第十七章 格与布尔代数

§1 偏序与格

一、格的一般概念 偏序集 (P;≤) 是由一个非空的集合 P 及

在 P 上定义的偏序关系≤构成 在偏序集 (P;≤) 中，若对任意 a,bP 有

a≤b 或 b≤a 时称 P 为全序。 定义 17.1: 设 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任

意的 a,bL 有最小上界与最大下界时 ,称 L 为格。以 ab=lub(a,b) 表示 a,b 的最小上界 ,ab=glb(a,b) 表示 a,b 的最大下界。

定义 17.2:(L;≤) 为格 , 如果 a≤b,ab( 记为 a<b), 且不存在 uL-{a,b} 使 a≤u≤b,则称 b覆盖 a。

当 a<b 时 , 如有 c1,,ckL(k1), 使 ci+1

覆盖 ci(i=1,2,,k-1), 且有a=c1<c2<<ck=b, 则称 c1,,ck 为连接a,b 的链。如果 L 的任何两个元素 a<b,总有连接它们的链 , 则称 L 是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。

例 : 设 G 是一个群 ,L(G) 表示 G 的所有子群构成的集合 , 则 L(G) 关于集合包含关系构成一个偏序集 ,

并且是格 . 称为 G 的子群格 例 : 设 G 是一个群 ,P(G) 表示 G 的所有

正规子群构成的集合 , 则 P(G) 关于集合包含关系构成一个偏序集

并且是格 . 称为 G 的不变子群格

例 : 设 B={0,1},≤n 为定义在 Bn 上的关系 , 对任 (a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn) 当且仅当 ai≤nbi(1in), 显然这是一个偏序关系。并且 (Bn,≤n) 是格 .

格的定义是 : 设 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任意的a,bL 有最小上界与最大下界时 , 称 L 为格。

定义 17.3(L;≤) 为偏序集 , 当任 AL 有最大下界 , 最小上界时 ,L 显然是格 , 称为完全格。 L 自身的最小上界是整个格 L 的最大元 , 记为 1;L 自身的最大下界为整个格L 的最小元 , 记为 0 。于是任xL,x≤1,0≤x 。

注意 : 此处的子集 A 可以是有限的 , 也可以是无限的。

例如前面的子群格 L(G) 是完全格 .

例 : 取 S={a,b,c},(P(S);) 是一个格 , 其最大元是 S={a,b,c}, 最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界 , 如{{a},{a,c},{c}} 的最大下界是 , 最小上界是 {a,c}; 它是一个完全格。

要说明的是并不是所有的格都是完全格 .

二、作为代数系统的格 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任意的 a,bL 有

最小上界与最大下界时 , 称 L 为格。以ab=lub(a,b) 表 示 a,b 的 最 小 上界 ,ab=glb(a,b) 表示 a,b 的最大下界。而最小上界和最大下界都是 L 中的元素。

在格 (L;≤) 中，对任意两个元素 a,bL,可 唯 一 确 定 ab 和 ab, 且 它 们 都 属 于L ，和看作为集合 L 上的 2 个二元运算

定理 17.1:(L;≤) 为格 , 则对任意 a,bL有 :

(1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; (2)a≤b 当且仅当 ab=b; (3)a≤b 当且仅当 ab=a 。

非空集合 L 上和这两个二元运算所具有性质， [L;,] 为一个代数系统。

定理 17.2:(L;≤) 为格 , 任 a,b,cL 有 : L1 幂等律 :aa=a,aa=a;

L2 交换律 :ab=ba,ab=ba;

L3 结合律 :a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4 吸收律 :a(ab)=a, a(ab)=a 。

对于一个代数系统 [L;,], 其中 , 为 L 上的二元运算 , 它们满足 L1～ L4, 此时有何特点

引理 17.1: 在 [L;,] 中二元运算 , 满足 L1～L4, 则对任 a,bL,ab=a, 当且仅当 ab=b 。

引理 17.2 ：在 [L;,] 中 ,, 满足 L1 ～ L4, 在L 上定义二元关系≤ : 对任意 a,bL,a≤b, 当且仅当 ab=b ，则 (L;≤) 为偏序集。

自反 : 反对称 : 传递 :

在代数系统 [L;,] 中 ,, 满足 L1 ～ L4, 定义在 L 上定义二元关系≤ : 对任意 a,bL,a≤b,当且仅当 ab=b ，则 (L;≤) 为偏序集。

(L;≤) 是否为格？ 关键证明存在最小上界和最大下界 因此考虑是否能证明 ab,ab 为最小上界和

最大下界 先证明 ab 是 a 和 b 的上界 , 即是否成立 a≤ab, b≤abL1 L～ 4

然后证明 ab 为 a 和 b 的最小上界 即证明若存在 uL, 使得 a≤u,b≤u, 必有 ab≤u

定理 17.3: 如引理 17.2 所得之偏序集(L;≤) 为格。

定义 17.4: [L;,] 为一代数系统 ,, 为定义在 L 上的二元运算 , 当其满足 L1 ～ L4

时，称 L 为格。并称为积 ( 或交 ), 为和( 或并 )

例： Z+ 表示正整数集，对任意 a,bZ+,定义 :ab=(a,b) ( 最大公因子 )

ab=[a,b] ( 最小公倍数 )

, 是 Z+ 上的二元运算 它们满足 L1 ～ L4

取 Z+ 的子集 P={2n|n=1,2,}

有最大下界 2, 无最小上界，所以它不是完全格。

定义： [L;,] 为格，若 L 中存在元素 0 ，使得对任意的 xL 有 x0=x, 则称 0 为的单位元，并称 0 是格的零元；若 L 中存 在 元 素 1 ， 使 得 对 任 意 的 xL 有x1=x, 则称 1 为的单位元，并称 1 是格的单位元。

例： A 的幂集格 [P(A);,]群 G 的子群格 [L(G);,] [Z+;,] (Z;) 是格，但既无单位元，又无零元。

零元 ( 单位元 ) 存在则必唯一 定理：若格 [L;,] 存在零元 0 和单位元

1 ，则 0 和 1 分别是 L 的最小元和最大元。

由于具有零元和单位元的格一定有最小元和最大元，称为有界格。

定理 17.4( 保序性 ): 格 [L;,], 任a,b,cL, 当 b≤c 时有 ab≤ac 及ab≤ac 。

定义 17.5:[L;,] 为格 ,T, TL,T 关于 , 封闭 ( 即 a,bT 则 abT, abT) 时 ,则称 T 为 L 的子格。

必须注意的是：当 T 为 L 的子格时 ,T 一定是格 ; 但当 TL,T 关于 L 中的偏序关系≤为格时 ,T 不一定是 L 的子格。

例 ： S={1,2,3},S3={e,1, 2, 3, 4, 5}为三次对称群，则 (P(S3);) 是格，并且是 完 全 格 。 取 T={{e}, H1,H2,H3,H4,S3},其中 H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5} 都是 S3 的子群，则 (T; )是格 , 但它不是 (P(S3);) 的子格。

三、格的同态与同构 定义 17.6: 设 [L;,] 与 [S;+,·] 为两个格 ,

如果存在映射 :L→S 使对任 a, bL 有 : (ab)=(a)+(b), (ab)=(a)·(b), 则称为 L 到 S 的同态映射 , 当 (L)=S 即为满射时又说格 L与格 S同态 ; 当是一一对应时说格 L与 S同构 ; 若 S=L 时又分别称它是自同态与自同构。

定理 17.5: 格 [L;,] 与格 [S;,] 同态 , 为其同态映射 , 则是保序映射 , 即对任 a, bL, 当 a≤b 时 ,(a)≤(b) 。

保序映射不一定是同态映射

定理 17.6: 是格 L 到格 S 的一一对应 , 则是同构映射 , 当且仅当 : 对任何a,bL,a≤b 当且仅当 (a)≤(b) 。

作业 P356 3,8,9,10答疑时间：5 月 3 日 ( 周二 ) 下午 3 ：

00——5 ： 00地点：软件楼 4 楼密码与

信息安全实验室

L1 幂等律 :aa=a,aa=a;

L2 交换律 :ab=ba,ab=ba;

L3 结合律 :a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4 吸收律 :a(ab)=a, a(ab)=a 。

定理 17.5: 格 [L;,] 与格 [S;,] 同态 , 为其同态映射 , 则是保序映射 , 即对任 a, bL, 当 a≤b 时 ,(a)≤(b) 。