Математическая статистика

Математическая статистика

1 1 0 2 2 1 2 3 2 1

2 2 0 4 3 1 3 1 2 1

1 1 2 2 2 3 4 1 3 3

3 2 2 2 1 3 1 2 2 1

2 3 3 6 2 2 2 1 0 2

1 2 3 2 1 0 2 2 1 0

2 0 1 0 1 3 2 1 1 1

1 1 6 2 1 3 2 1 2 1

-количество детей в семье

выборка

Статистический закон распределения0 1 2 3 4 5 6

7 27 29 13 2 0 2 80

8,180

120839582701 7

1

i

iinxnMxВыборочное среднее

Выборочная дисперсия 31,18,11 7

1

2 i

ii nxn

D

1,32658231,179802 S 1,15S

6543210

Гистограмма и полигон

8031,129,08,1 0

aP

tnDtaP 028,1

Доверительный интервал матожидания

nDtxnDtx ;

Найти интервал в который матожидание попадает с вероятностью 0,9

64,145,00 tt

nDxaP

02

9,02128,08,1 0 ttaP

128,064,18,1;128,064,18,1

01,2;59,1

…… с вероятностью 0,4

525,02,00 tt 0672,08,1128,08,1 aPtaP

867,;1733,1

xaP (Дисперсия неизвестна)

n

S

an

T

n

ii

1

1

axP

Доверительный интервал матожидания

nDtxnDtx ;

Найти интервал в который матожидание попадает с вероятностью 0,9

Распределение Стьюдента

Sn

TP

значимости уровень

свободы; степеней )1( ы таблициз

n

tTP 9,09,0 tTP

64,145,00 tt

128,064,18,1;128,064,18,1

01,2;59,1

Статистический закон распределения

0 1 2 3

1 4 4 2 11

64,111

68401 4

1

i

iinxnMxВыборочное среднее

Выборочная дисперсия

53,011

236,1436,04)64,0(064,1

1 2224

1

2 i

ii nxn

D

0,58653,010112 S

Доверительный интервал матожидания =0,9

nDtxnDtx )(;)(

64,123,064,1;64,123,064,1 64,145,00 tt

23,0)( 2 nSD

,263;2,021

Доверительный интервал матожидания =0,9 (по Стьюденту)

81,1)10(9,09,0 tntTP

nStxnStx ; 23,081,164,1;23,081,164,1 05,2,22;1

Вопрос 1. Найти доверительный интервал при =0,8 для мат.ожидания, по выборке:

Значение (метры) 250 255 260 265

кол-во 8 2 6 4

Доверительный интервал для матожидания c дов.вероятностью =0,8

неизвестнаDD 1920

)(5,25620

2654260625522508 x

Задача. Глубина моря измеряется прибором ИГМ.

47,35

205,845,365,125,68 2222

D 34,37)( D

33,18,0 8,08,0 ttTP

nStxnStx 22 ; 37,133,15,256;37,133,15,256

3,258;7,254

Вопрос 2. Найти доверительный интервал при =0,75 для мат.ожидания, по выборке:

Значение (метры) 250 255 260 265

кол-во 8 2 6 4

Доверительный интервал для матожидания =0,75

nDtxnDtx )(;)(

20

1515,15,256;

20

1515,15,256

15,1375,00 tt

известнаD 22515)( 2

3652,64;260,2

5,25620

2654260625522508 x

86,35,256;86,35,256

Задача. Глубина моря измеряется прибором ИГМ. Случайная ошибка при измерении распределена нормально с а=0 и =15 метров.

Вопрос 3. сколько необходимо замеров, чтобы с вероятностью 0,9 определить глубину моря с точностью до 5м?

Доверительный интервал для матожидания =0,9

9,05 xaP

645,145,00 ttизвестнаD 22515)( 2

Задача. Глубина моря измеряется прибором ИГМ. Случайная ошибка при измерении распределена нормально с а=0 и =15 метров.

9,055 xaxP

nDtxnDtx )(;)(

5225645,1 n15645,1

51

n

35,24 n

7.4. Гипотезы(гипотеза) ниепредположеH гипотезаожнаяпротивополH

HHP | Вероятность того, ошибочно отвергнута гипотеза Н.

(ошибка 1го рода)

HHP | Вероятность того, ошибочно принята гипотеза Н.

(ошибка 2го рода)

Проверка гипотез о законе распределения

выборка ,..., 21 n"" нормальныйнияраспределезаконH

Критерий согласия — критерий о законе распределения

Критерий Пирсона

Критерий Колмогорова


nxxx ,..., 21

10010201010

12110

...

,...,, интервал

ьвероятност каятеоретичес

kk

kk

aaaaxa

aaaaaa

k

kk

nnn

aaaaaa

...

,...,, интервал

21

12110

статистика

iiii aann 100

k

i i

i

np1

22 распределена по Пирсону с (k-3) степенями свободы

япринимаетсHk 2

3,2

яотвергаетсHk 2

3,2

Требование к выборке: в каждом интервале больше 5 элементов

HHP |


nxxx ,..., 21 )(* xF — статистическая функция распределения

21

)(max 0* xFD

xn — статистика Колмогорова

)(xKxDnPn

n — распределение Колмогорова

0,2

ln21

1 K

яотвергаетсHKDn n 1 ядопускаетсHKDn n 1

HHP |

Задача. Мерили рост. Намерили таблицу данных.Проверить гипотезу о том, что закон распределения, которому подчиняется CВ — нормальный. Допустимую ошибку первого рода принять за 0,05

[150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190)

6 22 36 46 56 24 8 2


[150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;…)

6 22 36 46 56 24 10

5,1681024564636226

185105,177245,172565,167465,162365,157225,1526

x

6,532 S


[150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;…)

6 22 36 46 56 24 10

0,026 0,091 0,193 0,268 0,23 0,129 0,06

5,2 18,2 38,6 53,6 46 25,8 12

0,8 3,8 2,6 7,6 10 1,8 2

4678,085,13,7

5,16815500

6,532 S

4938,053,23,7

5,16815000

377,016,13,7

5,16816000

1844,048,03,7

5,16816500

0832,021,03,7

5,16817000

3133,089,03,7

5,16817500

4418,057,13,7

5,16818000

5,0...0

12

28,25

8,146

106,53

6,76,38

6,22,18

8,32,58,0 2222222

1

22

k

i i

i

np

79,433,0126,017,207,1175,0793,0123,0 5,924;05,0

Может и нормальный…


)(* xF

21

)(max 0* xFD

xn

358,1205,0

ln21

05,01 K япринимаетсHKDn n 1

интервал [150;155) [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190)

частотапопадания 6 22 36 46 56 24 8 2

F* 0 6/200 28/200 64/200 110/200 166/200 190/200 198/200

Ф0 -0,4938 -0,4678 -0,377 -0,184 0,0833 0,3133 0,4418 0,487

0.5+Ф0 0,0062 0.0322 0,123 0,316 0,583 0,8133 0,9418 0,987

D 0,0062 0,0022 0,017 0,004 0,033 0,0167 0,0082 0,003

46,0033,014,14 nDn

нормальный, может быть

Documents

Математическая статистика