Сборник задач по геометрии.Учебник И.М.Смирновой , В.А.Смирнова, главы 5 и6 (Параллельность. Многоугольники и окружность.)

Авторы: Балагуда Ксения, Зубрицкая Ирина, Веремчук Ирина, Знамцева Алина, Погосян Наира

Руководитель: Оргина Екатерина Владимировна

МОБУ «СОШ с.Малиново» Дальнереченский р-н Приморский край

2013г

Тема 1.Параллельные прямые. Найдите углы, образованные при

пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из углов равен 130°.

Решение.

Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей равна 40°.Найдите эти углы.

Решение.

Тема 2.Сумма углов многоугольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900°.Сколько у него сторон?

Решение.

Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 6,8,10,12.Найдите их.

Решение.

Тема 3.Параллелограмм.

Сумма двух углов параллелограмма равна 150°.Найдите его углы.

Решение.

Периметр параллелограмма равен 48 см.Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см.

Решение.

Тема 4.Признаки параллелограмма На сторонах параллелограмма АВСД

отложены равные отрезки ВЕ=DF.Является ли четырехугольник ВЕDF параллелограммом

Решение.

Тема 4.Прямоугольник,ромб,квадрат

Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см, диагонали пересекаются под углом 60°.Найдите диагонали прямоугольника.

Решение.

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 5 см.Найдите диагонали прямоугольника.

Решение.

Тема 5.Средняя линия треугольника

Сторона треугольника равна 8 см.Найдите среднюю линию треугольника.

Решение.

Стороны треугольника равны 16 см,20 см и 24 см.Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Решение.

Тема 6 . Трапеция.

Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия трапеции 4 см.Найдите основания.

Решение.

Основания трапеции относятся как 10 : 4, а их разность равна 24 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение.

Тема 7.Теорема Фалеса. На одной из сторон угла расположены

два отрезка 3 см и 4см.Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Найдите меньший из них, если больший равен 6см.Решение.

Тема 8. Углы, связанные с окружностью. Центральный угол равен

140°.Найдите соответствующий вписанный угол окружности.

Решение.

Тема 10.Многоугольники описанные около окружности. Три последовательные стороны

четырехугольника, в который можно вписать окружность равны 2см,3см и 4 см.Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Решение.

Тема 11.Замечательные точки в треугольнике.К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр?

Решение.

1)˂ 3= < 2= 130°,как вертикальные.2)< 3= < 6=130°,как внутренние односторонние.3)< 5= < 7=130°,как вертикальные.4)< 4=180-130=50°,как смежный < 3.5) <4=< 1=50°,как вертикальные.6)<4= < 8=30°,как соответственные.7)<1= <6=30°, как соответственные.Ответ: 130°,50° НАЗАД.

а7 8

6 5

213 4

а

в

с

1)< 1+ <2=180°, т.к а || в

2)180-40=140

3)140:2=70° - <1

4)70+40=110 - <2

1

2

а

в

с

НАЗАД

180(n-2)=900°180n-360=900°180n=1260| : 180n=7Ответ 7 сторон.

НАЗАД

1)Т.к сумма четырехугольника равна 360°,значит 6ч+8ч+10ч+12ч=360°,Найдем сколько градусов приходится на одну часть36ч=360°2)1ч=360:36=10°. 6ч=10*6=60 8ч=10*8=80 10ч=10*10=100 12ч=10*12=120

НАЗАД

Решение.1)<1+<2=150°2)150:2=75°3)180°-75=105°Ответ: 75°,75°,105°,105°

А

В С

Д1

23

475°

75°

105°

105°

НАЗАД

1)АВ= x см; АД=(x+7) см, т.к АД-АВ=7 см2)Т.к Р=48 см, составим уравнениех+х+7+х+х+7=48 см4х+14=48 см4х=34:4Х=8,5 см- АВ и СДАД=ВС=8,5+7+15,5 смОтвет: 8,5 см; 15,5 см; 8,5 см; 15,5 см.

А

В С

Д

ХХ

Х+7

Х+7

НАЗАД

Да, так как противоположные стороны BE и DF равны и параллельны.А

В С

DF

Е

НАЗАД

1)Рассмотрим треугольник СОД ОС=ОД,т.к диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, значит треугольник СОД равнобедренный.Отсюда <1=<2,т.к углы при основании равнобедренного треугольника равны, сумма углов треугольника равна 180 °.180-60=120120:2=60<1=2=60°2)Т.к все углы треугольника СОД=60°,значит треугольник СОД-равносторонийОС=ОД=СД=6 см.Отсюда АС=ВД=6*2=12см.Ответ : 12 см

А

В С

Д

О60°

1

2

НАЗАД

Решение.1) Рассмотрим <A=90°1ч+2ч=90°3 ч=90:31ч=30°2ч=30*2=60°2)Рассмотрим треугольник

САД,он прямоугольный.<САД=30°СД=5 смАС-гипотенуза треугольника.По св-ву катета, лежащего

против <30°Найдем АС.СД=АС/2 *2 АС=2СДАС=2*5=10 см.

2 ч 1чА

В С

Д

5 см

НАЗАД

8:2=4(см) т.к средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

А

В

С8 см

K N?

НАЗАД

1)KN=АВ:2KN=24:2=12 см.2)KF=BC:2KF=16:2=4 см3)NF=AC:2NF=20:2=10 см

K N

FА

В

С

20 см

16 см

24 см

НАЗАД

1)КN= (АД+ВС):2- по теореме.

2)4=(2х+3х):2 3)5х=84)Х=8:55)Х=1,6 –в 1 части.6)2*1,6=3,2- ВС7)3*1,6=4,8-АДОтвет: 3,2 и 4,8 см.

K N

А

В С

Д

2х

3х

4 см

НАЗАД

1)10х-4х=246х=24Х=4 см -в 1 части2)4*4=16(см)- ВС3)10*4=40(см)-АДKN=(АД+ВС):2KN=(40+16):2=28 см.Ответ: 28 см

10х

4х

А

В С

Д

K N

НАЗАД

3 см 4 см

х

6 см

¾=х/6 Х=(6*3):4=4,5Ответ: 4,5 см

НАЗАД

140°

?

А В

С

140:2=70°,т.к вписанный угол равен половине центрального угла.Ответ: 70°

О

НАЗАД

1)ВС+АД=АВ+СД2+4=3+СДСД=3 см, по свойству четырехугольника описанного около окружности.2)Р=2+4+3+3=12 см

А

2 см

3 см

В С

Д4см

НАЗАД

Пусть в треугольнике АВС АС > ВС.Воспользуемся тем, что для высоты СД этого треугольника будет выполняться неравенство АД > ВД и,следовательно, неравенство <АСД > <ВСД.Это означает,что точки высоты расположены к меньшей из сторон,выходящих из той же вершины.Следовательно,ортоцентр треугольника расположен ближе к меньшей стороне.

А

С

Д В

НАЗАД