МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ

С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ

д.ф.м.н., проф., Маликов А.И., malikov@au.kstu-kai.ru

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН,

КГТУ им.А.Н.ТуполеваГ.Казань

Секция 1 научного совета по теории управляемых процессов и автоматизации

Переславль-Залесский, 02-04 октября 2008 г.

План доклада 1. Оценивание состояния линейной системы 2. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием

квазимонотонности 3. Матричные системы сравнения 4. Построение матричных систем сравнения 5. Связь с квадратичной функцией Ляпунова 6. Линейная система с ограниченными возмущениями 7. Ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок 8. Оценивание состояния регулируемых систем с нелинейностями из сектора 5. Оценивание состояния систем со структурными изменениями 6. Оценивание состояния дискретных систем 7. Оценивание состояния систем с учетом результатов измерений 8. Приложения к электромеханическим системам (функциональное

диагностирование) 9. Синтез управления 10.Заключение 11. Направления дальнейших исследований 12. Публикации 13. Юбилеи

Оценивание состояния линейной системы

dx/dt=A(t)x+b(t), (1.1) A(t) - -непрерывная матрица, b(t)-n-вектор, все элементы которых суммируемы на каждом отрезке из T. При t=t0 x(t0)= , Q0>0 - -матрица, a0 - n-вектор. Квадратичная форма v(t,x)=[x–a(t)]TQ-1(t)[x–a(t)] , dv(t)/dt=d{(x–a(t))TQ–1(t)(x–a(t)}/dt= =[A(t)x(t)–da(t)/dt]TQ–1(t)[x(t)–a(t)]+ +[x(t)–a(t)]TQ–1(t)[A(t)x(t)+da(t)/dt]+ +xT(t)dQ–1(t)/dtx(t)+bT(t)Q–1(t)x(t)+ +xT(t)Q(t)b(t).

С учетом уравнения для a(t) da/dt=A(t)a+b(t), a(t0)=a0. (1.2)dv(t)/dt=[x(t)–a(t)]T[AT(t)Q–1(t)+Q–1(t)A(t)+dQ–1(t)/dt][x(t)–a(t)].dQ–1(t)/dt=–AT(t)Q–1(t)–Q–1(t)A(t).dQ–1/dt=–Q–1(dQ/dt)Q–1 (Гантмахер Ф.Р. [1988])

dQ(t)/dt=Q(t)AT(t)+A(t)Q(t), Q(t0)=Q0, (1.3)совпадает с эволюционным уравнением метода эллипсоидов (Черноусько Ф.Л. [1988]), и (Сабаев Е.Ф. [1980]), является матричной системой сравнения для (1.1), если взять V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T. (1.4)Справедливы оценки x(t)Z(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)},или x(t)P(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1}, если Q(t) - положительно определенное решение задачи (1.2).

)( nn

TtRx n , )( nn

}1)()(:{),( 01

00000 axQaxxQaEx T

V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T. (1.4)

Получить уравнение (1.3) можно и путем вычисления производной от матричной функции (1.4).

dV(t)/dt=V(t)AT(t)+A(t)V(t),

Правая часть (1.3) удовлетворяет условию квазимонотонности относительно конуса G+. Поэтому уравнение (1.3) будет являться матричной системой сравнения для (1.1). По лемме 1 для решений системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E0, будем иметь оценки

x(t)P(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)}, при tTили x(t)E(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1} при tT1. Как будет далее показано множества P(t) и E(t) положительно инвариантны для решений системы (1.1), а уравнение (1.3) вместе с уравнением (1.2) для a описывают эволюцию эллипсоида E[a(t),Q(t)], который в точности является множеством достижимости решений линейной неавтономной системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E0.

Матричные системы дифференциальных уравнений с

условием квазимонотонностиG – множество симметрических -матриц Q; , . множество линейных функционалов; - телесный, воспроизводящий и нормальный конус. G+ правильный конус.Матричная система дифференциальных уравнений

(1.3)на , F(t,Y) непрерывна, или непрерывна справа или удовлетворяет усл. Каратеодори. F квазимонотонно неубывающая относительно конуса G+ если для любых Z,YB, Y–ZG+, и всех из следует для п.в. . Обознач.Лемма 1.1. Пусть матричные функции F1, F2, определены при и принадлежат W(G+). Тогда 1) При любых , если a, b - монотонно неубывающие по Y относительно G+ функции при t>t0;2) Для - матричной функции A(t) A(t)Y+YAT(t)W(G+)3) Для симметрической матрицы Q YQY W(G+).Теорема 1.1 (о матричных дифференциальных неравенствах). Пусть для непрерывно дифференцируемой матричной функции Z(t) выполняется дифференциальное неравенство

(1.4)где функция F(t,Z) непрерывная, квазимонотонно неубывающая относительно G+, и удовлетворяет условию Липшица.Пусть Z(t0)<Y0, тогда Z(t)<Y(t) при всех , где Y(t) - решение задачи (3.3) с функцией F(t,Y) из (3.4) и Y(t0)=Y0.Следствие 1.1. Пусть . Тогда .

QQ T)(nn , GQRn T }1:{ nR

} ,0:{ QGQG T

A ),( ,)( )),(,()( 0000 YtYtYtYtFtY

)),(,[)( 0 YtYT ,))(,( GTtYt A GtY B)(

0)( ZYT

Tt )(),( GWYtF

)(W),( ),( ,:, 21 GFYtbFYtaRGTba

nn

TttZtFdttdZ )),(,(/)(

Tt

)(),( GWYtF )(),( GMYtF

0)),(),(( ZtFYtFT

Матричные системы сравнения

, (1.5) - удовлетворяет условиям существования K-решений (классических, правосторонних). Лемма 1.2. Пусть для (1.5) на T существует абсолютно непрерывная матричная функция V(t,x) такая, что , а для производной от V(t,x) по времени в силу (3.5) справедливо неравенство:

при почти всех , (1.6)где F W(G+) и удовлетворяет условиям Каратеодори.Тогда из условия V(t0,x0)<Y0 следует V(t,x(t,t0,x0))< где - верхнее решение системы (1.3) с функцией F из (1.6).

, G+Y0 - конус с вершиной в точке Y0 G; , ;

Инвариантность множествЛемма 1.3. Для любых , множество G–+P (+)-инвариантно для нижних решений, и для любого множество G++Q (+)-инвариантно для верхних решений уравнения (1.3).Для автономного матричного уравнения dY/dt=F(Y), YG (1.7)

множества H, G (+)-инвариантны

WwRxTtwxtfdtdx n , , ),,,(/nn RRTf :

GV A:

)),(,(),( xtVtFxtVD Tt

),,( 00 YttY),,( 00 YttY

}:{ GYGYG

}0)),( :{ YtFTtY BH }0)),( :{ YtFTtY BG }0),( :{ YtFTtY HQ

Tt HPGQ

Построение матричных систем сравнения

Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t0)=x0E(a0,Q0) 1. Берется матричная функция V(x)=xxT Vij=xixj

или V(x)=(x–a(t))(x–a(t)) T. 2. Вычисляется производная dV/dt в силу исходной системы.3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f *(t,a)4. Подставляется выражение da(t)/dt в dV/dt5. Производится мажорирование dV/dt с использованием матричных неравенств. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида dV/dtF(t,V) относительно конуса G+

6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по начальным данным является условие квазимонотонности функции F(t,Q) правой части полученной матричной системы.Оценки решений[x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)][x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)]TQ(t,t0,Q0),или x(t,t0,x0)E[a(t,t0,a0),Q(t,t0,Q0)] если Q(t,t0,Q0)>0.

Связь с квадратичной функцией Ляпунова

Пусть для система (1.1) с матричной функцией сравнения

Получена матричная система сравнения (1.3), где F(k,Q) есть непрерывная матричная функция квазимонотонно неубывающая относительно G+. Допустим есть решение уравнения (1.1)с .

Пусть решение системы сравнения (1.5) с >0 из (1.2). Определим квадратичную форму

Лемма 2. Множество (+) – инвариантно для решений системы (1.5). Таким образом, эллипсоид

является внешней аппроксимацией множества достижимости системы (1.5).

TtatxtatxtxtV )()(,

00 ,, xttata

00 хta 0,,/ tatfdttda

00 ,, QttQ 00 QtQ

)()()(, 1 tatxQtatxtxtv T

1,: tхtvх

1:1,:, 1 tatхQtatхxхtvхtQtaE Т

Линейная система с ограниченными возмущениями

dx/dt=A(t)x+B(t)w(t), (2.1)1)( tw

},1)()(:{),()( 1000000

oT axQaxxQaExtx

TtaxtaxxtV )]()][([),( da/dt=A(t)a, a(t0)=a0.

)(][][)()()(/ tBwaxaxwtBtVAVtAdtdV TTTT

)()(1

)()(/ tBtBq

qVtVAVtAdtdV TT

)()(1

)()(/ tBtBq

qQtQAQtAdtdQ TT

Проблемы оптимальности, ограниченности и сходимости эллипсоидальных аппроксимаций. Различные критерии выбора параметра q:минимума объема, следа матрицы эллипсоида, следа взвешенной матрицы эллипсоида, проекции эллипсоида на заданное направление.

(2.2)

(2.3)

Сходимость и ограниченность эллипсоидальных оценок

Теорема 1. Предположим, что пара (A,B) управляемая, а матрица A гурвицева, т.е. ni ,...,1,0Re i i - собственные числа матрицы A). Тогда при любом фиксированном

)(Remax20 Aq ii

эллипсоидальная оценка E[a(t),Q(t)]={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1} , где Q(t)=Qq(t) – решение уравнения (3.12) с Qq(t0)=Q0>0 ограничена и сходится

к предельному эллипсоиду

))(,0( qQE , где )(qQ

- решение алгебраического матричного уравнения Ляпунова (уравнения равновесия для (2.3))

TT BBq

Iq

AQQIq

A1

)2

()2

(

В статье Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. АиТ 2006 показано, что матрица минимального по критерию следа инвариантного эллипсоида является решением алгебраического матричного уравнения Ляпунова (2.4)

(2.4)

(не для локально-оптимальных)

),,(),,( 020010 QttQQttQ qq

)}(:{1 qQQSQM

)}(:{2 qQQSQM

}0)(:{3 QFSQM q

TTq BB

qI

qAQQI

qAQF

1)

2()

2()(

)(qQ

Следствие 1. Для решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова (2.12) справедливы следующие свойства. 1). Монотонность решений по начальным данным: для всех t>t0 если Q01>Q02.

2). Инвариантность множеств: множества

Любая положительно определенная матрица QM3 определяет инвариантный эллипсоид.

В частности, являющаяся положительно определенным решением алгебраического уравнения Ляпунова (2.4) M3, определяет инвариантный эллипсоид предельного множества достижимости для

системы (2.1).

Ограниченность и сходимость локально-оптимальных эллипсоидальных оценок

Теорема 2. Пусть матрица А – гурвицева и алгебраическое матричное уравнение (2.4) с локально-оптимальным параметром q=q(Q) имеет положительно-определенное решение Q*>0, такое, что

)(Remax2)(0 AQ*q ii

Тогда локально-оптимальные эллипсоидальные оценки, получаемые по уравнению (2.4) будут ограниченными и глобально сходиться к предельному эллипсоиду, определяемому с помощью матрицы Q*>0.Применение матричной системы сравнения позволяет также исследовать свойства робастной устойчивости (ограниченности, диссипативности).

Сопоставление с эволюционными уравнениями метода эллипсоидов

Регулируемая система с

нелинейностью из сектора , A(t) - -матрица, b(t), c(t) - n-векторы. непрерывная функция из сектора , k-const.Строится система сравнения с матричной функцией V=xxT, например

где q - положительная переменная, выбор которой производится из условия наилучшего мажорирования.

Регулируемая система с несколькими нелинейностями из сектора

, (6.1)

где, как и выше, A(t) – известная -матрица, bi(t), ci(t) – известные n-векторы, i/i неопределенная непрерывная функция, со значениями из отрезка [0,ki], где ki-const>0 i=1,…m.

, (6.2)

где qi положительные переменные, подлежащие определению.

xtcttbxtAdtdx T )( ),,()()(/ nn ),( t

ktR /),(0 ,1

QtQctcqktbtbq

tQAQtAdtdQ TTT )()()()(1

)()(/ 2

xtcttbxtAdtdx Tii

m

iiii )( ,),()()(/

1

nn

m

ii

Tiii

Tii

i

T QQcckqbbq

QAAQdtdQ1

2 )1

(/

Выбор параметра q

Задача при некотором .

Здесь Ei=bibi

T, Di=ki2ciTQciQ.

qi=[(ziTEizi)/(zi

TDizi)]1/2, где вектор zi удовлетворяет условию (ziTDizi)

(ziTEizi)>0.

Для системы (6.2), , i=1,…m,

система сравнения (6.2) после подстановки qi

Если задать zi=ci, то при условии получим систему сравнения в виде

ii

T

iiii

T

i

iq

zDzqzEzqi

1min

}0:{ iiTiii zEzzz

2/112/1)/(/ i

Tii

Tii

Tiiii

Tiii

Tii QccQzzbzkzDzzEzq

)}.)(||

||){()(/

2/1

1

12/12/1

QQzzbz

bbbzQzzQcckQAAQdtdQ

iTii

Ti

m

i

Tiii

Tii

Tii

Tii

T

)||||(/1

1 QbcbbbcQcckQAAQdtdQ iTi

m

i

Tiii

Tii

Tii

T

mibc iTi ,1 ,0

В качестве примера рассмотрим систему второго порядка с кубической нелинейностью dx/dt=A(t)x+b3, =cT(t)x, Для нее матричная система сравнения (5.4) принимает вид

.

На основе интегрирования матричной системы сравнения получены матрицы, определяющие размеры эллипсоидов, при следующих значениях параметров:

)(/ TTTT QcbQbcQccQAAQdtdQ

Система с кубической нелинейностью

2- 0

1 0A

0

1 ,

1

0 cb

25 0

0 40Q

1- 0

1 0A

0

1 ,

1.0

0 cb

25 0

0 40Q

0.2 0

1 0A

0

1 ,

1

0 cb

0.2 0

0 05.00Q

Эволюция эллипсоидов показана соответственно на рис. 1-3. Следует отметить, что в первых двух случаях матрица A линейной части имеет одно отрицательное и одно нулевое собственное значение. Тем не менее, как видно из рис.1 и 2 (эллипсоиды сжимаются к началу координат), система с кубической нелинейностью асимптотически устойчива в большом. В третьем случае матрица линейной части имеет одно положительное собственное значение, поэтому система с кубической нелинейностью является неустойчивой. Это можно наблюдать на рис.3, где эллипсоиды расширяются с течением времени.

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Для системы с квадратичной нелинейностьюdx/dt=A(t)x+b(t)2, =cT(t)x,где A(t) – nn-матрица; b(t), c(t) – n-векторы, матричная система сравнения принимает вид ,где q>0 – параметр, подлежащий определению. В частности, для наиболее точного мажорирования рекомендуется выбирать параметр q по формуле , при cTb 0, или .

На рис. 4,5 отображены эллипсоиды, построенные интегрированием системы

сравнения при . В качестве начального условия

приняты соответственно матрицы и . В первом случае (рис. 4) эллипсоиды с течением времени сжимаются к началу координат, а во втором случае (рис.5) расширяются,

Рис.4 Рис.5Следовательно, эллипсоид {x:xTdiad[2, 2]x<1} содержится в области притяжения системы с квадратичной нелинейностью.

TTT qbbQ

qcQcQAAQtddQ

1

bcQccq TT /2/1

TSpbbSpQq /

2- 1-

1 0A

0

1 ,

1

0 cb

0.5 0

0 5.001Q

0.6 0

0 5.002Q

Регулируемая система с неопределенностями

, (3.11)где A(t) - -матрица, B(t), C(t) - и -матрицы, w(t) - n-вектор входных воздействий; - n-вектор внешних возмущений, погрешности измерений:

, (3.12)где R1(t)>0 - nn, а R2(t)>0 - mm матрицы; непрерывная вектор-функцией, с компонентами из сектора

, (3.13)где ki -const, - i-я строка матрицы C, i=1,...,m.Оценить множество процессов (3.11) - (3.13) с .Теорема 3.4. Для процессов системы (3.11) с неопределенностями из (3.12), нелинейностями из (3.13) и справедливы оценки при t>t0: V(t)=[x(t)–a(t)][x(t)–a(t)]T<Q(t,t0,Q0), или x(t) [a(t),Qi(t)]={x:[x(t)–a(t)]Qi

–1(t)[x(t)–a(t)]<1},где a(t) - решение уравнения da/dt=A(t)a+B(t)MC(t)a+w(t), а Q(t) -положительно определенное решение МСС

где , , , при начальных условиях

Q(t0)=Q0, a(t0)=a0.

)()( ),()(),()()(/ txtCttwttBxtAdtdx mn nm

)(t )(t0

121 ,1)()()( ),()()( ttttRttRtt TT

),(col),(m1,i

ii tt

miktR iiiii ,1 ,/),(0 ,1 Tii

Tii cxtc ,)(

),( 000 QaEx

),( 000 QaEx

),()()()(1

)()(

)()(1

)()(1

)()()()(/)(

3231

12*

2

211

1

tQqtBMtMRtBq

tQzq

tBtBq

tQqtRq

tAtQtQtAdttdQ

TTm

ii

TT

)(diagm1,i

iM

2/ii k ])()([2

2/12

2/1*ii

Ti

Ti

ii rQccac

kz

Пример. Оценка точности системы стабилизации

с , и нелинейной функцией, , где , и k=1. Сопоставление с вектор-функцией Ляпунова с компонентами в виде модулей линейных форм

,

1

1 ,

1

0 ,

3 2

1 0 ),()(/

xc

cbAtbAxdtdx

T

)(t k)(

2.1

0 4.0

Оценивание состояния дискретных регулируемых систем

V(k)=xxT и вычислив V(k+1) в силу системы (2.3)

).()(),()]()()(

)()()()[,()()()()1(2 kbkbkkAkxkb

kbkxkAkkAkHkAkVTTT

TT

Способ 1. состоит в учете неравенства (1.4), для нелинейности

и матричного неравенства, справедливого для всех x,y и q>0.

TTTT qyyxxq

yxxy 1

.)(

)()(1

)()1(

21

1

TTT

TTT

cbbkVckbbkq

AkVcckAVkq

AkAVkV

TTT

TTT

cbbkQckbbkq

AkQcckAQkq

AkAQkQ

)(

)()(1

)()1(

21

1

Пример

24.0 0

0 01R

0

1 ,

1

0 ,

5.0 0

0.25 4.0cbA , k=0.9

9.1 1

1 2Q

Рис.1. Оценка, полученная по способу 3 точнее оценок, полученных по способам 1 и 2 Рис.2. оценка при k=10 по способу 1 точнее оценок, полученных по способам 2 и 3

5.0 25.0

0.25 4.0A

Подбор фиксированного параметра q

c=[1.0;0.0]; Q=[1 0 ;0 0.9]; A=[0 1;0.7 0.2];b=[0;1];kn=0.46; qp=0.9; for k=1:50Q1=kn*kn*(1+1/qp)*A*Q*A'+(1+qp)*c'*Q*c*bb

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Oс ь Х

Ос

ь У

Оптимизация следа матрицы

kn=0.45; (при kn=0.46 расходятся)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Oс ь Х

Ос

ь У

Регулируемая система со структурными изменениями

Система имеет k структурных состояний (k режима функционирования), упорядоченных по индексу i, iL={1,...l}. В момент t структурное состояние системы

определяется переменной i(t). Пусть ,...)2,1(, sts моменты скачков процесса i(t), а

...}2,1,{ sts - их множество.

Динамика системы в i-м структурном состоянии

.),,()(),()(

),,(),())(,,(),()(),(/)(

Liitixitci

ititwiititBixitAdtidx

(3.1)

)(),( ),(),( ),(),( ,)( iiiiiii nmitCmnitBnnitAnRix -матрицы;

)),(,,((col))(,,( ititiit - нелинейности,

;,1 ,),(/)),(,,(0_____

ii mkititit (3.2)

initw ),( -вектор входных воздействий, init ),( -вектор внешних возмущений,

imit ),( -вектор погрешностей измерений:

01

21 ,1),(),(),( ),,(),(),( ttititRititRitit TT , (3.3)

где ),(1 ii nnitR -неотрицательно определенная, а ii mmitR ),(2 - положительно

определенная матрицы.

В моменты )1( sts переходов из j-го в i-е состояние

))0(,0())(,( jtitxAititx sssijss , (3.4)

где jisij nnA - постоянные матрицы ),( Lji .

Оценить множество, в котором находятся процессы из x0 ),( 00 QaE .

Применяется метод матричных систем сравнения.

Берется матричная функция TtitatitxtitatitxtitV ))](,())(,())][(,())(,([))(,(

и строится матричная система сравнения (МСС)

),(),()(),()(),(1

)())((),(),(1

)(),(1

),()()(),(/)(

323

2

12

2

111

iQqitBiMitRiMitBq

iQizqitBitBq

iQqitRq

itAiQiQitAdtidQ

iTT

i

m

iT

i

ii

T

при t

где ]))(())()()((|)()([|2

)( 2/12

2/1 iriciQiciaick

iz TTi

,

и sTijs

sijs AjtQAitQ ),0(),( при t .

Начальные условия Q(t0)=Q0, a(t0)=a0. Теорема 3.1. Для системы (3.1) с нелинейностями из (3.2), неопределенностями

из (3.3) и скачками (3.4) имеет место оценки

),),(,())(,( 00 QttitQtitV

(при Q(t,i(t)>0

}1))](,()())[(,())](,()([:{))(,( 1 titaixtitQtitaixnRxtitx Ti ), где

))(,( tita - решение уравнения (без неопределенностей)

da(i)/dt=A(t,i)a(i)+B(t,i)M(i)C(t,i)a+w(t,i), ),0(),( jtaAita ssijs ,

а ))(,( titQ - решение МСС.

Оценивание точности САУ при отказах датчиков

Линейная система

buxaxax

xx

2221212

21 ,

где 2211 ykyku - управление, Tyyy 21, - вектор выхода датчиков Д1 и Д2,

которые измеряют координаты x1, x2 вектора состояния

Txxx 21, .

1) датчики Д1 и Д2 - исправны; 2) Д1 - отказал, Д2 - исправен;

2211~ xkxku

Tzxxx 121 ,,

3) Д1 - исправен, Д2 - отказал.

2211~xkyku ,

Tzxxx 221 ,,

При a21=2, a22=–1, b=–1, k1=8, k2=4, g1=8, g2=10 матрицы

замкнутой системы для 3-х структурных состояний являются устойчивыми.

140132

4142

010

,

241170

8372

010

,56

10321 AAA ,

.

010

001 ,

0

10

01

,

1

10

01

1312

222

31

211

21

AA

ag

A

ag

A

Нелинейная регулируемая система

),()(

,

112221212

21

tbxaxax

xx

где )(, 1122111 ykyk - характеристика регулятора, )(t -

неопределенное возмущение ;|)(| rt Tyyy ),( 21 - вектор выхода датчиков Д1 и Д2, которые измеряют координаты 21, xx вектора состояния

Txxx ),( 21 : 222111 , xyxy ,

где T),( 21 : 01

2 ,1)()()( ttttRtT , 22)(2 tR матрица>0. 1) датчики Д1 и Д2 - исправны; 2) Д1 - отказал, Д2 - исправен; 22112222 ˆ ),( ykxku 3) Д1 - исправен, Д2 - отказал; 22113333 ˆ ),( xkyku 4) Д1 и Д2 - отказали, регуляторы отключены.

1) ),()(/ ,/ 11222121221 tbxaxadtdxxdtdx 2) ),()(/ ,/ 22222121221 tbxaxadtdxxdtdx

;ˆ,)()(/ 221

1112

1

21221

21

122

21

1111 x

a

gzxx

g

aag

a

gb

a

gzgdtdz 3)

),()(/ ,/ 33222121221 tbxaxadtdxxdtdx ,)(ˆ ),()]([/ 122222331222221222 xagzxbxaggazgdtdz 4)

)(/ ,/ 222121221 txaxadtdxxdtdx . Условия связи вида x(i)=Aijx(j), где Aij. постоянные матрицы.

Начальные условия i(t0)=1,

0.2 0

0 0.2)( 0tQ .

Линейная ситема с отказами и восстановлением датчиков Нелинейная регулируемая ситема с отказами и восстановлением датчиков

Гарантированное оценивание состояния дискретных регулируемых систем с учетом измерений

Рассматривается дискретная регулируемая система y(k)=C(k)x(k)+(k).

погрешности измерений (k) 0{Rn:TQ0, Q0>0},

(k){Rn:TR1(k), R1(k)>0}, (k){Rm: TR2(k), R2(k)>0}.

Вектор функция Условие принадлежности сектору Обозначим Оценка состояния х(k+1) ^x(k+1/k)=(A+BMD)^x(k/k)+w(k)). (2.4)Ошибка оценки (k+1/k)=х(k+1)– ^x(k+1/k)=Ax(k)+B(k,)+w(k)+(k)–

–[A+BMD]^x(k/k)–w(k)=(A+BMD)(k)+(k)+B[(k,)–M].

01

)0( ,),()()()()()()1(

axkkbkwkkxkAkxj

jjj

),...,1( ,/),(0 )( 1 ikkRy iiiii

)2/( ),( ),(,...,1,...,1,...,1

ii

Ti

ij

jkdiagMdcolDblineB

x̂

V(k/k)=(k/k)T(k/k) (2.5)

V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2). (2.6)

Для того чтобы оценить матричную функцию найдем

эллипсоид, содержащий множество

, (2.7)

Параллелепипед , , , (2.8)

матрица эллипсоида определится : R3(k)=diag[r2i(k)],

при всех k>k0

V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,

Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)(A+BMD)Q(k/k)(A+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,

TMkMk ]),(][),([

)}Q,x̂(Ex ,Cx ,M),k(z:z{

}:{ *zzz )z(colz *

i

* ])d)k/k(Qd()k/k(x̂d[2

k)k(z 2/1

i

T

i

T

ii*

i

midkkQdkkxkdk

mkzmkr iTi

Ti

iii ,...1 ,))/(()/(ˆ)(

2)()( 2/1*

)()](),()][(),([ 3 kRkMkkMk T

решение матричной системы сравнения (2.12) при Q(0/0)=Q0,

^x(k+1/k+1)=F(k+1)(k+1/k)+К(k+1)у(k). (2.13)

Уравнение для ошибки оценивания:

(k+1/k+1)=х(k+1)-^x(k+1/k+1)=х(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–К(k+1)[Cx(k+1)+

+(k+1)]=[E–K(k+1)C]x(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–K(k+1)(k+1). (2.14)

условие (несмещенность оценки) будет выполняться, если выбрать

F(k)=E-K(k)C. (2.15)

Для нахождения матрицы К(k) запишем: (k+1/k+1)=[E-K(k+1)C](k+1/k)–K(k+1)(k+1). (2.16)

V(k+1/k+1)<(1+1/q3)[E–K(k+1)C]V(k+1/k)[E–K(k+1)C]T+

+(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1). (2.17)

Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E-K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k+1)C]Т+

+(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1) (2.18)

К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CТ{CQ(k+1/k)CТ(1+1/q3)+(1+q3)R2}-1. (2.19)

)(

)])[/(]([

11 RSp

BMDAkkQBMDASpq

T))((

))1(])[/(])[/11((

3

1112 T

T

BkBRSp

RqBMDAkkQBMDAqSpq

В результате рекуррентные уравнения наблюдателя запишутся в виде^x(k+1/k)=[A(k)+B(k)MD(k)]^x(k/k)+w(k), ^x(k+1/k+1)=^x(k+1/k)+K(k+1)[y(k+1)–C(k+1/k)],К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CT)[CQ(k+1/k)CT(1+1/q3)+(1+q3)R2]-1, Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)[A+BMD]Q(k/k)[A+BMD]T++(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E–K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k)C]Т++(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1),при k=0,1,.... c начальными условиями ^x(0/0)=a, Q(0/0)=Q0. Для запуска алгоритма на первом шаге параметр q3 вычисляется по формуле . Далее вычисляется матрица K(k=1) по (2.19). Затем снова

вычисляется параметр q3 по критерию следа , а по нему – матрица K(k=1). Данный алгоритм был реализован в пакете matlab и опробован на конкретных примерах 2-3 порядка.

)R(Sp/))0/0(Q(Spq 23

))()((

)])()[/1(])(([

23

kKRkKSp

CkKEkkQCkKESpq

T

T

Электромеханические системы

)())()(()())(( ttqtqntqtqM

),()(),(),(.qqqgqFqqqVqqn

Модель в виде уравнений Лагранжа второго рода

M(q) – матрица инерции

кориолисовы и центробежные, трение и гравитационный члены, сухое трение и возмущения ЭММогут быть добавлены уравнения электромагнитных процессов в электродвигателях.Предполагается, что известны номинальные )),(ˆ),(ˆ qqnqM

Вводя величины nnnMMM ˆ~,ˆ~

).,(~))),()(()((~),,( 1 qqnqqnqMqMqq

))(),(),(()())()((ˆ)())((ˆ ttqtqttqtqntqtqM

представим

Вектор состояния

)(

)(

)(

)()(

2

1

tq

tq

tx

txtx

Уравнения движения в пространстве состояний

)()(

))(),(()())(())(()()(

tCxty

tutxtutxBtxhtxAtx cccc

)(~ ,

11 xM

OB

OO

IOA n

cnn

nnc

),(ˆ)(~0

)(211

1 xxnxMxh n

c

),,()(~0

),(211

1 uxxxMux n

c

Предполагается, что измерения выдаются в дискретные моменты времени с периодом T, а входные моменты, являются постоянными на каждом интервале [kT, (k+l)T]

u=

Дискретизация модели

)()()()1(

)()()()1(

2122

1211

kkTxkxkx

kkTxkxkx

d

d

Разложение в ряд в окрестности номинального движения

),()(

))(),(,()())(())(()()1(

kCxky

kukxkkukxBkxhkAxkx

Схема метода Эйлера первого порядка

2

1 , , ,d

dccc

nn

nn TTBBThhIO

TIIA

Оценка точности САУ оптического прибора

где J - момент инерции прибора; D - коэффициент демпфирования; MН - момент нагрузки и трения, MВ(t) возмущения; MЭП(t) – электромагнитный момент привода: , где MФ -

максимальный фиксирующий момент ШД : , при

, - известные постоянные. , iВП – коэффициент редукции, r - параметр, u(t) - выход регулятора: .

k1 ,k2 ,kР - коэффициенты регулятора; a-const, -

погрешности , r2i -const, i=1,2, |MВ(t)+MН(t)|<r1, r1 -константа.

)()()(

/)(/)( 22

tMtMM

dttDddttJd

ВНЭП

)(ФЭП MM

)( kk /)(

],[ kk, )(2)( titru ВП

)())(())((/ 121 tkktktkdtdu ПРPИЗМПРИЗМПР ,)( attПР

,)( ,)()( 21 zttt ИЗИЗ T),( 21 ii r2

вектор входных воздействий, -

вектор неопределенных возмущений.

Для отрезка [kT,(k+1)T] погрешность интегрирования оценивается как

.

Для вектора неопределенных возмущений (k) имеет место оценка

, при k>k0,

Для оценивания состояния системы (3.4) был реализован в пакете Matlab

алгоритм (2.20), полученный по дискретной модели (3.5). Расчеты проводились

при следующих значениях параметров: J=30, MФ=25, D=250, iВП =256, k=0.5,

=0.8, r= , r1=0.002, r21=0.00002, r22=0.0032, g=0.002, k1=50, k2=2, T=0.01.

.

r

0

i2

d ,

0

J/M

0

b ,

0 k k

J/kM J/D J/ikM2-

0 1 0

AВП

Фn

21

ФВПФn

Tn gtkgktw ],0,0[)( 21

TНВn kkJtMtMt ],/))()((,0[)( 2211

),()())(()()1( kkwkbkAxkx

2LTi

}:{)( 1Rk T

4/

Рис. 2. Оценивание состояния системы управления оптического прибора по углу и

угловой скорости (в отклонениях от программной траектории)

Рис. 3. Априорная -1, и апостериорная 2 оценки состояния в плоскости угол (ось X) – угловая скорость (ось Y) (в отклонениях от

программной траектории).

Результаты моделирования

Рис.5. Оценки при возникновении дополнительного момента на оси

прибора

Рис.6. Оценки при возникновении отказа датчика угла

Результаты моделирования

Оценивание состояния асинхронного Оценивание состояния асинхронного двигателядвигателя

.,1

,1

,

,

Hdqqd

qqrddqq

ddrqqdd

qqsdq

ddsqd

Miis

iisi

iisi

u

u

(1)(1)

0,: 22 kRkRk T

0:

,0))((:

11

000

kR,kRwwwkw

Q,QaxaxxxT

T

Предположения:r

rr

s

ss L

r

L

r ;

sr

m

sLL

LJL

u 22

1;

Конструктивные параметры:

(2)(2)

ss

1 fs 2Скольжение:

Tqdqd iix ,,,Вектор состояния: (3)(3)

mm

mm

A ss

ss

00

00

00

00

010

001

0010

00011

fr

frm

000

100

010

001

010

001

0010

00011

B

Параметры модели:

wBuxAAxx 1

mm

mmA s

s

00

00

000

000

010

001

0010

00011

0000

0000

0001

0010

010

001

0010

00011

1 s

s

A

sизм s

wBuxAxAAwBuxAAxx sизмsизм 111 sизмAA 1

const

Построение алгоритма оценивания состояния:

Угловая скоростьвращения ротора:

- матрица системы(5)(5)

kRkwkw T1

Tизмизм

T

измT

изм

AATTERAATTE

AATTEwwAATTE

12

112

12

12

21

21

21

21

(6)(6)

wATwAATET

kukBkxATkxkAkx

sизм

s

12

1

1

21

21

~1

Дискретизированная система уравнений:

(7)(7)

TTT s

TTk s 2)(0

kwkukBkAkxTAkA

kwkukBkxTAkAkxkAkx

11

11

~

~1

1~

TAkAkA kExk )(

(8)(8)

Tqd iiky ,

1000

0100kC

0,: 22 kRkRk T

kkCxky

kwkukBkTAkxkAkx

11

Вектор наблюдаемых координат:токи статорной обмотки в системе координат (d, q)

(9)(9)

kukBkkxAkAkkx 11

kkxkCkykKkkxkkx 111111

1

2333

11111111

kRqqkCkkQkCkCkkQqkK TT

T

T

AkRAq

kRqAAkkQAAqqkkQ

1312

111112

1

111111

kKRkKq

kCkKEkkQkCkKEqkkQ

T

T

23

3

1

11111

000,00 QQax

Уравнения алгоритма оценивания состоянияэлектрической машины:

с начальными условиями:

Установившийся режим работы двигателя:Установившийся режим работы двигателя:

Запуск двигателя:Запуск двигателя:

Торможение двигателя:Торможение двигателя:

ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕВ РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИВ РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

kkQkkxEkDx 1,11

1:1 11

21

kT

ky yCxRyCxxEkD

011 kDkD yx Условие обнаружения изменения режима:

Оценка состояния двигателя:

Результат текущих измерений:

(*)

(10)(10)

(11)(11)

Двигатель имеет l = 6 режимафункционирования:i = 1 - установившийся режим работы с

номинальной скоростью вращения;i = 2 - изменение нагрузки на валу ротора

двигателя в допустимых пределах;i = 3 - блокировка ротора вследствие

неисправности;i = 4 - останов двигателя при пропадании

напряжения на всех статорных обмоткахдвигателя;i = 5 - пропадание напряжения на одной из

фаз статорной обмотки двигателя;i = 6 - изменение сопротивления (короткое

замыкание) роторной обмотки.

Граф возможныхсостояний и изменений

режимов двигателя:

Распознаваниетекущего режима:

Функциональное диагностирование Функциональное диагностирование асинхронного двигателя при изменениях асинхронного двигателя при изменениях

нагрузки на роторенагрузки на ротореНаблюдатель режима 3

Наблюдатель режима 2

Наблюдатель режима 1

Результаты измерений

Нормальный режима работы (режим 1)Нормальный режима работы (режим 1)

Расхождение множества измерений и Расхождение множества измерений и наблюдателя режима 1наблюдателя режима 1

Результаты измерений

3

21

Совмещение множества измерений и наблюдателя Совмещение множества измерений и наблюдателя режима 2режима 2

Результаты измерений

3

21

Расхождение множества измерений и Расхождение множества измерений и наблюдателя режима 2наблюдателя режима 2

Результаты измерений

3

21

Результаты измерений

Совмещение множества измерений и наблюдателя Совмещение множества измерений и наблюдателя режима 3режима 3

3

21

nikr ii ,...,1 ,)(

Распознавание неисправностей - это определение развития во времени ошибки из-за неисправности. Это трудная задача, так как только объединенное {комбинированное} влияние неопределенностей и неисправностей может быть оценены а не их вклад по отдельности. Другими словами, неопределенности и отказы влияют на динамику оценки одинаковым образом, делая невозможным четкое различие между влиянием неопределенностей и неисправностями.

Проблема распознавания неисправностей

)()( , ,])([])([ tKxtuRxuBtBxAtAdt

dx n

).,()()()( txgxBKAxBKAxBKAdt

dx

0},1)()(:{),()( 01

000000 QaxQaxxQaExtx oT

0},1:{),0(),( 1 gggEtxg T

0)(},1))()(())((:{))(),(()( 1 tQtaxtQtaxxtQtaEtx T

00 )( ,1

)()(/ QtQq

qQBKAQQBKAdtdQ T

Синтез робастного управления

A, B зависят от неопределенного параметра p

(*)

ft

t

T dKQKtrQtrtKJ )]()([),(

]/[)( )(),,( dtdQtrKQKtrQtrtKQH TT

0 ,0 , ,

q

H

K

H

dt

dQH

dt

d

Q

H

00 )( ),(1

)()(/ QtQQq

qQBKAQQBKAdtdQ T

0)( ),(1

)2

()2

(/ fTT t

qI

qBKAI

qBKAKKIdtd

0])([1

)( ;0)(222 221

QRtrq

Qtrq

HKQRQBKQ

K

H T

Min Критерий качества

при ограничениях (*).

(6.11)

Уравнения для оптимальных K и q

Функция Гамильтона

Синтез управления по эталонной модели

Непрерывная система

x(t) – состояние при t, u(t) – вход

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ), ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

x t A t x t B t t u t H t t t D t w t x t x

y t C t x t v t

t L t x t

1iu 1 2( , ( )) / ( )i i i i ik t u t u t k

(2) 1

i 1 2( , ( )) / ( )i i i i ik t t t k 1,i s

1,i m,

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,Tx t x t K t ( ) ( ) ( )Tww t w t Q t ( ) ( ) ( )T

vv t v t Q t

Ограничения

* * *

* *

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( )x t A t x t u t

y t C t x

B

t

t

Задана модельная система

* * *( ) ( ) ( )u t G t x tС известным управлением

( ) ( ) ( )u t G t y tНайти управление Чтобы обеспечить характеристики близкие к модельной системе

(1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TK t P t K t K t P t t K t Q t

,

0 0 0( ) ( )K t K t

1* 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

vG t G t K t C t Z t t Q t Z t C t K t C tT( ) ( ) ( ) ( )

22

22

( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) } ( )

{ ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

T Tw

T T Tv

Q t D t Q t D t Sp G t W t G t Q t

Sp L t K t L t Q t B t G t Q t G t B t

11( ) ( ) ( )w wQ t t Q t

,

12 0 0( ) ( ) ( ) ( )TQ t t B t B t

, 1

3( ) ( ) ( ) ( )TQ t t H t H t

14( ) ( ) ( )v vQ t t Q t

;

4

1

( ) ( )ii

t t

;

1( ) [1 ( )] ( ) [1 ( )] ( )vW t t Z t t Q t

Способ синтеза (В.И.Гаркушенко)

)()()(0

tytGtu

( ) ( ) ( )d d d dx t A x t B y t

,

0( ) 0dx t 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )du t G t y t G t x t

( ) dndx t dn m {( 1 ) / }E n m l l

Пример

31 1 1( ) ( ) ( ) ( )m h t a t b t w t

,

1 2( ) ( ) ( ( )) ( )T t t c u t w t

Управление движением центра масс мобильного объекта

1 2( ) /k u u k [ , , ]Tx h h

23 3

33

0 1 0

( ) 0 0 ( )

0 0

A t a x

a

,

3

0

0b

b

,

1 0 0

0 0 1C

,

0 0

1 0

0 1

D

223 3 1 1 3( ) / /a x a m b x m

,

33 1/a T

,

3 1 /b c T

Результаты моделирования

,

21 21 2 3

1

*

1 1

1 1(1 ( ))( )G t x t

T T T T

5dA 1 0dB * *( ) ( ) 0 ( )dm n pu t G t x t

Заключение1. Матричные системы сравнения применяются для оценивания состояния систем управления (в том числе электромеханических) с неопределенностями, фазовыми ограничениями, структурными изменениями. 2. Разработаны способы и алгоритмы оценивания состояния систем с неопределенностями с учетом результатов измерений и фазовых ограничений.3. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ и использованы для оценивания состояния системы управления оптического прибора.4. Способы и алгоритмы применены для оценивания в реальном времени состояния асинхронного двигателя при изменениях режимов его работы.5. Возможны применения для функциональное диагностирование электромеханических систем управления

Направления дальнейшего развития

1. Оценивание состояния нелинейных систем

2. Робастная устойчивость и качество процессов управления, ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок

3. Синтеза оптимальных робастных регуляторов, обеспечивающих качество процессов систем с неопределенностями

4. Применение для оценивания состояния гибридных систем управления

5. Применение для функционального диагностирования электромеханических систем.

1. Маликов А.И., Благов А.Е. Анализ динамики многосвязных систем автоматического регулирования с помощью матричных систем сравнения //Вестник КГТУ, 1998. № 2. С. 37-43.2. Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, № 2. С.5-123. Маликов А.И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными изменениями структуры //Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, № 3. С.19-304. Маликов А.И., Матросов В.М. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2.– С. 47-545. Маликов А.И. Матричные системы сравнения в исследовании динамики нелинейных систем управления со структурными изменениями //Известия РАН. Теория и системы управления. 1999, №3. С.11-216. Маликов А.И. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квазимонотонности//Известия ВУЗов. Математика. - 2000, № 8. С.35-45. 7. Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание решений дифференциальных уравнений с помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, 2002. №8. - С. 30-41.8. Маликов А.И. Матричные системы сравнения в анализе динамики и оценивании состояния систем управления с неопределенностями и структурными изменениями //Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация. М.:Физматлит, 2003. - С.66-100.

Публикации

9. Malikov A. Guaranteed state estimation discrete systems with uncertainties and structural changes //IFAC Workshop “Modelling and Analysis of Logic Dynamic Systems”. July 30 – August 1, 2003. Irkutsk, 2003, p.140-143. 10. Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание состояния дискретных систем управления с помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, 2004. №1. – С.53-69.11. Маликов А.И. Оценивание состояния дискретных регулируемых систем с неопределенностями//Актуаль. пробл. механики сплош. среды. Казань, КГУ. 2004.12. Яфасов Ф.И. Гарантированная оценка переходных процессов асинхронного двигателя методом матричных систем сравнения.// Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева, 2004, №4. С.54-60. 13. Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование нелинейных регулируемых систем с неопределенностями //Труды IV международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» Москва, 25-28 января 2005 г. SICPRO’2005. М.: ИПУ РАН, 2005. С.593-608.14. Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование электромеханической системы с асинхронным двигателем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2005.

Ученый в области механики, ученик Н.Г.Четаева. Д.ф.м.н. (1937) профессор (1938), выпускник КГУ (1930). .

В КАИ с 1932 по 1949, зав.каф. аэрогидродинамики (1936-1949), зам директора по научной и учебной работе (1937-1938, 1941-1942), директор (1944-1949). С 1949 г в МАИ зав.каф. аэродинамики, зам. директора, директор (1956-1958). Исследовал устойчивость движения цепочек Кармана, получил решение задачи о подъемной силе крыла в области закритических углов атаки. Развил теорию устойчивости движения по Ляпунова в критических случаях и на конечном интервале времени. Проблемы существования и устойчивости нелинейных колебаний.

Подготовил 7 докторов и 30 кандидатов наук.

100 лет со дня рожденияГеоргий Владимирович Каменков

(12.01.1908-09.10.1966)

100 лет со дня рожденияАбдул-Монгим Шакурович Аминов

(15.02.1908-03.08.1968)

100 лет со дня рождения Павел Алексеевич Кузьмин

(16.11.1908-31.07.1992)

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАНИнститут механики и машиностроения КазНЦ РАН, ,