（二）（二）

苏 小 红苏 小 红

哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院

22

欧氏几何欧氏几何 使用使用方程方程描述有平滑的表面和描述有平滑的表面和规则规则形状的物体形状的物体

分形几何分形几何 使用使用过程过程对具有对具有不规则不规则几何形态的物体（如自然景物）建模几何形态的物体（如自然景物）建模

分形几何分形几何

44

19061906 年，瑞典数学家年，瑞典数学家 H.Von KochH.Von Koch 在研究构在研究构造连续而不可微函数时，提出造连续而不可微函数时，提出 KochKoch 曲线。曲线。

周长无穷，但面积为定值周长无穷，但面积为定值（（ 00 ） ）

分形的由来（分形的由来（ 1/41/4 ））

构造方法

55 构造方法

周长无穷，但面积为定值 周长无穷，但面积为定值

分形的由来（分形的由来（ 2/42/4 ））

,3)3

4(,3

3

4,3 2 aaa ......

,4

3 2aS 22

5

32,......)

9

4(

4

3

9

4

4

3,

9

4

4

3aSSSSS

Von koch snowflake

D=log4/log3=1.2618

……

66

分形的由来（分形的由来（ 3/43/4 ））6060 年代，年代，现代分形理论的奠基人现代分形理论的奠基人 B.B.MandelbrotB.B.Mandelbrot将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来 将雪花与海岸线、山水、树木等自然景物联系起来 6767 年，英国《科学》杂志，年，英国《科学》杂志，《英国的海岸线有多长？《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数统计自相似性与分数维数 》》

什么是分形 ？什么是分形 ？指具有多重自相似的对象指具有多重自相似的对象它可以是自然存在的，也可以是人造的。它可以是自然存在的，也可以是人造的。

77

分形的由来（分形的由来（ 4/44/4 ））fractalfractal 概念的由来概念的由来

7575 年，法文专著《分形对象年，法文专著《分形对象 :: 形、机遇与维数形、机遇与维数7777 年，英译本年，英译本《分形：形、 机遇与维数》《分形：形、 机遇与维数》 ((Fractals: Form, ChFractals: Form, Chance, and Dimensionance, and Dimension) ) 8282 年，增补本，改名为《大自然的分形几何学》 年，增补本，改名为《大自然的分形几何学》

根据拉丁语根据拉丁语 fractusfractus 造的词造的词词根含义：词根含义： 细片的、破碎的、分裂的、分数的 细片的、破碎的、分裂的、分数的

88

分形几何（分形几何（ 1/81/8 ））分形物体的细节变化用分形物体的细节变化用分形维数（分数维）分形维数（分数维）来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。来描述，它是物体粗糙性或细碎性的度量。

什么是什么是分数维？分数维？

99

分形几何（分形几何（ 2/82/8 ））整数维数整数维数 拓扑维数拓扑维数 只能取整数只能取整数表示描述一个对象所需的独立变量的个数表示描述一个对象所需的独立变量的个数

1010

分形几何（分形几何（ 3/83/8 ））分数维数分数维数 度量维数度量维数

是从测量的角度定义的 是从测量的角度定义的 从测量的角度看，从测量的角度看，维数是可变的维数是可变的。 。

例如：看一个例如：看一个毛线团毛线团

从测量的角度从测量的角度重新理解维数概念 重新理解维数概念

1111

分形几何（分形几何（ 4/84/8 ））一根一维线段一根一维线段 LL ，单位长度，单位长度 AA ，将其边长扩大到原来的，将其边长扩大到原来的 33 倍，看看能得到几倍，看看能得到几个原始对象个原始对象 (( 单位长度为单位长度为 AA 的线段的线段 )) 。。

33 个：个： L→3L=3^1*LL→3L=3^1*L

平面上的一个正方形平面上的一个正方形 PP ，边长为，边长为 AA ，将其边长扩大到原来的，将其边长扩大到原来的 33 倍，则得到倍，则得到 99个正方形：个正方形：

P→9P=3^2*PP→9P=3^2*P

对于三维空间上的正方体对于三维空间上的正方体 VV ，边长为，边长为 AA ，将其边长扩大到原来的，将其边长扩大到原来的 33 倍，则得倍，则得到到 2727 个立方体：个立方体：

V→27V=3^3*VV→27V=3^3*V

得到的总个数可表达为：得到的总个数可表达为： M=B^dM=B^d

其中其中 BB 指放大倍数，指放大倍数， MM 是总个数，是总个数， dd 相当于对象的维数。相当于对象的维数。换一种写 法有：换一种写 法有：

dd=log=logMM/log/logBB其中指数其中指数 dd 相当于维数。相当于维数。

1212

分形几何（分形几何（ 5/85/8 ））从从放大放大的反面去理解的反面去理解从“从“铺砌铺砌”的角度看”的角度看

对给定对象， 用很小的单元块对给定对象， 用很小的单元块 εε 充填它，最后数一数所使用充填它，最后数一数所使用的小单元数目的小单元数目 NN

数学表达：数学表达：

dd=lim(=lim(εε→0)log→0)logN(ε)N(ε)/log(1//log(1/εε) = -lim() = -lim(εε→0)log→0)logN(ε)N(ε)/log/logεε

1313

分形几何（分形几何（ 6/86/8 ））以以 KochKoch 曲线为例曲线为例 细分线段数为细分线段数为 NN=4=4 ，细分单元长度为，细分单元长度为 εε =1/3 =1/3 KochKoch 曲线的分数维为：曲线的分数维为： dd=ln4/ln3=1.2619=ln4/ln3=1.2619

而按照欧氏几何方法而按照欧氏几何方法 将一条线段将一条线段 44 等分等分 则则 NN=4=4 ， ， εε =1/4 =1/4 ，， dd=1=1 。 。

1414

分形几何（分形几何（ 7/87/8 ））什么是分形 ？什么是分形 ？MandelbrotMandelbrot 开始时开始时 把那些把那些 HausdorffHausdorff 维数不是整数的集合维数不是整数的集合称为分形称为分形但定义将某些显然为分形的集合排除在外但定义将某些显然为分形的集合排除在外 例如，例如， PeanoPeano 曲线的曲线的 HausdorffHausdorff 维数为维数为 22 ，是整，是整

数数定义修改为定义修改为 强调强调具有自相似性的集合具有自相似性的集合为分形 为分形

1515

分形几何（分形几何（ 8/88/8 ））至今无统一定义，比较合理、普遍被人接受的定义至今无统一定义，比较合理、普遍被人接受的定义定义具有如下性质的集合定义具有如下性质的集合 FF 为分形为分形 FF 具有具有精细的结构精细的结构，有任意小比例的细节 ，有任意小比例的细节 FF 是如此地是如此地不规则不规则，以至于它的整体与局部都不能用传统，以至于它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述 的几何语言来描述

FF 通常有某种通常有某种自相似的性质自相似的性质，这种自相似性可以是近似的，这种自相似性可以是近似的或者是统计意义下的 或者是统计意义下的

一般地，一般地， FF 的某种定义之下的的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维分形维数大于它的拓扑维数数

在大多数令人感兴趣的情形下，在大多数令人感兴趣的情形下， FF 通常能以非常简单的通常能以非常简单的方法定义，由方法定义，由迭代过程产生迭代过程产生

分形理论是分形理论是非线性科学非线性科学的生长点之一的生长点之一

1616

随机插值模型（随机插值模型（ 1/31/3 ））19821982 年由年由 Alain FournierAlain Fournier Don FussellDon Fussell Loren CarpenterLoren Carpenter

提出提出 能有效地模拟海岸线和山等自然景象能有效地模拟海岸线和山等自然景象 不是事先决定各种图素和尺度不是事先决定各种图素和尺度 而是用一个随机过程的采样路径作为构造模型而是用一个随机过程的采样路径作为构造模型

的手段的手段

1717

随机插值模型（随机插值模型（ 2/32/3 ））构造构造二维海岸线二维海岸线的模型：的模型： 选择控制大致形状的若干初始点选择控制大致形状的若干初始点

在相邻两点构成的线段上取其中点在相邻两点构成的线段上取其中点

沿垂直连线方向随机偏移一个距离沿垂直连线方向随机偏移一个距离

将偏移后的点与该线段两端点分别连成两个新线段将偏移后的点与该线段两端点分别连成两个新线段

如此继续可得到一条曲折的有无穷细节回归的海岸如此继续可得到一条曲折的有无穷细节回归的海岸

线线

1818

随机插值模型（随机插值模型（ 3/33/3 ））

在三维情况下用类似过程构造在三维情况下用类似过程构造山模型山模型：： 多边形（如三角形）细分多边形（如三角形）细分

在三角形三边上随机各取一点在三角形三边上随机各取一点

沿垂直方向随机偏移一段距离得到三个新点沿垂直方向随机偏移一段距离得到三个新点

连接成四个三角形连接成四个三角形

如此继续，可形成皱褶的山峰。如此继续，可形成皱褶的山峰。

2525

迭代函数系统（迭代函数系统（ 7/107/10 ））

收缩影射不动点原理收缩影射不动点原理 每个迭代函数系统都定义了一个唯一的分形图形，每个迭代函数系统都定义了一个唯一的分形图形，

称为该迭代函数系统的吸引子称为该迭代函数系统的吸引子

怎样确定怎样确定仿射变换？仿射变换？ 确定确定 a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f

IFSIFS 方法之所以能产生逐渐逼近吸引子的图像方法之所以能产生逐渐逼近吸引子的图像 是以是以拼贴定理拼贴定理为依据的 为依据的

怎样确定怎样确定概率向量？概率向量？ 掷骰子操作掷骰子操作

2626

迭代函数系统（迭代函数系统（ 8/108/10 ））

D=log3/log2=1.585

Sierpinski 三角形

ff aa bb cc dd ee ff pp

11 0.50.5 00 00 0.50.5 2525 11 0.330.33

22 0.50.5 00 00 0.50.5 11 5050 0.330.33

33 0.50.5 00 00 0.50.5 5050 5050 0.330.33

2727

迭代函数系统（迭代函数系统（ 9/109/10 ））

Barnsley蕨的参数表

ff aa bb cc dd ee ff pp

11 00 00 00 0.160.16 00 00 0.010.01

22 0.850.85 0.040.04 －－ 0.00.044

0.850.85 00 1.61.6 0.850.85

33 0.20.2 －－ 0.20.266

0.230.23 0.220.22 00 1.61.6 0.070.07

44－－ 0.10.155

0.280.28 0.260.26 0.240.24 00 0.440.44 0.070.07

3232

LL 系统（系统（ 4/104/10 ））设计设计 D0LD0L 系统的步骤：系统的步骤：

定义字符表定义字符表 V V

给出公理，即初始图给出公理，即初始图 ωω

定义产生式定义产生式 PP

3333

LL 系统（系统（ 5/105/10 ））1313世纪数学家世纪数学家 FibonacciFibonacci （（ 1170-12501170-1250 ））兔子的理想化繁衍问题兔子的理想化繁衍问题 baby(b), adult(a)baby(b), adult(a) VV ：： {a,b}{a,b} W: bW: b P: a->abP: a->ab b->ab->a

bb a ab aba abaab abaababa a ab aba abaab abaababa abaababaabaab abaababaabaab abaababaabaababaababaabaababaabaababaababa

3535

LL 系统（系统（ 7/107/10 ））

四方内生树

四方内生树四方内生树 VV ：： {F,+,-} {F,+,-} ww ：： F+F+F+F F+F+F+F PP ：： F->FF+F++F+FF->FF+F++F+F δ= δ= 90º90º

生成元初始图

3737

LL 系统（系统（ 9/109/10 ））设计设计 LL 系统系统的过程的过程 是根据自相似结构形成是根据自相似结构形成信息压缩信息压缩的一个过程的一个过程利用设计好的利用设计好的 LL 系统进行系统进行绘制的过程绘制的过程 是信息压缩的逆过程，或者说是是信息压缩的逆过程，或者说是信息复原信息复原的过程。 的过程。

3838

LL 系统（系统（ 10/1010/10 ））

LL 系统能有效给出植物的系统能有效给出植物的拓扑结构拓扑结构但绘制但绘制真实感真实感的二、三维植物形态还必须结合的二、三维植物形态还必须结合几何造型技术几何造型技术

3939

粒子系统（粒子系统（ 1/51/5 ））Particle SystemParticle System

W.T.Reeves W.T.Reeves 19831983 年提出年提出描述对象描述对象 不规则、结构随时间而变化不规则、结构随时间而变化的的 Fuzzy ObjectFuzzy Object

尤其擅长模拟不规则物体的随机动态特性尤其擅长模拟不规则物体的随机动态特性

如跳动的火焰、烟雾、下雨、行云、远处随风摇曳的如跳动的火焰、烟雾、下雨、行云、远处随风摇曳的

树林和草丛等树林和草丛等

4040

粒子系统（粒子系统（ 2/52/5 ））基本思想基本思想 造型和动画是一个有机的整体造型和动画是一个有机的整体 单个随时间变化的单个随时间变化的粒子粒子 (Particle)(Particle) 作为景物造型的基本元素作为景物造型的基本元素

由粒子刻划的模型由粒子刻划的模型 每个粒子有一个每个粒子有一个生命周期生命周期

包括包括出生、成长、死亡出生、成长、死亡等几个阶段等几个阶段 粒子在不同的阶段具有不同的形态粒子在不同的阶段具有不同的形态 粒子的运动由一定的粒子的运动由一定的规则规则控制控制

4141

粒子系统（粒子系统（ 3/53/5 ））

本质是本质是随机模型随机模型 采用采用 随机过程随机过程 的方法来实现粒子在“出生”、的方法来实现粒子在“出生”、

“生长”、“死亡”三个阶段的不确定性“生长”、“死亡”三个阶段的不确定性 在生长过程中，在生长过程中，粒子的属性被随机地改变粒子的属性被随机地改变

4242

粒子系统（粒子系统（ 4/54/5 ））

19851985 年，年， ReevesReeves 和和 BlauBlau

进一步发展了粒子系统进一步发展了粒子系统 并维妙维肖的模拟了并维妙维肖的模拟了小草随风摇曳小草随风摇曳的景象的景象

模拟动态模糊自然景物模拟动态模糊自然景物

电视电影的特技制作电视电影的特技制作

最初引入是为了模拟最初引入是为了模拟火焰火焰 跳动的跳动的火焰被看作是一个喷出许多粒子的火山。火焰被看作是一个喷出许多粒子的火山。 每个粒子都有一组每个粒子都有一组随机取值的属性随机取值的属性

4545

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 2/112/11 ））绘制绘制 MM 集集 以横轴以横轴 xx记录实部记录实部 以纵轴以纵轴 yy记录虚部记录虚部 迭代从迭代从 (x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 开始迭代 开始迭代 不同迭代次数和模值的点涂不同迭代次数和模值的点涂

上不同的颜色 上不同的颜色

MM 集合实际上是集合实际上是常数常数 c=(p,q)c=(p,q) 构成的图象构成的图象

qyxy

pyxx

qipc

iyxz

zcz

kkk

kkk

kk

21

1

1

22

2

4646

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 3/113/11 ））MM 集特征：集特征： 一个主要的心形图与一系列圆盘形的“芽苞”突起连在一起一个主要的心形图与一系列圆盘形的“芽苞”突起连在一起 每个芽苞又被更细小的芽苞所环绕 每个芽苞又被更细小的芽苞所环绕 还有精细的“发丝状”分枝从芽苞向外长出 还有精细的“发丝状”分枝从芽苞向外长出

4848

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 5/115/11 ））

(a) c=0.1-0.1i，f有吸引不动点， J为拟圆

(b) c=0.5-0.5i，f有吸引不动点， J为拟圆

(c) c=1.0-0.05i，f有周期为 2 的吸引轨道

(d) c=0.2-0.75i，f有周期为 3 的吸引轨道

(e) c=-0.25-0.52i，f有周期为 4 的吸引轨道

(f) c=0.5-0.55i，f有周期 5 的吸引轨道

(g) c=-0.66i， f没有吸引轨道，且 J为全部连通

(h) c=-i ， f 为无圈曲线

改变常数 c 的取值，可以得到各式各样的 J 集

4949

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 6/116/11 ））二维复平面上二次映射 二维复平面上二次映射

广义的广义的 MM 集和集和 JJ 集集 任意多项式映射任意多项式映射 三角函数三角函数 指数函数指数函数 对数函数 对数函数

5050

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 7/117/11 ））高维高维 MM 集与集与 JJ 集 集 通过“四元数” 通过“四元数” (quaternions) (quaternions) 推广到高维空间中 推广到高维空间中

在四维空间中研究迭代在四维空间中研究迭代 x→xx→x^2+^2+cc 下的超下的超 JuliaJulia 集集 选一个截面，将超选一个截面，将超 JuliaJulia 集投影到三维空间中，可集投影到三维空间中，可以得到立体的以得到立体的 JJ 集图象 集图象

5151

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 8/118/11 ））复平面域的牛顿法求根复平面域的牛顿法求根 本质是本质是“以直代曲”“以直代曲” 首先猜测一个值首先猜测一个值 xx11 ，用它近似方程的根，用它近似方程的根 cc 用过用过 ((xx1,1,ff((xx1))1)) 点的切线点的切线 y=fy=f((xx1)+1)+f’f’((xx1)(1)(x-xx-x1)1) 近似代替曲线近似代替曲线 ff((xx)) 然后用切线方程然后用切线方程 y=fy=f((xx1)+1)+f’f’((xx1)(1)(xx--xx1)=01)=0 的根的根 x=xx=x2=2=xx1-1-ff((xx1)/1)/f’f’((xx1)1) 近似代替曲线方程的根近似代替曲线方程的根 cc 这样就得到这样就得到 cc 的第二个近似值的第二个近似值 依此类推可得到迭代公式依此类推可得到迭代公式 xx((nn+1)=+1)=xn-fxn-f((xnxn)/)/f’f’((xnxn) )

5252

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 9/119/11 ））f(x)=x^pf(x)=x^p-1,-1, 其中其中 pp 是大于是大于 22 的正整数的正整数xx^3-1=0^3-1=0 有三个根：有三个根： xx1=11=1 xx2=[-1+SQRT(3)i]/22=[-1+SQRT(3)i]/2 xx3=[-1-SQRT(3)i]/23=[-1-SQRT(3)i]/2

三个根均匀地分布在单位圆上三个根均匀地分布在单位圆上 ,,这三个根周围这三个根周围构成三个“构成三个“吸引盆吸引盆””

5353

复平面上的迭代（复平面上的迭代（ 10/1110/11 ））改进方法改进方法

分式线性映射分式线性映射 w=1/zw=1/z在扩充的复平面上是一一对应的 在扩充的复平面上是一一对应的 且为具有保圆性和保对称性的保角映射 且为具有保圆性和保对称性的保角映射

将牛顿函数取倒数，并在迭代过程中嵌入控制参数 将牛顿函数取倒数，并在迭代过程中嵌入控制参数

用牛顿法求 z^4-1=0 的根得到的分形图

)()(

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1)(

zpzpz

zp

zfzF

2))()((

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zpzpz

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分子部分完全相同超吸引不动点相同

iFIFR

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5454

苏晓红等．用改进的苏晓红等．用改进的 Newton-RaphsonNewton-Raphson 方法生成对方法生成对称的分形艺术图形，计算机学报．称的分形艺术图形，计算机学报． 1999 ,22(11): 11999 ,22(11): 1147-1152 147-1152