Едно от основните приложения на прогресиите е пресмятането на лихви, ренти и вноски за погасяване на заеми.

A)Определение:Възнаграждението, което се изплаща

за използването на определена парична сума (капитал) за даден период от време, се нарича лихва.

Б)основни понятия: капитал лихвен процент лихвен период

Лихвата, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период се олихвява само първоначалната сума (началена капитал или главница), се нарича проста лихва.

n- период на олихвяване, р-лихвен процент, К-първоначален капотал , L n - лихва и К n -нарастнал капитал

Олихвяването обаче може да става и на по-малки периоди от време

Ако олихвяването се извършва всеки месец, то в горната формула множителят

(р е годишният лихвен процент) се заменя с

Формулата за изчисляване става: .

12.100

.1

pnKKn

Заем от 3000 лв. се изплаща за 5 месеца при 12% годишна проста лихва. Каква сума трябва да се изплати на края на петия месец?

Имаме p=12, K=3000, n=5 , K5=?

Трябва да се изплатят 3150 лв.

12.100

.1

pnKKn

Ако искате да постигнете 10% годишна печалба от инвестиция, каква сума (с точност до 0,01 лв.) би трябвало да заплатите за книжа, които след 9 месеца биха донесли 8000 лв.?

Ако искате да постигнете 10% годишна печалба от инвестиция, каква сума (с точност до 0,01 лв.) би трябвало да заплатите за книжа, които след 9 месеца биха донесли 8000 лв.?

Търсим началния капитал К при p=10%, K9=8000, n=9

(за период от 9 месеца).

Като заместим във формулата се получава

Или

12.100

.1

pnKKn

Какъв годишен процент печалба ще се постигне, ако се платят 3000 лв. за книжа, които след 6 месеца биха донесли 3300 лв.?

Какъв годишен процент печалба ще се постигне, ако се платят 3000 лв. за книжа, които след 6 месеца биха донесли 3300 лв.?

Търсим годишния лихвен процент р

при K=3000лв., K6 =3300лв.

получааме

Откъдето p= 20 %

20011,1

2001

3000

3300 pp

Понякога се използват и по-малки периоди на олихвяване, например дни. Финансовите институции обикновено използват 360-дневна година, но понякога се използва и 365-дневна година. Навсякъде по-нататък при изчисленията ще използваме 360 - дневна година.

Полица има срок на погасяване 270 дни и стойност 2500 лв. при 10% годишна проста лихва. (Това означава, че след 270 дни са платими главницата от 2500 лв. и лихвата.) Ако след 150 дни полицата се продаде за 2600 лв., какъв процент годишна печалба би постигнал новият купувач?

Полица има срок на погасяване 270 дни и стойност 2500 лв. при 10% годишна проста лихва. (Това означава, че след 270 дни са платими главницата от 2500 лв. и лихвата.) Ако след 150 дни полицата се продаде за 2600 лв., какъв процент годишна печалба би постигнал новият купувач?

Първо ще пресметнем каква сума ще донесе полицата след изтичане на 270-дневния период

Сега трябва да намерим каква печалба би се реализирала за 120 дни (270-150=120)ако сума от 2600 лв. нарасне на 2687,50 лв.:

Сега трябва да намерим каква печалба би се реализирала за 120 дни (270-150=120)ако сума от 2600 лв. нарасне на 2687,50 лв.:

P ≈10,1 %

10336,1300300

12600

5,2687

pp

Най-често лихвата се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края

на следващия период.

Лихвата се нарича сложна, когато в края на всеки лихвен период се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период.

Лихвата се нарича сложна, когато в края на всеки лихвен период се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период.

Ако К е началният капитал,

р е лихвеният процент

n е броят на периодите на олихвяване,

то нарасналият капитал след изтичане на n периода се пресмята по формулата:

В таблицата по-долу можете да проследите и сравните как се изменя началният капитал при проста и сложна лихва в продължение на 12 години. От диаграмата се вижда много добре, че при сложна лихва, понеже редицата от сумите образува геометрична прогресия, нарастването е експоненциално.

В таблицата по-долу можете да проследите и сравните как се изменя началният капитал при проста и сложна лихва в продължение на 12 години. От диаграмата се вижда много добре, че при сложна лихва, понеже редицата от сумите образува геометрична прогресия, нарастването е експоненциално.

Години 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Проста лихва

1100,001200,001300,001400,001500,001600,001700,001800,001900,002000,002100,002200,00

Сложна лихва

1100,001210,001331,001464,101610,511771,561948,722143,592357,952593,742853,123138,43

Годишен лихвен процент

Основен капитал

Период в години

10 1000 5

Годишно На 6 месецаНа три-

месечиеВсеки месец Всеки ден Проста лихва

610,51 628,89 638,62 645,31 648,61 500,00

Пример 5. Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лв. при сложна лихва 4%. Каква ще бъде сумата, когато детето навърши 18 години?

Пример 5. Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лв. при сложна лихва 4%. Каква ще бъде сумата, когато детето навърши 18 години?

При , K=4000, n=18-10=8 се получава

След 8 години нарасналата сума е 5474,28 лв.

Каква сума трябва да се внесе при 5% сложна лихва, за да се получат след 5 години

10 000 лв.?

Каква сума трябва да се внесе при 5% сложна лихва, за да се получат след 5 години

10 000 лв.?

Ако ,K=10000 , p=5 намираме

Трябва да се внесат 7835,26 лв

При какъв лихвен процент

(с точност до 0,1%)

началният капитал K ще нарасне 1,5 пъти за 6 години?

От

При

и n=6 намираме

Често капитализирането на лихвата се извършва на периоди, по-малки от една година. В такъв случай годишният лихвен процент се намалява толкова пъти, колкото пъти периодът е по-малък от една година. Например при годишен лихвен процент 3% и месечно капитализиране на лихвата всеки месец капиталът се олихвява с 3:12 =0,25% .

В банка са вложени 1500 лв. на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент 3,6%. Каква ще бъде сумата след 18 месеца?

K=1500, n=18 и месечният лихвен процент е p=3,6:12=0,3%

. Имаме

След 18 месеца сумата ще е 1583,10 лв.