Θεματική Ενότητα

1

Θεματική ΕνότηταΘεματική ΕνότηταΘεματική ΕνότηταΘεματική Ενότητα Μεταθέσεις Μεταθέσεις & &

ΣυνδυασμοίΣυνδυασμοί

2

Σημαντικότητα• Έννοιες με εξαιρετικό ενδιαφέρον και

σημασία για την Επιστήμη Υπολογιστών.

• Θα αφιερώσομε τουλάχιστον δύο εβδομάδες παραδόσεων και φροντιστηρίων πάνω στην ενότητα αυτή.

3

Ορισμός

• Πείραμα είναι μία φυσική διαδικασία η οποία έχει έναν αριθμό αποτελεσμάτων που μπορούν να παρατηρηθούν.

4

Παρατήρηση• Πολλές φορές ενδιαφερόμαστε για το σύνολο των

αποτελεσμάτων ενός πειράματος.

ή ένα υποσύνολο του, όπου τα στοιχεία του ικανοποιούν κάποιες ιδιότητες.

5

Παραδείγματα• Η ανάθεση γραφείων ενός κτιρίου στους

καθηγητές ενός τμήματος

• Η ρίψη δύο ζαριών

• Η επιλογή δύο αντιπροσώπων από μία ομάδα φοιτητών

6

Πειράματα

• Τα έξι πιθανά αποτελέσματα από την ρίψη ενός ζαριού είναι 1,2,3,4,5 και 6

• Τα δύο πιθανά αποτελέσματα από την ρίψη ενός νομίσματος είναι κορώνα και γράμματα

7

Χαρακτηριστικά δυναμοσυνόλων με πιθανό

ενδιαφέρον

Έστω Α ένα πεπερασμένο σύνολο μεγέθους n

Συχνά θέλουμε να γνωρίζουμε • τον αριθμό των διακριτών υποσυνόλων του

συνόλου Α, δηλαδή το μέγεθος του δυναμοσυνόλου του Α, P(A)

Επιπλέον, είναι πιθανό να θέλουμε να μάθουμε το • πλήθος των υποσυνόλων του Α που έχουν μέγεθος

Κ, ή• το πλήθος των διατεταγμένων συνόλων των

οποίων τα στοιχεία είναι στοιχεία του Α

8

Παράδειγμα

Α: το σύνολο 10 βουλευτών

Ο αριθμός των υποσυνόλων στο P(A) είναι 210

9

Πιο σύνθετα πειράματα

Θεωρήστε ένα σύνθετο πείραμα που «αποτελείται» από δύο πειράματα που μπορούν να εκτελεστούν με διάφορους τρόπους. Ξεχωρίστε δύο περιπτώσεις

1. Μονάχα ένα από τα δύο πειράματα εκτελείται.2. Και τα δυο πειράματα αυτά μπορούν να εκτελεστούν

μαζί.

Υποθέσετε ότι το ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και το άλλο έχει n πιθανά αποτελέσματα.

Μας ενδιαφέρει το σύνολο των αποτελεσμάτων του σύνθετου αυτού πειράματος.

10

QuizΠάρετε δύο πειράματα:Θεωρήστε ότι το ένα έχει m πιθανά αποτελέσματα και το άλλο

έχει n πιθανά αποτελέσματα. Ξεχωρίστε δύο περιπτώσεις1. Μονάχα ένα από τα δύο πειράματα εκτελείται.2. Και τα δυο πειράματα αυτά μπορούν να εκτελεστούν μαζί.

Μπορείτε να κατασκευάστε γενικούς κανόνες βασισμένους στα πειράματα αυτά, σύμφωνα με διαφορετικούς τρόπους που μπορούν να εκτελεστούν ?

11

Κανόνας του γινομένου

• Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα,

τότε υπάρχουν m*n πιθανά αποτελέσματα όταν γίνονται και τα δύο αυτά πειράματα

12

Κανόνας του αθροίσματος

• Αν ένα πείραμα έχει m πιθανά αποτελέσματα και ένα άλλο πείραμα έχει n πιθανά αποτελέσματα, τότε

υπάρχουν m + n πιθανά αποτελέσματα όταν γίνεται ακριβώς ένα από τα δύο αυτά

πειράματα

13

Quiz

Εάν υπάρχουν 52 τρόποι για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος από την τάξη των τριτοετών και

49 τρόποι για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος από την τάξη των τεταρτοετών

– Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλεγούν οι δύο αντιπρόσωποι των δύο αυτών τάξεων;

– Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να επιλεγεί ένας αντιπρόσωπος που θα προέρχεται από την μία ή την άλλη τάξη;

14

Γενίκευση για ακόμη πιο σύνθετα πειράματα ...• Μ πειράματα• Το κάθε ένα με ν1, ν2, ..., νm αποτελέσματα αντίστοιχα.

• Εκτέλεση σύμφωνα με τις προηγούμενες περιπτώσεις...• Γενίκευση των δύο κανόνων ...

15

Ορισμός

• Όταν λέμε ότι μεταθέτουμε r από n διακριτά αντικείμενα εννοούμε ότι διατάσσουμε r από τα n αυτά αντικείμενα με κάποια σειρά.

• Η διάταξη r από n αντικείμενα ανάγεται στην πλήρωση r θέσεων με r από n αντικείμενα

16

Ορισμός (συνέχεια)

Υπάρχουν1. n επιλογές αντικειμένου για την πρώτη θέση

η πρώτη θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα αντικείμενο από το βήμα 1

2. n - 1 επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n-1 αντικείμενα) για τη δεύτερη θέση η δεύτερη θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα άλλο αντικείμενο από το

βήμα 2 (οπότε μέχρι τώρα δύο συνολικά αντικείμενα έχουν τοποθετηθεί)...

n – r +1 επιλογές αντικειμένου (από τα υπόλοιπα n -r + 1 αντικείμενα) για τη θέση r. η r-th θέση λοιπόν δεσμεύεται από ένα άλλο αντικείμενο από το βήμα r

(οπότε μέχρι τώρα r συνολικά αντικείμενα έχουν τοποθετηθεί).

17


• Συνεπώς υπάρχουν n * (n - 1)*…*(n – r + 1) τρόποι για τη διάταξη r από n αντικείμενα στη σειρά.

Ο αριθμός των τρόπων για να μετατεθούν r από τα n αντικείμενα είναι

n* (n-1) * … * (n –r +1) = n! / (n-r)!

18


Υποθέστε ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε r διαφορετικά βαμμένες μπάλες σε n διαφορετικά αριθμημένα κουτιά με την προϋπόθεση ότι ένα κουτί μπορεί να χωρέσει μόνο μία μπάλα

19

Παράδειγμα (συνέχεια)

Αφού• η πρώτη μπάλα μπορεί να τοποθετηθεί σε

οποιοδήποτε από τα n κουτιά,• η δεύτερη μπάλα σε οποιοδήποτε από τα n -1 κουτιά

και• η r-οστή μπάλα σε οποιοδήποτε από τα

εναπομείναντα (n –r +1) κουτιά,

ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι μπάλες θα είναι

n*(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1) = n! / (n-r)!

20

Quiz

• Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να μετακινηθούν δύο από τα τρία αντικείμενα a,b,c;

a b (c) a c (b) b c (a)

b a c a c b

21


• Πόσοι είναι οι τετραψήφιοι δεκαδικοί αριθμοί που δεν περιέχουν επαναλαμβανόμενα ψηφία;

22


• Αφού αυτό είναι ένα πρόβλημα διάταξης 4 από τα 10 ψηφία 0,1,2,..,9, θα έχουμε

5040

Προσέξετε όμως: από αυτούς τους 5040 αριθμούς κάποιοι έχουν

μηδενικό στην πρώτη θέση. Αυτούς πρέπει να τους αφαιρέσομε μια και ψάχνομε τετραψήφιους αριθμούς.

Αυτοί είναι συνολικά 9 * 8 * 7 = 504.

Συνεπώς, 5040 – 504 = 4536 από αυτούς δεν έχουν μηδενικό στην πρώτη θέση ούτε επαναλαμβανόμενα ψηφία

23

Ορισμός

Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, λέμε ότι αν υπάρχουν n διακριτά είδη αντικειμένων με άπειρη

προμήθεια από κάθε είδος,

τότε υπάρχουν n r τρόποι να διαταχθούν r αντικείμενα από τα n αυτά είδη αντικειμένων,

γιατί υπάρχουν n επιλογές αντικειμένου για την πρώτη

θέση, n επιλογές αντικειμένου για τη δεύτερη θέση, …, και

n επιλογές αντικειμένου για τη θέση r.

24

Παράδειγμα• Αν κάθε κουτί μπορεί να χωρέσει όσες μπάλες

θέλουμε, πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τοποθετήσουμε r

έγχρωμες μπάλες σε n αριθμημένα κουτιά, θεωρώντας ότι η κάθε μπάλα θεωρείται

διαφορετική από τις άλλες, έχουμε δηλαδή διακριτά αντικείμενα?

n r τρόποι.

Διακρίνετε τα πειράματα που εκτελούνται και τον κανόνα εφαρμόζετε.

25

Ορισμός

Στα πλαίσια της μετάθεσης αντικειμένων, λέμε ότι υπάρχουν

κ! / (q1! q2!...qν!) τρόποι για να

διατάξουμε κ αντικείμενα, από τα οποία

q1 είναι ενός πρώτου είδους,

q2 είναι ενός δεύτερου είδους,… , και

qν είναι ενός ν-οστού είδους .

26


Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε τέσσερις μπάλες, δύο κόκκινες, μία μπλε και μία άσπρη σε

10 αριθμημένα κουτιά.

Υποθέτουμε ότι αλλοιώνουμε ελαφρώς το χρώμα μίας εκ των δύο κόκκινων μπαλών ώστε αυτές να ξεχωρίζουν.

Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των τρόπων τοποθέτησης των 4 μπαλών στα 10 κουτιά είναι P(10,4) =5040.

27


• Ανάμεσα σε αυτές τις 5040 τοποθετήσεις ας θεωρήσουμε – την τοποθέτηση στην οποία η ανοιχτή κόκκινη μπάλα

είναι στο πρώτο κουτί, η σκούρα κόκκινη μπάλα στο δεύτερο κουτί, η μπλε στο τρίτο και η άσπρη στο τέταρτο

– καθώς και την τοποθέτηση στην οποία η σκούρα κόκκινη μπάλα είναι στο πρώτο κουτί, η ανοιχτή κόκκινη μπάλα είναι στο δεύτερο, η μπλε στο τρίτο και η άσπρη στο τέταρτο.

• Αν δεν ξεχωρίζουμε τις δύο αποχρώσεις του κόκκινου, οι δύο αυτοί τρόποι τοποθέτησης στην πραγματικότητα γίνονται ένας.

28


Πράγματι οι 5040 μεταθέσεις μπορούν να ζευγαρωθούν με έναν παρόμοιο τρόπο,

ώστε κάθε ζεύγος τοποθετήσεων να γίνεται μία, όταν δεν ξεχωρίζουμε τις αποχρώσεις του κόκκινου.

• Άρα συνολικοί τρόποι τοποθέτησης δύο κόκκινων, μιας μπλε και μιας άσπρης μπάλας σε 10 αριθμημένα κουτιά

5040/2 = 2520

29


• Αν στο ίδιο πρόβλημα είχαμε τρεις κόκκινες μπάλες τότε οι συνολικοί τρόποι τοποθέτησης θα ήταν

P(10,5)/3! = 5040

30

Γενικότερα

• Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν r μπάλες του ίδιου χρώματος σε n αριθμημένα κουτιά είναι

• Η ποσότητα συμβολίζεται επίσης και C(n,r)

31


• Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε τρεις μπάλες όλες βαμμένες κόκκινες, σε 10 κουτιά που είναι αριθμημένα 1,2,3…,10.

• Θέλουμε να γνωρίζουμε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι μπάλες, αν κάθε κουτί μπορεί να χωρέσει μόνο μία μπάλα.

• Απάντηση10 * 9 * 8/ 3!

32

Παράδειγμα• Υποθέστε ότι μια οικονόμος ενός σπιτιού θέλει να

προγραμματίσει τρεις φορές την εβδομάδα μακαρόνια για βραδινό. Φανταστείτε τα μακαρόνια για βραδινό ως τρεις μπάλες και τις επτά ημέρες της εβδομάδας ως επτά κουτιά.

• Τότε ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει το πρόγραμμα είναι

7!/ 3!4! = 35

33

Ορισμός

Το πρόβλημα της επιλογής– r αντικειμένων από n διαφορετικά αντικείμενα,– όταν επιτρέπονται επαναλαμβανόμενες

επιλογές,

μπορεί να το δει κανείς όπως αυτό της – τοποθέτησης r σημαδιών σε n διαφορετικά

αντικείμενα,– με τη δυνατότητα κάθε αντικείμενο να μπορεί να

σημαδευτεί οσεσδήποτε φορές.

34


• Γι’ αυτό ο αριθμός επιλογών r αντικειμένων από n διαφορετικά αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναλαμβανόμενες επιλογές, είναι

35

Παράδειγμα• Υποθέστε ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε r

μπάλες του ίδιου χρώματος σε n αριθμημένα κουτιά, επιτρέποντας να μπουν σε κάθε κουτί όσες μπάλες θέλουμε. Ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε τις μπάλες είναι

36


• Ένας εύκολος τρόπος για να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα, είναι να θεωρήσομε το πρόβλημα στο οποίο διατάσσουμε n + 1 άσσους και r μηδενικά, όταν τοποθετούμε έναν άσσο στην αρχή και έναν στο τέλος κάθε διάταξης.

• Αν θεωρήσουμε τα 1 ως εσωτερικές διαμερίσεις των κουτιών και τα 0 ως μπάλες, κάθε τέτοια διάταξη αντιστοιχεί σε έναν τρόπο με τον οποίο τοποθετούμε r μπάλες του ίδιου χρώματος σε n αριθμημένα κουτιά.

37


• Για παράδειγμα, αν n =5 και r =4, η ακολουθία1011001101

μπορεί να θεωρηθεί ως μία τοποθέτηση τεσσάρων μπαλών σε πέντε κουτιά, όπου έχουμε μία μπάλα στο πρώτο κουτί, καμία μπάλα στο δεύτερο κουτί, δύο μπάλες στο τρίτο κουτί, καμία μπάλα στο τέταρτο κουτί και μία μπάλα στο πέμπτο κουτί.

38


• Ο αριθμός λοιπόν των τρόπων διάταξης r μηδενικών και n + 1 άσσων, με άσσους και στα δύο άκρα της διάταξης είναι:

39

Γενικά ΣχόλιαΌταν πρόκειται να λύσετε ένα πρόβλημα

συνδυαστικής, χρειάζεται να προσέξτε• Εάν έχετε συλλογή από διακριτά αντικείμενα ή εάν

τα αντικείμενα είναι όμοια• Εάν η συλλογή αποτελείται από άπειρα αντικείμενα• Εάν για την κατασκευή του ζητούμενου ενδιαφέρει η

σειρά (κατάταξη, συγκεκριμένη θέση) των αντικειμένων ή όχι.

• Εάν επιτρέπονται οι επαναλήψεις αντικειμένων ή όχι• Εάν ναι, ελέγχετε εάν στο σύνολο που έχετε

δημιουργήσει υπάρχουν επαναλήψεις που θα πρέπει να αφαιρεθούν

Documents

Θεματική Ενότητα