Вейвлеты и банки фильтров

ВейвлетыВейвлетыи банки фильтрови банки фильтров

Лектор: Лукин Алексей СергеевичЛектор: Лукин Алексей Сергеевич

ПланПлан

Вейвлеты и их связь с банками фильтровВейвлеты и их связь с банками фильтров►Непрерывное вейвлет-преобразованиеНепрерывное вейвлет-преобразование►Дискретное вейвлет-преобразованиеДискретное вейвлет-преобразование►Квадратурные зеркальные фильтрыКвадратурные зеркальные фильтры►Пирамидальное представление данныхПирамидальное представление данных

Банки фильтров: Банки фильтров: DFT, MDCTDFT, MDCT Применения банков фильтровПрименения банков фильтров

►АудиоэффектыАудиоэффекты►ШумоподавлениеШумоподавление►Компрессия звука и изображенийКомпрессия звука и изображений

Понятие вейвлетаПонятие вейвлета

Вейвлеты – это сдвинутые и Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии масштабированные копии ψψa,ba,b(t)(t) ((«дочерние «дочерние

вейвлеты»)вейвлеты») некоторой быстро затухающей некоторой быстро затухающей осциллирующей функции осциллирующей функции ψψ(t)(t) («материнского («материнского вейвлета»)вейвлета»)

Используются для изучения частотного Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и состава функций в различных масштабах и для разложениядля разложения//синтеза функций в синтеза функций в компрессии и обработке сигналовкомпрессии и обработке сигналов

a

bt

atba 1)(,


Условия, обычно накладываемые на Условия, обычно накладываемые на ψψ(t):(t):

► ИнтегрируемостьИнтегрируемость

► Нулевое среднее, нормировкаНулевое среднее, нормировка

► Нулевые моменты (Нулевые моменты (vanishing moments)vanishing moments)

dtt)(

dtt2)(

0)(

dtt 1)(2

dtt

0)(

dtttm


Примеры вейвлетовПримеры вейвлетов

Meyer

Mortlet

Mexican hat

Непрерывное вейвлет-Непрерывное вейвлет-преобразование (преобразование (CWT)CWT)

Скалярные произведения исследуемой Скалярные произведения исследуемой функции функции f(t) f(t) с вейвлетами с вейвлетами ψψa,ba,b(t)(t)

dtttxxbaxW baba )()(,),}({ ,,

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование (преобразование (DWT)DWT)

Используются лишь целочисленные Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 разараза

Возможность построения ортогонального Возможность построения ортогонального преобразованияпреобразования

Дискретный вейвлетДискретный вейвлет::1.1. Последовательность чиселПоследовательность чисел

2.2. Ортогональна своим сдвигам на четное число Ортогональна своим сдвигам на четное число точекточек

3.3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлетуортогональная вейвлету

][2 mh

0,,0]2[][ 22

kZkkmhmhm

0][][ 21

m

mhmh

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Простейший случай вейвлет-Простейший случай вейвлет-преобразованияпреобразованияДан входной сигнал Дан входной сигнал x[n]x[n]

Образуем от него последовательности полусумм и Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей:полуразностей:

Легко видеть, что сигнал Легко видеть, что сигнал x[n] x[n] можно восстановить:можно восстановить:

Такое кодирование избыточно: из одной Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем двепоследовательности получаем две

2

]1[][][*1

nxnxnx

2

]1[][][*2

nxnxnx

][][][ *2

*1 nxnxnx

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Устранение избыточностиУстранение избыточностиПроредим полученные последовательности в 2 Проредим полученные последовательности в 2

разараза::

Легко видеть, что справедлив алгоритм Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:восстановления:

]2[][ *11 nxnx ]2[][ *

22 nxnx

2,1,0

,2][

iнечетноеn

четноеnn

xny i

i (интерполяция нулями)

]1[][][ 11**1 nynynx ]1[][][ 22

**2 nynynx (фильтрация)

][][][ **2

**1 nxnxnx (суммирование)

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Обобщение преобразования ХаараОбобщение преобразования Хаара

Свойство точного восстановления (Свойство точного восстановления (PR):PR):

Количество информации не изменяется.Количество информации не изменяется.

Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление.точное восстановление.

H2

H1

↓2

↓2Коэффициенты

↑2

↑2

G2

G1

+x[n] x’[n]

Декомпозиция (анализ) Реконструкция (синтез)

][][ nxnx


ПрореживаниеПрореживание ВЧ-сигналаВЧ-сигнала

Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-Интерполяция ВЧ-коэффициентов до ВЧ-сигналасигнала

↑2

↓2


Квадратурные зеркальные фильтры (Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)QMF)

частотныехарактеристики

импульсныехарактеристики

constHH 2

2

2

1 )()(


QMF: QMF: базис Хаарабазис Хаара

Плохое частотное разделение, но хорошая

временная (пространственная)

локализация


Условия точного восстановления:Условия точного восстановления:► Рассмотрим случайРассмотрим случай

► hh11[m] – [m] – симметричный, четной длинысимметричный, четной длины

► В этом случаеВ этом случае требуется, чтобы требуется, чтобы Построение Построение PR-PR-вейвлетоввейвлетов::

► Нужна хорошая пространственная локализация Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши)вейвлеты Добеши)

► Нужна хорошая частотная локализация – Нужна хорошая частотная локализация – свойству свойству PR PR удовлетворить трудно. Поэтому удовлетворить трудно. Поэтому строим строим QMF QMF со свойством «почти со свойством «почти PRPR».».

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

],[][ 11 mhmg ],[][ 22 mhmg

2][][2

2

2

1 HH


Построение «почти Построение «почти PRPR»»--фильтров большого фильтров большого размера с хорошим частотным разделениемразмера с хорошим частотным разделением::1.1. Строим симметричный НЧ-фильтр Строим симметричный НЧ-фильтр hh11[m] [m] методом методом

оконного взвешивания.оконного взвешивания.

2.2. Нормируем его коэффициенты:Нормируем его коэффициенты:

3.3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр Строим дополняющий его ВЧ-фильтр hh22[m]:[m]:

4.4. Проверяем величину искажений по суммарной Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристикечастотной характеристике и пробуем изменить и пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.искажений.

2][1 m

mh

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

Пирамидальное Пирамидальное представление представление

Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-коэффициентовкоэффициентов

H2

H1

↓2

↓2 Коэффициенты

x[n]

H2

H1

↓2

↓2

Двумерное вейвлет-преобразование

на каждом шаге получаем4 набора коэффициентов:

НЧ («основные»)и ВЧ («детализирующие»)

Частотный диапазон

делится на октавы

Одномерный случай

Банки фильтров Банки фильтров

Банки фильтров (гребенки фильтров) – Банки фильтров (гребенки фильтров) – преобразования, разбивающие сигнал на преобразования, разбивающие сигнал на несколько частотных полоснесколько частотных полос► С точным восстановлением?С точным восстановлением?► С увеличением количества информации?С увеличением количества информации?

ПримерПример:: дискретное вейвлет- дискретное вейвлет-преобразованиепреобразование

Еще примерЕще пример:: оконное преобразование оконное преобразование ФурьеФурье (STFT – Short Time Fourier Transform) (STFT – Short Time Fourier Transform)

Банки фильтровБанки фильтров Применения:Применения:

► Раздельная обработка сигнала в разных Раздельная обработка сигнала в разных частотных полосахчастотных полосах

► Компрессия сигналов с независимым Компрессия сигналов с независимым квантованием в разных частотных полосахквантованием в разных частотных полосах

Пример банка фильтров, основанного на Пример банка фильтров, основанного на STFTSTFT► Декомпозиция: Декомпозиция: STFT STFT с окном Хана (с окном Хана (Hann)Hann), и, и с с

перекрытием между окнами 75%перекрытием между окнами 75%► Синтез: обратное Синтез: обратное DFT DFT от каждого блока, от каждого блока,

применение весовых окон Хана и сложение окон применение весовых окон Хана и сложение окон с наложением (с наложением (OLA)OLA)

► Свойства:Свойства:► Точное восстановлениеТочное восстановление► Наличие избыточностиНаличие избыточности

Банки фильтров Банки фильтров

Как банки фильтров разбивают частотно-Как банки фильтров разбивают частотно-временную плоскость?временную плоскость?► Вейвлеты делят частотную ось на октавыВейвлеты делят частотную ось на октавы► STFT STFT разбивает частотную ось равномерноразбивает частотную ось равномерно

f

tОконное ДПФ

f

tВейвлеты

Банки фильтров, Банки фильтров, основанные на основанные на STFTSTFT

Без весовых окон, без перекрытия блоковБез весовых окон, без перекрытия блоков► Размытие спектра → плохое разделение частот в Размытие спектра → плохое разделение частот в

каналахканалах► Разрывы сигнала на границах блоков при синтезеРазрывы сигнала на границах блоков при синтезе►Нет избыточностиНет избыточности

С весовыми окнами, с перекрытием блоковС весовыми окнами, с перекрытием блоков►Хорошее разделение частот в каналахХорошее разделение частот в каналах►Нет разрывов на границах блоков при синтезеНет разрывов на границах блоков при синтезе►ИзбыточностьИзбыточность

+

–

–

+

t0 N 2N


Модифицированное дискретное косинусное Модифицированное дискретное косинусное преобразование (преобразование (MDCT)MDCT)►Перекрытие 50%, весовое окноПерекрытие 50%, весовое окно►Неплохое разделение частот в каналахНеплохое разделение частот в каналах►Без избыточности! → подходит для компрессииБез избыточности! → подходит для компрессии

►Каждое окно длины 2Каждое окно длины 2N N захватывает захватывает N N новых новых отсчетов и выдает отсчетов и выдает N N вещественных вещественных коэффициентов спектракоэффициентов спектра

►Требования к окнамТребования к окнам::►Примеры подходящих окон:Примеры подходящих окон:

► Полпериода синусаПолпериода синуса► Kaiser-Bessel derived (KBD)Kaiser-Bessel derived (KBD)

+

constNnwnw 22 ][][


Частотно-временное разрешениеЧастотно-временное разрешение►Способность различать детали по частоте и по Способность различать детали по частоте и по

времени, «размытость» спектрограммывремени, «размытость» спектрограммы►Для Для STFT STFT определяется длиной весового окна определяется длиной весового окна (а (а

также, отчасти, размером и шагом также, отчасти, размером и шагом DFT DFT по времени)по времени)

►Соотношение неопределенностей:Соотношение неопределенностей: разрешение по разрешение по частоте обратно пропорционально разрешению по частоте обратно пропорционально разрешению по временивремени

consttf

6 ms 12 ms 24 ms 48 ms 96 ms размер окна


Частотно-временное разрешениеЧастотно-временное разрешение►Частотное разрешение спектрограммы Частотное разрешение спектрограммы

равномерноеравномерное►Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на Частотное разрешение слуха на НЧ выше, чем на

ВЧВЧ

STFT, окно 12 мс STFT, окно 93 мс

Банки фильтров:Банки фильтров:достоинства и достоинства и недостаткинедостатки STFTSTFT

DWTDWT

+Очень быстрая реализация для большого числа полос.

–Слишком различающееся число осцилляцийбазисных функций, эффект Гиббса.

+Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

–Малое число частотных полос.Плохое частотное разделение между полосами.

Documents

Вейвлеты и банки фильтров