Математика – це велетенський пінцет

наукової логіки Дж. Голстед

ЛОГІЧНИМИ СТЕЖКАМИ

МАТЕМАТИКИ

§1. Вступний параграф, або

«Чи вмієте ви міркувати

логічно?»

§2. Задачі на сірниках

§3. Малюємо та моделюємо

§ 4. Просторова уява і

площина паперу

§5. Задачі на відновлення

§ 6. Задачі на порівняння

§ 7. А що буде далі?

§ 8. Круги Ейлера

§9. Гроші й трохи алгебри

§ 10. Зверніть увагу на

парність

§11. Задачі на зважування

§12. Задачі на переливання

§13. Задачі на впорядкування

§ 14. Твердження. Елементи

теорії множин

§ 15. Не всі кажуть правду

§16. Час, календар, годинники і трошки алгебри

§17. Комбінуємо й

переправляємо

§ 18. Принцип Діріхле

§ 19. Принцип крайнього

§20. Задачі на фарбування

§21. Індукція + Логіка =

= Математична Індукція

§22. Прогулянки з Графами

§ 23. Як грати, щоб вигравати?

Вступний параграф, або «Чи вмієте ви міркувати логічно?»

• Уміння мислити логічно не з’являється відразу, цього треба навчитися. Слово «логіка» грецького походження і перекладається як вчення або правильне мислення. Ми з вами будемо тренуватися «правильно», тобто логічно мислити.

• Логічний крок міркування має таку структуру: формулюємо вихідне твердження, після чого кажемо «тоді», і наводимо твердження-висновок.

• !!! Зауважимо, що кроки міркування (логічні кроки) у запису розв’язуваня доцільно нумерувати. Це допоможе чітко усвідомити окремий логічний крок, «побачити» модель розв’язання.

• У кишенях у Вінні–Пуха та П’ятачка однакова кількість монет. Скільки монет П’ятачок повинен дати Віні–Пуху, щоб

у нього стало на 4 монети більше ?

• Питання «на засипку». Скільки монет П’ятачок повинен дати Вінні–Пуху, щоб

у нього стало на 5 монет більше ?

• Пляшка соку коштує 10 гривень. Сік

на 9 гривень дорожчий від пляшки. Скільки коштує порожня пляшка?

На заміщення посади радника одного східного володаря претендували чотири мудреці. Щоб зробити остаточний вибір, претендентів перевірили на кмітливість. Усім чотирьом зав’язали очі і, посадивши навколо столу, сказали: «На лобі кожного з вас поставили чорну або білу мітку, причому чорних більше, ніж білих». Потім у претендентів зняли пов’язки і кожен зміг побачити мітки, зроблені іншим. Той, хто визначить колір мітки на власному лобі, мав стати радником. Довго дивилися претенденти один на одного. Нарешті один сказав: «У мене на лобі чорна мітка». Відповідь виявилася правильною. Як він міркував?

Мудрець здогадався, що всі мітки були чорними. А міркував він приблизно так.

1) Білою може бути лише одна мітка (інакше білих міток буде більще ніж чорних, або стільки, скільки чорних, а за умовою чорних міток більше).

2) Якщо на моєму лобі була б біла мітка, то троє інших претендентів легко здогадалися б, що в них чорні мітки, а вони мовчать.

3) Висновок – у мене на лобі чорна мітка!

. Бабуся утримує 10 собак і кицьок (якщо рахувати

разом). Якось вона приготувала 56 котлет і залишила їх стигнути на столі. Через 5 хвилин котлет не стало — кожна кицька з’їла по 5 котлет, а собака — по 6. Скільки собак і скільки кицьок живе у бабусі?

1)«Роздамо» кожній з 10 тварин по 5 котлет - використано 50 котлет.

2) Маємо 6 «зайвих котлет» - їх з’їли собаки, тобто собак – шість.

3) Собак шість, отже, кицьок 10 – 6 =4.• !!! Розв’язування наступної задачі схоже на

попереднє, тільки замість котлет будемо «розподіляти» ноги.

• Скільки в лісі звірів і скільки птахів, якщо в них разом 6000 ніг та 2500 голів?

• 4. Скільки кінців у двох палиць? А в чотирьох із половиною?• 5. Стрічку розрізали на 10 частин. Скільки розрізів було

зроблено?• 6. Круглий кекс із діркою посередині розрізають на 10 частин (на

сектори). Скільки розрізів зроблено? Чому відповідь інша, ніж у задачі №5?

• 56. На великому круглому торті зробили 10 прямолінійних розрізів так, що кожний розріз проходив через центр торта (від краю до краю). Скільки шматків вийшло?

• 57*. Двоє людей зробили на двох квадратних тортах по два прямолінійних розрізи від краю до краю (кожен на своєму). Один отримав три куски, а другий – чотири. Як таке могло статися?

• 58**. Як поділити круглий торт трьома прямолінійними розрізами на чотири, п’ять, шість, сім частин?

• 59**. На прямокутний торт поклали (довільним чином) круглу шоколадку. Як розрізати торт на дві рівних частини так, щоб поділити й торт, і шоколадку навпіл?

• 60*. Якої форми має бути торт, щоб одним прямолінійним розрізом його можна було поділити на чотири частини?

• Мати Петрика має трьох синів. Першого вона назвала Іванком, а другого – Грицьком. Як звуть її третього сина?

• П’ять рибалок з’їли п’ять судаків за п’ять днів. За скільки днів десять рибалок з’їдять десять судаків?

• Сьогодні о 12 годині ночі пішов дощ. Чи може бути сонячна погода через 72 години?

• У який бік їде автобус?

• *У одному зоосаді директор помітив, що яких би двох тварин він не саджав в одне приміщення, там ніколи не буде двох мавп. Скільки в цьому зоосаді мавп?

• *Хитрий Джек оселився в заповіднику разом зі своїми друзями. Скільки в нього друзів, якщо відомо про них таке:– усі вони, окрім двох, - руді лиси;– усі вони, окрім двох, - веселі мавпи;– усі інші – бузкові метелики.

Роздягаючись, Незнайко закидає під ліжко шкарпетки. Він має 12 червоних і 12 синіх шкарпеток. Скільки найменше шкарпеток йому потрібно витягти зранку з-під ліжка, щоб із них можна було скласти хоча б одну пару шкарпеток однакового кольору, якщо він робить це із заплющеним очима?

*А якщо то будуть не шкарпетки, а штиблети? * У коробці знаходиться 17 кульок: сім червоних, п’ять синіх, дві

жовтих, три білих. Скільки щонайменше кульок потрібно вийняти навмання з коробки, щоб серед них була хоча б одна червона?

МАЛЮЄМО ТА МОДЕЛЮЄМО

На запитання друзів, який шлях мандрівник подолав під час останньої подорожі, мандрівник сказав: «Якщо від третини того, що я пройшов, відняти 6 км, то вийде рівно 100 км. Скільки кілометрів я подолав?».

• !!! Відрізками можна зображати не тільки шлях, а й будь-які величини, наприклад гроші.

Якщо взяти в мене з гаманця половину грошей і додати до них 1 грн, то вийде 25 грн. Скільки грошей у мене в гаманці?

Ліфт може перевозити одночасно або 12 Ліфт може перевозити одночасно або 12 дорослих, або 20 дітей. Скільки дітей можуть їхати дорослих, або 20 дітей. Скільки дітей можуть їхати в ліфті одночасно з дев’ятьма дорослими?в ліфті одночасно з дев’ятьма дорослими?

Зауважимо, що числа 12 і 9 діляться на 3. Тоді змоделюємо умову так.

• Зобразимо 12 дорослих блоками по три у вигляді квадратиків – їх чотири.

• Тоді кожному квадратику можна поставити у відпоідність кружечок із п’ятьма дітьми. …..

Питання «на засипку». Скільки дорослих можуть їхати в такому ліфті одночасно з 15 дітьми? Скільки дорослих може зайти до цього ліфта, якщо в ньому вже є 17 дітей? А якщо дітей буде 18? А у випадку 19 дітей?

• Три сливи й одне яблуко важать 250 г, а одна слива разом з одним яблуком — 150 г. Знайдіть масу одного яблука.

• !!! Треба намагатися скласти дві «купки фруктів» так, щоб вони різнилися тільки кількістю «фруктів» одного виду. Доцільно дізнатися масу (ціну) пари, що містить по одному«фрукту» кожного виду.

• * Чотири горіхи та два яблука разом коштують 2 грн 44 коп., а три горіхи й три яблука — 2 грн 76 коп. Скільки коштують одне яблуко й один горіх (окремо)?

• **У кафе «Для гномів» один гном заплатив за чотири **У кафе «Для гномів» один гном заплатив за чотири сухарики, чашку води й 10 макових зерняток 1 грн сухарики, чашку води й 10 макових зерняток 1 грн 69 коп., а другий гном за три сухарики, чашку води й 69 коп., а другий гном за три сухарики, чашку води й сім макових зерняток — 1 грн 26 коп. Скільки треба сім макових зерняток — 1 грн 26 коп. Скільки треба заплатити третьому гному за сухарик, чашку води й заплатити третьому гному за сухарик, чашку води й макове зернятко?макове зернятко?

• Слоненя, Удав і Мавпа їли банани. Мавпа з’їла Слоненя, Удав і Мавпа їли банани. Мавпа з’їла третину всіх бананів і ще чотири. Слоненя з’їло третину всіх бананів і ще чотири. Слоненя з’їло третину того, що залишилось, і ще чотири. третину того, що залишилось, і ще чотири. Останні чотири банани з’їв Удав. Скільки було Останні чотири банани з’їв Удав. Скільки було бананів? бананів?

• Маленький Кузя разом із бабусею важать 99 кг Маленький Кузя разом із бабусею важать 99 кг 800 г, а разом із сестрою Тетянкою — 15 кг 400 г. 800 г, а разом із сестрою Тетянкою — 15 кг 400 г. Бабуся разом із Тетянкою важать 108 кг 400 г. Бабуся разом із Тетянкою важать 108 кг 400 г. Скільки важить маленький Кузя?Скільки важить маленький Кузя?

• Після тривалих наукових суперечок Моська Після тривалих наукових суперечок Моська погодилася, що вона вшестеро менша за слона. погодилася, що вона вшестеро менша за слона. До того ж Моська впевнена, що повний Місяць До того ж Моська впевнена, що повний Місяць важить у 12 разів менше, ніж половина слона. У важить у 12 разів менше, ніж половина слона. У скільки разів, на думку Моськи, вона більша за скільки разів, на думку Моськи, вона більша за Місяць?Місяць?

• Знайдіть масу риби, якщо відомо, що її хвіст Знайдіть масу риби, якщо відомо, що її хвіст важить 2 фунти, голова — стільки, скільки важать важить 2 фунти, голова — стільки, скільки важать разом хвіст і половина тулуба, а тулуб — стільки, разом хвіст і половина тулуба, а тулуб — стільки, скільки разом важать голова і хвіст.скільки разом важать голова і хвіст.

Задачі на порівняння- відомі певні співвідношення, й треба

виконати задане порівняння. Із такими задачами ми часто стикаємося у житті, коли треба швидко оцінити якісь данні (що більше, дорожче, швидше), щоб прийняти оптимальне рішення.

• Груша важча за яблуко, а яблуко важче за персик. Що важче: груша чи персик?

• Є четверо друзів різного віку: Андрій, Сергій, Юрій і Микола. Розташуйте їх за віком, якщо відомо, що Юрій не найстарший, але старший за Андрія та Миколу, а Андрій не старший, ніж Микола.

• Сім олівців дорожчі за вісім зошитів. Що дорожче: вісім олівців чи дев’ять зошитів?

• *Учитель задав на уроці «хитру» задачу. Кількість хлопців, що її розв’язали, дорівнює кількості дівчат, що її не розв’язали. Кого більше в класі — тих, хто розв’язав задачку, чи дівчат?

• *Два гноми вирішили з’ясувати, хто з них спритніший, бігаючи від дуба до ріки та назад — від ріки до дуба (без зупинки). Перший гном бігав з однаковою швидкістю в обидва кінці, а другий від дуба до ріки біг удвічі повільніше за першого, а від ріки до дуба — удвічі швидше, ніж перший. Хто переміг?

• *Кіт Базиліо та лисиця Аліса одночасно вибігли з корчми до Міста чудес. Аліса бігла в п’ять разів швидше за кота, проте на половині шляху вона підвернула ногу й далі шкутильгала вдвічі повільніше, ніж Базиліо. Хто перший досяг Міста чудес?

• *Двоє людей біжать (в одному напрямку) сходинками ескалатора метро. Один біжить швидше за другого. Хто з них нарахує більше сходинок?

• *У якійсь казковій країні серед інших мешканців живуть карабаси та барабаси. Кожен карабас знайомий із шістьма іншими карабасами та дев’ятьма барабасами. Кожен барабас знайомий із десятьма карабасами та сімома барабасами. Кого в цій країні більше: карабасів чи барабасів?

• **У два однакові бідони налили – в один молоко, в другий воду. З другого бідону взяли кружку води, вилили у перший бідон з молоком та ретельно перемішали. Після того з першого бідону взяли таку саму кружку суміші, перелили до другого бідону й ретельно перемішали. Чого більше – у першому бідоні води (у молоці), чи у другому бідоні молока (у воді)?

• **. Сто двадцять військових вишикувалися прямокутником: по 20 осіб у кожній шерензі, по 6 осіб у кожній колоні. Якщо в кожній шерензі обрати найнижчого, а потім з шести відібраних визначити найбільш високого, то ним буде Петренко. Якщо в кожній колоні обрати найвищого, а потім серед двадцяти відібраних визначити самого низенького, то ним буде Даниленко. Хто нижчий – Петренко чи Даниленко?

А що буде далі?• Які три числа треба

вписати у вільні

квадратики? • Знайдіть невідоме

слово:

• Якщо послідовність

продовжити, то скільки сірників знадобиться, щоб

скласти фігуру за номером10? А фігуру за номером n?

100 1 99 2 98

12345 АВТОР

34215 ?

• *Дитина, яка вступала до дитячого садочка, легко розв’язала таку задачку. Перевірте стереотипність вашого мислення — розв’яжіть цю задачку. Знайдіть пропущене число:

8809 = 6, 7111 = 0, 0000 = 4, 6666 = 4, 1111 = 0, 7662 =?, 9312 = 1.

• *Немовля, яке від народження є логіком, у понеділок сказало мамі «АУ», у вівторок — «АУУА», у середу — «АУУАУААУ». Що воно скаже в четвер?

• *Дано дві послідовності: 7, 11, 15, 19, 23, … й 1, 10, 19, 28, 37,…. Число 19 міститься в обох послідовностях. Яке наступне спільне число з’явиться в даних послідовностях?

• *ТЕСТ АЙЗЕНКА

Круги Ейлера• На малюнку ви бачите діаграму множин М і N.

Розмістіть на цій діаграмі два елементи (у вигляді крапок) так, щоб:

1) вони належали обом множинам; 2) кожна з даних множин містила по одному елементу; 3) у множині М було 2 елементи, а у множині N

жодного.

• На малюнку множини А, В і С задано діаграмою Венна. Розмістіть два елементи m і n так, щоб вказані множини мали відповідно:

1) по 2 елементи; 2) 2, 2 і 1 елемент; 3) 2, 1 і 0 елементів; 4) по 1 елементу.

• Підлогу кімнати, що має площу 12 м2, застелили трьома килимами. Площа одного з них 5 м2, другого 4 м2, третього 3 м2. Кожні два з них мають за спільну площу у 1,5м2. До того площа підлоги в 0,5м2 (з цих 1,5 м2) закрита одночасно трьома килимами. Яку площу підлоги не закрито жодним з килимів? Яку площу закриває лише перший з килимів?

• Серед 30 дітей було проведено опитування. Виявилося, що 12 із них полюбляють печиво, 14 — цукерки, а шестеро — не люблять ні печиво, ні цукерки. Скільком любителям печива смакують цукерки?

• На літні канікули Софійці, Артуру й Оленці було задано прочитати 16 книжок. П’ять книжок прочитали Софійка та Артур. Оленка прочитала чотири книжки, які не читали ні Артур, ні Софійка, і три книжки, які прочитав лише Артур. Загалом Артур прочитав 10 книжок. Скільки книжок прочитала тільки Софійка?

• *У 8-А, 8-Б та 8-В класах навчається 72 учні. Із них 20 займаються танцями, 30 співають у хорі, 24 займаються спортом. До того ж серед танцюристів 10 любителів співу, у хорі вісім спортсменів, а серед танцюристів шість спортсменів. Іще відомо, що троє спортсменів танцюють і співають. Скільки учнів відвідують лише хор, лише танцюють і лише займаються співом? Скільки учнів не займаються спортом, не співають і не танцюють?

• *Вовк, ведмідь і лисиця збирали в лісі гриби. Вовк і ведмідь знайшли п’ять мухоморів, ведмідь із лисицею — п’ять підосичників. Вовк сам знайшов два білі гриби, ведмідь — декілька лисичок, а лисиця — декілька сироїжок. Скільки сироїжок знайшла лисиця, якщо в кошиках у звірів виявилося 20 грибів, із яких 75 % знайшов ведмідь (самостійно)?

• **. У село завітали кобзар, бандурист і скрипаль. Кобзар сів під старою вербою та й заграв. Бандурист пішов грати на площу, а скрипаль — до сільського магазину. Усі жителі села чули когось із музикантів. Тільки кобзаря чули шестеро, тільки бандуриста — п’ятеро, тільки скрипаля — восьмеро. Троє не чули скрипаля, четверо — кобзаря, двоє — бандуриста. Ті ж хто чув усіх, — це 20 % місцевих жителів. Скільки людей мешкають у селі?

ГРОШІ Й ТРОХИ АЛГЕБРИ

• Робін Бобін Барабек мандрував країною велетнів і зголоднів. На всі гроші він купив 200 пляшок кефіру. (Одна пляшка кефіру коштує 160 грн, а порожня пляшка — 80 грн). Робін випив кефір і зрозумів, що не наївся. Тоді він здав порожні пляшки й на отримані гроші знову купив кефіру, випив кефіру і т. д. Так скільки ж пляшок кефіру випив Робін?

Оскільки, кефір без пляшки коштує 80 грн, маємо: (200 ) : 80 – 1 = 400 – 1 = 399.

Дев’ять однакових цукерок коштують менше ніж 10 грн, а 10 таких самих цукерок — більше ніж 11 грн. Скільки коштує одна цукерка?

Нехай х – ціна однієї цукерки в копійках. За умовою

9х < 1000, 10х > 1100.

Тоді 110 < х < 111,11... Тобто х = 111 коп.

• Директор школи закупив призи для переможців шкільних олімпіад. Він витратив рівно 500 грн і купив рівно 100 предметів: мікрокалькуляторів, книжок і авторучок. Скільки було куплено авторучок, якщо одна ручка коштує 1 грн, книжка — 10 грн, а мікрокалькулятор — 50 грн?

1)Позначимо кількість авторучок як х, книжок — як y, мікрокалькуляторів — як z. За умовою:

х + y + z = 100, х + 10y + 50z = 500. 2) Звідси випливає рівняння 9y = 400 – 49z, де y і z —

натуральні числа. 3)Число (400 – 49z) ціле, додатне й ділиться на 9. Отже z

належить {1, 2, 3, ..., 8}. Не складно перевірити, що (400 — 49z) ділиться на 9 лише тоді, коли z = 1. Тому 9y = 351; y = 39, х = 60.

• У січні на 1 долар можна було купити 40 гвинтиків або 60 шпунтиків. У лютому ці товари почали продавати наборами з 25 гвинтиків і 25 шпунтиків по 1 долару за набір. Щоб зібрати одну машину, Гвинтику зі Шпунтиком треба 600 гвинтиків і 600 шпунтиків. У якому місяці їм було дешевше зібрати машину, якщо всі інші витрати не змінилися?

• Мій заробіток за останній місяць разом із понаднормовими становить 1300

грн. Основна плата на 1000 грн більша за понаднормові. Яка моя заробітна плата без понаднормових?

• *Хазяїн найняв на рік працівника і пообіцяв йому дати 12 рублів і свитку. Але робітник, пропрацювавши тільки сім місяців, захтів піти. Під час розрахунку він отримав свитку і 5 руб. Скільки коштує свитка?

• *Знайшли гривеник (10 коп.) і поділили його: чоловікам по півтори копійки, жінкам по копійці, а дітям по чверті копійки. Скільки було чоловіків, жінок і дітей?

• *На Нью-Васюківській валютній біржі за 11 тугриків дають 14 динарів, за 22 рупії — 21 динар, за 10 рупій — 3 талери, а за 5 крон — 2 талери. Скільки тугриків можна виміняти за 13 крон?

• *За книжку заплатили 10 грн, і залишилося заплатити ще стільки, скільки залишилося б сплатити, якби за неї заплатили стільки, скільки залишилося заплатити. Скільки коштує книжка?

Зверніть увагу на парність• Бабуся запропонувала онукові розкласти 30 яблук на три

купки так, шоб число яблук у кожній купці було непарним. Чи можна це зробити?

• Чи можна розміняти 25 тугриків за допомоги десяти купюр у 1, 3 і 5 тугрики?

• Добуток двадцяти двох цілих чисел дорівнює 1. Чи може сума цих чисел дорівнювати нулю?

• Зібрався Іван-царевич на бій із Змієм Гориничем, що мав три голови й три хвости. Був у Івана меч, що за один раз зрубав або голову, або хвіст, або дві голови, або два хвости. Проте в Змія виростало: якщо зрубати один хвіст — два хвости; якщо зрубати два хвости — одна голова; якщо зрубати одну голову — одна голова; якщо зрубати дві голови — нічого. За скільки ударів мечем Іван може відрубати Змієві всі голови й усі хвости?

• *На чудо-дереві ростуть 25 бананів і 30 апельсинів. Кожного дня Чудо-юдо зриває два плоди, замість яких виростає один новий — апельсин, якщо було зірвано два однакові фрукти, чи банан, якщо зірвали два різні фрукти. Яким буде той фрукт, що залишиться на цьому дереві останнім?

• *Двоє ламають шоколадку, що складається з 6 4 = 24 часточок. За один хід можна зробити лише один розлом по прямій вздовж заглиблення на шоколадці. Програє той, хто не матиме ходу. Хто виграє: перший чи другий гравець?

• *На дошці записано чотири числа: 4, 7, 11, 13. Дозволено до довільних двох із них додати по одиниці й записати отримані суми замість двох обраних чисел. Чи можна таким способом зробити всі числа рівними?

• *На шахову дошку розлили фарбу. Чи може кількість зафарбованих клітинок бути на 17 менше кількості клітинок, що залишилися чистими?

Задачі на зважування • Якщо ціла цеглина важить ¾ фунти і ще ¾ цеглини, то скільки важить

ця цеглина у фунтах?

• Петрик і Сашко побачили біля магазину терези та зважили свої портфелі — спочатку по черзі, а потім обидва разом. Терези показали, що портфелі важать 3 кг та 2 кг, а разом — 4 кг 500 г. Після ретельної перевірки терезів хлопці побачили, що їхня стрілка трохи зміщена. Скільки реально важать портфелі хлопців?

(3000 – х) +(2000 – х) = 4500 – х.

• Кіт Базіліо мав 60 монет і збирався витратити їх на смачну вечерю. Однак прибігла лиса Аліса й підкинула котові одну фальшиву монету. Тепер у Базіліо 61 монета, серед яких одна фальшива. Як йому за два зважування визначити, легша чи важча фальшивка за решту монет?

Зважуємо дві купки з 30 монет. Можливі два випадки.1) Якщо ці купки мають однакову масу, то остання монета фальшива. Тоді

потрібно одну з монет лівої купки замінити на фальшивку та знову зважити дві купки. Якщо ліва купка важча, то фальшивка важча, а ні — то легша.

2) Коли ці купки мають різну масу, то беремо важчу купку та ділимо її на дві купки по 15 монет. Якщо маса купок однакова, то фальшивка легша, а ні — то важча.

Задачі на впорядкування • Дядько Федір, Матроскін, Шарик і поштар

Пєчкін сидять на лавочці. Якщо Шарик, який сидить праворуч від усіх, сяде між Федором і котом, то кіт стане крайнім ліворуч. У якому порядку вони сидять?

• У дядька Федора день народження. Він запросив на святковий обід маму, тата, Шарика, Матроскіна та поштаря Пєчкіна. Усіх посадили за круглий стіл. Відомо таке: Шарик сидить не поруч із хлопчиком і не навпроти нього; тато сів навпроти мами, але не поряд із сином; Матроскін не схотів сідати справа від тата; а ліворуч від мами сидить її син. Хто сидить ліворуч від дядька Федора?

Розглянемо приклад, коли впорядкувати об’єкти допомагає алгебра. У розв’язуванні таких задач часто застосовують такі властивості нерівностей.!!!

• Якщо A > B > C, то A > C . • Якщо A > B і B > C, то A > B.• Якщо A + P > B + P, то A > B.• Якщо A + P = B + K і P < K, то A > B.• Якщо A + P > B + K і P < K, то A > B.• Якщо А > B і C > D, то A + C > B + D. Дама здавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж і

кошик. Відомо, що чемодан важчий, ніж рюкзак; саквояж і рюкзак разом важать більше, ніж чемодан і кошик; кошик і саквояж важать стільки, скільки чемодан і рюкзак. Назвіть речі дами в порядку зменшення їх маси.

Задачі на впорядкування об’єктів за двома їх властивостями зазвичай здійснюють за допомоги таблиці. У клітинці, що відповідаює перетину двох властивостей будемо ставити «+».

!!!Зауважимо:• якщо в якусь з клітинок таблиці поставлено «+», то у

всіх інших клітинках рядочка й стовпчика, що містять цю клітинку, можна ставити « - »;

• якщо в певному рядочку (стовпчику) всі клітинки, окрім однієї, заповнено знаком «-», то в тій клітинці, що єдина залишилася порожньою має стояти знак «+».Трьох хлопчиків — Іваненка, Петренка і Василенка — звати Іван, Петро та Василь. Відомо, що: Іван — не Василенко; Василь відвідує спортивну школу, а його мама — кондитер. Хлопчик із прізвищем Василенко не любить займатися спортом. Мама хлопчика з прізвищем Іваненко — лікар. Назвіть ім’я та прізвище кожного з трьох хлопчиків

• Три подруги прийшли на вечірку в сукнях різних кольорів: блакитній, зеленій і сірій. Їх сукні були того самого кольору, що й очі дівчат. У Ніни була зелена сумочка. Сукня й сумочка Віти не були блакитними. І тільки в Олі колір сумочки та сукня були однакові. У кого з дівчат який колір очей?

У Зої та Миколи двоє дітей: Вадим і Марина, — а у Віктора та Віри – троє: Назар, Валерій і Ніна. Назар, коли прийшов йому час, одружився з Мариною, і в них народилося двоє синів: Юра та Саша. Ніна Вікторівна викладає в Юри математику. Ким доводиться Юрі брат Ніни Вікторівни Валерій

Вікторович?

Твердження. Елементи теорії множин

• !!!Висловлення, про яке можна сказати, істинне (правильне) воно чи хибне (неправильне), називають твердженням.

• Інші висловлення не є твердженнями, наприклад: «Бувай!», «Як справи?», «відкрийте підручник на сторінці 16».

• Часто твердження мають загальний характер. Вони містять слова «усі», «завжди», «кожний» тощо, наприклад: «Після ночі завжди настає ранок», «Кожне парне число ділиться на 2».

• !!!Щоб довести, що твердження хибне, потрібно навести хоча б один контрприклад (який показує неправильність твердження).

• Наприклад, контрприкладами до наведених хибних тверджень можуть бути такі висловлення:

• «6 — парне число, але воно не ділиться націло на 4», «Ластівка має крила, однак це не метелик».

• !!!Зауважимо, що скільки завгодно прикладів того, що певне твердження виконується, не доводить його істинності.

• У математиці сполучник «і» означає одночасне виконання умов, які він з’єднує.

Наприклад, якщо з двох тверджень «Число 3 просте» й «Число 3 непарне» утворити складене твердження «Число 3 просте і непарне», то воно виявиться правильним, бо правильні обидва елементарні твердження, з яких його складено.

• Якщо два твердження з’єднано сполучником «і», то утворене таким способом складене твердження істинне тоді й тільки тоді, коли істині обидва його складові.

• Якщо ж хоча б, одне з двох тверджень, з’єднаних сполучником «і», хибне, то відповідне складене твердження також хибне.

Наприклад, твердження «Число 20 парне і ділиться на 4» істинне, а твердження «Число 20 парне і ділиться на 3» — хибне.

• !!!Зауважимо, що граматичний і логічний сполучники «і» відрізняються між собою за змістом.Граматичним сполучником з’єднують певні предмети чи об’єкти, указуючи на їх співвідношення. Наприклад, «5 і 11 — прості числа»; « 3 і 8 — взаємно прості числа». У першому випадку обидва числа прості; у другому маємо відношення між числами 3 та 8 — вони не мають спільного дільника, відмінного від 1.

• Логічний сполучник «і» відрізняється від граматичного ще й тим, що граматичний з’єднує судження, що мають щось спільне, а логічний сполучник може з’єднувати будь-які твердження.Наприклад, твердження «Шевченко — поет і число 12 — кратне 3» у логіці істинне, бо обидва прості твердження, з яких за допомогою сполучника «і» утворено задане складене твердження, правильні.

• У математиці твердження «х А і х В» записують як х (АВ) та говорять, що х належить перетину множин А та В.

Справді, такій умові відповідає спільна частина множин А та В. Зобразивши множини А та В у вигляді діаграм Венна (кругів Ейлера)

• Якщо два твердження з’єднано сполучником «або», то утворене складне твердження істинне тоді, коли істинне принаймні одне з тверджень складників.Наприклад, складене твердження «Число 3 просте або парне» правильне, бо твердження «Число 3 просте» істинне. Твердження «На фініш першим прийшов Петренко або Іваненко» буде істинним у таких випадках: коли переміг Петренко; переміг Іваненко; Іваненко й Петренко водночас прийшли до фінішу першими.

• У математиці твердження «х А або х В» записують як х (АВ) й називають АВ об`єднанням множин А та В.

• !!!Зауважимо, що логічному «або», тобто виконанню хоча б однієї з двох умов, в алгебрі відповідає знак вертикальної квадратної дужки.

.

• У математиці твердження «З х А випливає х В» записують як

х А→ х В.• !!!Зауважимо, що множина наслідок завжди

містить вихідну множину.

Наприклад, із твердження «Ряба — курка» випливає «Ряба належить до множини двоногих». Зрозуміло, що множина двоногих ширша за множину курей. Якщо позначити множину курей як А, то маємо, що А міститься в В (А — підмножина множини В). Покажемо це за допомогою діаграми Венна

У математиці твердження «З х А випливає х В записують як х А→ х В.

Наприклад, із твердження «Ряба — курка» випливає «Ряба належить до множини двоногих». Зрозуміло, що множина двоногих ширша за множину курей. Якщо позначити множину курей як А, то маємо, що А міститься в В (А — підмножина множини В).

• !!!Зауважимо, що множина наслідок завжди містить вихідну множину.

• «Цей об’єкт — муха» … «Цей об’єкт літає».• «Цей об’єкт літає»… «Цей об’єкт — літак».• «Цей об’єкт — кішка» … «Цей об’єкт має хвіст».• «Цей об’єкт має чотири ноги» … «Цей об’єкт

коза».• «Петро зайшов у свій дім»… «Петро зайшов у

свою квартиру».• «Катруся зайшла у ліфт свого будинку» …

«Катруся зайшла у свій будинок».• x = 0 … | x | = 0.• | x | = 1 … x = 1.• | x | < 3 … x < 3. • | x | > 4 … | x | > 2 .

• Назвіть усі можливі випадки, коли наведені твердження істинні, а коли — хибні:

1)Катруся і Марійка пішли до школи.2)Гурток із математики в нас ведуть Олександра

Павлівна і Петро Іванович.3)Снігуронькою в підшефному дитячому садочку

буде Оксана або Марія.4)Король захопив у полон принцесу і тигра.5)У цій кімнаті сидить тигр або принцеса.6)У першій кімнаті принцеса або в другій кімнаті

тигр.7)У першій кімнаті принцеса і в другій кімнаті

тигр.

Не всі кажуть правду- Так би й казала, - зауважив Березневий Заєць. – завжди треба казати те, що думаєш. - Я так і роблю, - поспішила пояснити Аліса. – Принаймні, я завжди думаю те, що говорю, а це одне й те саме.- Зовсім не одне й те саме, - заперечив Болванчик. – так ти ще скажеш, начебто «Я бачу те, що їм» і «Я їм те, що бачу» одне й те саме!- Так ти ще скажеш, - проговорила, не відкриваючи очей Соня, начебто «Я дихаю, доки сплю» і «Я сплю, доки дихаю» - одне й те саме! Л’юїс Керолл «Аліса в країні чудес»

• Оксана сказала, що чашку розбила Соня. Олена і Соня сказали, хто розбив чашку, але зробили то так тихо, що їх не почули. Відомо, що одна з трьох дівчат розбила чашку і тільки вона сказала правду. Як її звуть?

1) З того, що правду сказала саме та дівчинка, яка розбила чашку, випливає, що вона назвала своє ім’я. Звідси маємо: то не Оксана; Оксана сказала неправду.

2) З того, що Оксана сказала неправду, випливає, що чашку розбила не Соня.

3) Оксана та Соня не розбивали чашку, тоді то зробила Олена.

• У королівстві Якомусь правив король-логік. Колись він захопив у полон багато принців, принцес і тигрів. Король сказав полоненому принцові, що в кожній із двох кімнат по одній живій істоті, з множини принцес і тигрів. Принц має прочитати напис на дверях і з’ясувати, яку з дверей відчинити. Якщо за дверима опиниться принцеса, то принц звільняється з полону разом із принцесою.

— А чи може бути таке, що в обох кімнатах принцеси? — поцікавився полонений.

— Може. Тоді вважай, що тобі пощастило, — відповів король.— А що мені робити, якщо там два тигри? — запитав принц.— Уважати, що не пощастило, — сказав король і додав. — Читай

написи на дверях! Зауваж, що на одних дверях написано правду, а на других — неправду.

На дверях першої кімнати було написано: «У цій кімнаті принцеса, а в другій кімнаті — тигр», а на дверях другої був такий напис: «В одній із цих кімнат принцеса і в одній з цих кімнат тигр».

Які двері відчинили б ви, якщо були б на місці полоненого?

Позначимо написи на дверях першої та другої кімнат відповідно як К1 і К2, тигра — літерою Т, а принцесу — П. Можливі лише два випадки:

1) К1=І і К2=Х; 2) К1= Х і К2= І. Розглянемо кожен із них окремо.1) К1= І → К1- П, а К2- Т. Тоді К2 =І, чого бути не може.2) К2=І, → є одна П і один Т. Оскільки, К1 =Х, то К1-Т, а К2 - П.Відповідь: Принцеса в другій кімнаті.

• Іншому полоненому король наказав поміняти таблички на такі: на дверях першої кімнати - «Або в цій кімнаті тигр, або принцеса в іншій кімнаті», другої - « Принцеса в іншій кімнаті». Було оголошено, що твердження на табличках водночас істині або хибні. Хто в якій кімнаті?

• 20*.«До цього дня всі принци викрутилися!» - сказав король наступного дня. - Проте я придумав щось цікавіше. Якщо в першій кімнаті принцеса, то твердження на її дверях істинне, а ні - то хибне. Із другою кімнатою все навпаки: твердження на її дверях хибне, якщо в ній принцеса, й істинне, якщо в ній тигр». Повідомивши правила черговому принцові, король показав два нові написи: на дверях першої кімнати: «В обох кімнатах принцеси»; другої - «В обох кімнатах принцеси». Яку з кімнат потрібно вибрати полоненому?

• *Розв’яжіть попередню задачу за умови, що на дверях першої кімнати написано «Принаймні в одній з кімнат принцеса», а другої - «Принцеса в іншій кімнаті».

• *Умови ті самі, що й у задачі 20, а таблички такі: на першій кімнаті « Що не обереш – усе єдино»; на другій - « Принцеса в іншій кімнаті».• *Умови ті самі, що й у задачі 20, але на дверях немає ніяких

табличок. Король просто дав полоненому дві таблички: «У цій кімнаті тигр» і « В обох кімнатах тигри». На запитання полоненого: «Як розмістити таблички на дверях?» - король відповів: «А не треба їх кріпити до дверей. Задачу можна розв’язати й так!»

ЧАС, КАЛЕНДАР, ГОДИННИКИ І ТРОШКИ АЛГЕБРИ

• Чи може в одному місяці бути п’ять субот?

• Який кут утворюють стрілки годинника о 9 год 20 хв?

• *Дідусь гуляв парком з трьома внуками. Перехожий запитав, скільки дітям років. Іванко сказав: «Я молодший від Петрика, але мені більше ніж три роки». Петрик мовив: «Я молодший за Сашка на чотири роки». Сашко додав: «Нам разом учетверо менше років, ніж дідесеві, а всім нам разом із дідусем рівно 100 років». Скільки кому років?

1) Позначимо вік Іванка як х, а Петрика - як y. Тоді Сашкові y + 4 років.2) З твердження Сашка випливає, що всім онукам разом 100 : 5 = 20 р. 3) Маємо: х + y + (y + 4) = 20, х + 2y = 16. До того ж 3 < х < y, х – парне. 4) Якщо х = 4, то y = 6. Коли х = 6, то y = 5, що суперечить нерівності х < y.

Оскільки зі збільшенням х значення y зменшується, то х = 4, y = 6 – єдиний розв’язок.

Відповідь: Іванкові – 4 роки, Петрикові – 6 років, Сашкові – 10 років.

• *Дідусь сидів на лавочці в парку недалеко від курантів і читав книгу. Поки він перебував у парку, куранти починали відбивати п’ять разів, а всього він нарахував 11 ударів. З останнім ударом курантів він підвівся й пішов додому. О котрій годині це було? (Куранти відбивають кожну годину відповідну часу кількість разів, а також б’ють один раз у половину кожної години.)

• *Два годинники почали й закінчили відбивати час одночасно. Перший відбиває з інтервалом у 2 с, а другі – у 3 с. Загалом було нараховано 13 ударів (удари, що відбуваються одночасно, сприймаються як один). Скільки часу минуло між першим і останнім ударом?

* Бізнесмен їхав до аеропорту зі швидкістю 60 км/год. У певний момент він зрозумів, що запізнюється. Увівши до ноутбука дані про відстань до аеропорту, час відльоту літака та швидкість руху машини, він отримав пораду екномити 70 с на кожному кілометрі шляху, що залишився. Чи встиг цей бізнесмен на літак?

КОМБІНУЄМО ТА ПЕРЕПРАВЛЯЄМО

• У вас не більше ніж 15 хв на те, щоб підсмажити котлети. Чи встигнете ви це зробити, якщо котлет шість, на сковорідку вміщається лише п’ять котлет, а обсмажуання одного боку котлети триває 5 хв?

Якщо смажити котлети звичайним способом, то ми витратимо (5+5)2 = 20 хв. Спробуємо зробити це «нетрадиційно».

1) Обсмажуємо один бік п’яти колет (5 хв).2) Перевертаємо чотири котлети, а п’яту знімаємо зі сковороди й

обсмажуємо один бік шостої котлети (50 хв).3) Обсмажуємо другий бік п’ятої та шостої котлет (5 хв). Ми впоралися за 15 хв!

• Десять туристів підійшли до річки, їм треба перебратися на інший берег. Є лише маленький човен із двома підлітками, який витримує або двох підлітків, або одного туриста. Як організувати переправу на інший берег річки? За скільки рейсів це можна зробити?

Головне - знайти спосіб переправи одного туриста й забезпечити повернення човна.

1) Двоє підлітків переправляються.2) Один із них залишається, а другий – повертає човен.3) Другий підліток виходить на берег, турист переправляється.4) Перший повертає човен.Отже за чотири ходки човна перевезено 1 туриста.Щоб переправити 10 туристів треба 10 = 40 ходок човна, або 20 рейсів

(один рейс – переправа човна та його повернення).• Зауваження!!! Ті самі кроки розв’язання можна записати більш лаконічно. Позначимо

підлітка як П, а туриста - як Т, річку зобразимо вертикальною рискою. До переправи була конфігурація ППТ | - . Стратегія переправи: 1) Т | ПП; 2) ТП | П; 3) П | ТП; 4) ПП|Т.

• Відомо, що бікфордів шнур згорає рівно за 1 хвилину. Чи можна за допомогою двох таких шнурів відміряти 45 секунд? (Різати шнури неможна.)

• У вас є два піскові годинники: один на 7 хвилин, а другий – на 11. Вам треба відміряти 15 хвилин для певної процедури. Як це зробити за допомогою тільки цих двох годинників?

• Пограбувавши поштовий вагон, двоє мчали на конях, щоб устигнути на корабель, який відпливає о 16 годині. О 12 годині кінь Джека спіткнувся та зламав ногу. «Мені дуже шкода, Джеку, - сказав Гаррі, - але мій Болівар не витримає двох! Я доїду до пристані за 2 години, а пішки туди йти 6 годин. Наші шляхи розходяться! - Почекай, Гаррі, - заперечив Джек. – Я знаю, як нам разом устигнути на корабель». Як вони можуть дістатися пристані за чотири години?

• Троє ревнивих чоловіків разом із дружинами підійшли до берега річки, знайшли човен, який уміщує не більше ніж двох осіб. Як їм переправитися через річку, щоб жодна з жінок не залишалася без чоловіка в присутності чужого чоловіка без дружини останнього?

• Троє учнів пішли на рибаловлю. У них є надувний човен, що витримує вантаж не більше ніж 100кг. Як учням добратися до острова, якщо вони важать 40, 50 і 70 кг?

• Ніч. Бурхлива річка, через яку перекинуто благенький місточок. По один бік річки - чотири жінки, у яких лише один ліхтарик на всіх. Міст може витримати лише двох жінок одночасно. Перша жінка може перейти міст за 1 хв, друга – за 2 хв, третя – за 5 хв, четверта – за 10 хв. Їм потрібно переправитися на інший берег не більше як за 17 хв. Перекидати ліхтарик не можна, час переходу вдвох дорівнює часу переходу повільнішої жінки.

• Космічний корабель під час приземлення зазнав аварії на відстані 80км від бази (на Місяці.) На кораблі є шестиденний запас акумуляторів для забезпечення життя космонавта, але той може підняти лише триденний запас. Чи є в космонавта шанс досягти бази, якщо він може долати в день не більше як 20км?

Принцип Діріхле• Якщо в n клітках не менше як n + 1 кролик, то в якійсь із кліток не

менше двох кроликів.• Якщо множину, що складається з n + 1 елементів, розбити на n

підмножин, то хоча б в одній підмножині виявиться не менше ніж два елементи.

Доведіть, що серед множини, що складається з 101 довільного цілого числа, можна вибрати два, різниця яких ділиться на 100.

У турнірі бере участь n шахістів. Кожні два з них повинні зіграти між собою одну партію. Доведіть, що в будь-який момент змагань є два шахісти, які зіграли однакому кількість партій.

• Якщо в n клітках kn + 1 кроль, то в якійсь із кліток їх принаймні k +

1.• Якщо множину, що складається з nk + 1 елементів, розбити на n

підмножин, то хоча б в одній підмножині виявиться не менше ніж k + 1 елемент.

У квадрат зі стороною 1 м «кинули» 51 точку. Доведіть, що якісь три з них можна накрити квадратом зі стороною 20 см .

• **Від вулканологічної станції до вершини вулкана треба йти 4 год дорогою, а потім 4 год стежкою. На вершині два кратери. Виверження з кожного триває 1 год. Перерва в активності першого кратера триває 16 год, другого – 8 год. Під час виверження з першого кратера не можна йти ні стежкою, ні дорогою, а під час виверження другого не можна йти тільки стежкою. Турист побачив, що о 12 год почалось виверження обох кратерів. Чи зможе він колись піднятися на вершину й повернутися назад без ризику для життя? Відповідь обґрунтувати.

• ** Алі-Баба хоче зайти до печери зі скарбом. Перед печерою стоїть бочка, у кришці якої зроблено чотири отвори (їх розміщено у вершинах квадрата, центр якого - центр круга кришки). Під кожним отвором у бочці стоїть глечик, у кожному глечику - оселедець хвостом або вниз, або вгору. Алі-Баба може просунути руки одночасно у два отвори та повернути один чи обидва оселедці. Якщо хвости всіх оселедців буде напрямлено в один бік, то двері до печери відчиниться. Після того як Алі-Баба витягає руки з отворів, бочка швидко повертається, і після її зупинки неможливо визначити, з якими саме отворами він «працював» раніше. Чи існує стратегія, що дасть Алі-Бабі змогу за кілька спроб відчинити двері?

Індукція + Логіка = математична індукція

СУТНІСТЬ МЕТОДУ МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ • 1. Встановлюється істинність даного твердження при

певному початковому значенні. Хоча б для n = 1. Це - база індукції.• 2. Припускається, що твердження виконується при n = k і

проводиться доведення того, що твердження істинне при n = k + 1.Цей перехід називають індукційним переходом або кроком індукції.Таким чином, після повної реалізації цієї схеми дане твердження можна

вважати доведеним для всіх n. Справді, маємо істинність твердження при n = 1, тоді є правильним і твердження за номерами 1 +1 = 2; 2 +1 = 3,...

• Число n називають параметром індукції. Говорять також, що індукція проходить за параметром n.

• !!!Зверніть увагу на те, що обов’язково треба здійснити перевірку твердження, що вимагається довести, саме для найменшого значення параметра індукції.

• Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп.

Індукцію проведемо по кількості копійок.1) База індукції. Суму в 8 коп. очевидно можна сплатити.2) Індукційний перехід. Нехай можемо сплатити суму в k

копійок. Доведемо, що тоді можна сплатити і суму в k + 1 копійку.

2.1)Якщо серед монет у сумі в k копійок є монета в 5 коп., то заміною її на дві монетипо 3 коп. отримаємо суму в k + 1 копійку.

2.2)Якщо серед монет у сумі в k копійок немає монети в 5 коп., тобто всі монети по 3коп., то їх не менше ніж 3 шт. Тоді заміною трьох монет по 3 коп. на дві монети по 5 коп. збільшимо суму на 1.

3) З (1) і (2) робимо висновок, що довільну суму, більшу за 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп. Твердження доведено.

На кожній із планет деякої зоряної системи знаходиться астроном, який спостерігає найближчу планету. Відстані між планетами попарно різні. Довести, якщо кількість планет непарна, то існує планета, яку ніхто не спостерігає.

1) База індукції Для 3 планет твердження очевидне.2) Індукційний перехід. Припустимо, що воно виконується для 2n - 1

планети. Нехай існує планета за номером 2(n+1) – 1 = 2n +1, тобто є ще дві планети.

Позначимо через А і В дві найближчі між собою планети. Тоді астроном із А спостерігає планету В, а астроном із В – планету А. Якщо ще є астроном, що спостерігає планету А або В, то серед планет, що залишились є така, яку ніхто не спостерігає.

Якщо ж планети А і В ніхто з інших планет не спостерігає, то «відкинувши» ці дві планети, будемо мати задачу про 2n-1 планету.

Твердження доведено.

Задачі на фарбування

• У кожній клітинці дошки 5х5 сидить жабенятко. По команді жабеняти плигають на сусідні клітинки. При тому сусідніми вважаються клітинки, що мають спільну сторону. Доведіть, що при цьому принаймні одна клітинка залишиться порожньою.

• А якщо сусідніми вважати клітинки, що мають за спільне тільки одну вершину?

• Мишка гризе куб сиру, складений із 27 одиничних кубиків. З’ївши один кубик, вона переходить до сусіднього з ним через спільну грань. Чи може мишка з’їсти в такий спосіб увесь куб, окрім центрального кубика?

• Замок має форму рівностороннього трикутника зі стороною 36м. Він розбитий на 16 трикутних залів зі сторонами 9м. Між сусідніми залами є двері. Доведіть, що коли людина захоче пройти по замку, побувавши в кожному залі не більше одного разу, то вона зможе оглянути не більше 13 залів.

При обході замку людина повинна буде почергово переходити із зафарбованих у незафарбовані зали, кількість яких відповідно

дорівнює 10 та 6. Тому вона зможе відвідати не більше 7 зафарбованих залів, разом не більше 7 + 6 = 13 всіх залів замку.

• Чи може кінь пройти з поля А-1 шахівниці на поле Н-8, побувавши по дорозі на кожному з решти клітинок поля по одному разу?

• Шахову дошку закрили тридцять двома пластинками доміно так, що кожна пластинка закриває рівно 2 клітинки дошки. 8 пластинок закривають 8 клітинок однієї діагоналі дошки, до того одні пластини закривають ще одну клітинку вище діагоналі (В), а інші – нижче (Н). Доведіть, що при будь-якому випадку розміщення пластин виду В та Н буде порівну.

• Чи можливо розфарбувати клітинки квадрата в чорний та білий кольори таким чином, щоб кількість чорних клітинок довільного квадрата була більша за кількість білих клітинок цього квадрата, а кількість білих клітинок довільного квадрата була більша за кількість чорних клітинок цього квадрата?

• Чи можна розрізати квадрат 10 х 10 на 25 прямокутників ?

Принцип крайнього• Три дівчинки: Іра, Наташа і Люда ділили між собою 24

цукерки. Спочатку Іра дала Люді і Наташі стільки цукерок, скільки у них було. Потім Наташа дала подругам у двічі менше, ніж у них стало. А потім Люда дала Ірі та Наташі стільки, скільки у них було на даний момент. В результаті всім дісталось порівну. Скільки цукерок було в кожної дівчинки спочатку?

Почнемо з останнього твердження умови - цукерок дісталось всім порівну, тобто кожній дівчинці – по 8 цукерок.

Проаналізуємо попередні кроки, а відповідні висновки запишемо у вигляді таблиці (мал. 19.1).

Обернений крок 1. Перед тим, як кількість цукерок вирівнялася, у Іри та Наташі було вдвічі менше - по 4 цукерки, а у Люди було (24 - 4= 16.

Обернений крок 2. У Іри було 4: 2 = 2 цукерки, у Люди 16: 2 = 8, а у Наташі ( 24 – 2 - 8) = 14.

Обернений крок 3. У Наташі було 14: 2 = 7 цукерок, у Люди 8: 2 = 4, а у Іри (24 – 7 - 4) = 13.

• У вершинах 100-кутника розміщено числа так, що кожне з них є середнім арифметичним своїх сусідів. Доведіть, що всі ці числа рівні між собою.

Розглянемо найменше з даних чисел. Зрозуміло, що два його сусідні числа повинні з ним співпадати, тобто є теж найменшими. І т.д.

Твердження доведено.

• * У Тридев’ятому царстві кожні два міста з’єднані дорогою з одностороннім рухом. Довести, що існує місто, з якого в будь-яке інше місто можна проїхати не більш ніж двома дорогами.

Розглянемо місто А, з якого виходить найбільша кількість доріг, позначимо їх кількість через n. Припустимо, що існує місто В, в яке не можна проїхати з А однією чи двома дорогами.

З міста В обов’язково виходять дороги до міста А та до всіх інших міст, до яких виходять дороги і з міста А, тобто всього хоча б n + 1 дорога. Це суперечить припущенню, що з А виходить найбільша кількість доріг. Отже, з міста А в будь-яке інше місто можна проїхати не більше як двома дорогами.

Твердження доведено.

Прогулянки з Графами

Ейлер ночами гуляє мостами

Між зорями бродить складними шляхами

На кожен місток він заходить лиш раз

І звідти з питанням вдивляється в нас.

13 сторінок

Як грати, щоб вигравати?

• Задачі – ігри мають такі характеристики: • 1. У кожній грі беруть участь, як правило, двоє гравців.• 2. Суть гри – це почергове виконання партнерами скінченої

кількості певних дій (ходів ).• 3. Завжди відомо в чому полягає заключна виграшна

позиція, а тому виграє той з гравців, після чийого ходу ця позиція досягається.

• 4. Гра є відкритою: кожен з гравців має повну інформацію про її перебіг. (Зауважимо, що гра в шашки чи шахи є відкритою, а в доміно, «морський бій», карти - ні.)

• 5. Суть розв’язання задачі про гру двох осіб – з’ясувати стратегію дій одного з гравців, за якої перемагає саме цей гравець. (Зауважимо, коли встановлено виграшну стратегію, то в саму гру після цього можна вже не грати. )

Універсальним методом для пошуку виграшних стратегій є аналіз гри « з кінця».

• На столі – 23 цукерки. Кожен з двох гравців за один хід може взяти будь – яку кількість цукерок від 1 до 4. Виграє той, хто забере останню цукерку. У кого з гравців виграшна стратегія і в чому вона полягає?

• Нехай маємо таку саму купку з 23 цукерок. Але брати з цієї купки можна тільки 2 або 5 цукерок. Останнім ходом можна забрати і 1 цукерку, якщо їх більше не залишилось. Хто виграє?

У багатьох ігрових задачах виграшна стратегія досягається за допомогою вдалого ходу – відповіді на будь – який хід партнера. Існування такого ходу може забезпечуватися симетрією, розбиттям на пари, доповненням до числа тощо.

• Двоє по черзі кладуть п’ятаки на круглий стіл. Програє той, хто не має місця для ходу. Хто переможе?

• Двоє по черзі проводять по одній діагоналі в правильному 100 – кутнику так, щоб вони не перетинались з уже побудованими. Хто переможе ?

• На столі стоїть 9 стаканів вверх дном. Грають двоє, роблячи ходи по черзі. За один хід дозволяється перевернути будь – які 4 стакани або доставити нові 2 стакани вверх дном. Виграє той, після ходу якого всі стакани стоятимуть вниз дном. У котрого з гравців є виграшна стратегія?