Элективные курсы

Элементы теории вероятностей10 классАвтор Кузьменко М. А.учитель математики МОУ СОШ № 26

Мир, построенный на вероятности.

«О, сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух!

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг

И случай, бог- изобретатель…»

А. С. Пушкин

Цели курсов:

Удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей учащихся в период предпрофильной и профильной подготовки, связанных с применением теории вероятностей в профессиях экономиста, юриста, а также в профессиях, связанных с экономикой, которые на теорию вероятностей и статистику.

Показать фундаментальность законов теории вероятностей в различных областях науки – физике, биологии, теории игр и других областях, т.е. ее практическое применение.

Задачи элективных курсов:

Познакомить учащихся на конкретных примерах из истории развития науки и общества с закономерностями случайных явлений и способами подсчета вероятности какого либо события.

Способствовать формированию и развитию компетентности учащихся в сфере трудовой деятельности – умению анализировать ситуацию на рынке труда, оценивать собственные профессиональные возможности, ориентироваться в сфере самостоятельной познавательной деятельности.

Учебно-тематический план курса 15 часов.

№ п/п Тема Кол-во часов

1. Введение в теорию вероятностей. Классическая формула для подсчета вероятности события.

1

2. Виды событий. 1

3. Операции над событиями. 1

4. Наука о подсчете числа комбинаций: размещения, перестановки, сочетания.

2

5. Вероятность события:

а)вероятность суммы событий;

б)условная вероятность;

в)вероятность произведения событий;

г)формула полной вероятности.

2

1

2

2

6. Геометрические вероятности. 1

7. Практическое применение законов вероятности. 2

Охота на зубра

Было бы неосновательно думать, что великие полководцы прошло, готовясь к сражению, надеялись только на доблесть и искусство воинов.

«… В природе, где как будто господствует случайность, мы давно уже установили в каждой отдельной области внутреннюю необходимость и закономерность, которые пробивают себе дорогу в рамках этой случайности…»

А. Энштейн

Мальчик или девочка?

Государство Год Число родившихся детей

Число родившихся мальчиков

Число родившихся девочек

Частота рождения мальчиков

Польша

Швеция

1927

1935

958733

88273

496544

45682

462189

42591

0,518

0,517

Господин случай

Закон нормального распределения

А. Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин и построил диаграмму распределения роста

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Прирученная случайность

Классическая формула для определения вероятности

события A

n

mAP )(

«Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая и примиряющее эти, казалось бы противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул – «МАТЕМАТИКА СЛУЧАЙНОГО».

Блез Паскаль

Теория вероятностей – наука, изучающая законы случайных явлений, имеющих массовый характер.

1)Подбрасываем монету. Какова вероятность того, что сверху выпадет герб?

2) Как приближенно установить число рыб в озере?

События и их вероятностиСобытие – результат некоторого испытания.

Виды событий:

Случайные

Достоверные

Невозможные

Равновозможные

Совместимые

Несовместимые

Противоположные

Обозначение событий

A, B, C, … события

Ᾱ - событие противоположное событию A

U – достоверное событие P(U)=1

V – невозможное событие P(V)=0

Операции над событиямиСумма событий

Вероятность суммы несовместных событий

A B C

+ + +

+ - +

- + +

- - -

n – число равновозможных элементарных событий

m – число равновозможных элементарных событий, благоприятных событию A

k – число равновозможных элементарных событий, благоприятных событию B

P(A+B) = P(A) + P(B)

n

m k

+

P(A + B)=

km

n

Задача. В урне 15 шаров – 7 белых, 2 зеленых, 6 красных. Наугад вынимаем 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется или красным, или зеленым?

Решение.

1) Событие A – вынули красный шар

15

6)( AP

2)Событие B – вынули зеленый шар

15

2)( BP

3)События A и B – несовместные, поэтому C = A + B сумма событий

15

8

15

2

15

6)()( BAPCP

.15

8)(: CPОтвет

Вероятность суммы совместимых событий

n – число равновозможных элементарных событий

m – число равновозможных элементарных событий, благоприятных событию A

k – число равновозможных элементарных событий, благоприятных событию B

l – число событий, благоприятных для A и B одновременно

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A + B)=

l+m

n

k

km

n

l

Задача. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки.

36

11

36

1

6

1

6

1)(

36

1)(,

6

1)(,

6

1)(

BAP

ABPBPAP

Решение.

1)Обозначим события

А – появление «6» при бросании первой игральной кости

В – появление «6» при бросании второй игральной кости

Определить вероятность события С = А +

2) А и В совместимые события, следовательно,

Р (С)= Р(А + В)= Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

.36

11)(: BAPОтвет

Условные вероятности

)(

)(/

AP

ABPABP

Если наступление события B зависит от события A, то вероятность события B называют условной.

Обозначают

ABPAPABP /)()( Вероятность произведения зависимых событий

Вероятность произведения независимых событий

A B C

+ + +

+ - -

- + -

- - -

P(AB)=P(A)·P(B)

Задача. Подбрасывают одновременно два кубика. Какова вероятность того, что одновременно выпадут две четверки.

.36

1

6

1

6

1)()()( BPAPABP

Решение.

Пусть

Событие A – появление «4» при подбрасывании первого кубика

Событие B - появление «4» при подбрасывании второго кубика

События A и B независимые и равновозможные

.36

1)(: ABPОтвет

Формула полной вероятности

Задача. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, один – совсем не подготовился.

В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся могут ответить на все 20 вопросов; хорошо подготовившиеся – на 16 вопросов; удовлетворительно подготовившиеся – на 10 вопросов; неподготовившиеся – на 3 вопроса.

Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенным первым ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он – отличник.

Решение.

A1 – приглашен первым ученик, подготовившийся отлично

A2 – приглашен ученик подготовившийся хорошо

A3 – приглашен ученик, подготовившийся удовлетворительно

A4 – приглашен ученик, который к экзамену не готов

A – приглашенный ученик ответил на все три вопроса

Найдем вероятности событий:

1,0)(;2,0)(;4,0)(;3,0)( 4321 APAPAPAP

Кроме того

009,018

3

19

4

20

5/

105,018

8

19

9

20

10/

;491,018

14

19

15

20

16/;1/

4

3

21

AAP

AAP

AAPAAP

Найдем AAP /1По формуле Байеса

)(

/)(/

AP

BAPBPABP ii

i

где P(A) – полная вероятность

58,0009,01,0105,02,0491,04,013,0

13,0/ 1

AAP

Ответ: Вероятность того, что приглашенный ученик ответит на все три вопроса невелика

Геометрические вероятностиЗадача. В круг радиуса R наугад брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

A

B

C

K

K

Решение.

E – событие, состоящее в том что точка A попадет в ∆ ABC

кругаS

SEP )(

4

33 2RS

2RSкруга 41,0

4

33

4

33)(

2

2

R

REP

Ответ: P(E)0,41

Фундаментальность вероятностных законов

Вероятность в классической физике

Термодинамическое равновесие

Вероятность в микромире

t

N

N0/2

N0

Вероятность в биологии

Гаметы А Гаметы B

Литература

А.Колмогоров Основные понятия теории вероятностей, Москва Наука, 1974 г.

Б. Гнеденко Курс теории вероятностей, Москва Наука, 1969 г.

Н. Виленкин Комбинаторика, Москва Наука, 1969 г.

Л. Тарасов Мир, построенный на вероятности, Москва Просвещение, 1984 г.

А. Лютикас Основы теории вероятностей