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結構學 ( 一 ). 第五次作業 97/04/24. 共軛樑法. 求解結構之變位及傾角 支承轉換原則. 共軛樑法. 求解原結構之彎矩圖 轉換為共軛樑，並以彎矩除以 EI 為彈性載重 求得共軛樑的支承反力 共軛樑任一點的彎矩值即為該點之變位 共軛樑任一點的剪力值即為該點之傾角. 60kN. d. c. a b. I 1 =60,000cm 4 I 2 =45,000cm 4. 6m 3m 3m. 課本範例. - PowerPoint PPT Presentation
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結構學 (一 )
第五次作業97/04/24
共軛樑法 求解結構之變位及傾角 支承轉換原則
固定支承 自由端
簡支承 簡支承
內部支承 內部接頭
共軛樑法 求解原結構之彎矩圖 轉換為共軛樑，並以彎矩除以 EI為彈性載重
求得共軛樑的支承反力 共軛樑任一點的彎矩值即為該點之變位 共軛樑任一點的剪力值即為該點之傾角
課本範例 請利用共軛樑法，計算下圖樑結構之 b點之線向變位及轉角，計算時假設 E=20,000kN/cm2。
I1=60,000cm4 I2=45,000cm4a b
cd
60kN
6m 3m 3m
課本範例 首先求得原結構之彎矩圖
先求出支承反力 dx=60*3/6=30 bx=30 ax=30
再求出固定端彎矩及 c點彎矩 Ma=30*6=180 kN-m Mc=-180+30*9=90 kN-m
30
-30 -180
90
課本範例 將原樑變換為共軛樑 將彎矩除以 EI，當成載重施加於共軛樑
課本範例 求 b點的線向變位等同於計算共軛樑於
b點之彎矩 取共軛樑 ab跨自由體，即可求得Mb
cmEIEIb 8.1
60000*20000
100*21602160
2
4*6*180 3
11
課本範例 b點於原實際樑為內部鉸接頭，因此該點左右二側之轉角應有所不同，亦即 b點對應於共軛樑處之左右斷面剪力值亦不同 計算 b點左側之剪力
計算 b點右側之剪力
)(0045.060000*20000
100*540540
2
6*180)(
2
11
順左側 radEIEIb
)(0015.0135360
2
135
2
360
2
270)(
21212
逆右側 radEIEIEIEIEIb
題目一 (a)如圖 P9.10所示之梁，求 A點傾角與中點變位。
(b)如果中跨之變位不可超過 1.2in，慣性矩 I之最小值為何？ E=29,000kips/in2。
先求出支承反力，並繪出彎矩圖 取左邊鉸支承 A之 ΣMA=0
Ey=30*(6+9)/(6+18+6)=15 () 取 ΣFy=0
Ay=30-Ey Ay=15 ()
題目一
225kips-ft
90kips-ft
題目一 繪製共軛樑及彈性載重
求共軛樑的支承反力 Ay , Ey
)(75.978
)(75.9785.20225.506270
)219(*5.4*45)1812(*5.4*5.112)264(*3*9030*
0M
ftkipsEI
E
ftkipsEIEI
A
EIEIEIA
y
y
y
E
取
題目一 繪製共軛樑及彈性載重 切 ABC跨自由體 ,計算 C點彎矩
EIEIEI
EIEIEIEIc
5.8977121575.1518297025.14681
6*5.4*453*5.4*5.112)92(*3*9015*
75.978
題目一 C點變位不得大於 1.2in
)(78.44512*2.1*29000
5.8977
2.15.8977
43 inI
EIc
題目二 (單位載重法 ) 如圖 P9.12所示之梁，求 B點鉸接處兩側之傾角及 B點變位，以及 BCD跨中最大變位值， D點支承視為滾支承。改成求 c點變位
題目二 先求解支承反力，並繪出彎矩圖
取右半部自由體圖 Dy=30*9/18=15() ByR=30-15=15() 取左半部自由體圖 ByL=15() Ay=15() ΣMB=0MA=15*12=180(逆 )
-180
135
M-D
題目二 AB斷面之彎矩函數 (A): BC斷面之彎矩函數 (B): CD斷面之彎矩函數 (D):
-180
135
M-D
xM 15
18015 xM
xM 15
題目二 求 B點之變位，於 B點施加單位載重 可求得支承反力 Ay=1,MA=-1,Dy=0 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數 : 12xm
-12m-D
題目二 由於m在 BCD斷面皆為零，只需計算 A
B斷面之積分
EI
EIEI
xxx
EI
xx
EI
xxB
4320
2
25920259208640
2
21601805
2
216036015
2
1218015
12
0
23
12
0
212
0
題目二 求 B點之左側傾角，於 B點左側施加順時針方向之單位彎矩
可求得支承反力 Ay=0,MA=-1,Dy=0 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數 : 1m
題目二 由於m在 BCD斷面皆為零，只需計算 A
B斷面之積分
EIEI
EI
xx
EI
xB
540
2
21601080
2
1805.7
2
11801512
0
212
0
左側
題目二 求 B點之右側傾角，於 B點右側施加順時針方向之單位彎矩
可求得支承反力 Ay=-1/18,MA=-1,Dy=-1/18 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數 (A): BC斷面之彎矩函數 (B): CD斷面之彎矩函數 (D):
18
18 xm
18
12 xm
2/31
18
xm
-1/18
題目二 計算各斷面 (AB,BC,CD)之積分
EIEIEI
EIEI
EI
x
EI
xxx
EI
x
EI
xx
EI
xx
EI
xx
EI
xx
EI
xx
B
5.3675.607
2
480
5.607
2
14401440480
5.7
2
12010185
65
1565
2
1202065
1815
1818
15
21812
18015
9
0
2
12
0
23
9
0
2
9
0
2
12
0
2
9
0
9
0
12
0
右側
題目二 求 C點之變位，於 C點施加單位載重 可求得支承反力 Ay=0.5,MA=-6,Dy=0.5 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數 (A): BC斷面之彎矩函數 (B): CD斷面之彎矩函數 (D):
xm 5.0
65.0 xm
xm 5.0
-6
4.5
0.5
-0.5
題目二 計算各斷面 (AB,BC,CD)之積分 與 B點比較，以 C點之變位較大
EIEIEI
EIEI
EI
x
EI
xxx
EI
x
EI
x
EI
xx
EI
xx
EI
xx
EI
xxC
58053645
2
4320
3645
2
12960129604320
5
2
1080905.2
5.75.7
2
10801805.7
5.0155.015
2
65.018015
9
0
312
0
23
9
0
29
0
212
0
2
9
0
9
0
12
0
題目二 跨中最大變位值無法直接以單位載重法求解
以共軛樑法求解，找出共軛樑的彎矩極值剪力為零
題目二 共軛樑的支承反力
Dy=(90*6*8+135*4.5*18)/18=847.5 By=847.5+90*6-135*9=172.5
BCD跨剪力為零 90*6-172.5=367.5 = 15x*x/2 x=7 B點右側 7ft處 (C點左側 2ft),令該點為 E
求 E點彎矩 ▽E=(847.5*11-135*4.5*5-105*2*1-30*1*2*2/3)/EI =(9
322.5-3037.5-210-40)/EI=6035/EI
