Куда стремятся частоты

Автор

Захарова Елена Михайловна

Учитель МОУ «СОШ с. Дмитриевка»

Задача

1. Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, большего 4.

2. Поверхность рулетки разделена на 8 равных секторов. Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится на закрашенной части рулетки.

Определение относительной частоты

Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношении числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют частотой испытания.

Относительную частоту события А обозначают W(A), поэтому по определению:

W(А) = N

M

Пример

Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?

Решение: Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, то есть M = 26. Общее число испытаний N = 30,

поэтому W(А) =

15

13

30

26

Результаты 50 опытов с кубиком

Исходы Абсолютная частота Относительная частота

1 9 0,18

2 6 0,12

3 8 0,16

4 11 0,22

5 9 0,18

6 7 0,14

50 1

Относительная частота

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

Серия опытов с кубиком

Количество испытаний

Частота исходов

1 2 3 4 5 6

50 0,18 0,12 0,16 0,22 0,18 0,14

100 0,16 0,16 0,2 0,15 0,19 0,14

200 0,16 0,135 0,185 0,16 0,18 0,18

300 0,167 0,160 0,163 0,153 0,183 0,173

400 0,168 0,153 0,175 0,163 0,185 0,158

500 0,164 0,146 0,182 0,160 0,186 0,162

600 0,152 0,157 0,183 0,153 0,188 0,167

700 0,153 0,164 0,180 0,151 0,186 0,166

800 0,159 0,164 0,181 0,155 0,180 0,161

900 0,156 0,164 0,183 0,166 0,171 0,160

1000 0,158 0,170 0,182 0,165 0,168 0,157

после 50 опытов

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

исходы

отн

оси

тел

ьн

ая ч

асто

та

после 100 опытов

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

исходы

отн

оси

тел

ьн

ая ч

асто

та

после 500 опытов

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 2 3 4 5 6

исходы

отн

оси

тел

ьн

ая ч

асто

та

после 1000 опытов

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6

исходы

отн

ос

ите

ль

на

я ч

ас

тота

0,1

0,15

0,2

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

количество экспериментов

отн

оси

тел

ьн

ая ч

асто

таГрафик частоты выпадения единиц

Статистическое определение вероятности

За вероятность случайного события можно приближенно принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов.

Чем больше проведенных экспериментов, тем точнее можно оценить вероятность события по его частоте

Якоб Бернули: закон больших чисел.

Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности Р(А), то есть Р(А)≈ W(A) при большом числе испытаний.

Родильный дом некоторого города вел по годам подсчет

рождения мальчиков и девочек.

Результат заносили в таблицу. Какова вероятность появления на свет мальчиков? Можно ли считать равновозможными события «родился мальчик» и «родилась девочка»?

ГодЧисло родившихся детей

Число девочек Число мальчиков

1998 802 823

1999 629 665

2000 714 769

2001 756 798

2002 783 811

Решение.

Число родившихся мальчиков: М = 823 + 665 + 769 + 798 + 811 = 3866.

Число родившихся девочек: 802 + 629 + 714 + 756 + 783 = 3684.

Общее число родившихся детей N = 3866 + 3684 = 7550. Относительная частота появления мальчиков: W =

Вероятность события А – появление на свет мальчика примем приблизительно равной 0,51, то есть Р(А) ≈ 0,51. вероятность противоположного события Ā – появление на свет не мальчика, то есть девочки, равна Р(Ā) = 1 - Р(А) = 0,49.

Так как Р(А) ≠ Р(Ā), то рождение мальчика и рождение девочки в данном роддоме нельзя считать равновозможным.

5121,07550

3866

N

M

Вероятность событий А и В

Количество испытаний

Частота событий

А В

50 0,48 0,52

100 0,45 0,55

200 0,475 0,525

300 0,487 0,513

400 0,473 0,528

500 0,468 0,532

600 0,477 0,523

700 0,481 0,519

800 0,48 0,52

900 0,49 0,51

100 0,492 0,508

оценим вероятность событий А и В

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

количество испытаний

отн

ос

ите

ль

на

я ч

ас

тота

Результаты 100 испытаний подбрасывания монеты

Количество опытов

«Орел» «Решка»

Абсолютная частота

Относительная частота

Абсолютная частота

Относительная частота

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100