията на един SH-резонатор за изградени на базата на само една вълноводна вълна. При лембовите вълни това не е така, защото при отраженията се генерират допълнителни модове.

Вземаме р-тата симeтрична SH –вълна:С нея изграждаме решение на задачата за полето на резонатора под формата на стоящи вълни в двете направления X1 и X2.

В краищата x1= ± l искаме нулиране на

напречното напрежение Т13, тъй като пластинката е механично свободна. Условието дискретизира вълновото число на разпространение и оттам честотата.

Това е безкрайна серия от резонансни честоти, породени от р-тата симетрична вълна.

антисиметрични

симетрични

с вълново число по Х2:

и дисперсия:

Тези честоти се определят основно от малкия размер на резонатора – в случая Тези честоти се определят основно от малкия размер на резонатора – в случая дебелината на пластинката. Плоскостният размер влияе много слабо. При тънки дебелината на пластинката. Плоскостният размер влияе много слабо. При тънки пластинки тези честоти са високи (резонатори за високи честоти).пластинки тези честоти са високи (резонатори за високи честоти).

Пример: кварцови резонатори с трептения по дебелина. На основен мод:Пример: кварцови резонатори с трептения по дебелина. На основен мод:

ΩΩ11== ππvvss/a, /a, т. е.т. е. f f11= v= vss/2a/2a. При . При vvss = = 33000000 m/s, a = 100 m/s, a = 100 μμm, fm, f11== 1,5 1,5 101077Hz =Hz = 115 MHz5 MHz

Резонаторите с лембови вълни на огъване (Резонаторите с лембови вълни на огъване (F) F) и свиване и разтяганеи свиване и разтягане (E) (E) формират формират резонанси по дължината на пластинката (нямат стояща вълна по дебелина), резонанси по дължината на пластинката (нямат стояща вълна по дебелина), поради което работят на ниски честоти (десетки и стотици поради което работят на ниски честоти (десетки и стотици kHz).kHz).

Качественият фактор на резонатора ( Качественият фактор на резонатора ( QQ-фактор-фактор) ) се определя от загубите все определя от загубите в

A

ω

Δω3dB

системата (виж задачите от енергия трептение на осцилатор при резонанс и затихване на трептенията след прекратяване на външното действие).

Е=Е0е-γt, γ=ωo/Q

Oттук Q = ω0. (запасената енергия в системата / загубената енергия за 1 време)

Q=ω0/ Δω3dB

Q-факторите на резонаторите в акустиката варират в широки граници – от стотици до стотици хиляди и дори милиони за специални приложения

Основни механизми на загубите в акустичните резонатори:Основни механизми на загубите в акустичните резонатори:- Разсейване от дефекти – включвания от друга фаза, граници на зърна в Разсейване от дефекти – включвания от друга фаза, граници на зърна в

поликристалните материали, стени на домени в магнитните материали, поликристалните материали, стени на домени в магнитните материали, дислокации в металите, примеси в полупроводниците, макроскопични дефекти дислокации в металите, примеси в полупроводниците, макроскопични дефекти (пукнатини, шупли) в технологични материали (бетон и пр), грапави (пукнатини, шупли) в технологични материали (бетон и пр), грапави повърхности (порести материали) и т. н.повърхности (порести материали) и т. н.

- Термоеластичен ефект – загряване на средата от компресия или триене Термоеластичен ефект – загряване на средата от компресия или триене между слоевете, съпроводено с топлинен поток; при металите достига 50% от между слоевете, съпроводено с топлинен поток; при металите достига 50% от общите загуби.общите загуби.

- Взаимодействие с трептенията на решетката (неизбежно собствено Взаимодействие с трептенията на решетката (неизбежно собствено поглъщане, съществуващо дори в идеални кристали); нараства с квадрата на поглъщане, съществуващо дори в идеални кристали); нараства с квадрата на честотата. В полимерни материали – взаимодействие с дългите гъвкави честотата. В полимерни материали – взаимодействие с дългите гъвкави молекули или техни сегменти.молекули или техни сегменти.

- Взаимодействие с електроните в метали и полупроводници.Взаимодействие с електроните в метали и полупроводници.- В пиезоелектрични материали – диелектрични загуби при поляризацията на В пиезоелектрични материали – диелектрични загуби при поляризацията на

средата.средата.- Специфично за резонаторите – загуби при отражение от граничните равнини Специфично за резонаторите – загуби при отражение от граничните равнини

поради несъвършена обработка; загуби в металните електроди или други поради несъвършена обработка; загуби в металните електроди или други нанесени слоеве.нанесени слоеве.

Загубите като правило са силно зависими от температурата.Загубите като правило са силно зависими от температурата.