• 如何指導學生進行主題研究• 數學科

• 國立台南師範學院數學教育系• 謝 堅

•問題釐清 :•如何經營班級數學科的科展製作或數學科的主題研究 〜所有的活動都是學生自己完成的，教師的角色是協調或提供諮詢。

•如何在台南市科學展覽比賽中得到好的名次〜科展活動的主角是老師，學生只負責跑龍套。

• 作品選拔的流程 :•透過競賽選出代表參加•班級競賽 年級或全校競賽• 縣市競賽• 全國競賽 •直接挑選成積優異或教師信任的學童參加縣市競賽

•班級競賽時，提供全班或同年級學童觀模與學習。

•年級或全校競賽時，提供全校學童觀模與學習。

•縣市競賽時，提供本縣市學童觀模與學習。

•全國競賽前三名作品，辦理各縣市的巡迴展，讓有興趣的學童與教師觀模與學習。

•班級數學科的 科展製作或主題研究

•教師佈題教師解題•教師佈題學童解題發表與討論 •學童佈題學童解題發表與討論•完成主題選定以及找好研究伙伴， 才能開始進行研究活動。

•如何進行班級數學科的 科展製作或主題研究

• ( 一 )• 協助學童成立研究小組，並找到各組學童能力所能勝任的研究主題。

• 如何找出研究的主題 ? • 如何分組 ?

• ( 二 )

• 指導各小組依據自己擬定的主題，開始探討研究的活動。其中包括 學童個別思考，小組的分組討論，擬定計劃與修正計劃等，要求各組隨時將研究成果記錄下來，並整理出初步的書面報告。

•教師應把握下列原則 :

• 儘量讓學童獲得獨立工作的機會• 讓學童有充份的數學思考時間，教師應培養耐心等待的信念。

• 仔細的聽取各組的發現，適時給予最大的肯定和讚美。

• 鼓勵，但是不要強迫。教師應體諒學童初次做研究可能發生的困境，不宜要求學童一定要有完整的或有價值的研就成果。

• ( 三 )• 舉辦班級數學科科學展覽或主題研究發表會。舉辦發表會的意義是透過 學童書寫書面報告 ( 最好能將書面報告的重點摘要成投影片 ) ，以及發表會上學童的自評與互評､老師的評鑑，幫助學童自我反省。 進行有意義的討論以及自我反省，是學好數學的最佳方法。

• ( 四 )

• 修正初步的書面報告，寫成正式的數學科展作品說明書，或正式的主題研究報告。

• 儘量要求學童使用正式的格式，撰寫最後發表的書面報告。

• ( 五 )

• 教師進行班級數學科展或主題研究學習的評量，鼓勵表現優異的小組，參加全校或同年級的競賽，或縣市的競賽。

•經常被問到的數學科展問題•數學科展的研究主題如何誕生 ?•數學科展的報告如何撰寫 ?•如何模仿評審提出問題 ? 如何幫助學童回答這些問題 ?

•如何經營班級數學科展製做活動 ?

•數學科展研究主題類型分析•課外讀物。•歷屆科展作品的延伸。•課堂活動的延伸。•探討有規則現象的問題或偶然中發現的問題。

•課外讀物•各類數學相關叢書中的問題。•各類數學相關叢書中問題的延伸。•改良各類數學相關叢書中的問題。•報章雜誌中所介紹的數學問題。

• 粘的問題。• 十二枚金幣的奧密。• 畢氏定理的新證明。• 蒙地卡羅法求機率。• 一筆畫問題。• 魔方陣的問題。

•歷屆科展作品的延伸•例屆科展中列出待解決的問題。•改良歷屆科展作品的研究問題。•歷屆科展作品研究問題的延伸。• 改良或延伸班級數學科科學展覽或主題研究的作品。

• 將十二枚金幣的奧密，延伸為十六枚金幣的奧密。

• 將加法關係的魔方陣，延伸為乘法關係的魔方陣。

• 將平面井字遊戲必勝的規則，延伸為空間正方體的遊戲。

•課堂活動的延伸•數學課堂所討論問題的延伸。• 改良或重組課堂中討論的問題。• 提出課堂問題的新解法。

•討論求凸多邊形的內角和公式，外角和公式，對角線個數公式，在凹多邊形時是否成立。

•三角形最多有一個鈍角，最多有三個銳角， n 邊形最多有幾個鈍角，最多有幾個銳角。

•為什麼可以透過顛倒相乘的方式，求出分數除以分數問題的答案。

•透過除法問題的語意，記錄格式，被除數，除數及商數的範圍，討論分數 (小數 ) 除法問題所有可能的題型，那些題型是有意義的，以及解決這些題型可能的解題策略。

•乘數是整數與乘數是分數的乘法問題，它們的解法的意義與題意都不相同，為什麼數學上使用相同的乘法算式來記錄。

•探討有規則現象或偶然中發現的問題

•探討日常生活中某些規則存在產生的數學原因以及公式。

•考卷或數學課本中出現不合理問題的探討。

•如何在數學遊戲中獲得勝利。

•64年版數學課本､參考書或高中聯考的試題中，都存在數據有問題的題目。

•三角形三邊長分別是 3 ､ 3 ､ 2.7 公分， 3所對應的高是 2.4 公分。 透過測量可以發現圖形不存在。 透過畢氏定理可以證明圖形不存在。

•( ) ÷ 1.04 = 1.7…….0.12•( ) = ?

•1.04 ×1.7 + 0.12 = 1.888

• 答 : ( ) = 1.888

• 1.7 1.8• 1.04 ) 1.888 1.04 )1.888• 1 04 1 04• 848 848• 728 832• 0.12 0.016•那一個答案是合理的 ?•為什麼驗算的答案不成立 ?

• 1.42• 7 )10 10 ÷ 7 = 1 …. 3

• 7 • 30 10 ÷ 7 = 1.4 …. 0.2

• 28• 20 10 ÷ 7 = 1.42 ….0.063

• 14• 6

•商數的位數 vs 除數與餘數的關係

•如何找出數列 1,1,2,3,5,8,13….的一般項。

•64年課程中如何解題題目的延伸。•||| |||||| ||||||||| 　　　每次可以自任意一堆中拿走任意數量的棍子，誰拿最後一根誰就輸，如何讓自己成為長勝將軍。

• 數學科科學展覽作品製作的步驟

• 發現事實 多閱讀，多蒐集相關資訊。

• 發現問題 思考可供研究的問題，把問題縮 小到主要的問題，並讓研究的變因儘量的少。

• 尋求主意• 不斷的探索，討論與修正，儘可能的列出許多主意，用擴散性思考來尋求主意。

• 掌握解題的規律• 用聚斂性思考的過程來尋求解題的通則。

• 撰寫研究報告• 歸納整理，分析資料，整合所有的研究活動。

• 尋求支援• 針對所提出的解題方法，徵求所有聽眾的意見，並加以修正，進而納入多數人的意見，再做進一步的探討。

•能運用解題的各種方法 :

•分類 歸納 演繹 推理 推論 類比 分析 變形 一般化 特殊化 模型化 系統化 監控

•能熟悉解題的各種歷程 :

•蒐集 觀察 臆測 檢驗 再臆測 再檢驗 推理 驗證 論證

•參考 G 波利亞對解題的四階段分類•瞭解問題•擬定計劃•實行計劃•回顧解答

• 數學科展覽研究報告的撰寫方式

• 研究動機 研究的問題 文獻探討 分析 解法 推廣 猜測 進一步想研究的問題

• ( 一 ) 研究動機 • 為什麼想研究這樣的問題

• 對課本的公式或解法產生懷疑或有更好的解決方法，或課本上某些問題的延伸激起了你研究的興趣。

• 報章雜誌上某些挑戰性的問題，或為了在數學遊戲中獲勝，引起了你研究的興趣。

• ( 二 ) 研究的問題• 呈現你想要解決的問題是什麼。• 研究的問題不宜涉及太多的變因，才能對問題進行深入的研究。

• 能吸引別人注意，或讓別人震憾的題目，都是好的研究問題。

• ( 三 ) 文獻探討• 對於你想研究的問題，過去是否有人做過類似的研究，他們是怎麼想的，務必忠實的呈現。

• 可以引用前人的研究發現，應用於你的研究中，但是必須寫明出處，包括書名，頁次，作者等。

• 確實看過的參考資料才可以引用。

• ( 四 ) 分析• 針對研究的問題，仔細的描述你的想法。

• 你的思考方式，你是怎麼想的。• 用你的想法，如何解決你想要研究的問題。

• 分析的能力或完整性也很重要。

•(五 ) 解法 :•詳細的寫明你解決所要研究問題的過程與答案。 必須養成隨時將相關的研究活動過程記錄下來，與隨時整理分析手邊資料的習慣。

•你的解法必須是合理的。

• (六 ) 推廣• 將你的想法向內部推演與向外部推廣的應用情形，詳細的記錄下來。

• 數學是一門實用的基礎科學，數學知識是為了解決日常生活的問題，或為了學習更高深的數學知識舖路，沒有實用價值的數學知識是沒有意義的。

• (七 ) 猜測• 額外的經驗，使你感覺到某些推論可能是正確的，但是現在尚無法證明它是正確的，這就是猜測。

• 在研究的過程中，有那些猜測，應該記錄下來 ( 如果發現猜測是錯誤的，可以考慮是否將猜測的理由及發現錯誤的過程加以說明 )。

• (八 ) 進一步想研究的問題• 在研究本問題時，可能發現一些值得深入研究或無法克服的問題，可以把它記錄下來，做為下一次研究的目標，或讓一些有心人，針對你提出的問題，繼續去思考研究

•如何找規則

•首項與各項之間的關係，例如等差或等比數列，只要知道第一項，以及各項之間的關係—公差，就能知道任意項是什麼。

•以找出河內塔的規則為例

•第一步 :先找出各項之間的關係。• a1=1• a2=2 ×a1 + 1• a3=2 ×a2 + 1• a4=2 ×a3 + 1

•第二步 :寫出遞迴關係式，並透過關係式找出一般項的規則。

• a1=1• an=2 ×a(n-1) + 1•　•推得一般項 an=2(n次方） - 1

•第三步 :證明你找出的一般項規則是正確的 ( 例如透過數學規納法 )。

•證明一般項 an=2(n次方） - 1　　恒成立

•國小階段可以透過經驗法則說明一般項成立，高中階段必須證明一般項成立 ( 例如透過數學規納法 )。

•如何找關係 ?•儘可能的列出所有的可能 :•6樣不同的禮物，任意分給 4個人，其中甲至少得到一件禮物，請問有幾種分法 ?

•做法 1: 4(6次方 ) - 3(6次方 ) •做法 2: 6 × 4(5次方 ) •那一種算法是合理的，為什麼 ?

• 一些數學科展或數學主題研究的例子