228
第第第第第第第第 第第第第第第第第 扬扬扬扬扬扬扬扬扬扬

第一节 二阶与三阶行列式

  • Upload
    amalie

  • View
    76

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

第一节 二阶与三阶行列式. 线性代数. 扬州大学数学科学学院. 一、二阶行列式的引入. 用消元法解二元线性方程组. 方程组的解为. 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表. 定义. 即. 二阶行列式的计算. 对角线法则. 主对角线. 副对角线. 对于二元线性方程组. 若记. 系数行列式. 则二元线性方程组的解为. 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例 1. 解. 二、三阶行列式. 定义. 记. ( 6 )式称为数表( 5 )所确定的 三阶行列式. . 列标. 行标. 三阶行列式的计算. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: 第一节  二阶与三阶行列式

第一节 二阶与三阶行列式第一节 二阶与三阶行列式

扬州大学数学科学学院

Page 2: 第一节  二阶与三阶行列式

用消元法解二元线性方程组

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa 1

2

:1 22a ,2212221212211 abxaaxaa

:2 12a ,1222221212112 abxaaxaa

,得两式相减消去 2x

一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入

Page 3: 第一节  二阶与三阶行列式

;212221121122211 baabxaaaa )(

,得类似地,消去 1x

,211211221122211 abbaxaaaa )(

时,当 021122211 aaaa 方程组的解为

,21122211

2122211 aaaa

baabx

)(3.21122211

2112112 aaaa

abbax

由方程组的四个系数确定 .

Page 4: 第一节  二阶与三阶行列式

由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列)的数表

)4(2221

1211

aa

aa

定义定义

)5(

4

2221

1211

21122211

aa

aa

aaaa

行列式,并记作

)所确定的二阶称为数表(表达式

即 .211222112221

1211 aaaaaa

aaD

Page 5: 第一节  二阶与三阶行列式

11a 12a

22a12a

主对角线

副对角线

对角线法则对角线法则

2211aa12 21.a a

二阶行列式的计算

若记 ,2221

1211

aa

aaD

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa对于二元线性方程组

系数行列式

Page 6: 第一节  二阶与三阶行列式

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

2221

1211

aa

aaD

Page 7: 第一节  二阶与三阶行列式

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

,222

1211 ab

abD

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

,2221

1211

aa

aaD

Page 8: 第一节  二阶与三阶行列式

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

,222

1211 ab

abD

.

,

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

.221

1112 ba

baD

Page 9: 第一节  二阶与三阶行列式

则二元线性方程组的解为

,

2221

1211

222

121

11

aa

aaab

ab

DD

x

注意 分母都为原方程组的系数行列式 .

.

2221

1211

221

111

22

aa

aaba

ba

DD

x

Page 10: 第一节  二阶与三阶行列式

例例 11

.12

,1223

21

21

xx

xx

求解二元线性方程组

解12

23 D )4(3 ,07

11

2121

D ,14

12

1232 D ,21

DD

x 11 ,2

714

DD

x 22 .3

721

Page 11: 第一节  二阶与三阶行列式

二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义

333231

232221

131211

)5(

339

aaa

aaa

aaa

列的数表行个数排成设有

记记

,312213332112322311

322113312312332211 )6(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

( 6 )式称为数表( 5 )所确定的三阶行列式三阶行列式 .

Page 12: 第一节  二阶与三阶行列式

3231

2221

1211

aa

aa

aa

.312213332112322311 aaaaaaaaa

(1) 沙路法

三阶行列式的计算

322113312312332211 aaaaaaaaa D

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D . 列标行标

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

Page 13: 第一节  二阶与三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

332211 aaa.322311 aaa

(2)(2) 对角线法则对角线法则

注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号.

说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

322113 aaa312312 aaa

312213 aaa 332112 aaa

Page 14: 第一节  二阶与三阶行列式

如果三元线性方程组

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

的系数行列式333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D ,0

利用三阶行列式求解三元线性方程组

2. 三阶行列式包括 3! 项 , 每一项都是位于不同行 ,不同列的三个元素的乘积 , 其中三项为正 , 三项为负 .

Page 15: 第一节  二阶与三阶行列式

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

33323

23222

13121

1

aab

aab

aab

D 若记

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 或

1

2

1

b

b

b

Page 16: 第一节  二阶与三阶行列式

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

33323

23222

13121

1

aab

aab

aab

D 记

,

33323

23222

13121

1

aab

aab

aab

D 即

Page 17: 第一节  二阶与三阶行列式

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

Page 18: 第一节  二阶与三阶行列式

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

33331

23221

13111

2

aba

aba

aba

D 得

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

Page 19: 第一节  二阶与三阶行列式

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,

33331

23221

13111

2

aba

aba

aba

D 得

;

,

,

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

.

33231

22221

11211

3

baa

baa

baa

D

Page 20: 第一节  二阶与三阶行列式

,

33331

23221

13111

2

aba

aba

aba

D .

33231

22221

11211

3

baa

baa

baa

D

则三元线性方程组的解为 :

,11 D

Dx ,2

2 DD

x .33 D

Dx

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D ,

33323

23222

13121

1

aab

aab

aab

D

Page 21: 第一节  二阶与三阶行列式

2-43-

122-

4-21

D 计算三阶行列式例2例2

解解 按对角线法则,有

D 4)2()4()3(12)2(21

)3(2)4()2()2(2411

24843264

.14

Page 22: 第一节  二阶与三阶行列式

.0

94

32

111

2

x

x求解方程例例 33

解解 方程左端12291843 22 xxxxD

,652 xx

解得由 052 xx

3.2 xx 或

Page 23: 第一节  二阶与三阶行列式

例 4 解线性方程组

.0

,132

,22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

解解 由于方程组的系数行列式

111

312

121

D 111 132

121 111 122 131 5 ,0

Page 24: 第一节  二阶与三阶行列式

同理可得

110

311

122

1

D ,5

101

312

121

2

D ,10

011

112

221

3

D ,5

故方程组的解为 :

,111

DD

x ,222

DD

x .133

DD

x

Page 25: 第一节  二阶与三阶行列式

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的 .

对角线法则二阶与三阶行列式的计算

.211222112221

1211 aaaaaa

aa

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

三、小结三、小结

Page 26: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题思考题 使求一个二次多项式 ,xf

.283,32,01 fff

Page 27: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答思考题解答解 设所求的二次多项式为

,2 cbxaxxf

由题意得 ,01 cbaf

,3242 cbaf ,28393 cbaf

得一个关于未知数 的线性方程组 ,cba ,,

又 ,020 D .20,60,40 321 DDD

得 ,21 DDa ,32 DDb 13 DDc

Page 28: 第一节  二阶与三阶行列式

故所求多项式为

.132 2 xxxf

Page 29: 第一节  二阶与三阶行列式

第二节 全排列、逆序数第二节 全排列、逆序数

扬州大学数学科学学院

Page 30: 第一节  二阶与三阶行列式

一、概念的引入一、概念的引入引例 用 1 、 2 、 3 三个数字,可以组成多少

个没有重复数字的三位数?

解 1 2 3

1 2 3百位 3 种放法

十位 1 2 31

个位 1 2 3

2 种放法

1 种放法

种放法 .共有 6123

Page 31: 第一节  二阶与三阶行列式

二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数

同的排法?,共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题

定义 把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列) .

n n

个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示 .

nnP

由引例 1233 P .6

nPn )1( n )2( n 123 !.n同理

Page 32: 第一节  二阶与三阶行列式

在一个排列 中,若数 则称这两个数组成一个逆序 .

nst iiiii 21

st ii

例如 排列 32514 中,

定义

我们规定各元素之间有一个标准次序 , n 个不同的自然数,规定由小到大为标准次序 .

排列的逆序数

3 2 5 1 4

逆序

逆序

逆序

Page 33: 第一节  二阶与三阶行列式

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 .

例如 排列 32514 中,

3 2 5 1 4

逆序数为 31

0 10

故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.

Page 34: 第一节  二阶与三阶行列式

计算排列逆序数的方法方法 1

分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数 .

n,n,,, 121 n,n,,, 121 n

逆序数为奇数的排列称为奇排列 ;

逆序数为偶数的排列称为偶排列 .

排列的奇偶性

Page 35: 第一节  二阶与三阶行列式

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 .

方法 2

例 1 求排列 32514 的逆序数 .

解 在排列 32514 中 ,

3 排在首位 , 逆序数为 0;

2 的前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1;

Page 36: 第一节  二阶与三阶行列式

3 2 5 1 40 1 0 3 1

于是排列 32514 的逆序数为

13010 t .5

5 的前面没有比 5 大的数 , 其逆序数为 0;

1 的前面比 1 大的数有 3 个 , 故逆序数为 3;

4 的前面比 4 大的数有 1 个 , 故逆序数为 1;

Page 37: 第一节  二阶与三阶行列式

例 2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇偶性 .

2179863541

解 453689712

544310010

t

18

此排列为偶排列 .

5 4 0100134

Page 38: 第一节  二阶与三阶行列式

321212 nnn

12

,

21

nn

当 时为偶排列;14,4 kkn

当 时为奇排列 .34,24 kkn

1 nt 2 n

32121 nnn 1n

2n

Page 39: 第一节  二阶与三阶行列式

kkkkkk 132322212123

0t

k

kk

21112

,2k

当 为偶数时,排列为偶排列,k

当 为奇数时,排列为奇排列 .k

1 1 2 kkk 112

kkkkkk 13232221212 0

1

1

2

2

k

Page 40: 第一节  二阶与三阶行列式

2 排列具有奇偶性 .

3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种 .

1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n

三、小结三、小结

Page 41: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题思考题分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数 .

Page 42: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答解 用方法 1

1 6 3 5 2 4 8 7

用方法 2

01012130 t 8

由前向后求每个数的逆序数 .

.810231100 t

Page 43: 第一节  二阶与三阶行列式

第三节 第三节 nn 阶行列式定义阶行列式定义

扬州大学数学科学学院

Page 44: 第一节  二阶与三阶行列式

一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 322113312312332211 aaaaaaaaa

332112322311312213 aaaaaaaaa

说明( 1 )三阶行列式共有 项,即 项.6 !3

( 2 )每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.

Page 45: 第一节  二阶与三阶行列式

( 3 )每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列.

例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为

,211312 t

322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132 t

偶排列

奇排列

正号

,负号

.)1(321 321

333231

232221

131211

pppt aaa

aaa

aaa

aaa

Page 46: 第一节  二阶与三阶行列式

二、二、 nn 阶行列式的定义阶行列式的定义

nnnn

n

n

npppt

aaa

aaa

aaa

D

aaa

n

nn

n

21

22221

11211

21

2

.)1(21

记作

的代数和

个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义

).det( ija简记作 的元素.称为行列式数 )det( ijij aa

Page 47: 第一节  二阶与三阶行列式

为这个排列的逆序数.的一个排列,,,,为自然数其中

t

nppp n 2121

n

n

n

npppppp

pppt

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

D

21

21

21

21

21

22221

11211

1

Page 48: 第一节  二阶与三阶行列式

说明1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;

2 、 阶行列式是 项的代数和 ;n !n

3 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;

nn

4 、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa

5 、 的符号为nnppp aaa 21 21 .1 t

Page 49: 第一节  二阶与三阶行列式

例 1  计算对角行列式

0004

0030

0200

1000

分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa

41 p若 ,011 pa

从而这个项为零,

所以 只能等于 , 1p 4

同理可得 1,2,3 432 ppp

Page 50: 第一节  二阶与三阶行列式

0004

0030

0200

1000

43211 4321 t .24

即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314

例 2 计算上三角行列式

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

Page 51: 第一节  二阶与三阶行列式

分析

展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa

,npn ,11 npn ,1,2,3 123 ppnpn

所以不为零的项只有 .2211 nnaaa

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

nn

nt aaa

2211

121

.2211 nnaaa

Page 52: 第一节  二阶与三阶行列式

例 3 ?

8000

6500

1240

4321

D

44332211

8000

6500

1240

4321

aaaaD .1608541

Page 53: 第一节  二阶与三阶行列式

同理可得下三角行列式

nnnnn aaaa

aa

a

321

2221

11

00

000

.2211 nnaaa

Page 54: 第一节  二阶与三阶行列式

n

2

1

.1 2121

n

nn

;21 n

n

2

1

例 4 证明对角行列式

Page 55: 第一节  二阶与三阶行列式

n

2

1

11,21

2111 nnnnnt aaa

.1 2121

n

nn

证明 第一式是显然的 , 下面证第二式 .

若记 ,1, inii a 则依行列式定义

1

1,2

1

n

n

n

a

a

a

证毕

Page 56: 第一节  二阶与三阶行列式

例 5 设

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

1

nnn

nn

n

nn

nn

ababa

baaba

babaa

D

22

11

222221

11

11211

2

证明 .21 DD

证 由行列式定义有

Page 57: 第一节  二阶与三阶行列式

n

n

n

npppppp

pppt

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

D

21

21

21

21

21

22221

11211

1 1

nnn

nn

n

nn

nn

ababa

baaba

babaa

D

22

11

222221

11

11211

2

n

n

n

n pppnnppp

ppp

pppt baaa

21

21

21

21 21211

Page 58: 第一节  二阶与三阶行列式

由于 ,2121 nppp n

所以

.1 2211 21

21

21 DaaaDn

n

n

npppppp

pppt

n

n

n

n pppnnppp

ppp

pppt baaaD

21

21

21

21 21212 1

n

n

n

npppppp

pppt aaa

21

21

21

211

Page 59: 第一节  二阶与三阶行列式

1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 .

2 、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积 , 正负号由下标排列的逆序数决定 .

nn

!n

三、小结三、小结

Page 60: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题思考题

已知

1211

123

111

211

x

x

x

x

xf

.3的系数求 x

Page 61: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答解 含 的项有两项 , 即3x

1211

123

111

211

x

x

x

x

xf

对应于

43342211

12341 aaaat 443322111 aaaat

Page 62: 第一节  二阶与三阶行列式

,1 344332211 xaaaat

343342211

1234 21 xaaaat

.13 的系数为故 x

Page 63: 第一节  二阶与三阶行列式

第三节 第三节 nn 阶行列式定义阶行列式定义

扬州大学数学科学学院

Page 64: 第一节  二阶与三阶行列式

一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D 322113312312332211 aaaaaaaaa

332112322311312213 aaaaaaaaa

说明( 1 )三阶行列式共有 项,即 项.6 !3

( 2 )每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.

Page 65: 第一节  二阶与三阶行列式

( 3 )每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列.

例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为

,211312 t

322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132 t

偶排列

奇排列

正号

,负号

.)1(321 321

333231

232221

131211

pppt aaa

aaa

aaa

aaa

Page 66: 第一节  二阶与三阶行列式

二、二、 nn 阶行列式的定义阶行列式的定义

nnnn

n

n

npppt

aaa

aaa

aaa

D

aaa

n

nn

n

21

22221

11211

21

2

.)1(21

记作

的代数和

个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义

).det( ija简记作 的元素.称为行列式数 )det( ijij aa

Page 67: 第一节  二阶与三阶行列式

为这个排列的逆序数.的一个排列,,,,为自然数其中

t

nppp n 2121

n

n

n

npppppp

pppt

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

D

21

21

21

21

21

22221

11211

1

Page 68: 第一节  二阶与三阶行列式

说明1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ;

2 、 阶行列式是 项的代数和 ;n !n

3 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积 ;

nn

4 、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa

5 、 的符号为nnppp aaa 21 21 .1 t

Page 69: 第一节  二阶与三阶行列式

例 1  计算对角行列式

0004

0030

0200

1000

分析展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa

41 p若 ,011 pa

从而这个项为零,

所以 只能等于 , 1p 4

同理可得 1,2,3 432 ppp

Page 70: 第一节  二阶与三阶行列式

0004

0030

0200

1000

43211 4321 t .24

即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314

例 2 计算上三角行列式

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

Page 71: 第一节  二阶与三阶行列式

分析

展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa

,npn ,11 npn ,1,2,3 123 ppnpn

所以不为零的项只有 .2211 nnaaa

nn

n

n

a

aa

aaa

00

0 222

11211

nn

nt aaa

2211

121

.2211 nnaaa

Page 72: 第一节  二阶与三阶行列式

例 3 ?

8000

6500

1240

4321

D

44332211

8000

6500

1240

4321

aaaaD .1608541

Page 73: 第一节  二阶与三阶行列式

同理可得下三角行列式

nnnnn aaaa

aa

a

321

2221

11

00

000

.2211 nnaaa

Page 74: 第一节  二阶与三阶行列式

n

2

1

.1 2121

n

nn

;21 n

n

2

1

例 4 证明对角行列式

Page 75: 第一节  二阶与三阶行列式

n

2

1

11,21

2111 nnnnnt aaa

.1 2121

n

nn

证明 第一式是显然的 , 下面证第二式 .

若记 ,1, inii a 则依行列式定义

1

1,2

1

n

n

n

a

a

a

证毕

Page 76: 第一节  二阶与三阶行列式

例 5 设

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

1

nnn

nn

n

nn

nn

ababa

baaba

babaa

D

22

11

222221

11

11211

2

证明 .21 DD

证 由行列式定义有

Page 77: 第一节  二阶与三阶行列式

n

n

n

npppppp

pppt

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

D

21

21

21

21

21

22221

11211

1 1

nnn

nn

n

nn

nn

ababa

baaba

babaa

D

22

11

222221

11

11211

2

n

n

n

n pppnnppp

ppp

pppt baaa

21

21

21

21 21211

Page 78: 第一节  二阶与三阶行列式

由于 ,2121 nppp n

所以

.1 2211 21

21

21 DaaaDn

n

n

npppppp

pppt

n

n

n

n pppnnppp

ppp

pppt baaaD

21

21

21

21 21212 1

n

n

n

npppppp

pppt aaa

21

21

21

211

Page 79: 第一节  二阶与三阶行列式

1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 .

2 、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积 , 正负号由下标排列的逆序数决定 .

nn

!n

三、小结三、小结

Page 80: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题思考题

已知

1211

123

111

211

x

x

x

x

xf

.3的系数求 x

Page 81: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答解 含 的项有两项 , 即3x

1211

123

111

211

x

x

x

x

xf

对应于

43342211

12341 aaaat 443322111 aaaat

Page 82: 第一节  二阶与三阶行列式

,1 344332211 xaaaat

343342211

1234 21 xaaaat

.13 的系数为故 x

Page 83: 第一节  二阶与三阶行列式

第五节 行列式性质第五节 行列式性质

扬州大学数学科学学院

Page 84: 第一节  二阶与三阶行列式

一、行列式的性质一、行列式的性质

性质性质 11 行列式与它的转置行列式相等 .

行列式 称为行列式 的转置行列式 . TD D

nna

a

a

22

11

n

n

a

aa

2

112

21

21

nn aa

aD

2

121

n

n

a

aa

nn aa

a

21

12TD

nna

a

a

22

11

Page 85: 第一节  二阶与三阶行列式

证明 的转置行列式记 ijaD det

,

21

22221

11211

nnnn

n

n

T

bbb

bbb

bbb

D

,,,2,1, njiab ijij 即 按定义

.11 2121 2121 npppt

nppptT

nnaaabbbD

又因为行列式 D 可表示为 .1 21 21 nppp

t

naaaD

Page 86: 第一节  二阶与三阶行列式

故 .TDD 证毕

性质性质 22 互换行列式的两行(列) , 行列式变号 .证明证明 设行列式

,

21

22221

11211

1

nnnn

n

n

bbb

bbb

bbb

D

说明 行列式中行与列具有同等的地位 , 因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 .

是由行列式 变换 两行得到的 , ijaD det ji,

Page 87: 第一节  二阶与三阶行列式

于是 nji npjpipp

t bbbbD 111 1

nji npjpipp

t aaaa 111

,111 nij npjpipp

t aaaa

,1 为自然排列其中 nji .1 的逆序数为排列 nji ppppt

,11 tpppp nji 的逆序数为设排列 则有

即当 时 ,jik , ;kpkp ab 当 时 ,jik ,

,, ipjpjpip abab

Page 88: 第一节  二阶与三阶行列式

例如

推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 .证明 互换相同的两行,有

.0 D,DD

,11 1tt

故 .11

1

11 DaaaaDnij npjpipp

t 证毕

,

571571

266853

.

8

2

5

8

2

5

3

6

1

5

6

7

5

6

7

3

6

1

266853

Page 89: 第一节  二阶与三阶行列式

性质性质 33 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式 .k k

nnnn

inii

n

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

k

21

21

11211

推论推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

Page 90: 第一节  二阶与三阶行列式

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证明

nnnn

inii

inii

n

aaa

kakaka

aaa

aaa

21

21

21

11211

nnnn

inii

inii

n

aaa

aaa

aaa

aaa

k

21

21

21

11211

.0

Page 91: 第一节  二阶与三阶行列式

性质 5  若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 .

nnnininn

nii

nii

aaaaa

aaaaa

aaaaa

D

)(

)(

)(

21

2222221

1111211

则 D 等于下列两个行列式之和:

nnnin

ni

ni

nnnin

ni

ni

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

1

2221

1111

1

2221

1111

例如

Page 92: 第一节  二阶与三阶行列式

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去,行列式不变.

njnjnin

jji

nji

aaaa

aaaa

aaaa

1

22221

11111

njnjnjnin

jjji

njji

ji

aakaaa

aakaaa

aakaaa

krr

)(

)(

)(

1

222221

111111

k例如

Page 93: 第一节  二阶与三阶行列式

例1

2101044

614753

12402

59733

13211

D

二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法:利用运算   把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.

ji krr

3

Page 94: 第一节  二阶与三阶行列式

2101044

614753

12402

59733

13211

D

3

2101044

614753

12402

20100

13211

3 12

rr

Page 95: 第一节  二阶与三阶行列式

2101044

614753

14020

20100

13211

2101044

614753

12402

20100

13211

3 12

rr

2

3

12 2rr

4

Page 96: 第一节  二阶与三阶行列式

42 rr

22200

20100

14020

35120

13211

22200

35120

14020

20100

13211

14 4rr 13 3rr

Page 97: 第一节  二阶与三阶行列式

22200

01000

21100

35120

13211

34 rr

22200

20100

21100

35120

13211

23 rr

2

Page 98: 第一节  二阶与三阶行列式

60000

01000

21100

35120

13211

612 45 4rr .12

64000

01000

21100

35120

13211

35 2rr

4

Page 99: 第一节  二阶与三阶行列式

例 2 计算 阶行列式n

abbb

babb

bbab

bbba

D

abbbna

babbna

bbabna

bbbbna

1

1

1

1

D

将第 都加到第一列得n,,3,2

Page 100: 第一节  二阶与三阶行列式

abb

bab

bba

bbb

bna

1

1

1

1

)1(

ba

ba

ba

bbb

bna

1

)1( 0

0 .)()1( 1 nbabna

Page 101: 第一节  二阶与三阶行列式

例 3

nnn

n

nkn

k

kkk

k

bb

bb

cc

ccaa

aa

D

1

111

1

111

1

111

0

,)det(

1

111

1

kkk

k

ij

aa

aa

aD

,)det(

1

111

2

nnn

n

ij

bb

bb

bD

.21DDD 证明

Page 102: 第一节  二阶与三阶行列式

证明

;

0

11

1

11

1 kk

kkk

pp

pp

p

D 设为

化为下三角形行列式,把作运算对 11 DkrrD ji

化为下三角形行列式把作运算对 22 , DkccD ji

.

0

11

1

11

2 nn

nkn

qq

pq

q

D 设为

Page 103: 第一节  二阶与三阶行列式

,

0

1

11

1

111

1

11

nnnnkn

k

kkk

qq

q

cc

ccpp

p

D

化为下三角形行列式把算

列作运,再对后行作运算的前对

Dkcc

nkrrkD

ji

ji

,

nnkk qqppD 1111 故 .21DD

Page 104: 第一节  二阶与三阶行列式

( 行列式中行与列具有同等的地位 , 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 ).

计算行列式常用方法: (1) 利用定义 ;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.

三、小结三、小结

行列式的 6 个性质

Page 105: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题阶行列式计算4

111

111

111

111

22

22

22

22

dd

dd

cc

cc

bb

bb

aa

aa

D

1abcd已知

Page 106: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答解

11

11

11

11

2

2

2

2

ddd

ccc

bbb

aaa

D

111

111

111

111

2

2

2

2

dd

d

cc

c

bb

b

aa

a

Page 107: 第一节  二阶与三阶行列式

ddd

ccc

bbb

aaa

abcd

111

111

111

111

2

2

2

2

ddd

ccc

bbb

aaa

111

111

111

111

1

2

2

2

2

3

.0

Page 108: 第一节  二阶与三阶行列式

第六节 行列式按行第六节 行列式按行 (( 列列 )) 展展开开

扬州大学数学科学学院

Page 109: 第一节  二阶与三阶行列式

,312213332112322311

322113312312332211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

例如

3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa

3331

232113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式

Page 110: 第一节  二阶与三阶行列式

在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式,记作

n ija i j1n

ija.M ij

,记 ijji

ij MA 1 叫做元素 的代数余子式.ija

例如

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D 444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M

2332

23 1 MA .23M

Page 111: 第一节  二阶与三阶行列式

,

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

D ,

444341

343331

242321

12

aaa

aaa

aaa

M

1221

12 1 MA .12M

,

333231

232221

131211

44

aaa

aaa

aaa

M .1 444444

44 MMA

.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别

Page 112: 第一节  二阶与三阶行列式

引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 . ijij AaD

n iija ija

44434241

33

24232221

14131211

000

aaaa

a

aaaa

aaaa

D

.1

444241

242221

141211

3333

aaa

aaa

aaa

a

例如

Page 113: 第一节  二阶与三阶行列式

证 当 位于第一行第一列时 ,ija

nnnn

n

aaa

aaa

a

D

21

22221

11 00

即有 .1111MaD

又 1111

11 1 MA ,11M

从而 .1111 AaD

在证一般情形 , 此时

Page 114: 第一节  二阶与三阶行列式

nnnjn

ij

nj

aaa

a

aaa

D

1

1111

00

,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 iiiD

nnnjn

nijii

ij

i

aaa

aaa

a

D

1

,1,11,11

00

1

ija

ija

Page 115: 第一节  二阶与三阶行列式

,

1,2,1

对调列第列第列列依次与第的第再把 jjjD

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

D

1,

,11,1,111

00

11

ija

Page 116: 第一节  二阶与三阶行列式

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

1,

,11,1,12

00

1

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

1,

,11,1,1

00

1

ija

ija

Page 117: 第一节  二阶与三阶行列式

nnnjn

ij

nj

aaa

a

aaa

D

1

1111

00 中的余子式 .ijM

在余子式仍然是

中的在行列式元素

ij

nnjnnj

nijiji

ij

ij

a

aaa

aaa

a

a

1,

,11,1,1

00

ija

ija

Page 118: 第一节  二阶与三阶行列式

故得

nnjnnj

nijiji

ij

ji

aaa

aaa

a

D

1,

,11,1,1

00

1

.1 ijij

ji Ma

于是有

nnjnnj

nijiji

ij

aaa

aaa

a

1,

,11,1,1

00

,ijij Ma

ija

ija

Page 119: 第一节  二阶与三阶行列式

定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

ininiiii AaAaAaD 2211 ni ,,2,1

nnnn

inii

n

aaa

aaa

aaa

D

21

21

11211

000000

二、行列式按行(列)展开法则二、行列式按行(列)展开法则

Page 120: 第一节  二阶与三阶行列式

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

21

1

11211

00

nnnn

i

n

aaa

a

aaa

21

2

11211

00

nnnn

in

n

aaa

a

aaa

21

11211

00 ininiiii AaAaAa 2211

ni ,,2,1

Page 121: 第一节  二阶与三阶行列式

例 1

3351

1102

4315

2113

D

0355

0100

13111

1115

31 2 cc

34 cc

Page 122: 第一节  二阶与三阶行列式

055

1111

115

)1( 33

055

026

115

55

26)1( 31

50

28

.40

12 rr

Page 123: 第一节  二阶与三阶行列式

证 用数学归纳法

212

11

xxD 12 xx ,)(

12

ji

ji xx

)式成立.时(当 12 n

例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式

1

112

11

222

21

21

).(

111

jinji

nn

nn

n

n

n xx

xxx

xxx

xxx

D

)1(

Page 124: 第一节  二阶与三阶行列式

,阶范德蒙德行列式成立)对于假设( 11 n

)()()(0

)()()(0

0

1111

12

132

3122

2

1133122

11312

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxx

D

nnn

nn

nn

n

n

就有提出,因子列展开,并把每列的公按第 )(1 1xxi

Page 125: 第一节  二阶与三阶行列式

)()())((2

11312 jjin

inn xxxxxxxxD

).(1

jjin

i xx

223

22

3211312

111

)())((

nn

nn

nn

xxx

xxxxxxxxx

n-1 阶范德蒙德行列式

Page 126: 第一节  二阶与三阶行列式

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 .ji,AaAaAa jninjiji 02211

,

1

1

1

111

11

nnn

jnj

ini

n

jnjnjj

aa

aa

aa

aa

AaAa

证 行展开,有按第把行列式 jaD ij )det(

Page 127: 第一节  二阶与三阶行列式

,

1

1

1

111

11

nnn

ini

ini

n

jninji

aa

aa

aa

aa

AaAa

可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk

行第 j

行第 i

,时当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji

同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji

相同

Page 128: 第一节  二阶与三阶行列式

关于代数余子式的重要性质

;,0

,,

1 ji

jiDDAa ij

n

kkjki 当

;,0

,,

1 ji

jiDDAa ij

n

kjkik 当

.,0

,1

ji

jiij 当

,当其中

Page 129: 第一节  二阶与三阶行列式

例3 计算行列式277

010

353

D

27

013

D

.27

按第一行展开,得

27

005

77

103

Page 130: 第一节  二阶与三阶行列式

05320

04140

01320

25271

02135

D例4 计算行列式

05320

04140

01320

25271

02135

D

Page 131: 第一节  二阶与三阶行列式

660

270

132

10

66

27210

.1080124220

532

414

132

52

5320

4140

1320

2135

21 52

13 rr

12 2 rr

Page 132: 第一节  二阶与三阶行列式

1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具 .

;,0

,,.2

1 ji

jiDDAa ij

n

kkjki 当

;,0

,,

1 ji

jiDDAa ij

n

kjkik 当

.,0

,1

ji

jiij 当

,当其中

三、小结三、小结

Page 133: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题阶行列式设n

n

n

Dn

001

0301

0021

321

求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA

Page 134: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

nAAA 11211

n

001

0301

0021

1111

.1

1!2

n

j jn

Page 135: 第一节  二阶与三阶行列式

第七节 克莱姆法则第七节 克莱姆法则

扬州大学数学科学学院

Page 136: 第一节  二阶与三阶行列式

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

设线性方程组

,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb 则称此方程组为非

齐次线性方程组 ; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb

此时称方程组为齐次线性方程组 .

非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念

Page 137: 第一节  二阶与三阶行列式

一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组

)1(

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

的系数行列式不等于零,即

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

21

22221

11211

0

Page 138: 第一节  二阶与三阶行列式

.DD

x,,DD

x,DD

x,DD

x nn 2

32

21

1

其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即

jD D jn

nnj,nnj,nn

nj,j,

j

aabaa

aabaa

D

111

11111111

那么线性方程组 有解,并且解是唯一的,解可以表为

1

Page 139: 第一节  二阶与三阶行列式

证明

njnnjnnnnn

jjnn

jjnn

AbAxaxaxa

AbAxaxaxa

AbAxaxaxa

2211

2222222121

1111212111

得个方程的依次乘方程组

列元素的代数余子式中第用

,1

,,, 21

n

AAAjD njjj

在把 个方程依次相加,得n

Page 140: 第一节  二阶与三阶行列式

,1

111

11

n

kkjk

n

n

kkjknj

n

kkjkj

n

kkjk

Ab

xAaxAaxAa

由代数余子式的性质可知 ,

.,,2,1 njDDx jj

.DD

x,,DD

x,DD

x,DD

x nn 2

32

21

1

,Dx j的系数等于上式中

;0的系数均为而其余 jixi .jD又等式右端为

于是 2

当 时 , 方程组 有唯一的一个解0D 2

Page 141: 第一节  二阶与三阶行列式

由于方程组 与方程组 等价 , 2 1 故

.DD

x,,DD

x,DD

x,DD

x nn 2

32

21

1

也是方程组的 解 . 1

Page 142: 第一节  二阶与三阶行列式

二、重要定理二、重要定理定理 1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解 ,且解是唯一的 .

1 1

,0D

定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零 .

1

Page 143: 第一节  二阶与三阶行列式

齐次线性方程组的相关定理

2

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

定理  如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解 .0D

2 2

Page 144: 第一节  二阶与三阶行列式

定理  如果齐次线性方程组

2 有非零解 , 则它的系数行列式必为零 .

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

有非零解 .

系数行列式 0D

Page 145: 第一节  二阶与三阶行列式

例 1 用克拉默则解方程组

.0674

,522

,963

,852

4321

432

421

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

6741

2120

6031

1512

D21 2rr

24 rr

12770

2120

6031

13570

Page 146: 第一节  二阶与三阶行列式

1277

212

1357

21 2cc

23 2cc 277

010

353

27

33

,27

6740

2125

6039

1518

1

D

,81

6701

2150

6091

1582

2

D

,108

Page 147: 第一节  二阶与三阶行列式

6041

2520

6931

1812

3

D

,27

0741

5120

9031

8512

4

D

,27

,327811

1 DD

x ,4271082

2

DD

x

,127273

3

DD

x .127274

4 DD

x

Page 148: 第一节  二阶与三阶行列式

例 2 用克拉默法则解方程组

.6523

,611

,443

,3253

4321

4321

42

4321

xxxx

xxxx

xx

xxxx

2311

1111

4030

1253

D 67 ,0

Page 149: 第一节  二阶与三阶行列式

23165

111611

4034

1253

1

D ,3

67

23651

116111

4040

1233

2

D ,0

26511

161111

4430

1353

3

D ,2

67

65311

611111

4030

3253

4

D ,67

Page 150: 第一节  二阶与三阶行列式

,DD

x31

673

671

1 ,DD

x 06702

2

,DD

x21

672

673

3 .167674

4 DD

x

例 3 问 取何值时,齐次方程组

,01

,032

,0421

321

321

321

xxx

xxx

xxx

有非零解?

Page 151: 第一节  二阶与三阶行列式

111

132

421

D

101

112

431

3121431 3

3121 23

齐次方程组有非零解,则 0D

所以 或 时齐次方程组有非零解 .20 , 3

Page 152: 第一节  二阶与三阶行列式

1. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1) 方程个数等于未知量个数 ;(2) 系数行列式不等于零 .

2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .

三、小结三、小结

Page 153: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克拉默法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?

Page 154: 第一节  二阶与三阶行列式

思考题解答不能 , 此时方程组的解为无解或有无穷多解 .

Page 155: 第一节  二阶与三阶行列式

第一章 习题课第一章 习题课

扬州大学数学科学学院

Page 156: 第一节  二阶与三阶行列式

  把 个不同的元素排成一列,叫做这 个元素的全排列(或排列).

n n

   个不同的元素的所有排列的种数用 表示,且   .

nnP

!nPn

1 全排列1 全排列

Page 157: 第一节  二阶与三阶行列式

  逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.

  在一个排列 中,若数 ,则称这两个数组成一个逆序.

nst iiiii 21 st ii

  一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.

2 逆序数2 逆序数

Page 158: 第一节  二阶与三阶行列式

  分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

方法 2

方法 1  分别计算出排在 前面比它大的数码之和,即分别算出 这 个元素的逆序数,这  个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.

n,n,,, 121 n,n,,, 121 n

n

3 计算排列逆序数的方法3 计算排列逆序数的方法

Page 159: 第一节  二阶与三阶行列式

定义   在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.

定理   一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

4 对 换4 对 换

Page 160: 第一节  二阶与三阶行列式

npppppp

t

nnnn

n

n

nn

aaa

aaa

aaa

aaa

D

21

21

22221

11211

2121

1

5 5  nn 阶行列式的定义阶行列式的定义

.

,,2,1;

;,,2,1

21

21

列取和

的所有排表示对个排列的逆序数

为这的一个排列为自然数其中

n

tnppp

ppp

n

n

Page 161: 第一节  二阶与三阶行列式

.

,)1(

21

21 2121

的逆序数为行标排列其中

亦可定义为阶行列式

pppt

aaaD

Dn

n

npppppp

t

nn

Page 162: 第一节  二阶与三阶行列式

. ,

)()4

.

,)()3

.),()2

.DD,1) T

乘此行列式等于用数一数

中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零

则此行列式完全相同列如果行列式有两行

行列式变号列互换行列式的两行

即式相等行列式与它的转置行列

kk

6 6  nn 阶行列式的性质阶行列式的性质

Page 163: 第一节  二阶与三阶行列式

., )(

, )( )8

.

, )( )7

.

, )( )6

.

)( )5

行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列

然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列

则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零

则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面

以的所有元素的公因子可列行列式中某一行

Page 164: 第一节  二阶与三阶行列式

1)余子式与代数余子式

.

,)1(

1

的代数余子式叫做元素

;记的余子式,记作

阶行列式叫做元素列划去后,留下来的

行和第所在的第阶行列式中,把元素在

aA

MA

M

anj

ian

ijij

ijji

ij

ij

ij

ij

7 行列式按行(列)展开7 行列式按行(列)展开

Page 165: 第一节  二阶与三阶行列式

2)关于代数余子式的重要性质

.,0

;,1

.,0

;,

.,0

;,

1

1

ji

ji

ji

jiDDAa

ji

jiDDAa

ij

ijjk

n

kik

ijki

n

kki

当当

其中

当当

或当当

Page 166: 第一节  二阶与三阶行列式

8 克拉默法则8 克拉默法则

.,

,,2,1

.,,2,1,

,0

.

,

,

1

2211

22222121

11212111

所得到的行列式,换成常数项

列中第)是把系数行列式(其中

那么它有唯一解的系数行列式

如果线性方程组

2 bbb

jDnjD

njDD

x

D

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

n

j

jj

nnnnnn

nn

nn

Page 167: 第一节  二阶与三阶行列式

克拉默法则的理论价值

.,0

.

,

,

2211

22222121

11212111

唯一那么它一定有解,且解的系数行列式

如果线性方程组

D

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nnnnnn

nn

nn

.

必为零解,则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理

定理

Page 168: 第一节  二阶与三阶行列式

.,0

.0

,0

,0

2211

2222121

1212111

那么它没有非零解的系数行列式

如果齐次线性方程组

D

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

nnnnn

nn

nn

.

它的系数行列式必为零组有非零解,则如果上述齐次线性方程

定理

定理

Page 169: 第一节  二阶与三阶行列式

一、计算排列的逆序数

二、计算(证明)行列式

三、克拉默法则

典 型 例 题典 型 例 题

Page 170: 第一节  二阶与三阶行列式

  分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和,即算出排列中每个元素的逆序数.

., 1

3232221212

并讨论奇偶性的逆序数

求排列

kk

kkkk

例1

一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数

;0,2 故逆序数为排在首位k

;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k

;1

),2()12()12(

逆序数为故大的数有一个的前面比 kkk

Page 171: 第一节  二阶与三阶行列式

;2

),12,2(22

数为故逆序大的数有两个的前面比 kk

;2),1

2,2(2222

故逆序数为大的数有两个的前面比 kkkk

;1),2,

,12,2(111

kk

kkkkk

故逆序数为个大的数有的前面比

;1),2,

,12,2(111

kk

kkkkk

故逆序数为个大的数有的前面比

;

),1,,12,2(

k

kkkkkk

故逆序数为个大的数有的前面比

Page 172: 第一节  二阶与三阶行列式

kkkt 1122110

k

kk

21112

2k

当 为偶数时,排列为偶排列,k

当 为奇数时,排列为奇排列.k

于是排列的逆序数为

Page 173: 第一节  二阶与三阶行列式

1 用定义计算(证明)例2 用行列式定义计算

000

000

000

5352

4342

3534333231

2524232221

1312

5

aa

aa

aaaaa

aaaaa

aa

D

二、计算(证明)行列式二、计算(证明)行列式

Page 174: 第一节  二阶与三阶行列式

的非零元素分别得到

行可能中第那么,由

行的元素分别为中第设

5,4,3,2,1,,,

,,5,4,3,2,1

5543

215

543

21

Daaa

aaD

ppp

pp解

.3,2;3,2;5,4,3,2,1

;5,4,3,2,1;3,2

543

21

ppp

pp

.0

5

,,,,,

5

54321

D

ppppp

故元排列也不能组成,一个

在上述可能取的代码中因为

Page 175: 第一节  二阶与三阶行列式

  评注 本例是从一般项入手,将行标按标准顺序排列,讨论列标的所有可能取到的值,并注意每一项的符号,这是用定义计算行列式的一般方法.

.

2 于零还多,则此行列式必等

素比阶行列式中等于零的元如果一个

nn

n

注意

Page 176: 第一节  二阶与三阶行列式

例3 设

,

21

22221

11211

1

aaa

aaa

aaa

D

nnnn

n

n

,

22

11

222221

11

11211

2

ababa

baaba

babaa

D

nnn

nn

n

nn

nn

.2DD 1证明:

Page 177: 第一节  二阶与三阶行列式

证明 由行列式的定义有

.

,)1(

21

211 21

的逆序数是排列其中 pppt

aaaD

n

pnppt

n

.

,)1(

)())(()1(

21

)()21(21

22

112

21

21

2

2

1

1

的逆序数是排列其中 pppt

baaa

bababaD

n

pppnpnpp

t

pnpn

pp

pp

t

n

n

n

n

Page 178: 第一节  二阶与三阶行列式

,212 nppp n 1而

.)1( 121221

DaaaD ppp nn

t 所以

  评注 本题证明两个行列式相等,即证明两点,一是两个行列式有完全相同的项,二是每一项所带的符号相同.这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法.

Page 179: 第一节  二阶与三阶行列式

2 利用范德蒙行列式计算

例4 计算

  利用范德蒙行列式计算行列式,应根据范德蒙行列式的特点,将所给行列式化为范德蒙行列式,然后根据范德蒙行列式计算出结果。

.333

222

111

2

2

2

nnn

D

n

n

n

n

Page 180: 第一节  二阶与三阶行列式

,于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子,递升至而是由变到序排列,但不是从次数自左至右按递升次

方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个

10

.1,1

0

,

n

nn

Dn解

.

1

3331

2221

1111

!

12

12

12

nnn

nD

n

n

n

n

Page 181: 第一节  二阶与三阶行列式

  上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式,由范德蒙行列式知

!.1!2)!2()!1(!

)]1([)2()24)(23(

)1()13)(12(!

)(!1

nnn

nnn

nn

xxnDjin

jin

Page 182: 第一节  二阶与三阶行列式

  评注 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.

Page 183: 第一节  二阶与三阶行列式

3 用化三角形行列式计算

例5 计算

.

4321

321

321

321

1

xaaaa

aaxaa

aaaxa

aaaax

D n

n

n

n

Page 184: 第一节  二阶与三阶行列式

解 列都加到第一列,得将第 1,,3,2 n

xaaax

axaax

aaxax

aaaax

D

n

ii

n

n

ii

n

n

ii

n

n

ii

n

321

21

21

211

1

Page 185: 第一节  二阶与三阶行列式

提取第一列的公因子,得

.

1

1

1

1

)(

32

2

2

21

11

xaa

axa

aaxaaa

axD n

n

n

n

iin

后一列,得倍加到最列的将第列,倍加到第

列的列,将第倍加到第列的将第

2 )(1,3)(

12)(1 1

aa

a

n

Page 186: 第一节  二阶与三阶行列式

.)()(11

n

ii

n

ii axax

axaaaa

axaa

ax

axD

n

n

iin

2312

212

1

11

1

01

001

0001

)(

Page 187: 第一节  二阶与三阶行列式

  评注 本题利用行列式的性质,采用“化零”的方法,逐步将所给行列式化为三角形行列式.化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列);若没有1,则可适当选取便于化零的数,或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为 1 ;若所给行列式中元素间具有某些特点,则应充分利用这些特点,应用行列式性质,以达到化为三角形行列式之目的.

Page 188: 第一节  二阶与三阶行列式

,得提取公因子

行中行,并从第行都加到第、、的第将

dcba

D

114324

4 用降阶法计算

例6 计算

.4

abcd

badc

cdab

dcba

D

Page 189: 第一节  二阶与三阶行列式

,

1111

)(4

abcd

badc

cdabdcbaD

列,得列都减去第、、再将第 1432

,

0001

)(4

dadbdcd

cbcacdc

bcbdbabdcbaD

Page 190: 第一节  二阶与三阶行列式

行展开,得按第1

.)(4

dadbdc

cbcacd

bcbdba

dcbaD

,得中提取公因子

行行,再从第行加到第把上面右端行列式第

dcba

112

,

011

))((

dadbdc

cbcacd

dcbadcbaD

Page 191: 第一节  二阶与三阶行列式

列,得列减去第再将第 12

行展开,得按第1

])()([))(( 22 cbdadcbadcba

))((

))((

dcbadcba

dcbadcba

,

001

))((4

dacbdc

cbdacd

dcbadcbaD

dacb

cbdadcbadcbaD

))((4

Page 192: 第一节  二阶与三阶行列式

  评注 本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素,然后按此行(列)展开,每展开一次,行列式的阶数可降低 1 阶,如此继续进行,直到行列式能直接计算出来为止(一般展开成二阶行列式).这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.

Page 193: 第一节  二阶与三阶行列式

5 用拆成行列式之和(积)计算例7 证明

.0

2sin)sin()sin(

)sin(2sin)sin(

)sin()sin(2sin

.0

000

sinsinsin

coscoscos

0cossin

0cossin

0cossin

左边

Page 194: 第一节  二阶与三阶行列式

6 用递推法计算例8 计算

.2

1

xaaa

axaa

aaxa

D

n

n

解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n

Page 195: 第一节  二阶与三阶行列式

aaaa

axaaa

aaxaa

aaaxa

D

n

n

1

2

1

.

0

0

0

1

2

1

xaaa

xaaa

axaa

aaxa

n

n

Page 196: 第一节  二阶与三阶行列式

.1121 DxaxxxD nnnn 从而

得列展开第右端的第二个行列式按列加到第

倍分别列的将第右端的第一个行列式

,

,1,,2,1

)1(,

nn

n

,

000

00

00

00

1

1

2

1

Dx

a

ax

ax

ax

D nn

n

n

Page 197: 第一节  二阶与三阶行列式

由此递推,得

.

,

21

22121

212211

Dxx

xaxxxaxxxD

DxaxxxD

nnn

nnnn

nnnn

于是

如此继续下去,可得

Dxxxxxaxx

xaxxxaxxxD

nnn

nnnn

231421

22121

Page 198: 第一节  二阶与三阶行列式

)( 212131

421

22121

xxxaxaxxx

xxaxx

xaxxxaxxx

nn

n

nnn

).

(

3231

12121

xxxxxx

xxxaxxx

nn

nn

时,还可改写成当 021 xxx n

)].111

(1[21

21xxx

axxxDn

nn

Page 199: 第一节  二阶与三阶行列式

评注

.

1 1

.1

,1

1

的递推关系列式更低阶行列式之间阶行,建立比阶更低阶的行列式表示比

用同样形式的阶行列式时,还可以把给定的有之间的递推关系阶行列式与建立了

阶行列式表示出来用同样形式的行列式

阶质把所给的本题是利用行列式的性

nn

Dn

DnD

nD

n

n

nn

n

Page 200: 第一节  二阶与三阶行列式

7 用数学归纳法例9 证明

.cos

cos21000

1000

00cos210

001cos21

0001cos

n

Dn

Page 201: 第一节  二阶与三阶行列式

证 对阶数 n 用数学归纳法

.,2,1,

,2cos1cos22cos1

1cos

,cos

22

1

结论成立时当所以

因为

nn

D

D

得展开按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于

下证对的行列式结论成立假设对阶数小于

,

.

,

Dn

n

n

.cos2 21 DDD nnn

Page 202: 第一节  二阶与三阶行列式

,)2cos(

,)1cos( ,

2

1

nD

nD

n

n由归纳假设

;cos

)2cos(])2cos([cos

)2cos()1cos(cos2

n

nnn

nnDn

.结论成立所以对一切自然数n

Page 203: 第一节  二阶与三阶行列式

评注

.

,)1(1

,)(,

,

2

1

同型的行列式是与不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第

不能展开列或第行本例必须按第表示

展开成能用其同型的为了将

D

nnD

DD

n

n

nn

.

,,.

,

,,

其猜想结果成立然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的

而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲

Page 204: 第一节  二阶与三阶行列式

  计算行列式的方法比较灵活,同一行列式可以有多种计算方法;有的行列式计算需要几种方法综合应用.在计算时,首先要仔细考察行列式在构造上的特点,利用行列式的性质对它进行变换后,再考察它是否能用常用的几种方法.

小结

Page 205: 第一节  二阶与三阶行列式

  当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时,可用克莱姆法则.为了避免在计算中出现分数,可对有的方程乘以适当整数,把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解.

三、克拉默法则三、克拉默法则

.28)3(,3)2(,0)1(

),(

fff

xf 使求一个二次多项式10例

Page 206: 第一节  二阶与三阶行列式

解 设所求的二次多项式为

,)( 2 cbxxaxf

由题意得

,2839)3(

,324)2(

,0)1(

cbaf

cbaf

cbaf

.,, 的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba

Page 207: 第一节  二阶与三阶行列式

.20,60

,40,020

32

1

DD

DD

由克莱姆法则,得

.1,3,2 321 DDc

DDb

DDa

于是,所求的多项式为

.132)( 2 xxxf

Page 208: 第一节  二阶与三阶行列式

..

0

,0

,0

1,,

),,(

00

00

从而有系数行列式的非零解

可视为齐次线性方程组则

点设所给三条直线交于一必要性

bzaycx

azcybx

czbyax

zyyxx

yxM

.0

0,0,0

cba

baycxacybxcbyax

条件是相交于一点的充分必要

直线证明平面上三条不同的 11例

Page 209: 第一节  二阶与三阶行列式

.0])()()([

))(2

1(

222

accbba

cba

bac

acb

cba

(1)

baycx

acybx

cbyax

,

,

.0,

,,,

cba

cba

故同也不全相所以因为三条直线互不相同

将方程组如果充分性 ,0 cba

Page 210: 第一节  二阶与三阶行列式

.

.00

,

,

唯一解下证此方程组(2)有

(2)

到第三个方程,得的第一、二两个方程加

acybx

cbyax

.00)(

2)]([)(

00

22

222

22

accaac

cacacaaccab

bacbaccb

ba

,从而有

,于是得

。由,则如果

Page 211: 第一节  二阶与三阶行列式

.)1(

.)2(

.0

.0

0.0,0 2

直线交于一点有唯一解,即三条不同方程组

从而知有唯一解组由克莱姆法则知,方程

故,与题设矛盾得

再由得由不妨设

cb

ba

c

cbabacba

Page 212: 第一节  二阶与三阶行列式

例 12  有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮 70克,磷 8克,钾 2克;乙种化肥每千克含氮 64克,磷 10克,钾 0.6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷 5克,钾 1.4克.若把此三种化肥混合,要求总重量 23千克且含磷 149克,钾 30克,问三种化肥各需多少千克?

题意得方程组

依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 32 ,1 xxx

.304.16.02

,1495108

,23

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Page 213: 第一节  二阶与三阶行列式

,5

27D此方程组的系数行列式

81275

81 321 DDD ,,又

.15,5,3 32 xxx1

组有唯一解由克莱姆法则,此方程

.15

,5,3

千克千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥

Page 214: 第一节  二阶与三阶行列式

).(40,15

52.1355.1357.1360.133020100

:

.)(

00

0000

33

2210

准确到小数两位时水银密度求

由实验测得以下数据

的关系为与温度设水银密度

t

h

t

tatataath

th例 13

Page 215: 第一节  二阶与三阶行列式

)1(

.52.132700090030

,55.13800040020

,57.13100010010

,6.13

),(

3210

3210

3210

0

aaaa

aaaa

aaaa

a

th 得方程组将测得的数据分别代入解

)2(

.008.02700903

,005.0800402

,003.010010

,60.13

321

321

321

0

aaa

aaa

aaa

a 得方程组分别代入其余三个方程将

Page 216: 第一节  二阶与三阶行列式

,12000D此方程组的系数行列式

.0000033.0

,00015.0

,0042.0

)2(,

3

2

1

a

a

a

的唯一解得方程组由克莱姆法则

,04.0,8.1,50 321 DDD又

得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha

Page 217: 第一节  二阶与三阶行列式

由此得

.0000033.0

00015.00042.060.13)(3

2

t

ttth

.46.13,56.13,40,15, 00 水银密度分别为时当所以 t

.46.13)40(,56.13)15( hh

Page 218: 第一节  二阶与三阶行列式

第一章   测试题第一章   测试题一、填空题 ( 每小题 4 分,共 40分 )

ijijn aDaaD 则若 , .1

132

213

321

3321 ,0,, .2

xxx

xxx

xxx

qpxxxxx

列式

则行的三个根是方程设

行列式 .3

Page 219: 第一节  二阶与三阶行列式

10000

00001998

00019970

00200

01000

D

44

33

22

11

00

00

00

00

.4

ab

ab

ba

ba

四阶行列式

Page 220: 第一节  二阶与三阶行列式

44342414

4 , .5

AAAA

cdba

acbd

adbc

dcba

D

设四阶行列式

的符号为在五阶行列式中 3524415312 .6 aaaaa

的系数是中在函数 3

21

112

.7 x

x

xxx

x

xf

Page 221: 第一节  二阶与三阶行列式

abcd

badc

cdab

dcba

四阶行列式 .8

,,, .9 时且则当为实数若 baba

0

101

0

0

ab

ba

Page 222: 第一节  二阶与三阶行列式

二、计算下列行列式 ( 每小题 9分,共 18分 ) .

01122

10321

01132

22113

13211

.1 5

D

.

.10

121

121

iiii

iiii

nn

nn

次对换后变为排列可经排列

Page 223: 第一节  二阶与三阶行列式

xzzz

yxzz

yyxz

yyyx

Dn

.2

齐次方程组取何值问 ,,

02

0

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

有非零解?

三、解答题 (9分 ) .

Page 224: 第一节  二阶与三阶行列式

四、证明 ( 每小题 8分,共 24 分 ) .

;0

321

321

321

321

.1

2222

2222

2222

2222

dddd

cccc

bbbb

aaaa

Page 225: 第一节  二阶与三阶行列式

cos21

1cos21

1

1

1cos21

1cos2

.2

nD

;

sin

1sin

n

Page 226: 第一节  二阶与三阶行列式

用数学归纳法证明 .3

nn

nnn

nn

nnn

n

n

n

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

D

321

223

22

21

223

22

21

321

1111

2,1

21

nxxxxx jinij

n

Page 227: 第一节  二阶与三阶行列式

五、 (9分 ) 设 行列式n

n

n

Dn

001

0301

0021

321

求第一行各元素的代数余子式之和.11211 nAAA

Page 228: 第一节  二阶与三阶行列式

.2

1 .10 ;0,0 .9

; .8 ;2 .7 ;.6

;0 .5 ; .4

;!1998 .3 ;0 .2 ;1 .1

22222

41413232

nn

dcba

bbaabbaa

an

一、

. .2 ;170 .1

zy

yxzzxy nn

二、

.00 或三、 .1

1!2

n

j jn五、

测试题答案测试题答案