~ ファジィ解析における微分とその意思決定および金融工学への応用 ~

東京工業大学 大学院総合理工学研究科知能システム科学専攻社会人博士課程修了

戒　野　敏　浩

（現在：青山学院大学助教授）

Differentiation in Fuzzy Calculus and its Applicationsto Decision Making and Financial Engineering

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用①

1) ファジィ関係の Y-CG 微分

2) 設備投資意思決定への応用

9 つのファジィ要因

ファジィ関係(ROI× 各要因 )

ﾓﾝﾃｶﾙﾛ･　ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ

(10,000 回 )

ファジィ関係の Y-CG 微分

感応度分析

要因の変化に対する ROIの変化率

(IFSA99,IJFS99)

(David 　 Hertz 氏のﾃﾞｰﾀ )

9 つのﾌｧｼﾞｨ要因

関係ﾌｧｼﾞｨ(ROI× 要因 )

ﾓﾝﾃｶﾙﾛｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ(10,000 回 )

関係のﾌｧｼﾞｨY-CG 微分

感応度分析

一つの要因の値を変化させた場合のROI の変化の度合

3 つの推定値 ( 精確な値 / 最も悲観的な値 / 最も楽観的な値 )

9 つの要因化ﾌｧｼﾞｨ

意思決定

ROI の分布ﾌｧｼﾞｨ

1. 需要2. 単価3. 市場の成長率4. ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ5. 投資額

6. 耐用年数7. 残存価値8. 変動費9. 固定費

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用②

(IFSA99,IJFS99)

売上数量＝市場の需要 × ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ売上高＝売上数量 × 単価総コスト＝変動費損益＝売上高－総コスト

ROI ＝損益

投資額

(David 　 Hertz 氏のﾃﾞｰﾀ )

９つの要因のファジィ分布

3 1712

① マーケットシェア (%)

悲観的な値 / 精確な値 / 楽観的な値

図 3.1 　 の 分布ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ ﾌｧｼﾞｨ

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用⑤

④ 市場成長率 (%)

図 3.1 　９要因のファジィ分布

② 市場の需要 (ton)

10 34

25

③ 単価 ($/ton)

385 575510 0 3 6

⑤ 変動費 ($/ton)

370 545435

⑥ 残存価値 (million $)

350 500450

⑦ 投資額 ($/ton)

700 1050950

⑧ 固定費 ($/ton)

250 375300

⑨ 耐用年数 (years)

5 1510

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用⑥

David Hertz 氏の指摘 :

精確な推定値 ROI: 25.2%

ファジィな推定値

ROI のファジィ分布

ROI の平均 : 17.0% 意思決定

影響

違い

売上数量＝市場の需要 × ﾏｰｹｯﾄｼｪｱ

売上高＝売上数量 × 単価

総コスト＝変動費

損益＝売上高－総コスト

ROI

＝ 損益投資額

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用⑦

図 3.4 　単価 x0( ＄ /ton) と ROI f(x0) (%) の関係

ROI (%)

単価（＄ /ton ）

F （ x ０） (m=10)

f （ x

０）

(IFSA99,IJFS99)

(Page 33)

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用⑩

γ: 感応度

単価 ($/ton)

図 3.5 単価と感応度 γ の関係

精確な値 式 (48)of page 30

=0.3∂ROI∂ 単価

(IFSA99,IJFS99)

(Page 35)

0.39

精確な値

1 関係のﾌｧｼﾞｨ Y-CG 微分と設備投資意思決定への応用⑪

3.1 　 設備投資意思決定への応用 ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｾﾝﾀｰ①

設　計会　社

ｺﾝｾﾌﾟﾄﾃﾞｻﾞｲﾝ

免震構造

発注

Choquet 積分の微分

① 耐震構造② 有効利用スペース　　③内外観④ 電力供給

ｺﾝｻﾙﾀﾝﾄ

f

μ

会議有効ｽﾍﾟｰｽ

耐震構造電力供給

外観

評価

重視度

計画

総合評価

(C)∫f dμX

どの評価指標を改善すべきか？

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(FUZZ-IEEE99)

( 思考実験 )

［結果］○ どの評価指標を改善することが最も総合評価を上げることに繋がるか？

　　　 1. 　各評価指標の重視度 μ による順位 :

　　　　　　①　 μ( 有効スペース ) ＝０．５　　　　　　②　 μ( 耐震構造 ) ＝０．４ (37)　　　　　　③　 μ( 電力供給 ) ＝０．３　　　　　　④　 μ( 内外観 ) ＝０．２

　　　 2. 　 V( 各評価指標の変化に対する総合評価の変化の度合 ) に　　　　　もとづく順位 :

　　　　　　①　 V （耐震構造） ＝０．３５　　　　　　②　 V （有効スペース） ＝０．３２ (38)　　　　　　③　 V （内外観） ＝０．２　　　　　　④　 V （電力供給） ＝０．１３　　

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3.1 　 設備投資意思決定への応用 ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｾﾝﾀｰ②

(FUZZ-IEEE99)

3 ． 2 　長期債券格付けへの応用 ①　

連結重視

グローバルスタンダード経営への転換

資金調達：間接金融→資本市場

　　格付　　

株価取引環境

セルフアセスメント 高い格付を獲得する経営・財務戦略

資金調達力 ( 金利 )

事業会社経営

上場 M&A MBO

情報システムによるサポート

事業会社評価・育成に関する社内 確立ｼｽﾃﾑ

ｲﾝﾊﾟｸﾄ

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(JACI2000)

3 ． 2 　長期債券格付けへの応用 ②　

定量指標

定性指標

長期債券格付けモデル

① による長期債券格付けモデルの同定ﾆｭｰﾗﾙﾈｯﾄ

(C)∫f(x) dμX

Moody’s の格付け順位

Choquet積分による格付け順位

μ の初期値

順位の誤差二乗和が最小になる方向に μ を変更

Choquet 積分の微分

定量指標

定性指標

格付け向上に影響の大きい指標をアドバイス

② 格付向上 ・ｱﾄﾞﾊﾞｲｽ ｼｽﾃﾑ

局所解重視度： μ

格付け向上への影響の大きさ

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(JACI2000)

( 社ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞ )

( 東洋経済社 )( ﾑｰﾃﾞｨｰｽﾞ )

( 社ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞ )

( 東洋経済社 )

3 ． 2 　長期債券格付けへの応用 ③　

各 17 格付けを代表する企業の定量・定性ﾃﾞｰﾀ

長期債券格付けモデル

による長期債券格付けモデルの同定ﾆｭｰﾗﾙﾈｯﾄ

(C)∫ f(x) dμX

Moody’s の格付け順位

Yj

Choquet

積分値による格付

け順位　 yj

μ の初期値

順位の誤差二乗和

が最小になる方向に μ を変更

局所解重視度： μ

　　 L(μ(xi)) ＝∑（ Yj －ｙ j ） 2

μ(事業利益 )=0.39， μ( ｷｬｯｼｭﾌﾛｰ )=0.41， μ( ｲﾝﾀﾚｽﾄｶﾊﾞﾚｯｼﾞ )=0.40，μ(当座比率 )=0.38， μ(流動比率 )=0.40,μ(棚卸資産回転率 )=0.40，　μ( 売掛債権回転率 )=0.47， μ(ROE)=0.40， μ(ROA)=0.40， μ(組織 )=0.37μ(レバレッジ )=0.41， μ( シェア )=0.49， μ(経営陣 )=0.39 ， μ(規制 )=0.40

偏差値

f

5000 回探索

［ μ算出のために選択した企業］日本電信電話 (Aaa), 大日本印刷 (Aa1),松下電器産業 (Aa2), ｷﾘﾝﾋﾞｰﾙ (Aa3),京ｾﾗ (A1), ｼｬｰﾌﾟ (A2),雪印乳業 (A3),日清紡 (Baa1),伊藤ﾊﾑ (Baa2),加 吉ﾄ (Baa3), ｻｯﾎﾟﾛﾋﾞｰﾙ (Ba1),ﾅﾑｺ (Ba2), ｴｽ･ﾊﾞｲ･ｴﾙ (Ba3),日商岩井 (B1), ﾀﾞｲｴｰ (B2),ﾊｻﾞﾏ (B3), ﾌｼﾞﾀ (Caa1)

（定量指標 / 東洋経済）x1 ：事業利益 　　　 x2 ：キャッシュフローx3 ： 　ｲﾝﾀﾚｽﾄ･ｶﾊﾞﾚｯｼﾞ x4 ：当座比率x5 ：流動比率　　　　 x6 ：棚卸資産回転率x7 ：売掛債権回転率 x8 ：ＲＯＥx9 ：ＲＯＡ x10 ：レバレッジ

（定性指標 / 社）ﾀﾞｲｱﾓﾝﾄﾞx11 ：シェア x12 ：経営陣x13 ：組織 x14 ：規制

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(JACI2000)

(TOYOKEIZAI)

Aa A

C

図 3.1 　 の格付け区分毎に分けられた企業群ﾑｰﾃﾞｨｰｽﾞ (81社 )　　　 　の Choquet 積分値による格付け結果

X軸： Choquet 積分による格

付

Y軸：企業数

Ba B

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3 ． 2 　長期債券格付けへの応用 ④

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3 ． 2 　長期債券格付けへの応用 ⑥

連結決算処理ｼｽﾃﾑ

事業会社経営計画集計管理ｼｽﾃﾑ

経営分析ｸﾞﾙｰﾌﾟ / 投融資判断支援ｼｽﾃﾑ

ｽｺｱﾘﾝｸﾞ ( 格付 )機能(Choquet 積分 )

向上 機能ｽｺｱﾘﾝｸﾞ ｱﾄﾞﾊﾞｲｽ(Choquet 積分の微分 )

倒産確率算出機能 倒産判別機能

財務診断機能 別企業診断機能ｶﾃｺﾞﾘｰ

集計表 機能ﾄﾞﾘﾙﾀﾞｳﾝ 出力帳票 / 機能ﾌｧｲﾙ

事業・審査管理ｼｽﾃﾑ

定量ﾃﾞｰﾀ 定性ﾃﾞｰﾀ

特長：① 格付が公開されている上場企業のみならず、事業会社、非上場企業も分析可能。　　　 ② 格付結果のみならず、どの部分を改善すべきか が可能。ﾌｨｰﾄﾞﾊﾞｯｸ　　　 ③ 定量 のみならず、定性 も指標化し、分析に反映することが可能。ﾃﾞｰﾀ ﾃﾞｰﾀ

経営分析ｸﾞﾙｰﾌﾟ / 投融資判断支援ｼｽﾃﾑ

○ 　効率的な連結経営管理の　　為の 機能の強化ｺﾝｻﾙﾃｨﾝｸﾞ○ 　投融資判断支援の強化

外部情報Moody’s,S&P,帝国 DB,他

経営管理部門事業審査部門営業部門事業会社経営層

ｲﾝﾄﾗﾈｯﾄ

オプション：ある商品をある条件のもと、一定期間に買い付け　　　　　　　る権利 ( コール )、売り付ける権利 (プット )のことで、　　　　　　　オプション取引とは、当該権利を売買するものである。 ﾌﾞﾗｯｸ･ｼｮｰﾙｽﾞ

ﾓﾃﾞﾙ( 対数正規分布仮定 )

［理論価格］・ ・ 価格ｺｰﾙ ｵﾌﾟｼｮﾝ・ ・ 価格ﾌﾟｯﾄ ｵﾌﾟｼｮﾝ・デルタ（重要な 指標ﾘｽｸ )　　　・・・

行使価格金利市場価格ボラティリティ取引日行使日

○ 基本仮定 :原資証券の価値→　

必ずしも従わない

トレーダーのバイアス 影　響

対数正規分布過程

3.3 　金融オプション取引への応用　①　

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3 ． 3 　金融オプション取引への応用　⑤日経平均株価指数 （大阪証券取引所）ｵﾌﾟｼｮﾝ

1600016500170001750018000

コ｜ル

<日経平均株価指数オプション・大証 >

行使価格

1600016500170001750018000

プット

840440200

8035

終値

５月

－ 140－ 130－ 90－ 45－ 10

102065

190430

取引高

0+5

+15+55

+110

826111629341954

502

90160275500650

+10+20+45

+120+45

321496430403

60

62757324446415951292

190270420600845

44031811505293906117

1080690440255145

－ 100－ 80

－ 105－ 75－ 40

1731

776911401

5456994

120148035566

1430820570390255

６月

建玉

－ 140－ 130－ 90－ 45－ 10

前日比 終値 取引高 建玉前日比

７月

終値

84277200722636583844

日経平均 HV 15.4日経平均 IV 24.0

ｺｰﾙ 12621 ﾌﾟｯﾄ 11361 ｺｰﾙ 68612 ﾌﾟｯﾄ 97107

総取引高 総建玉

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

(99 年 4月 30日 )

3.3 　金融オプション取引への応用　⑦

μ

S1+r

μ

FP

図 5.9 　満期日における日経平均のファジィ分布

取引日の日経平均16199.99

満期日の日経平均を取引日の価格に割り引いた価格

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(IEEE SMC99)

1999 年 2月 19日 ~5月 20日までの期間（ 60取引日 )の日経平均株価指数の終値を使用

3200 台以上出荷するには追加設備投資発生

販売数量　［ 0,1000) 　 [1000,2000) 　 [2000,3000) 　 [3000,4000) 　 [4000,5000)

可能性　　　　０．０　　　　　 １　　　　　　　４　　　　　　　４　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　 ３ ９　　　　　　　９　　　　　　　３

（上記台数区間内は加法的測度、台数区間相互間は λ ＝－ 3/4 （ μ(X)=1) のファジィ測度とする）

表 5.7 過去実績による新車が 1 年間に販売される台数予測

販売予測： μ(台数区間毎の 分ﾌ ｧ ｼ ﾞ ｨ布 ) X軸実数値

区間限定Choquet 積分

新車の販売台数による期待販売収入： F

新車の販売台数当りの収入：　 f　

Choquet 積 分のx における微分

１台当りの期待収入： F’

１台当りのコスト

意思決定

その他の情報

１台当りの期待収益（ ROI)

差

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3.4 　自動車工場設備投資意思決定への応用 ( 思考実験 ) 　①　

(FUZZ-IEEE2000)

3.4 　自動車工場設備投資意思決定への応用　②　

台数図 5.12 　販売台数と期待売上の関連図

1000 2000 40003000 5000

F(x,μ) ：単位：百万円

3,228

2,244

1,422

500

○ 新車の販売台数当たりの収入

　　　　　　　 x 　　（ 0 ≦x 2000)≦

f(x)= 　 0.9(x － 2000)+2000 　 （ 2000≦x 4000)≦

　　　　 0.8(x － 4000 ） +3800 　（ 4000≦x 500≦

0) ． ○ 新車の販売台数における期待販売収入

x2

6000500 3 (1000≦x＜ 2000)

(0≦x＜ 1000)

F(x,μ)=

0

2x2

10000 790

1300 9

2x2

10000 52135

7000 9

(3000≦x＜ 4000)

(2000≦x＜ 3000)

x2

7500221540

52400 27

(4000≦x＜ 5000)

－

－ x－

－ x＋

－ x＋

0

(196)

(197)

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用(FUZZ-IEEE2000)

(page98)

新車の販売計画

年間 3,200台の生産能力

年間 3,200 台以上の出荷追加投資否決

追加投資 ?

意思決定者

3 ． Choquet 積分の微分の意思決定及び金融工学への応用

3 ． 4 　自動車工場設備投資意思決定への応用　③

F‘(x,μ)

台数

１台販売が増減した時の期待売上の増減額

１台当たりのコスト

工場の新規設備投資が必要

1000 2000 40003000 5000

(FUZZ-IEEE2000)

図 5.13 販売台数と１台販売が増減した時 　　の期待売上の増減および１台 　　当たりのコスト関連図

論文一覧１．査読付論文誌[1] T.Kaino, K.Hirota: “Y-CG Derivative of Fuzzy Relations and its Application to Sensitivity Analysis”, 　　　 “ The International Journal of Fuzzy Systems”,Vol.1, No.2,pp.129-132 (Dec.1999)[2] T.Kaino, K.Hirota:“Differentiation of the Choquet Integral and Its Application to Long-term Debt Ratings”, 　“ Journal of Advanced Computational Intelligence”.(to appear)

２．国際会議[3] T.Kaino, K.Hirota: "Derivative of Fuzzy Relations and Its Application to Capital Investment Decision Making Problem", “Proc. of IFSA'99, Taiwan”, pp. 995-998, 1999. [4] T.Kaino, K.Hirota: "Differentiation of the Choquet Integral of a Nonnegative Measurable Function", “Proc. of FUZZ-IEEE'99”, Seoul, Vol. , pp.1322-1327, 1999. Ⅲ[5] T.Kaino, K.Hirota: “Differentiation of Nonnegative Measurable Function Choquet Integral over Real Fuzzy Measure Space and its Application to Financial Option Trading Model”, “Proc. of IEEE SMC’99, Tokyo”, , pp.73-78, 1999. Ⅲ[6] T.Kaino, K.Hirota: “Differentiation of Choquet Integral for Nonnegative Measurable Function

and its Application to Capital Investment Decision Making Problem”, “Proc. of FUZZ-IEEE2000, Texas”, pp.89-93, 2000.

３．国内学会の口頭発表[7] 戒野 , 廣田 : “Choquet 積分における非負可測関数に関する微分” , 　“第 15 回 ﾌｧｼﾞｨ ｼｽﾃﾑ 講演論文集ｼﾝﾎﾟｼﾞｳﾑ , 　大阪“ , pp. 805-806, 1999. [8] 戒野 ,廣田 :“Choquet 積分の微分とその経営 / 金融分野への応用” , “第 10 回ｿﾌﾄｻｲｴﾝｽ･　　　　　　　　　　 講演論文集ﾜｰｸｼｮｯﾌﾟ “ , 草津 , pp.92-95, 2000.