高速ソートと安定結婚問題

平成 24 年 12 月 14 日

高速ソート

単純なソートアルゴリズム　　バブルソート　　Ｏ（ｎ２）　　　　選択ソート　　　 Ｏ（ｎ２）　　　　挿入ソート　　　 Ｏ（ｎ２）　　

もっと高速なソートアルゴリズムは？計算量が Ｏ（ｎ ｌｏｇ ｎ） のソートアルゴリズム　　クイックソート　　ヒープソート　　マージソートこの中でクィックソートが最速（ランダムデータに対して．不得手な場合もある）

クイックソートの原理

まず、配列中の適当な要素を選ぶ　　　→　これを枢軸（ｐｉｖｏｔ）と呼ぶ次のように要素を並べ替える　　　→　これを分割（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ）という

ａ［０］　　・・・・・・・・・・　ａ［ｖ－１］ ａ［ｖ］ ａ［ｖ＋１］　・・・　ａ［ｎ－１］

ａ［ｖ］より小（以下） ａ［ｖ］ａ［ｖ］より大（以上）

考え方： 分割統治法（ｄｉｖｉｄｅ ａｎｄ ｃｏｎｑｕｅｒ）

では、ａ［０］ , ・・・ , ａ［ｖ－１］の部分と、　　　　ａ［ｖ＋１］ , ・・・ , ａ［ｎ－１］の部分はどうするか？　　　　　↓ピボットの選択→ 分割を再帰的に繰り返せばよい！

クィックソートのアルゴリズム概観

①ソートするデータ区間のデータを得る② 区間内のデータ数が 2 以下の時

2-1 ：データ数が 1 以下の時なにもしない2-2 ：データ数が２の時，必要なら交換

③ 区間内のデータ数が 3 以上の時3-1: 区間内でピボットを選ぶ（便宜的に右端）3-2: 区間内で，ピボットより小さい区間（左半分）と大きい区間 ( 右半分）に分割する3-3:3-2 の両区間を再帰的処理する

/* 配列ａのうち a[l] ～ a[r] を整列する */quick_sort ( int a[ ], int l, int r ){　　 if( 整列する要素が一つのみである )　　　　 return;

　　適当な要素 a[v] を枢軸にして、　　　　 a[v] より小さい要素を　 a[l] ～ a[v-1] に集め、　　　　 a[v] より大きい要素を　 a[v+1] ～ a[r] に集める

　　　　 quick_sort ( a, l, v-1 ); 　 /* 左の部分を整列する */

　　　　 quick_sort ( a, v+1, r ); 　 /* 右の部分を整列する */}

分割のアルゴリズム０ａ．一番右の要素を枢軸に選ぶ０ｂ．ポインタ ｉ を左端に、ポインタ ｊ を枢軸の　　　すぐ左に設定する１．枢軸より大きな要素が見つかるまで　　 ｉ を右へスキャン２．枢軸より小さな要素が見つかるまで　　 ｊ を左へスキャン３． ｉ が指す要素と ｊ が指す要素を交換する４． ｉ と ｊ がぶつかるまで１～３を繰り返す５． ｊ の指す要素と枢軸と交換する

５５ ３ ７４ ２０ １３ ８７ ４６ ３０

ピボットi j

５５ ３ ７４ ２０ １３ ８７ ４６ ３０

i j

１３ ３ ７４ ２０ ５５ ８７ ４６ ３０

j

１３ ３ ７４ ２０ ５５ ８７ ４６ ３０i j

１３ ３ ２０ ７４ ５５ ８７ ４６ ３０

１３ ３ ２０ ３０ ５５ ８７ ４６ ７４

i

i

j

j ｖ

前半に＜３０，後半に＞３０を置く．それに反するものを入れ替える

左スキャンと右スキャンが交錯したらピボットをそこに置く→＠ピボットの左にピボットより小さい値，右に大きい値があるはず

再帰版クイックソート/*　配列 a[l]~a[r]を分割する。枢軸の添え字を返す */int　partition(　int　a[ 　 ],　int　l,　int　r　){　　　int　　i,　j,　pivot,　t;

　　　i　=　l　–　1;　　j　=　r; /*　ポインタ i　と ｊ を初期化する */　　　pivot　=　a[r]； 　 /*　いちばん右端の要素を枢軸にする */　　　for(　;　;　)　　{ /*　ポインタ i　と j　とがぶつかるまで繰り返す */　　　　　　while(　a[++i]　<　pivot　)　　　　　　　　　; /*　ポインタ i　を右へ進める */　　　　　　while(　i　<　j　&&　pivot　<　a[j]　)　　　　　　　　　; 　/*　ポインタ i　を左へ進める */　　　　　　if　(　i　>=　j　)　　　　　　　　　break; 　/*　ポインタ i　と j　がぶつかったらループを抜ける */　　　　　　t　=　a[i]:　　a［ i ］ =　a[j];　　a[j]　=　t; /*　i　の指す要素と ｊ の指す要素を交換する */　　　}　　　t　=　a[i]:　　a［ i ］ =　a[r];　　a[r]　=　t; /*　a[i]　と枢軸を交換する */　　　return　　i;｝

クイックソートの計算量

最適な分割：　ｐｉｖｏｔ がほぼ中央に来る　→　ほぼ半分ずつに分割される　→　要素 1 までの分割数をｐとすると

２ｐ =n ，よって p=log 2n 回分割が必要　　　部分列の個数はｎ個．　　

　→　計算量は　Ｏ（ｎ ｌｏｇ ｎ）

枢軸より大きい要素 ０個

最悪の分割：ピボット が端に来る　　

　　　↓分割のレベル数（深さ）は ｎ　　　↓

計算量は　Ｏ（ｎ２）

枢軸

枢軸

枢軸より小さい要素 ｋ－１個

まとめ：　クイックソートの計算量は　　最良　Ｏ（ｎ ｌｏｇ ｎ）　　平均も！　　最悪　Ｏ（ｎ２）

クイックソートの改善方法

部分配列の長さが１０程度以下になったら、　挿入ソートに切り替える　　　ｋ１・ｎ２　＞？　ｋ２・ｎ ｌｏｇ２ｎ　　（ｋ１＜ｋ２）　　　　俗に　 quicker sort

最悪の場合を回避する　　　 部分配列の右端、中央、左端の３つのうちの　　中央値を枢軸に

再帰の深さを減らす　　→　左右の部分配列のうち、　　　　 短いほうから先に処理をする　　　　 　　→　再帰の深さは最大 ｌｏｇ２ｎ 程度

　　→　非再帰版　　　　　　→　 再帰の処理をスタックを利用して　　　　　　　　　自分で行なう。

安定結婚問題

１ ２ ３ ４ ５

① ② ③ ④ ⑤

安定結婚問題フィーリングカップル 5 対 5 　（講義 1

回目）

安定結婚問題

・ 最初の論文　→　 [Gale & Shapley 1962] 　　 - アメリカの研修医配属問題がきっかけ。　　 - どんな例題にも、必ず安定マッチングが存在する。　　 - 安定マッチングを多項式時間で見つけることができる。 (Gale-Shapley アルゴリズム )・様々な類似問題 - 安定ルームメイト問題　　 - Residents/Hospitals 問題・最近、様々な新種の問題・実世界での応用　　研修医配属 　 NRMP (National Resident Matching Program) 　 CaRMS (Canadian Resident Matching Service) 　 SPA (Scottish Pre-registration house officer Allocations) JRMP (Japanese Resident Matching Program)

不安定結婚とは

• カップルでない男女双方ともに互いに対する好感度が自分のカップル相手よりも高い場合、そのカップルは持続せず解消してしまう。→不安定なカップル

• 上記の状況が全く発生していない→安定なカップル

力任せで安定結婚問題を解くアルゴリズムコンピュータは速いから、すべての 5組カップルを生成して

（５！＝５＊４＊３＊２＊１＝１２０）、それが安定か不安定かを調べればいい？

N=11 　　　　　　 　 1秒N= １２　　　　　 　 ４秒N= １３　 2 分52秒N= １４　 ４ 2 分３０秒N= １５　１１時間

・すべての組み合わせを作る計算量は　Ｎ！・安定性をチェックする計算量は　　　　　Ｎ＊Ｎ・よって総計算量は　　　　　　　　　　　　　Ｎ！＊Ｎ＊Ｎ・ N=16 のときの大よその実行時間は　　 1週間

もっと速いアルゴリズムは？• なぜ遅い？⇒すべての組合せを生成して，毎回浮気のチェックをしているので，

　　入力データ数 N の壁に阻まれる生成検査法（ Generate and Test)

⇒一発で解が作れないか？⇒それは無理⇒でも無意味な組み合わせから始めるのはよくない⇒どのような組合せなら作成可能で無駄が少ないか？

① 理想的な状態（浮気が起こらない組合せ）から始めてみてはどうか？　　理想状態＝第一希望の異性とのカップル　　相手にパートナーがいるか否かを無視して、とりあえず強引に第一希望に申し込む。既にパートナーがいれば、その好感度を比較して、既存パートナーの好感度が高ければ、申込を破棄、低ければ、パートナーを解消して、新パートナーを作る。

②乗り換え発生時：カップル解消された人は困りますよね。その人は、一つ好感度が低い人に新たにカップルを申し入れて、先程と同様の処理をする。

③カップル解消が起きて一人はじかれると、入れ替え（玉突き現象）が際限なく起こらない？

⇒これは大丈夫。好感度が一つ低い相手を選ぶので、一度のカップル解消で最大入れ替え回数は？回

もっと速いアルゴリズムは？

手順１ 男性１ ④

手順２ 男性１ ④

男性２ ③

手順３ 男性１ ④

男性２ ③

男性３ ④→ ２

下記の例で効率的アルゴリズムを実行してみると

手順４？．．．

？．．．

？．．．

④③②⑤① ③②⑤①④ ④②⑤③① ④⑤③①② ②③④①⑤

４１３２５ １３５２４ ３５１２４ ４２１３５ ４３２１５

×

男子

女子

フィーリングカップル 5 対 5 　の解答

手順１ 男性１：④手順２ 男性１：④ 男性２：③手順３ 男性１：④ 男性２：③ 男性３：④→②手順４ 男性１：④→③ 男性２：③→②→⑤ 男性３：④→② 男性４：④ 手順５ 男性１：④→③→② 男性２：③→②→⑤→① 男性３：④→②→⑤

男性４：④ 男性５：②→③

④③②⑤① ③②⑤①④ ④②⑤③① ④⑤③①② ②③④①⑤

４１３２５ １３５２４ ３５１２４ ４２１３５ ４３２１５

×

男子

女子

入力：男性 N人　　　 女性 N人 希望リスト

より形式的に安定結婚問題を考えると

N=5 の例

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5

2: c a e b d b: 2 1 4 5 3

3: b a e d c c: 1 2 3 5 4

4: c b d e a d: 3 1 4 2 5

5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

男性の希望リスト　　　　　　　　女性の希望リスト

男性： 1,2,3,4,5 女性： a,b,c,d,e

1 a

2 b

3 c

4 d

5 e

出力 ：男女間の不安定マッチングの例

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5

2: c a e b d b: 2 1 4 5 3

3: b a e d c c: 1 2 3 5 4

4: c b d e a d: 3 1 4 2 5

5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

これは解の条件を満たしていない。これは解の条件を満たしていない。安定結婚問題安定結婚問題 :: 　与えられた入力から、安定マッチングを見つける。　与えられた入力から、安定マッチングを見つける。

男性 男性 11 と女性 と女性 cc は は ブロッキングペアブロッキングペア

ブロッキングペアの存在しないマッチングブロッキングペアの存在しないマッチング : : 　　安定マッチング安定マッチング

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5

2: c a e b d b: 2 1 4 5 3

3: b a e d c c: 1 2 3 5 4

4: c b d e a d: 3 1 4 2 5

5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

The Gale-Shapley Algorithm [Gale & Shapley 1962]　　　　 (Men-propose ）

×× ×

×

×× ×

×

Theorem [Gale & Shapley 1962, Gusfield & Irving 1989]Theorem [Gale & Shapley 1962, Gusfield & Irving 1989]　　　　 The Gale-Shapley algorithm finds a stable matching.The Gale-Shapley algorithm finds a stable matching.