Задачи на Задачи на построение с построение с

помощью одной помощью одной линейкилинейки

Выполнила: Иванченко И.А.Выполнила: Иванченко И.А.

О решении задач на О решении задач на построениепостроение

Решение задач на построение состоит из 4 этапов:Решение задач на построение состоит из 4 этапов:

АнализАнализ

ПостроениеПостроение

ДоказательствоДоказательство

ИсследованиеИсследование

Теорема ДезаргаТеорема Дезарга Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух

треугольников, пересекаются в одной точке, то треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.)одной прямой (см. рис.)

S

B A C

U A/

B/

C/ V

W

Доказательство теоремы Доказательство теоремы ДезаргаДезарга

Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая.

Теорема Менелая.Теорема Менелая. Точки Точки AA11 , , BB11 и и CC11 , расположенные , расположенные

соответственно на прямых соответственно на прямых BCBC, , CACA, , ABAB и не совпадающие с и не совпадающие с вершинами треугольника вершинами треугольника ABCABC, лежат на одной прямой тогда и , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.)только тогда, когда (см. рис.)

ABAB11 CACA11 BCBC11

* * * * = -1.= -1.

BB11C AC A11B B CC11AA

C1

A

B A1 C

B1

Для доказательства принадлежности точек Для доказательства принадлежности точек UU, , VV, , WW одной прямой, одной прямой, рассмотрим рассмотрим АВС и точки АВС и точки UU, , VV, , WW , лежащие на прямых, содержащих , лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что

Для этого применим теорему Менелая для треугольников, Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SSАВ, АВ, SBCSBC, , SACSAC и их секущих ( и их секущих (AA//BB//), (В), (В//СС//), (А), (А//СС//) соответственно. Тогда для ) соответственно. Тогда для SSАВ АВ и секущей (Аи секущей (А//ВВ//) имеем: ) имеем:

Для Для SSВС и секущей (ВВС и секущей (В//СС//) имеем:) имеем:

1WA

CW

VC

BV

UB

AU

1/

/

/

/

SB

BB

UB

AU

AA

SA

1/

/

/

/

SC

CC

VC

ВV

ВВ

SВ

S

A

B

C W U V

A/

B/

C/

Для Для SSАС и секущей (ААС и секущей (А//С) имеем:С) имеем:

Умножим на и поделим Умножим на и поделим

на Получаем: на Получаем:

В итоге получили равенствоВ итоге получили равенство

1WA

CW

VC

BV

UB

AU

1/

/

/

/

SC

CC

WC

AW

AA

SA

SB

BB

UB

AU

AA

SA/

/

/

/

1/

/

/

/

/

/

/

/

AW

WC

VC

BV

UB

AU

CC

SC

AW

WC

SA

АА

SC

CC

VC

ВV

ВВ

SВ

1/

/

/

/

SB

BB

UB

AU

AA

SA 1/

/

/

/

SC

CC

VC

ВV

ВВ

SВ

1/

/

/

/

SC

CC

WC

AW

AA

SA

S

B A C

U

A/

B/

C/

V W

Модификации теоремы Модификации теоремы ДезаргаДезарга

Теорема 1. Теорема 1. Дано: Дано: ABC ABC и и AA//BB//CC// таковы, что таковы, что AAAA// BB BB// CC CC// = S, = S, AB AB A A//BB// = U, = U, BC BC B B//CC// = V, = V, AC AC AA//CC// = = WW.. Доказать: что Доказать: что WW, , VV, , U U лежат на одной прямой. лежат на одной прямой.

S

B

C A

U V W

A/ C/

B/

ТеоремаТеорема 2. 2.

Дано: Дано: ABCABC и и AA//BB//CC//

AAAA// // BB // BB// // CC // CC// , ,

AB AB A A//BB// = X, = X,

BC BC B B//CC// = Y, = Y,

AC AC AA//CC// = = ZZ..

Доказать: Доказать: XX, , YY, , Z Z

лежат на одной прямой.лежат на одной прямой.

A

B

C

X Y Z

C/

B/ A/

ТеоремаТеорема 3. 3.

ДаноДано: ABC : ABC ии A A//BB//CC//

AAAA// BB BB// CC CC/ / = S,= S,

AB AB A A//BB// = X, = X,

BC BC B B//CC// = Y, = Y,

AC AC // // AA//CC//

Доказать: Доказать: XY//ACXY//AC

C

B

A

S

Y X

A/

B/

C/

ТеоремаТеорема 44..

ДаноДано: ABC : ABC ии A A//BB//CC//

AAAA// BB BB// CC CC// = S, = S,

AB // AAB // A//BB//,,

BC // BBC // B//CC//, ,

Доказать: Доказать: AC AC // // AA//CC//

Теорема 5.Теорема 5.

Дано: Дано: ABC ABC и и A A//BB//CC//

AAAA// // BB // BB// // CC // CC// , ,

AB AB //// A A//BB// , ,

AC AC // // AA//CC//

Доказать: Доказать: BCBC////BB//CC//

S

B

A C B/

C/ A/

A

B

C

A/

B/

C/

Применение теоремы Дезарга Применение теоремы Дезарга для построения для построения

параллельных прямых (с параллельных прямых (с помощью одной линейки)помощью одной линейки)

Задача.Задача. Даны две различные параллельные Даны две различные параллельные прямые а и прямые а и bb и точка А, не лежащая на них. Через и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным точку А проведите прямую, параллельную данным

прямым. прямым.

Решение. Анализ.Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая Пусть задача решена и прямая сс проходит через точку проходит через точку А параллельно прямым А параллельно прямым аа и и bb (см. рис.) (см. рис.)

Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. рисунок, иллюстрирующий теорему.

Теорема 3Теорема 3

a

c

b

A ●

C

B

A

S

Y X

A/

B/

C/

В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает. В нашем случае прямые а и в – это прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Тогда точка А является точкой пересечения одной пары соответственных сторон. Ещё одна пара соответственных сторон должна пересекаться в точке, также лежащей на с. Построение, таким образом, сводится к построению двух треугольников, одна пара соответственных сторон которых лежит на прямых а и в. Поэтому на прямых а и в возьмем произвольные отрезки:

[С1В1] а, [СВ] в в качестве соответственных сторон, а вторая пара сторон пересекается в точке А.

a

c

b

A ●

C

B

A

S

Y X

A/

B/

C/

(С /С) (В/В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие

через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А/С/) и (АС).

(Теорема Дезарга, см. рис.)

S

A B

C W U V

A/

B/

C/

ПостроениеПостроение::1. Берем точки С1, В1 а 2. Берем точки С, В, в

3. S = (СС1) (ВВ1)4. Проведем произвольную прямую l S5. О1 = l (С1А) О = l (СА)

6. (В1О1) (ВО) = А1

7. (АА1) = с – искомая

ll Доказательство:Доказательство:

Рассмотрим Рассмотрим СС11ОО11ВВ11 и и СОВ. (СС СОВ. (СС11) ) (ВВ (ВВ11) ) (ОО (ОО11) = ) = SS по по построению. Точки А = (Спостроению. Точки А = (С11ОО11) ) (СО) и А (СО) и А11 = (В = (В11ОО11) ) (ВО) (ВО) определяют прямую определяют прямую сс. Поскольку (С. Поскольку (С11ВВ11) // (СВ), то ) // (СВ), то с с //// а а //// в. в.

С1 В1 a

C B b

S

А

О

О1

А1

Исследование:Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так Задача всегда имеет единственное решение, так

как через данную точку можно провести как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.единственную прямую, параллельную данной.

Задача с недоступными Задача с недоступными элементамиэлементами

Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке.

Задача.Задача. Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке LL (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку точку LL с данной (доступной) точкой М. с данной (доступной) точкой М. Решение. Анализ. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок.Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок.

недоступная частьнедоступная часть M cM c

L

b

a

Так как Так как точки М и Lточки М и L лежат на одной прямой, то можно лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как точки пересечения соответственных рассмотреть их как точки пересечения соответственных

сторон треугольников, а прямые а и в взять как сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и прямые ВС и В'С'В'С', то есть прямые, на которых лежат две , то есть прямые, на которых лежат две

соответственные стороны треугольников с осью с. Таким соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух образом, построение сводится к построению двух

треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в

точке Мточке М. Необходимо построение проводить таким образом, . Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа.чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа.

L

b

a

MM

S

B

C A

U V W

A/ C/

B/

Построение:Построение:1.1. Возьмем точки А, В Возьмем точки А, В а; А а; А//, В, В// bb (см. рис.) (см. рис.)2.2. Точка Точка SS = (АА = (АА//) ) (ВВ (ВВ//).).3.3. Проведем произвольную прямую Проведем произвольную прямую ll: : S S ll..4.4. С С11 = (В = (В//М) М) ll, , С = (ВМ) С = (ВМ) ll. . 5.5. (АС) (АС) (А (А//СС//) = М) = М11

6.6. (ММ(ММ11) = ) = сс – искомая. – искомая.

Доказательство:Доказательство: Рассмотрим Рассмотрим АВС и АВС и А А//ВВ//СС//. . В них:В них: (ВВ(ВВ//) ) (АА (АА//) ) (СС (СС//) = ) = SS (АС) (АС) (А (А//СС//) = М) = М11,, (ВС) (ВС) (В (В//СС//) = М,) = М, (АВ) (АВ) (А (А//ВВ//) = а ) = а в = в = LL,, следовательно, по теореме 1 точки М, Мследовательно, по теореме 1 точки М, М11 и и LL лежат на одной прямой. лежат на одной прямой.

a A B

b А/

В/

S

l

L M С

С/

М1

ПоляраПоляра

Четыре точки Четыре точки AA, , BB, , CC, , DD, лежащие на одной прямой, образуют , лежащие на одной прямой, образуют

гармоническую четверкугармоническую четверку, , если если

AC AD AC AD

: = -1. : = -1.

CB DBCB DB ЗадачаЗадача..

Из данной точки Из данной точки AA проведены к данной окружности с центром проведены к данной окружности с центром OO касательные касательные AKAK11 , , AKAK22 и секущая, пересекающая окружность в точках и секущая, пересекающая окружность в точках CC

и и DD, а отрезок , а отрезок KK11KK22 – в точке – в точке BB. Докажите, что точки . Докажите, что точки AA, , BB, , CC и и DD

образуют гармоническую четверку.образуют гармоническую четверку.

Доказательство:Доказательство: Введем систему координат с началом в точке Введем систему координат с началом в точке AA, как , как показано на рисунке. показано на рисунке.

Пусть Пусть BB11, , CC11, , DD11 – проекции точек – проекции точек BB, , CC, , DD

на ось абсцисс. Докажем, что точки на ось абсцисс. Докажем, что точки

AA, , BB11, , CC11, , DD11 образуют гармоническую образуют гармоническую

четверку. Отсюда сразу же последует, четверку. Отсюда сразу же последует,

что точки что точки AA, , BB, , CC, , DD также образуют также образуют

гармоническую четверку. гармоническую четверку.

Уравнение окружности запишем в виде Уравнение окружности запишем в виде

((xx – – aa))22 + + yy22 = = RR22 (2) (2)

где где aa = = AOAO, , RR – радиус окружности, а уравнение секущей – радиус окружности, а уравнение секущей ADAD – в виде – в виде

yy = = kxkx (3) (3)

где где kk – некоторое число. Координаты точек – некоторое число. Координаты точек CC и и DD удовлетворяют удовлетворяют

уравнениями (2) и (3). Если подставить уравнениями (2) и (3). Если подставить yy = = kxkx в уравнение (2), то придем к в уравнение (2), то придем к

квадратному уравнениюквадратному уравнению

(1 + (1 + kk22) ) xx22 – 2 – 2axax + + aa22 – – RR22 = 0 = 0 (4)(4)

x

y

A

K2

C

K1 D

B

D1 O B1 C1

корни корни xx11 и и xx22 которого равны абсциссам точек которого равны абсциссам точек CC и и DD, т.е. , т.е.

ACAC11 = = xx11, , ADAD11 = = xx22. .

По теореме ВиетаПо теореме Виета 22aa aa22 – – RR22

xx11 + + xx22 = , = , xx11xx22 = , = ,

1+ k1+ k22 1 + k 1 + k22

2x2x11xx22 aa22 – R – R22

откудаоткуда = = (5)(5)

xx11+ + xx22 aa

Рассматривая прямоугольный треугольник Рассматривая прямоугольный треугольник AOKAOK11 , нетрудно , нетрудно

aa22 – – RR22

установить, что установить, что ABAB11 = . Поэтому если положить = . Поэтому если положить ABAB11= = xx0 0 , ,

aaто равенство (5) можно записать в видето равенство (5) можно записать в виде

22xx11xx22

= = xx00, , илиили xx11((xx22 – – xx00) – ) – xx22((xx00 – – xx11) =0.) =0.

xx11++xx22

Отсюда, учитывая, что Отсюда, учитывая, что xx11((xx22 – – xx00) = ) = ACAC11 * * BB11DD11 , , xx22((xx00 – – xx11) = ) = ADAD11 * * CC11BB11 , , получаем:получаем: ACAC11 * * BB11DD11 – – ADAD11* * CC11BB11 =0, =0, а это и означает, что точки а это и означает, что точки AA, , BB11 , , CC11 , , DD11 образуют образуют гармоническую гармоническую

четверку.четверку. 22xx11xx22

Замечание. Равенство Равенство = = xx00 можно доказать и не прибегаяможно доказать и не прибегая xx11 + + xx22

к рассмотрению треугольника к рассмотрению треугольника AOKAOK11. В самом деле, соотношение. В самом деле, соотношение 2x1x2 a2 – R2 2x1x2

= показывает, что величина не зависит отпоказывает, что величина не зависит от x1+ x2 a x1 + x2

kk, т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой , т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой уравнением уравнением yy = = kxkx.. Возьмем Возьмем kk таким, чтобы уравнение таким, чтобы уравнение yy = = kxkx было было уравнением касательной уравнением касательной AKAK11. .

Тогда оба корня Тогда оба корня xx11 и и xx22 квадратного уравнения квадратного уравнения (1 + (1 + kk22) ) xx22 – 2 – 2axax + + aa22 – – RR22 = 0 = 0 будут равны абсциссе точки будут равны абсциссе точки KK11 , т.е. будут равны , т.е. будут равны

xx00. .

Но в этом случае Но в этом случае

22xx11xx22 2 2xx00xx00

= = = = xx00 , ,

xx11 + + xx22 xx00++xx00

22xx11xx22

а значит, и для любой другой прямой = а значит, и для любой другой прямой = xx00

xx11 + + xx22

Прямая Прямая KK11KK22 называется называется полярой полярой данной точки данной точки AA относительно данной относительно данной

окружности. Если точка окружности. Если точка BB не лежит на поляре, а прямая не лежит на поляре, а прямая ABAB пересекает пересекает окружность в точках окружность в точках CC и и DD, то можно сделать такой вывод:, то можно сделать такой вывод:

если данная точка если данная точка AA лежит вне данной окружности, то лежит вне данной окружности, то множество точек множество точек BB, для каждой из которых точки пересечения , для каждой из которых точки пересечения прямой прямой ABAB и окружности гармонически разделяют точки и окружности гармонически разделяют точки AA и и BB, , представляет собой часть поляры точки представляет собой часть поляры точки AA относительно относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности.данной окружности, лежащую внутри этой окружности.