Презентацията, която ще Презентацията, която ще видите е изработена видите е изработена

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5

1 371

0,856x

Графика на функции и уравненияГрафика на функции и уравнения

ФункцияФункция

Под функция се разбира съпоставяне на елементи от дадено множество на елементи от друго множество (не

непременно различно от първото) така, че на всеки елемент от първото множество да е съпоставен точно един елемент от

второто множество. Функциите са обект на изследване в много дялове на

математиката и служат при дефинирането на други математически

обекти. В зависимост от важните за конкретното приложение свойства и

необходимата точност дадена функция може да бъде посочена чрез формула, чрез графика, чрез алгоритъм, чрез описание на

свойствата ѝ или чрез описание на връзката ѝ с други функции.

Линейна функцияЛинейна функция

Линейна функция се задава с формулата y = kx+b, където k - е тангенс на ъгъла, под който правата пресича абсцисната

ос  и се нарича ъглов коефициент.

b - ордината на точката на пресичане b - ордината на точката на пресичане

на правата с ординатната ос.на правата с ординатната ос.

Да построим  графиката на функцията  y = 2x+1.Да построим  графиката на функцията  y = 2x+1.Както е известно, за построение на права са Както е известно, за построение на права са ни достатъчни две точки:ни достатъчни две точки:

x y

0 1

-1/2 0

Ще  разгледаме три особени случая на Ще  разгледаме три особени случая на

линейна функция от вида линейна функция от вида y = kx+by = kx+b При k = 0 - графиката на функцията е успоредна на абцисната ос

При  b = 0 - графиката преминава през началото на координатната система

При y = 0 , то kx + b = 0  откъдето  x =  - (b/k) - графиката на

функцията е успоредна на ординатната ос

Квадратна функцияКвадратна функция

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c,

където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.

Графиката на такава функция с реални коефициенти

е парабола, която пресича абцисната ос в точки с

координати A(x1,0) и B(x2,0),

когато дискриминантата D = b2 − 4ac наквадратното

уравнение f(x) = 0 е положителна.

Числата x1 и x2 са корени на това уравнение и могат

да се намерят по формулата:

При построяването на графиката на квадратната функция

у = ах2 + bх + с първо намираме върха на параболата ,а после намираме и пресечните точки на функцията с оста Ох като намерим корените на уравнението

ах2 + bх + с=0

D > 0 ( 2 D > 0 ( 2 различнразличнии кор корееннаа ) )

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

у < 0 при х є ( х1; х2)

у > 0 при х є ( -∞; х1) υ ( х2; +∞)

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

у < 0 при х є ( -∞; х1 ) υ ( х2; +∞ )у > 0 при х є ( х1; х2 )

D = 0 ( D = 0 ( еедин корен Хдин корен Х00))

у < 0 няма корени

у > 0 при х є ( ∞; х0 ) υ ( х0; +∞)

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

у < 0 при х є ( -∞; х0) υ ( х0; +∞ )у > 0 няма решение

D < 0 ( нD < 0 ( нямаяма кор корееннии ) )

0

2

4

6

8

10

12

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

у < 0 няма решениеу > 0 при всяко х є R

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

у < 0 при всяко х є Rу > 0 няма решение

Функция у = k / хФункция у = k / х

Функция от вида у = k/х, където

k ≠ 0 се нарича обратно пропорционална.

Графиката на тази функция представлява хипербола.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Графично решаване на уравненияГрафично решаване на уравнения

Графичният метод е полезен при решаване на задачи, в които се изисква да се определи

броят на корените на даденото уравнение и приблизителната им стойност.

Метод за решениеМетод за решение

Примери на задачи с теоретичен характер...

Нека у = f(х) = ах2 + bх + с, където а, b, с са числа, а ≠ 0. Да означим

корените на квадратния тричлен с х1 и х2, а дискриминантата – с D,

D = b2 – 4ас и х1,2 = - b/2а ± D/ 2а.

Всички разсъждения ще правим, предполагайки, че а > 0. Ако а < 0, то тези разсъждения се правят

аналогично.

При какПри каквви условия и условия дватадвата кор кореенна наа на квадратно квадратнотто уравненио уравнение е ахах22 + + bbх + с = 0х + с = 0 са по-големи отса по-големи от н някаквякакво дао дадедено числно числоо mm??

За да формулираме необходимите условия, ще начертаем

графиката на функцията у = f(х), удовлетворяващи това

условие. Първо, тя пресича абцисната ос

или се допира до нея D ≥ 0 – уравнението има

корени; Второ, f(m) > 0,

Трето, тъй като квадратния тричлен, графиката на който е

изобразена на чертежа с пунктир, също притежава тези

свойства, то трябва да покажем, че условието на

задачата се удовлетворява от парабола, абцисата на която

лежи по-надясно от точка m, т.е. b/2а > m.

По този начин намираме необходимотоПо този начин намираме необходимото условие: условие: дватадвата кор кореенна са по-големи от а са по-големи от m m

в в само в само в случаслучайй, , че:че: D ≥ 0,D ≥ 0,

f(m) > 0, f(m) > 0, – – b/2а > m.b/2а > m.

При какПри каквви условия кори условия кореенините нате на квадратно квадратнотто уравненио уравнениее ахах22 + + bbх + с = 0х + с = 0 лежат от разлежат от различнилични стр страниани на на числчислотоото mm??

Графиката на функцията у = ах2 + bх + с ,

при а > 0 е изобразена на чертежа:

Получаваме неравенството

f(m) < 0, необходимото

условие е тъждествено на

системата: D > 0 f(m)

< 0

Задачи

За кои стойности на параметъра За кои стойности на параметъра а, а, корените на уравнениетокорените на уравнението хх22+х+а=0 +х+а=0 са реални, различни, по-големи от а?са реални, различни, по-големи от а?

Ако f(а) > 0, х0 > а и D > 0, където f(х) = х2 + х + а, то двата корена

са реални, различни и двата по-големи от а. Ще запишем тези

условия със система неравенства:

а2 + а + а > 0 а(а + 2)>0 -1/2 > а < = > а <-1/2 -2 -1/2 0 1/4

1-4а > 0 а<1/4

Всяко а є (-∞; -2) е решение на задачата.

Намерете при какви стойности на параметъра m единият корен на квадратното уравнение x2+mx+6=0 се намира в интервала (1;2), а

другият е по-голям от 2.

Графиката на квадратната функция у= x2+mx+6 е парабола, насочена

нагоре, тъй като коефициентът пред x2 е положителен. Тя трябва

да пресича оста Ох в точките от интервалите

(1;2) и (2;), т.е. да изглежда така:

Това ще бъде изпълнено, ако

у(1)>0, у(2)<0, т.е. ако 1+m+6>0, 4+2m+6<0.

От тези неравенства намираме -7<m<-5,

т.е.m(-7,-5)

Графично решение на уравнението xГрафично решение на уравнението x22= -x+2= -x+2

Корени на уравнението са такива x, за които двете страни имат равни стойности. Абцисите на общите точки на

графиките на функциите y=x2 и g= -x+2 изпълняват това условие. Чертаем двете графики в една и съща координатна система и намираме общите точки.

Техните абциси са решения на уравнението.

Записваме дадената функция във вида

Да се начертае графиката на функциятаДа се начертае графиката на функцията 2x-5y=

x-3

2 5 2 6 1 2( 3) 1 12

3 3 3 3

x x xy

x x x x

Тогава построяването на нейната графика може да се извърши на следните етапи:

Построяваме графиката

на обратната пропорционалност

y=1/x

Преместваме тази графика на

разстояние 3 единици надясно,

успоредно на оста Ох. Получаваме графиката на

функцията y=1/(x-3)

Така получената

графика преместваме на 2 единици

нагоре успоредно на

оста Oy Получаваме графиката

на функцията 1 2 5

23 3

xy

x x