Теоретические основы компьютера

Представление чисел Машинная арифметика Представление команд

Системы счисления. Перевод десятичных чисел из одной системы счисления в другую и обратно

Системы счисления. Виды систем счисления. Перевод десятичных чисел из десятичной системы

счисления в любую другую и обратно. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления

с помощью приложения Калькулятор в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления с помощью приложения Excel в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления, используя общий метод перевода.

Основные понятия темы

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Цифра - это символ, используемый в записи числа.

12

Алфавит системы счисления - это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

двенадцатьХII

- различные способы записи одного числа

- значение числа остается неизменным

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит десятичной позиционной системы счисления

I, V, X, L, C, D, M - алфавит римской непозиционной системы счисления

Виды систем счисления

Системы счисления

Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает.

Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа зависит от ее позиции.

Непозиционные системы счисления

Примером непозиционной системы счисления является система счисления Древнего Египта.

Ее алфавитом служили следующие знаки:

Пример числа, записанного в системе счисления Древнего Египта:

Другой пример непозиционной системы счисления - римская система счисления.

В ее основе лежали знаки: I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример числа, записанного в римской системе счисления: X X I Х

10 10 От положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает

9+ + = 29

1 · 105 + 5 · 104 + 5 · 103 + 2 ·102 + 5 · 101 + 5 · 100

Число в позиционной системе счисленияПривычная нам десятичная система является позиционной системой счисления:

Цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения .

Базис позиционной системы счисления - последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в записи числа.

Основание позиционной системы счисления - целое число, которое возводится в степень.

единицы

сотни десятки

десятки тысяч

тысячи

сотни тысяч

101, 102, 103, 104, … , 10n, … - базис десятичной позиционной системы счисления.

10 - основание десятичной позиционной системы счисления.

155255 =

Представление числа в системе счисления

Формула представления числа

Пример представления числа в 2-ичной системе счисления:

1111012 = 1 ·25 + 1 ·24 + 1 ·23 + 1 ·22 + 0 ·21 + 1 ·20 = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 6110

111,0112= 1 ·22 + 1 ·21 + 1 ·20 + 0 ·2-1 + + 1 ·2-2 + 1 ·2-3

Пример представления числа в 16-ричной системе счисления:

3D16 = 3 ·161 + 13 ·160

A32D,2E16 = 10 ·163 + 3 ·162 + 2 ·161 + 13 ·160 + + 2 ·16-1 + 14 ·16-2

155255 =

Хb = an· bп + … + a0 · b0 + a-1 · b-1 + ...

2534,65 =

Пример представления числа в 10-тичной системе счисления:

6110 = 6 ·101 + 1 ·100

3420,57610 = 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 + + 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3

3420,57610 = 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 + + 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3

1 ·105 + 5 ·104 + 5 ·103 + 2 ·102 + 5 ·101 + 5 ·100

2 ·103 + 5 ·102 + 3 ·101 + 4 ·100 + 6 ·10-1 + 5 ·10-2

Десятичная система счисления

Примеры позиционных систем счисления

Двоичная система счисления

6110 1111012=

двоичнаясистема

счисления

алфавит:цифры

0, 1

базис: ...2-п,... 2-2, 2-1

20, 2, 22, …, 2п,…

основание:число 2

Пример записи числа в системе счисления :

десятичнаясистема

счисления

алфавит:цифры

0…9

базис: ...10-п,…, 10-2, 10-1

100, 101, 102, …, 10п,...

основание:число 10

Шестнадцатиричная система счисления

алфавит:цифры 0-9,

буквы A, B, C, D, E,F

базис: ...16-п,…, 16-2, 16-1

160, 161, 162, …, 16п,...

основание:число 16

16 - ричнаясистема

счисления

Десятичная система счисления

61103D16=

Пример записи числа в системе счисления :

Примеры позиционных систем счисления

десятичнаясистема

счисления

алфавит:цифры

0…9

базис: ...10-п,…, 10-2, 10-1

100, 101, 102, …, 10п,...

основание:число 10

Перевод десятичного числа 2359,407 в двоичное

2359 11179 1589 1294 0147 173 136 018 09 14 02 01 1

2

814

2407

0 26281

2561 2

5120 2

0241 20480

20960

Нахождение целой части числа (деление на 2)

Нахождение дробной части числа (умножение на 2)

Целая часть : 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Дробная часть : 0 1 1 0 1 0 0

Пор

ядок

зап

иси

ост

атко

в Порядок записи целы

х чисел

2359,407 = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1, 0 1 1 0 1 0 02

Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в другую

Режим работы в двоичной системе счисления 1111012

Режим работы в восьмеричной системе счисления 758

Режим работы в десятичной системе счисления 6110

Режим работы в шестнадцатиричной системе счисления 3D16

Двоичная арифметикаПервые девять чисел двоичной системы счисления

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 10 11 100 110 110 111 1000

Таблица сложения

+ 0 1

0 0 1

1 1 102

1001210102

+

11001

1

10112 1112

–10

01

00

11

001

Таблица умножения

0 1

0 0 0

1 0 1

10112

1012

111

11

1

01

0

11

1

11

1

11

1

01

01

11

+

111011

111102 1102110–

111

00

1

110–

0

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

Для записи двоичных чисел используются две цифры, т.е. в каждом разряде числа возможны два варианта записи.Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит.

Алгоритмы, описанные ниже, могут применяться при переводе чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2.

Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны восемь вариантов записи.Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита.

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны шестнадцать вариантов записи.Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно:

Запись числа разбить слева направо на триады (если в последней правой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить справа нулями)Преобразовать каждую триаду в восьмеричную цифру

Переведём таким образом двоичное число 0,1101012 в восьмеричное:

Двоичные триады 101 110

Восьмеричные цифры 5 6

Получаем 0,1101012 = 0,658

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное нужно:

Разбить его на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить слева нулями)Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру

Переведём таким образом двоичное число 1010012 в шестнадцатеричное:

Двоичные тетрады 0010 1001

Шестнадцатеричные цифры 2 9

Получаем 1010012 = 2916

Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное нужно:

Разбить его на тетрады, слева направо (если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить справа нулями)Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр

Переведём таким образом дробное двоичное число 0,1101012 в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады 1101 0100

Шестнадцатеричные цифры D (14) 4

Получаем 0,1101012 = 0,D416

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную:для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в триаду

для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в тетраду

Переведём дробное восьмеричное число 0,478 в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры 4 7

Двоичные триады 100 111

Получаем 0,478 = 0,1001112

Переведём целое шестнадцатеричное число АВ1616 в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры А В

Двоичные тетрады 1010 1011

Получаем АВ1616 = 101010112

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное нужно:

Разбить его на группы по три цифры, справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями)Преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру

Переведём таким образом двоичное число 1010012 в восьмеричное:

101 518

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по три цифры) в восьмеричные цифры.

Двоичные триады 000 001 010 011 100 101 110 111

Восьмеричные цифры 0 1 2 3 4 5 6 7

001 2 =

Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в

другуюПРИМЕР

Перевести число 2359 из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную при помощи калькулятора

Выбираем режим работы в той системе, в которой дано число ( десятичная система); Набираем число, с которым хотим работать (2359); Переключаемся в режим работы системы счисления, в которой требуется получить ответ (шестнадцатиричная система) и получаем результат.