第四章 正則量子化與路徑積分

‧Lagraian

 L   ＝ L （ ,, rr ）

向量場變量 rrx

Lagrangian 密度

xd 3)(xL  L  ,, rr  （ ） Lagrangian

xdS 4)(

 

 L （ ,, rr ） )( xLdx 作用量（ action)3213 dxdxdxdxxddx

four-dimensional space-time

正則量子化之一般原理

‧Hamilton 原理

0S 場方程（ Euler 方程）

)()( xx rrr

urrrr xx

,,,)(

)()()( xxx rrr 0)( xr On Surface )(

urur

rr

xdS ,,

4

LL

0,

4

,

4

rr

rrr x

xdx

xd

LLL

rur

d

,

)(

L

0

rrr

rx

,2,1,0,

LL 之場方程

1x

2x

)(x

)(x

)(

Hamitonian

),()()(dH ,

3 rrrr xxx L

)()(

L)(

xxx

rr

r

L

r 之共軛動量場

)(3 xxd H

Hamitonian 密度

‧正則量子化 （ Canonical Quantization ）

)(),(,),( xxitxtx rssr

0),(),,(),(,),(

txtxtxtx srsr

相對論規範下的不變性

‧Lorentz 轉換

x ： zxyxxxctx 321 ,,, 逆變 （ contravariant ）

x ： zxyxxxctx 3210 ,,, 協變 （ convariant ）

度規張量

1000

0100

0010

0001

)g()(gg vv

vxx vg

vxx vg ， )(ggg vv

v

1000

0100

0010

0001

dAlembert 算符

□

3

12

2

22c

1

i

vvi

gxt

相對論規範意味□之不變性

‧座標系轉換

axx vv

xx

x

x

□

ggg vv

vv □ ′

gg v v

‧

0a 非均勻 Lorentz 轉換（ 轉換 ）Poinc'are

0a 均勻 Lorentz 轉換

‧Lorentz 群之分類

1gg2

或 1

3

1

22v 1)()(g1gk

kv

sgn

det Proper orthochronous

L 1 1

improper orthochronous* L 1 -1

time-reflection type ** L -1 -1

Space-time inversion type*** L -1 1

* spatial reflection ** time reflection *** space-time inversion

1000

0100

0010

0001

P

1000

0100

0010

0001

T

1000

0100

0010

0001

PT

L Lorentz group (L.G.)

L restricted L.G. ( is an invariant subgroup )

_LLL orthochronous L.G.

LLL proper L.G.

_0 LLL Orthochronous L.G.

子群

LL_ P

LL_ T

LL TP

子集合

LLLLLLL PTTPT

Noether 定理

)()()( xxx rrr 變分

)()()( xxx rrr 全變分

))()(())()(( xxxx rrrr

)(0)( 2

xx

x rr

)(0)( 2

xx

x rr

))(),(())(),(( ,r,r xxxx rr L L

systemIin L systemIin L

)),(()),(()),(()),(( xxxx rrrr LL L L

)(0 2

xx

LL

=0

,rr

r r,

LLL

)()( rrrxx

r,r,r

LLL

xxxxr

rrr,r,r

LLL)(

)()( vv xg

xx

xx

LLx

L

0

vv

v

rr xg

xx

L

LL

r,r,

vr

vT 能量 -動能張量0j0j ,

x

當中 vv

r xT

r,

Lj

),(j vr x 依不同之守恆量而定

Classic→Quantum函數 算符 若 0j

則稱其為流異常

‧無窮小 Lorentz 轉換

Noethe 定理之應用

局部連續轉換

移動轉動規範

守恆定律

動量角動量

電荷

vw

vv w g

gg v

v

帶入

g))((0ggg 2 wwwv

v

g 0

ww

（局部連續轉換）

xxxx

vv

vv xwxg

vv x

vvxwx

6 個獨立變量

‧波函數之轉換關係

))((())(()( 1 axFxFx

))(()()()( 1 axSxS

N

axSx1

1 ))(()()(

SS

SSSS

1)det ()det ( SS

1det S

S 為ㄠ正算符vvv w g

)()g()( xwSx vv

)()()g( xwS

xS vv

v

)()(2

1)(

2

1)()( xw

SSSSxx v

vvvv

vS

反稱對稱0

vv wSx

21)(

Ⅱ

)(x

v 反稱

‧純移動－線動量守恆

vvxwx

0

0 vr w

vv xT

x

,j

)( ,

x

TT vvv

v

任意量

0

=0

0, vT 當中 vv

rvT

g, LL

r,

jd0jd4

x

x 廣義 Gauss 發散定理

取 )( 11 tx

)( 22 tx

x

d

d

1

2

0303 jdjd021

xx

),(jd),(jd 203

103 txxtxx

)( 1tJ )( 2tJ

0dt

dJ

當中 ),(jd)(J 3 txxt

0ddt

d 3 vxT

vP

當中 vvr

vT

g, LL

r,0

0v HxxP rrr

),()(d ,r3

LHamitonian 算符

H

3,2,1ivi

rr

i

x

xxxP

)(

)(d3 線動量算符

‧轉動不變性－角動量守恆

vvv xwx

0

svrsvr Sw

2

1

vvv

v xwTxwT

2

1

2

1

xwTSw vv

svrsv

r,

L2

1j vw

wTxTxS vv

svrs

r

)(2

1

,

L

vv wM

2

1

00j,

vM

Gauss 廣義散度定理

取 0

vv xMM 03d

vv

svrsr TxTxxSxx 003 )()(d 0)(

dt

dvM

空間分量

取 3,2,1, v

ji,

ijji

sijrsr

ij TxTxSxM 003d

自旋 空間角動量

),,()I,I,(II 123123321 MMM

時空分量 （ oi)

ooioi xMM 3d

),( 03,0201 MMMK

))()(),((d 003 xSxtxxTxtp soirsr boost 向量

，

規範不變性－電荷守恆

),( ,,r rrrLL

)()1()()()( xixexx rri

rr

)()1()()()( xixexx rri

rr

全域相位變換若 )(x 則為局域相位變換

)()()( xxix rrr

)()()( xxix rrr

rr ii

)()(jr,r,

LL

)(j(x)

rri

r,r,

LL

當中))()()()(()(j xxxxix rrrr

))()()()((dQ 3 xxxxxiq rrrr

0HQ,,0dt

dQ

電荷守恆

微小常數

已知)()()(),(d)(Q, 3

r xqxxxxiqx rsrs

)( xxi rs

若 QQQQ

QQQ)Q( rrr q

QQQQQ rrr q

Qq)-Q(QQ rr

Qq)Q(QQ rr

eigenvalue

eigenstate

路徑積分的一般原理

Heisenberg 矩陣力學

Schrödinger 波動力學

Feynman 路徑積分

代數形式

局域微分形式

全域積分形式

正則經典力學

Hamiton-Jacobi 方程

Lagrange 力學

Hamilton力學

‧傳播子 （ propagator ）

)(tHt

ih

)(|)(exp)( tttiHt

座標表象 )(/)(expd)( 3 trrttiHrxtr

xtr 3d),(

),( trtrK ),( tr

傳播子

),(),(d3 trtrtrKx ),( tr

),( tr ),( tr

),( tr

‧K的能量表象

nEnnH

rnnttiHnnrtrtrKnn

/)(exp),(

)(/)(exp)( rttiEr nnnnn

nn

/exp)(/exp)( tiErtiEr nn

nnn

),(),( trtr nn

n

當

nnn rrrrtrtrKttt )()()(),(

輸入 輸出

傳播子的組合規則

1 t＜ 1t ＜ t r 1r r

),(),(d),( 111113 trtrtrkxtr

),(),(d 113 trtrtrkx

),(),(),(dd 1111133 trtttrktrtrkxx

),(),(d trrrtrkx

),(),(d),( 111113 trtrktrtrkxtrtrk

2 tttttt n ,,, 210

rrrrrr n ,,, 210

),()(),(ddd),( 1122,111113

23

13 trtrktrtrktrtrkxxxtrtrk nnnnnnn

)(GK 滿足的微分方程

定義 ikG ttxxttxxGitx ),,(),(d),( 3 ＞ t

1)(Q

)(),(d)()( 3 xxxxGixtt

)()()()()H( xttt

ixttxt

i

0)()(

xxHt

i

)()(

d

d )( tti

)()( xtti

)()()(),()(d3 xttixxxGxHt

ixi

)()()(d 33 xxxttxi

)()()(),()(H 43 xxxxttxxGxt

i

（ Green 函數）

‧位形空間中的路徑積分

)(2m

pH

2

xv 一維勢場 )(xv 中粒子運動的 Hamilton

xttixtxtx

/)H(exp),(k

Nie )( H/jij xxxdI

Nj ,2,1))(

2(

2

xvmpi

e

)()2

(.

2

xvi

mpi

ee

)( 2

j

N

jN xxx d

1

11Nx 1Nx 2Nx 2Nx xx 0

v和 2p 互易2,

BABABA eeee

BAee

t

t

xtxtx N )()(

)( itxtt

N

t xxtxtx )()(

1

)(2 .

2

N

xvi

pmi

N xeex

)(exp 11

2

2

NNmpi

N xvi

xex

)(expdp 11

22

NN

pmi

N xvi

xeppx

)(exp)(dp 11p

2

NN

pmi

N xvi

xpex

)(exp),(),(pd 111p NNNpNN xvi

txtx

)(exp)(

2)((expdp

)2(

111

2

1 NNNNN xvi

ttm

pxxp

i

)(exp2

)(exp

2 1

21

21

NNN xv

ixxim

i

m

/)

2(exp

)2(

1),(

2

23t

m

prpitrp

t

m

iprp 2

exp)(2

)()(2

exp2 1

212

1

NNN xvxxmi

i

m

NnN Xxx

1

0lim

)(exp

2))(

2

1(exp

2 ,

21

12

21

NNNN xxi

im

mxvxm

i

i

m

L

),(dt

1expdx)

2(

2),( j

21

1

21

0

lim xxi

m

i

mtxtxk t

t

N

jN

L

),(exp))(D( xx

itx t

t

L

1,1dI jx Njxxx jj

Njppp jjj ,2,1dIp

當中 jjj xxxx ˆ

jjj pppp ˆ

‧相空間中的路徑積分

xk pI xI pI x

2)(

jk

k

xpi

jpkjexPx

3N

3

2312123 2

expddddd ppm

ixxxpppk

22

223 2exp)(exp pp

m

ixxxv

ip

12

112 2exp)(exp pp

m

ixxxv

ip

以 為例來推導

)()()()(

2expddddd 012

21

22

2312123 xvxvxv

ippp

m

ixxppp

011112222333 xppxxppxxppx

33

2

1 xpi

e

23

2

1 xpi

e

L

12123

6

ddddd2

1xxppp

exp ｛

)(

221

22

23 ppp

m

i

〔 )( 233 xxp

)()( 011122 xxpxxp 〕

)()()( 123 xvxvxvi

｝

N

jjjjjj

tx

tx

xvi

xxpi

pm

itxDtpDtxtxk

111

2),(

),(

)()(2

exp)()(),(

kj

N

K

N

J

N

dxdp1

11

2

2

1

))(

2( 1

21

1j

jjjj

N

jxv

m

pxxp

i

)( jxH

ttt

N

j

d

1

dtpxHxp

ixDpD t

t ),(exp

dtxxL

ixDpD t

t ),(exp