Логические операции

Автор: Н.В. Степанова, МОУ «СОШ №37», г. Новокузнецк

Цель урока: введение основных логических операций; выработка умений формализовать сложные высказывания.

II этап: основатель -немецкий ученый и философ Лейбниц

(1642-1716), предпринял

попытку логических вычислений.

Счетное устройство Лейбница

III этап: основатель - английский математик Джордж Буль

(1815-1864), ввел алфавит, орфографию и

грамматику для математической логики.

!Алгебра – это наука об общих операциях,

аналогичных сложению и умножению, которые

выполняются не только над числами, но и над другими

математическими объектами, в том числе и над

высказываниями.Такая алгебра называется АЛГЕБРОЙ ЛОГИКИ.

Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

!Логическая переменная – это простое высказывание, содержащие только одну

мысль.Её символьное изображение – латинская буква (A, B, X, Y и т.д.).Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

ПримерА = «Город Джакарта – столица Индонезии» = 1В = «Все ученики любят информатику» = 0

!Логическая функция - это составное высказывание, которое

содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических

связок: «не», «и», «или», «если... , то», «тогда и только

тогда»Символическое обозначение – F.

ПримерА= «Число 17 нечетное». В= «Число 17 двузначное».F= А и В =«Число 17 нечетное и двузначное».

!Логические операции – логическое действие.Инверсия (логическое

отрицание) соответствует частице «НЕ»;обозначение: не А; ¬А; А; not A.

А А А = «Трижды три равно семи»А = «Неверно, что трижды три равно семи»

Вывод: результат будет истинным, если исходное выражение ложно, и на оборот.

01 0

1

Конъюнкция (логическое умножение)

Соответствует союзу: «И»

Обозначение: А и В; А & В; A•B; А В; A and B.

Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

А В А & В

А = « Число 10 – четное»В = «Число 10 – делится на 2»

00

0

011

1 1 1

0

0

0

Дизъюнкция (логическое сложение)соответствует союзу: «ИЛИ»;обозначается: А или В; A+B; А \/ В; A or B; A|B.

Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинными в остальных случаях.

А = « Число 10 – четное»В = «Число 10 – делится на 2»0

100

011 1

0111

А В А \/ В

Импликация (логическое следование)

соответствует связке: «ЕСЛИ…, ТО…»;обозначение: А В.

А В А В

11

1

1

1

1

1

0 0

00 0

А = « Число Х – делится на 9»В = «Число Х – делится на 3»Вывод: результат будет ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно; в остальных случаях результат – истина.

0

Эквивалентность (логическое равенство)

Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны.

соответствует связке: «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»;обозначение: А B; А~ В; A B.

А В А B

00

0

0001

1

1

11

1

А = « Июнь я проведу в деревне»В = «Июнь я проведу в лагере»

Исключающая дизъюнкция

соответствует связке: «ЛИБО…, ЛИБО»;обозначение: А B; А ∆ В.

А В А B

А = « Я поеду на автобусе»В = «Я поеду на машине»

Вывод: результат будет истинным тогда и только тогда, когда одно из исходных выражений истинно, а другое ложно.

00

0

0

0

011

1

1

11

Заполните правую колонку таблицы названиями наиболее подходящих

логических операций.В естественном

языке Операция в

логике …и…

…или…   

Неверно, что…   

…в том и только в том случае …   

Если …, то…   

…тогда и только тогда, когда…   

…но…   

Либо…, либо…

… необходимо и достаточно…

…необходимо…

…а…

конъюнкция  дизъюнкция  отрицание  

эквивалентность импликация 

эквивалентность  конъюнкция  

строгая дизъюнкция  эквивалентность  

импликация  конъюнкция  

В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них

буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое

составное предложение.1. Число 376 четное и трехзначное.2. Зимой дети катаются на коньках или

лыжах.3. Новый год мы встретим на даче либо на

Красной площади.4. Неверно, что Солнце движется вокруг

Земли.5. Если 14 октября будет солнечным, то

зима будет теплой.6. Число делится на 3 тогда и только тогда,

когда сумма цифр числа делится на 3.

А & В

А \/ В

А B

¬А

А В

А B

Если составное высказывание (логическую функцию)

выразить в виде формулы, в которую войдут логические

переменные и знаки логических операций, то получится ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, значение

которого можно вычислить. Значением логического

выражения могут быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения

логических операций, а именно:1) действия в скобках;

2) инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Записать в виде логического выражения следующее

высказывание:Пример«Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку».

А = «Петя поедет в деревню»В = «Будет хорошая погода»С = «Он пойдет на рыбалку»

F = A & (B С)

Я поеду в автобусе или трамвае и почитаю по дороге книгу.

А = «Я поеду в автобусе»В = «Я поеду в трамвае»

С = «По дороге я почитаю книгу»F = (А \/ В) & С

Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день гулял.

А = «Вчера было воскресенье»В = «Дима вчера не был в школе»

С = «Вчера Дима весь день гулял»F = А (В С)

Вася пойдет на рыбалку и, если ему повезет, он домой вернется с рыбой.

А = «Вася пойдет на рыбалку»В = «Ему повезет»

С = «Он вернется домой с уловом»F = А (В С)

Если погода солнечная, то можно косить сено, если погода пасмурная, то лучше идти за грибами

А = «Погода солнечная»В = «Косьба сена»

С = «Поход за грибами»F = (А В) (А С)

Список литературы:

1. Е.С. Кутугина «Арифметические и логические основы построения компьютера»

2. Е. В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина «Математические основы информатики».

3. О.Л. Соколова «Универсальные поурочные разработки по информатике: 10 класс».

Спасибо за

внимание!